几何证明10种模型总结

模块一 K 字型全等
如图，BD AD ⊥，AB AC ⊥，AE CE ⊥，且AB AC =，则有ABD CAE △△≌．
模块二 母子型
1．等边三角形
2．正方形（等腰直角三角形）
（15—16年成华期末）在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 经过点C ，且AD l ⊥于点D ，BE l ⊥于点E ．
（1）当直线l 绕点C 旋转到图1-1位置时，求证：①ACD CBE △≌△，②AD BE DE +=； （2）当直线l 绕点C 旋转到图1-2位置时，求证：BE DE AD +=；
（3）当直线l
绕点C 旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD 、BE 、DE 之间满足的等量关系．
图1-1 图1-2 图1-3
模块一
K 字型全等
C B
D
A
E
C B
D
A
E
C B A
E D
B
C
A
E
D
C
B
D
A
C
G
F
D B A E
G
D
B
C
A
E
F
D
B
C
G
F
E
A
l A D B
E
C A B l C
D
E A B l D C E
（15—16年嘉祥期末）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，AE 交BD 于F ，过F
作FH AE ⊥交BC 于H ，连接AH ． （1）过点F 分别作AB 、BC 的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：AF FH =；
（2）过点H 作HG BD ⊥，垂足为G ，试求FG 和BD 的数量关系．
（嘉祥）在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，求证：AM 是AEG △的中线．
如图，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．
（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在直线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图4-1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，则BE _____CF ；EF _____||BE AF -（填“＞”、“＜”、“=”）；
②如图4-2，若0180BCA ︒<<︒，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件_______，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．
（2）如图4-3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF 、BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．
例题1
M
N
H G F
E
D
C
B
A
D
E M G
F A B
H C
图4-1 图4-2 图4-3
如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：
（1）AN MB =； （2）60MFA ∠=︒；
（3）AFC BFC ∠=∠； （4）DEC △为等边三角形；
（5）//DE AB ．
14—15年成外）已知，在ADE △中，AE AD =，90EAD ∠=︒．
（1）如图6-1，若EC ，DB 分别平分AED ∠、ADE ∠，交AD ，AE 于点C 、B ，连接BC ．请判断AB 、AC 是否相等，并说明理由；
（2）ADE △的位置保持不变，将（1）中的ABC △绕点A 逆时针旋转至图6-2的位置，线段CD 和BE 相交于O ，请判断线段BE 与CD 的位置关系与数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若6CD =，试求四边形CEDB 的面积．
图6-1 图6-2
图②
图③
A
B
C
D
E
F A
B
C D
E
F 例题2
例题3
例题4
B
E
F D
C
A
D A F
C E
A N M D
C B
E F
A B C D
E C E A B O
D
如图7-1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG CE =，AG CE ⊥．
（1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图7-2的位置时，AG CE =，AG CE ⊥是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；
（2）当正方形GFED 绕D 旋转到B 、D 、G 在一条直线（如图7-3）上时，连接CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
图7-1 图7-2 图7-3
图1A
B
C D G F
E
图2D
C B
A G
F
E
图3
C
D
A
B
F
E
P G H
（15年西川半期）如图8-1，在ABC △和ADE △中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，且点B 、A 、D 在一条直线上，连接BE 、CD ，点M ，N 分别为BE ，CD 的中点． （1）求证：BE CD =；
（2）求证：AMN △是等腰三角形；
（3）在图8-1的基础上，将ADE △绕点A 按顺时针方向旋转，使D 点落在线段AB 上，其他条件不变，得到图8-2所示的图形，（1）（2）中的两个结论是否仍然成立？请你直接写出你的结论．
图8-1 图8-2
如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ．求证：（1）AE CG =；（2）AE CG ⊥．
如图5-1，等边ABC △中，D 是AB 上一点，以CD 为边向上作等边CDE △，连接AE ． （1）求证：AE//BC ；
（2）如图5-2，若点D 在AB 的延长线上，其余条件均不变，（1）中结论是否成立？请说明理由． 图5-1 图5-2
演练1
A B C D
N M
E B C
D E M N E B
A G F C D
A B
C
E
D
A
B
C
E
D
以点A 为顶点作两个等腰直角三角形（ABC △，ADE △），如图4-1所示放置，使得一直角边重合，连接BD ，CE ． （1）说明BD CE =；
（2）延长BD ，交CE 于点F ，求BFC ∠的度数；
（3）若如图4-2放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由．
图4-1 图4-2
如图，B 、C 、E 三点在一条直线上，ABC △和DCE △都为等边三角形，连接AE 、DB ． （1）试说出AE BD =的理由．
（2）如果把DCE △绕C 点顺时针旋转一个角度，使B 、C 、E 不在一条直线上，（1）中的结论还成立吗？（只回答，不说理由）
（3）在（2）中若AE 、BD 相交于P ，求APB ∠的度数．
截长补短
如图，在ABC △中，2B C ∠=∠，AD BC ⊥于D ，求证：CD BD AB =+．
D C B A
C
E
A B
F
D
C D F
A
B
E
D
A
C
E
A
B
P
D
C
E
如图，正方形ABCD 中，M ，N 分别是BC ，CD 上的点，且45MAN ∠=︒．求证：MN BM DN =+．
如图，ABC △是等边三角形，BDC △是顶角120BDC ∠=︒的等腰三角形，以D 为顶点作一
个60︒角，角的两边分别交AB 于M ，交AC 于N ，连接MN ，求证：MN BM CN =+．
如图，ABCD 是正方形，FAD FAE ∠=∠．求证：BE DF AE +=．
已知四边形ABCD 是正方形，E 、F 分别在CB 、CD 的延长线上，135EAF ∠=︒．
求证：BE DF EF +=．
N
M
D
C
B
A N
M D
C
B
A
F
E
D
C
B
A 例题5
例题6
例题7
五边形ABCDE 中，AB AE =，
BC DE CD +=，180ABC AED ∠+∠=︒．求证：AD 平分CDE ∠．
（金牛区期末统考改编）如图，已知两个全等的等腰直角ABC △、DEF △，其中90ACB DFE ∠=∠=︒，E 为AB 中点，DEF △可绕顶点E 旋转，线段DE ，EF 分别交线段CA ，CB （或它们所在直线）于M 、N ，连结MN 、CE ．
（1）如图7-1，当M 、N 分别在线段CA 、CB （不包括端点）上，求证：AM MN CN =+． （2）如图7-2，当M 在线段AC 上，N 在BC 的延长线上，请探究AM ，MN ，CN 之间的数量关系，并说明理由．
图7-1 图7-2
图
图1
A
B C
D E
F
A
B C
D E
F Q P
N
E
例题8
例题9
A B
C
D
E
A B C
D F
N M
C N F
D M
角平分线模型
（1）如图3-1，在ABC △中，BD 、CD 分别平分ABC ∠和ACB ∠，//ED AB ，//FD AC ．如果6BC =，则DEF △的周长为__________．
（2）（14—15年武侯区期末）如图3-2，ABC ∠的平分线与ACB ∠的外角平分线相交于点D ，过点D 作EF //BC ，交AB 于E ，交AC 于F ，若8cm BE =，5cm CF =，则EF =________．
（3）（15—16年武侯期末）如图3-3，ABC △的内角ABC ∠和外角ACD ∠的平分线相交于点E ，BE 交AC 于点F ，过点E 作EG//BD 交AB 于点G ，交AC 于点H ，连接AE ，有以下
结论：①1
2
BEC BAC =∠∠；②HEF CBF △≌△；③BG CH GH =+；④AEB ACE +∠∠
90=︒，其中正确的结论有_____________（只填序号）
图3-1 图3-2 图3-3
（1）（14—15年青羊区期末）如图4-1，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于点D ，ABC ∠的平分线BE 交AD 于F ，交AC 于E ，若3AE =，2DF =，则AD =_____________．
（2）如图4-2，已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AD BC ⊥于D ，BCA ∠的角平分线交AD 与F ，交AB 于E ，//FG BC 交AB 于G ．4cm AE =，12cm AB =，则BG =__________，GE =__________．
图4-1 图4-2
模块二
角平分线模型
例题10
例题11
H F G A C D E B A
E F C D
A B C G D
F E
A
B
F E
D C
A
D
C
F E G
如图，在ABC △中，12∠=∠，2AB AC =，AD BD =．求证：DC AC ⊥．
如图所示，在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，BE 平分ABC ∠，CE BE ⊥．
求证：1
2
CE BD =．
（14—15年嘉祥月考）如图，在ABC △中，60ABC ∠=︒，AD 、CE 分别平分BAC ∠、ACB ∠，AD 、CE 交于O ．（1）求AOC ∠的度数；（2）求证：AC AE CD =+．
例题12
例题13
例题14
A B
D
C
12
B A C
E
D B A E
D C
O
（14—15年育才期末、嘉祥半期）如图，ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD BC ⊥，垂足为D ，AE 平分BAD ∠，交BC 于点E ．在ABC △外有一点F ，使FA AE ⊥，FC BC ⊥． （1）求证：BE CF =；
（2）在AB 上取一点M ，使2BM DE =，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME ． 求证：①ME BC ⊥；②DE DN =．
已知等腰ABC △，100A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ．求证：BD AD BC +=．
倍长中线
在ABC △中，AD 是BC 边上的中线． （1）求证：2AB AC AD +>；
（2）若5AB =，9AC =，求AD 的取值范围．
如图，已知在ABC △中，AD 是BC 边上的中线，E 是AD 上一点，延长BE 交AC 于F ，AF EF =，求证：AC BE =．
例题9
演练2
演练3
A
B D C
A B
F
E
D C
B A M F N
E D
C
A
B
D
C
如图，在ABC △中，AD 平分BAC ∠，E 、F 分别在BD 、AD 上，DE CD =，EF AC =．求证：EF//AB ．
已知AD 为ABC △的中线，在AB 上有一点E ，AC 上有一点F ，连接DE 、DF ，且DE DF ⊥，求证：BE CF EF +>．
在ABC △中，AB AC =，CE 是AB 边上的中线，延长AB 到D ，使BD AB =．求证：2CD CE =．
在ABC △中，分别以AB 、AC 为边长，向三角形的外侧作正方形ABDE 和正方形ACFG ，M 为BC 中点，求证：（1）2EG AM =；（2）AM EG ⊥．
例题15
例题16
例题9
A B F
E D C
B
A E
F
D
C
C
E B D
D
E
G
A
F
B
M C
如图所示，90BAC DAE ∠=∠=︒，M 是BE 的中点，AB AC =，AD AE =． 求证：（1）2CD AM =；（2）AM CD ⊥．
如图2-1，已知ABC △中，1AB BC ==，90ABC =︒∠，把一块含30︒角的直角三角板DEF 的直角顶点D 放在AC 的中点上（直角三角板的短直角边为DE ，长直角边为DF ），将直角三角板DEF 绕D 点按逆时针方向旋转．直线DE 交直线AB 于M ，直线DF 交直线BC 于N ． （1）在图2-1中，①证明DM DN =；②在这一旋转过程中，直角三角板DEF 与ABC △的重叠部分为四边形DMBN ，请说明四边形DMBN 的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；
（2）继续旋转至如图2-2的位置，DM DN =是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；
（3）继续旋转至如图2-3的位置，DM DN =是否仍然成立？请写出结论，不用证明．
图2-1 图2-2 图2-3
图
3图2图1A
B
C
D
E
F
A
B C
D
E
F
N
M F
E
D
C
B
A
演练4
演练5
A
B
M
C
D。