人教版初中数学《锐角三角函数》PPT
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解：如图，作 BE⊥l 于点 E，DF⊥l 于点 F.
∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°， ∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝α＝36°.
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即 DB＝PD＝tan 30°·AD＝x＝ 33(x＋200)，
解得 x≈273.2，∴PD≈273.
答：凉亭 P 到公路 l 的距离约为 273 m.
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15．如图，把一张长方形卡片 ABCD 放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求 长方形卡片的周长(精确到 1 mm；参考数据：sin 36°≈0.60， cos 36°≈0.80，tan 36°≈0.75)．
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解：∵CE∥DB， ∴∠CAD＝∠ACE＝45°，∠CBD＝∠BCE＝30°. 在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝1 200 米，
在 Rt△DCB 中，∵tan∠CBD＝BCDD，
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14．如图，为了计算湖中小岛上凉亭 P 到岸边公路 l 的距离， 某数学兴趣小组在公路 l 上的点 A 处，测得凉亭 P 在北偏东 60°的方向上．从 A 处向正东方向行走 200 米，到达公路 l 上 的点 B 处，再次测得凉亭 P 在北偏东 45°的方向上．求凉亭 P 到公路 l 的距离(结果保留整数，参考数据： 2≈1.414， 3 ≈1.732)．
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解：在 Rt△ADB 中，∵∠BAD＝65°，AD＝90 米， ∴DB＝AD·tan 65°≈90×2.14＝192.6(米)， 同理，在 Rt△ADC 中，∵∠DAC＝30°，AD＝90 米， ∴CD＝AD·tan 30°＝90× 33≈51.9(米)． ∴BC＝BD＋CD＝192.6＋51.9＝244.5≈245(米)．
A．800sin α 米 C.s8in00α米
B．800tan α 米 D．ta8n00α米
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12．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度 AB，测 量人员使用无人机测量，在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别 为 45°和 30°.若无人机离地面的高度 CD 为 1 200 米，且点 A， B，D 在同一水平直线上，求这条江的宽度 AB 的长(结果保留 根号)．
答：河宽约为 81.96 米．
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13．如图，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯
塔 P 在北偏东 60°方向上，在 A 处正东 400 米的 B 处，测得
海中灯塔 P 在北偏东 30°方向上，则灯塔 P 到环海路的距离等
于( D )
A．400 米
B．(100＋100 3)米
C．200 5米
D．200 3米
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A.103 3米 C．5 3米
B．10 3米 D．20 米
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33 6．计算：cos 30°＋tan 60°＝ 2 . 7．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，则∠A＝
60 度．
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第二十八章 锐角三角 函数
知识点 1 三角函数的定义
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则 BC＝ 4 ， 4
sin A＝ 5 .
2．如图，在 8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，
若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan∠ACB 的 1
值为 3 .
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10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，sin B＝45，BC＝13，AD ＝12，则 tan C 的值为 3 .
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11．计算：|－3|－12－1＋ 132－2cos 60°. 解：原式＝3－2＋2 33－2×12＝1＋2－1＝2.
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综合训练
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果 AC＝4，BC＝3，那么
∠A 的正切值为( A )
3 A.4
B．43
C．53
D．54
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2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么
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∴BD＝tan∠CDCBD＝1 2300＝1 200 3(米)． 3
∴AB＝BD－AD＝1 200 3－1 200＝1 200( 3－1)米． 故这条江的宽度 AB 长为 1 200( 3－1)米．
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3，∴A1.C5＝
3，解得
AC＝
3 2.
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8．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，若 AC 3
＝4，BC＝3，则∠DCB 的正切值为 4 .
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知识点 3 解直角三角形 7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，且 sin A＝ 23，BC＝1.5， 求 AC 的长．
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解：∵∠C＝90°，且 sin A＝ 23，∴∠A＝60°，
∴tan A＝BACC＝
解：在 Rt△ABC 中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝taBnCA＝2 3，则 EF＝AC＝2 3，
∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝ 6，
∴AF＝AC－FC＝2 3－ 6.
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知识点 4 解直角三角形的应用
10．如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树
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解：如图，过 C 作 CE⊥AB 于 E，则 CE 为河宽．
设 CE＝x(米)，于是 BE＝x＋60(米)，
在 Rt△BCE 中，tan 30°＝CEEB，∴ 3x＝x＋60， ∴x＝30( 3＋1)≈81.96(米)．
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12．某数学兴趣小组想测量商丘电视台电视塔的高度，如图， 该小组在商丘电视塔 BC 前一座楼房楼顶 A 处所观测到电视塔 最高点 B 的仰角为 65°，电视塔最低点 C 的俯角为 30°，楼顶 A 与电视塔的水平距离 AD 为 90 米，求商丘电 视塔 BC 的高度(结果精确到 1 米；参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73，sin 65°≈0.91， cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)．
的底端 25 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角∠ABO 为 α，则树
OA 的高度为( C )
A.ta2n5α米
B．25sin α 米
C．25tan α 米
D．25cos α 米
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11．如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道(点 A，B 在同一水平面上)．为了测量 A，B 两地之间的距离，一 架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处 观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距离为( D )
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13．如图，某市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学 知识去测量沱江流经该市某段的河宽．小凡同学在点 A 处观 测到对岸 C 点，测得∠CAD＝45°，又在距 A 处 60 米远的 B 处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少(精确 到 0.01 米；参考数据： 3≈1.732)?
AC 等于( B )
A．3sin α
B．3cos α
C.sin3 α
D．co3s α
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3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 cos α 的值 是( D )
3 A.4
B．43
C．53
D．54
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8．如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，过 P 作 PB⊥x 轴，垂足 2
为 B，OB＝2，PB＝ 5，则 cos α 等于 3 .
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9．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡 AB 的坡度 是 1：3，滑坡的水平宽度是 6 m，则高 BC 为 2 m.
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解：如图，作 PD⊥AB 于 D.
设 BD＝x，则 AD＝x＋200.
∵∠EAP＝60°，∴∠PAB＝90°－60°＝30°.
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∵∠FBP＝45°PD 中，∠PAB＝30°，∴PD＝tan 30°·AD，
9．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副 三角板中，含 45°的三角板的斜边与含 30°的三角板的长直角 边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角 板直角顶点重合拼放在一起，点 B，C，E 在同一直线上，若 BC＝2，求 AF 的长．
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3．如图，在正方形网格中，∠AOB 如图放置，则 cos∠AOB 2
的值为 2 .
知识点 2 特殊角的三角函数值 4．计算：2cos 30°－tan 60°＋sin 30°＋12tan 45°. 解：原式＝2× 23－ 3＋21＋21＝1. 5．计算：4sin 30°－ 2cos 45°－ 3tan 30°＋2sin 60°.
解：原式＝4×12－ 2× 22－ 3× 33＋2× 23＝2－1－1＋ 3＝ 3.
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6．计算： tan 60°－12＋|1－cos 60°|－2tan 45°·sin 60°. 解：原式＝ 3－1＋1－12－2×1× 23＝－12.
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根据题意，得 BE＝24 mm，DF＝48 mm.
在 Rt△ ABE 中，sin α＝BAEB，
∴AB＝sinBE36°≈02.640＝40 mm.
在 Rt△ ADF 中，cos∠ADF＝DADF，
∴AD＝coDs F36°≈04.880＝60 mm. ∴矩形 ABCD 的周长＝2×(40＋60)＝200 mm.
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4．等边三角形的一个锐角的余弦值为( A )
A.21
B．
2 2
C．
3 2
D． 3
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5．如图，学校测量组在池塘边的 A 点处测得∠BAC＝90°，再 在距离 A 点 10 米的 C 处测得∠ACB＝60°.则 A，B 两点的距 离是( B )
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解：如图，作 BE⊥l 于点 E，DF⊥l 于点 F.
∵α＋∠DAF＝180°－∠BAD＝180°－90°＝90°， ∠ADF＋∠DAF＝90°，∴∠ADF＝α＝36°.
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即 DB＝PD＝tan 30°·AD＝x＝ 33(x＋200)，
解得 x≈273.2，∴PD≈273.
答：凉亭 P 到公路 l 的距离约为 273 m.
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15．如图，把一张长方形卡片 ABCD 放在每格宽度为 12 mm 的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上，已知∠α＝36°，求 长方形卡片的周长(精确到 1 mm；参考数据：sin 36°≈0.60， cos 36°≈0.80，tan 36°≈0.75)．
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解：∵CE∥DB， ∴∠CAD＝∠ACE＝45°，∠CBD＝∠BCE＝30°. 在 Rt△ACD 中，∵∠CAD＝45°，
∴AD＝CD＝1 200 米，
在 Rt△DCB 中，∵tan∠CBD＝BCDD，
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14．如图，为了计算湖中小岛上凉亭 P 到岸边公路 l 的距离， 某数学兴趣小组在公路 l 上的点 A 处，测得凉亭 P 在北偏东 60°的方向上．从 A 处向正东方向行走 200 米，到达公路 l 上 的点 B 处，再次测得凉亭 P 在北偏东 45°的方向上．求凉亭 P 到公路 l 的距离(结果保留整数，参考数据： 2≈1.414， 3 ≈1.732)．
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解：在 Rt△ADB 中，∵∠BAD＝65°，AD＝90 米， ∴DB＝AD·tan 65°≈90×2.14＝192.6(米)， 同理，在 Rt△ADC 中，∵∠DAC＝30°，AD＝90 米， ∴CD＝AD·tan 30°＝90× 33≈51.9(米)． ∴BC＝BD＋CD＝192.6＋51.9＝244.5≈245(米)．
A．800sin α 米 C.s8in00α米
B．800tan α 米 D．ta8n00α米
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12．如图，某高速公路设计中需要测量某条江的宽度 AB，测 量人员使用无人机测量，在 C 处测得 A，B 两点的俯角分别 为 45°和 30°.若无人机离地面的高度 CD 为 1 200 米，且点 A， B，D 在同一水平直线上，求这条江的宽度 AB 的长(结果保留 根号)．
答：河宽约为 81.96 米．
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13．如图，小明同学在东西方向的环海路 A 处，测得海中灯
塔 P 在北偏东 60°方向上，在 A 处正东 400 米的 B 处，测得
海中灯塔 P 在北偏东 30°方向上，则灯塔 P 到环海路的距离等
于( D )
A．400 米
B．(100＋100 3)米
C．200 5米
D．200 3米
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A.103 3米 C．5 3米
B．10 3米 D．20 米
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33 6．计算：cos 30°＋tan 60°＝ 2 . 7．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，AB＝2，则∠A＝
60 度．
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第二十八章 锐角三角 函数
知识点 1 三角函数的定义
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝3，则 BC＝ 4 ， 4
sin A＝ 5 .
2．如图，在 8×4 的矩形网格中，每格小正方形的边长都是 1，
若△ABC 的三个顶点在图中相应的格点上，则 tan∠ACB 的 1
值为 3 .
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10．如图，在△ABC 中，AD⊥BC，sin B＝45，BC＝13，AD ＝12，则 tan C 的值为 3 .
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11．计算：|－3|－12－1＋ 132－2cos 60°. 解：原式＝3－2＋2 33－2×12＝1＋2－1＝2.
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综合训练
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果 AC＝4，BC＝3，那么
∠A 的正切值为( A )
3 A.4
B．43
C．53
D．54
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2．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，如果∠A＝α，AB＝3，那么
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∴BD＝tan∠CDCBD＝1 2300＝1 200 3(米)． 3
∴AB＝BD－AD＝1 200 3－1 200＝1 200( 3－1)米． 故这条江的宽度 AB 长为 1 200( 3－1)米．
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3，∴A1.C5＝
3，解得
AC＝
3 2.
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8．如图，Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于 D，若 AC 3
＝4，BC＝3，则∠DCB 的正切值为 4 .
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知识点 3 解直角三角形 7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，且 sin A＝ 23，BC＝1.5， 求 AC 的长．
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解：∵∠C＝90°，且 sin A＝ 23，∴∠A＝60°，
∴tan A＝BACC＝
解：在 Rt△ABC 中，BC＝2，∠A＝30°，
AC＝taBnCA＝2 3，则 EF＝AC＝2 3，
∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝ 6，
∴AF＝AC－FC＝2 3－ 6.
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知识点 4 解直角三角形的应用
10．如图，为测量一棵与地面垂直的树 OA 的高度，在距离树
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解：如图，过 C 作 CE⊥AB 于 E，则 CE 为河宽．
设 CE＝x(米)，于是 BE＝x＋60(米)，
在 Rt△BCE 中，tan 30°＝CEEB，∴ 3x＝x＋60， ∴x＝30( 3＋1)≈81.96(米)．
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12．某数学兴趣小组想测量商丘电视台电视塔的高度，如图， 该小组在商丘电视塔 BC 前一座楼房楼顶 A 处所观测到电视塔 最高点 B 的仰角为 65°，电视塔最低点 C 的俯角为 30°，楼顶 A 与电视塔的水平距离 AD 为 90 米，求商丘电 视塔 BC 的高度(结果精确到 1 米；参考数据： 2≈1.41， 3≈1.73，sin 65°≈0.91， cos 65°≈0.42，tan 65°≈2.14)．
的底端 25 米的 B 处，测得树顶 A 的仰角∠ABO 为 α，则树
OA 的高度为( C )
A.ta2n5α米
B．25sin α 米
C．25tan α 米
D．25cos α 米
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11．如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道(点 A，B 在同一水平面上)．为了测量 A，B 两地之间的距离，一 架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处 观察 B 地的俯角为 α，则 A，B 两地之间的距离为( D )
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13．如图，某市某中学数学课外活动小组的同学，利用所学 知识去测量沱江流经该市某段的河宽．小凡同学在点 A 处观 测到对岸 C 点，测得∠CAD＝45°，又在距 A 处 60 米远的 B 处测得∠CBA＝30°，请你根据这些数据算出河宽是多少(精确 到 0.01 米；参考数据： 3≈1.732)?
AC 等于( B )
A．3sin α
B．3cos α
C.sin3 α
D．co3s α
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3．三角形在正方形网格纸中的位置如图所示，则 cos α 的值 是( D )
3 A.4
B．43
C．53
D．54
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8．如图，P 是∠α 的边 OA 上一点，过 P 作 PB⊥x 轴，垂足 2
为 B，OB＝2，PB＝ 5，则 cos α 等于 3 .
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9．如图是某幼儿园的滑滑梯的简易图，已知滑坡 AB 的坡度 是 1：3，滑坡的水平宽度是 6 m，则高 BC 为 2 m.
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解：如图，作 PD⊥AB 于 D.
设 BD＝x，则 AD＝x＋200.
∵∠EAP＝60°，∴∠PAB＝90°－60°＝30°.
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∵∠FBP＝45°PD 中，∠PAB＝30°，∴PD＝tan 30°·AD，
9．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副 三角板中，含 45°的三角板的斜边与含 30°的三角板的长直角 边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角 板直角顶点重合拼放在一起，点 B，C，E 在同一直线上，若 BC＝2，求 AF 的长．
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3．如图，在正方形网格中，∠AOB 如图放置，则 cos∠AOB 2
的值为 2 .
知识点 2 特殊角的三角函数值 4．计算：2cos 30°－tan 60°＋sin 30°＋12tan 45°. 解：原式＝2× 23－ 3＋21＋21＝1. 5．计算：4sin 30°－ 2cos 45°－ 3tan 30°＋2sin 60°.
解：原式＝4×12－ 2× 22－ 3× 33＋2× 23＝2－1－1＋ 3＝ 3.
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6．计算： tan 60°－12＋|1－cos 60°|－2tan 45°·sin 60°. 解：原式＝ 3－1＋1－12－2×1× 23＝－12.
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根据题意，得 BE＝24 mm，DF＝48 mm.
在 Rt△ ABE 中，sin α＝BAEB，
∴AB＝sinBE36°≈02.640＝40 mm.
在 Rt△ ADF 中，cos∠ADF＝DADF，
∴AD＝coDs F36°≈04.880＝60 mm. ∴矩形 ABCD 的周长＝2×(40＋60)＝200 mm.
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4．等边三角形的一个锐角的余弦值为( A )
A.21
B．
2 2
C．
3 2
D． 3
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5．如图，学校测量组在池塘边的 A 点处测得∠BAC＝90°，再 在距离 A 点 10 米的 C 处测得∠ACB＝60°.则 A，B 两点的距 离是( B )