几何证明10种模型总结

模块一 K 字型全等

如图，BD AD ⊥，AB AC ⊥，AE CE ⊥，且AB AC =，则有ABD CAE △△≌．

模块二 母子型

1．等边三角形

2．正方形（等腰直角三角形）

（15—16年成华期末）在ABC △中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线l 经过点C ，且AD l ⊥于点D ，BE l ⊥于点E ．

（1）当直线l 绕点C 旋转到图1-1位置时，求证：①ACD CBE △≌△，②AD BE DE +=； （2）当直线l 绕点C 旋转到图1-2位置时，求证：BE DE AD +=；

（3）当直线l

绕点C 旋转到图1-3位置时，请直接写出线段AD 、BE 、DE 之间满足的等量关系．

图1-1 图1-2 图1-3

模块一

K 字型全等

C B

D

A

E

C B

D

A

E

C B A

E D

B

C

A

E

D

C

B

D

A

C

G

F

D B A E

G

D

B

C

A

E

F

D

B

C

G

F

E

A

l A D B

E

C A B l C

D

E A B l D C E

（15—16年嘉祥期末）如图，在正方形ABCD 中，E 为CD 上一点，AE 交BD 于F ，过F

作FH AE ⊥交BC 于H ，连接AH ． （1）过点F 分别作AB 、BC 的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：AF FH =；

（2）过点H 作HG BD ⊥，垂足为G ，试求FG 和BD 的数量关系．

（嘉祥）在锐角三角形ABC 中，AH 是BC 边上的高，分别以AB 、AC 为一边，向外作正方形ABDE 和ACFG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，求证：AM 是AEG △的中线．

如图，CD 是经过BCA ∠顶点C 的一条直线，CA CB =，E 、F 分别是直线CD 上两点，且BEC CFA α∠=∠=∠．

（1）若直线CD 经过BCA ∠的内部，且E 、F 在直线CD 上，请解决下面两个问题： ①如图4-1，若90BCA ∠=︒，90α∠=︒，则BE _____CF ；EF _____||BE AF -（填“＞”、“＜”、“=”）；

②如图4-2，若0180BCA ︒<<︒，请添加一个关于α∠与BCA ∠关系的条件_______，使①中的两个结论仍然成立，并证明这两个结论．

（2）如图4-3，若直线CD 经过BCA ∠的外部，BCA α∠=∠，请提出EF 、BE 、AF 三条线段数量关系的合理猜想（不要求证明）．

例题1

M

N

H G F

E

D

C

B

A

D

E M G

F A B

H C

图4-1 图4-2 图4-3

如图，点C 为线段AB 上一点，ACM △、CBN △是等边三角形．请你证明：

（1）AN MB =； （2）60MFA ∠=︒；

（3）AFC BFC ∠=∠； （4）DEC △为等边三角形；

（5）//DE AB ．

14—15年成外）已知，在ADE △中，AE AD =，90EAD ∠=︒．

（1）如图6-1，若EC ，DB 分别平分AED ∠、ADE ∠，交AD ，AE 于点C 、B ，连接BC ．请判断AB 、AC 是否相等，并说明理由；

（2）ADE △的位置保持不变，将（1）中的ABC △绕点A 逆时针旋转至图6-2的位置，线段CD 和BE 相交于O ，请判断线段BE 与CD 的位置关系与数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，若6CD =，试求四边形CEDB 的面积．

图6-1 图6-2

图②

图③

A

B

C

D

E

F A

B

C D

E

F 例题2

例题3

例题4

B

E

F D

C

A

D A F

C E

A N M D

C B

E F

A B C D

E C E A B O

D

如图7-1，若四边形ABCD 、GFED 都是正方形，显然图中有AG CE =，AG CE ⊥．

（1）当正方形GFED 绕D 旋转到如图7-2的位置时，AG CE =，AG CE ⊥是否成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；

（2）当正方形GFED 绕D 旋转到B 、D 、G 在一条直线（如图7-3）上时，连接CE ，设CE 分别交AG 、AD 于P 、H ，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

图7-1 图7-2 图7-3

图1A

B

C D G F

E

图2D

C B

A G

F

E

图3

C

D

A

B

F

E

P G H