几何证明10种模型总结
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模块一 K 字型全等
如图,BD AD ⊥,AB AC ⊥,AE CE ⊥,且AB AC =,则有ABD CAE △△≌.
模块二 母子型
1.等边三角形
2.正方形(等腰直角三角形)
(15—16年成华期末)在ABC △中,90ACB ∠=︒,AC BC =,直线l 经过点C ,且AD l ⊥于点D ,BE l ⊥于点E .
(1)当直线l 绕点C 旋转到图1-1位置时,求证:①ACD CBE △≌△,②AD BE DE +=; (2)当直线l 绕点C 旋转到图1-2位置时,求证:BE DE AD +=;
(3)当直线l
绕点C 旋转到图1-3位置时,请直接写出线段AD 、BE 、DE 之间满足的等量关系.
图1-1 图1-2 图1-3
模块一
K 字型全等
C B
D
A
E
C B
D
A
E
C B A
E D
B
C
A
E
D
C
B
D
A
C
G
F
D B A E
G
D
B
C
A
E
F
D
B
C
G
F
E
A
l A D B
E
C A B l C
D
E A B l D C E
(15—16年嘉祥期末)如图,在正方形ABCD 中,E 为CD 上一点,AE 交BD 于F ,过F
作FH AE ⊥交BC 于H ,连接AH . (1)过点F 分别作AB 、BC 的垂线,垂足分别为M 、N ,求证:AF FH =;
(2)过点H 作HG BD ⊥,垂足为G ,试求FG 和BD 的数量关系.
(嘉祥)在锐角三角形ABC 中,AH 是BC 边上的高,分别以AB 、AC 为一边,向外作正方形ABDE 和ACFG ,EG 与HA 的延长线交于点M ,求证:AM 是AEG △的中线.
如图,CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线,CA CB =,E 、F 分别是直线CD 上两点,且BEC CFA α∠=∠=∠.
(1)若直线CD 经过BCA ∠的内部,且E 、F 在直线CD 上,请解决下面两个问题: ①如图4-1,若90BCA ∠=︒,90α∠=︒,则BE _____CF ;EF _____||BE AF -(填“>”、“<”、“=”);
②如图4-2,若0180BCA ︒<<︒,请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件_______,使①中的两个结论仍然成立,并证明这两个结论.
(2)如图4-3,若直线CD 经过BCA ∠的外部,BCA α∠=∠,请提出EF 、BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明).
例题1
M
N
H G F
E
D
C
B
A
D
E M G
F A B
H C
图4-1 图4-2 图4-3
如图,点C 为线段AB 上一点,ACM △、CBN △是等边三角形.请你证明:
(1)AN MB =; (2)60MFA ∠=︒;
(3)AFC BFC ∠=∠; (4)DEC △为等边三角形;
(5)//DE AB .
14—15年成外)已知,在ADE △中,AE AD =,90EAD ∠=︒.
(1)如图6-1,若EC ,DB 分别平分AED ∠、ADE ∠,交AD ,AE 于点C 、B ,连接BC .请判断AB 、AC 是否相等,并说明理由;
(2)ADE △的位置保持不变,将(1)中的ABC △绕点A 逆时针旋转至图6-2的位置,线段CD 和BE 相交于O ,请判断线段BE 与CD 的位置关系与数量关系,并说明理由; (3)在(2)的条件下,若6CD =,试求四边形CEDB 的面积.
图6-1 图6-2
图②
图③
A
B
C
D
E
F A
B
C D
E
F 例题2
例题3
例题4
B
E
F D
C
A
D A F
C E
A N M D
C B
E F
A B C D
E C E A B O
D
如图7-1,若四边形ABCD 、GFED 都是正方形,显然图中有AG CE =,AG CE ⊥.
(1)当正方形GFED 绕D 旋转到如图7-2的位置时,AG CE =,AG CE ⊥是否成立?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由;
(2)当正方形GFED 绕D 旋转到B 、D 、G 在一条直线(如图7-3)上时,连接CE ,设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ,(1)中的结论还成立吗?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由.
图7-1 图7-2 图7-3
图1A
B
C D G F
E
图2D
C B
A G
F
E
图3
C
D
A
B
F
E
P G H
(15年西川半期)如图8-1,在ABC △和ADE △中,AB AC =,AD AE =,BAC DAE ∠=∠,且点B 、A 、D 在一条直线上,连接BE 、CD ,点M ,N 分别为BE ,CD 的中点. (1)求证:BE CD =;
(2)求证:AMN △是等腰三角形;
(3)在图8-1的基础上,将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转,使D 点落在线段AB 上,其他条件不变,得到图8-2所示的图形,(1)(2)中的两个结论是否仍然成立?请你直接写出你的结论.
图8-1 图8-2
如图,四边形ABCD 、DEFG 都是正方形,连接AE 、CG .求证:(1)AE CG =;(2)AE CG ⊥.
如图5-1,等边ABC △中,D 是AB 上一点,以CD 为边向上作等边CDE △,连接AE . (1)求证:AE//BC ;
(2)如图5-2,若点D 在AB 的延长线上,其余条件均不变,(1)中结论是否成立?请说明理由. 图5-1 图5-2
演练1
A B C D
N M
E B C
D E M N E B
A G F C D
A B
C
E
D
A
B
C
E
D
以点A 为顶点作两个等腰直角三角形(ABC △,ADE △),如图4-1所示放置,使得一直角边重合,连接BD ,CE . (1)说明BD CE =;
(2)延长BD ,交CE 于点F ,求BFC ∠的度数;
(3)若如图4-2放置,上面的结论还成立吗?请简单说明理由.
图4-1 图4-2
如图,B 、C 、E 三点在一条直线上,ABC △和DCE △都为等边三角形,连接AE 、DB . (1)试说出AE BD =的理由.
(2)如果把DCE △绕C 点顺时针旋转一个角度,使B 、C 、E 不在一条直线上,(1)中的结论还成立吗?(只回答,不说理由)
(3)在(2)中若AE 、BD 相交于P ,求APB ∠的度数.
截长补短
如图,在ABC △中,2B C ∠=∠,AD BC ⊥于D ,求证:CD BD AB =+.
D C B A
C
E
A B
F
D
C D F
A
B
E
D
A
C
E
A
B
P
D
C
E
如图,正方形ABCD 中,M ,N 分别是BC ,CD 上的点,且45MAN ∠=︒.求证:MN BM DN =+.
如图,ABC △是等边三角形,BDC △是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形,以D 为顶点作一
个60︒角,角的两边分别交AB 于M ,交AC 于N ,连接MN ,求证:MN BM CN =+.
如图,ABCD 是正方形,FAD FAE ∠=∠.求证:BE DF AE +=.
已知四边形ABCD 是正方形,E 、F 分别在CB 、CD 的延长线上,135EAF ∠=︒.
求证:BE DF EF +=.
N
M
D
C
B
A N
M D
C
B
A
F
E
D
C
B
A 例题5
例题6
例题7
五边形ABCDE 中,AB AE =,
BC DE CD +=,180ABC AED ∠+∠=︒.求证:AD 平分CDE ∠.
(金牛区期末统考改编)如图,已知两个全等的等腰直角ABC △、DEF △,其中90ACB DFE ∠=∠=︒,E 为AB 中点,DEF △可绕顶点E 旋转,线段DE ,EF 分别交线段CA ,CB (或它们所在直线)于M 、N ,连结MN 、CE .
(1)如图7-1,当M 、N 分别在线段CA 、CB (不包括端点)上,求证:AM MN CN =+. (2)如图7-2,当M 在线段AC 上,N 在BC 的延长线上,请探究AM ,MN ,CN 之间的数量关系,并说明理由.
图7-1 图7-2
图
图1
A
B C
D E
F
A
B C
D E
F Q P
N
E
例题8
例题9
A B
C
D
E
A B C
D F
N M
C N F
D M
角平分线模型
(1)如图3-1,在ABC △中,BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠,//ED AB ,//FD AC .如果6BC =,则DEF △的周长为__________.
(2)(14—15年武侯区期末)如图3-2,ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ,过点D 作EF //BC ,交AB 于E ,交AC 于F ,若8cm BE =,5cm CF =,则EF =________.
(3)(15—16年武侯期末)如图3-3,ABC △的内角ABC ∠和外角ACD ∠的平分线相交于点E ,BE 交AC 于点F ,过点E 作EG//BD 交AB 于点G ,交AC 于点H ,连接AE ,有以下
结论:①1
2
BEC BAC =∠∠;②HEF CBF △≌△;③BG CH GH =+;④AEB ACE +∠∠
90=︒,其中正确的结论有_____________(只填序号)
图3-1 图3-2 图3-3
(1)(14—15年青羊区期末)如图4-1,在ABC △中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥于点D ,ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ,交AC 于E ,若3AE =,2DF =,则AD =_____________.
(2)如图4-2,已知:在ABC △中,90BAC ∠=︒,AD BC ⊥于D ,BCA ∠的角平分线交AD 与F ,交AB 于E ,//FG BC 交AB 于G .4cm AE =,12cm AB =,则BG =__________,GE =__________.
图4-1 图4-2
模块二
角平分线模型
例题10
例题11
H F G A C D E B A
E F C D
A B C G D
F E
A
B
F E
D C
A
D
C
F E G
如图,在ABC △中,12∠=∠,2AB AC =,AD BD =.求证:DC AC ⊥.
如图所示,在ABC △中,90BAC ∠=︒,AB AC =,BE 平分ABC ∠,CE BE ⊥.
求证:1
2
CE BD =.
(14—15年嘉祥月考)如图,在ABC △中,60ABC ∠=︒,AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠,AD 、CE 交于O .(1)求AOC ∠的度数;(2)求证:AC AE CD =+.
例题12
例题13
例题14
A B
D
C
12
B A C
E
D B A E
D C
O
(14—15年育才期末、嘉祥半期)如图,ABC △中,90BAC ∠=︒,AB AC =,AD BC ⊥,垂足为D ,AE 平分BAD ∠,交BC 于点E .在ABC △外有一点F ,使FA AE ⊥,FC BC ⊥. (1)求证:BE CF =;
(2)在AB 上取一点M ,使2BM DE =,连接MC ,交AD 于点N ,连接ME . 求证:①ME BC ⊥;②DE DN =.
已知等腰ABC △,100A ∠=︒,ABC ∠的平分线交AC 于D .求证:BD AD BC +=.
倍长中线
在ABC △中,AD 是BC 边上的中线. (1)求证:2AB AC AD +>;
(2)若5AB =,9AC =,求AD 的取值范围.
如图,已知在ABC △中,AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,延长BE 交AC 于F ,AF EF =,求证:AC BE =.
例题9
演练2
演练3
A
B D C
A B
F
E
D C
B A M F N
E D
C
A
B
D
C
如图,在ABC △中,AD 平分BAC ∠,E 、F 分别在BD 、AD 上,DE CD =,EF AC =.求证:EF//AB .
已知AD 为ABC △的中线,在AB 上有一点E ,AC 上有一点F ,连接DE 、DF ,且DE DF ⊥,求证:BE CF EF +>.
在ABC △中,AB AC =,CE 是AB 边上的中线,延长AB 到D ,使BD AB =.求证:2CD CE =.
在ABC △中,分别以AB 、AC 为边长,向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ,M 为BC 中点,求证:(1)2EG AM =;(2)AM EG ⊥.
例题15
例题16
例题9
A B F
E D C
B
A E
F
D
C
C
E B D
D
E
G
A
F
B
M C
如图所示,90BAC DAE ∠=∠=︒,M 是BE 的中点,AB AC =,AD AE =. 求证:(1)2CD AM =;(2)AM CD ⊥.
如图2-1,已知ABC △中,1AB BC ==,90ABC =︒∠,把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上(直角三角板的短直角边为DE ,长直角边为DF ),将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转.直线DE 交直线AB 于M ,直线DF 交直线BC 于N . (1)在图2-1中,①证明DM DN =;②在这一旋转过程中,直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ,请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的?若不发生变化,求出其面积;
(2)继续旋转至如图2-2的位置,DM DN =是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;
(3)继续旋转至如图2-3的位置,DM DN =是否仍然成立?请写出结论,不用证明.
图2-1 图2-2 图2-3
图
3图2图1A
B
C
D
E
F
A
B C
D
E
F
N
M F
E
D
C
B
A
演练4
演练5
A
B
M
C
D。