牛顿--莱布尼茨公式

牛顿—莱布尼茨公式教案设计
学院：数学与统计学院
班级：2010级数学（2）班
姓名：***
牛顿—莱布尼茨公式教案设计
一、【教材分析】
1.教材来源：华东师大版数学分析上册（第三版）第九章.
2.教材的地位与作用：牛顿—莱布尼茨公式不仅为定积分计算提供一个有效地方
法，而且在理论上把定积分与不定积分联系起来.
二、【教学目标】
1.知识与技能；熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式，培养学生观察、分析、抽象、
概括的能力，体会知识间的联系，进一步渗透类比、转化的思维方法，激发学习兴趣.
2.过程与方法：根据大学生的心理素质，利用启发式教学，始终从问题出发，层层
设疑，引导学生在不断思考中获取知识.
3.情感、态度与价值观：提高观察、分析、抽象、概括的能力的同时，提高数形结
合的思想意识.
三、【教学重点】
熟练掌握与应用牛顿—莱布尼茨公式.
四、【教学难点】
1.利用牛顿—莱布尼茨公式求一些定积分的极限.
2.利用牛顿—莱布尼茨公式解决实际问题.
五、【教学过程】
针对数学专业大学生的知识结构和心理特征，本节课选择师生互动探索的方法进行教学。

教学过程的流程入下：
（一）复习旧知识，引入课题
复习—— 1.定积分的概念；2.定积分的几何意义；3.原函数的概念；4.导数的定义；5.积分中值定理（性质7）；6.不定积分的换元积分法；7.函数的定积分与什么量有关？与什么量无关?
引入——利用定积分的定义计算定积分的值是十分繁琐且易出错的，有时甚至无法计算。

下面将通过对定积分与原函数关系的讨论，导出一种计算定积分的简便有效的方法.
（二）创设情境，得到猜想
示例：变速直线运动中位置函数与速度(速率)函数的联系.
设物体作直线运动，已知已知速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数且v(t )≧0,求物体在这段时间内所经过的路程.
分析示例：
变速直线运动路程： , 另一方面路程可以表示为：
其中， 下面我们将时间段[T 1 ,T 2]任意做一个分割，得到：
如果我们考虑 黎曼和 其中 我们可以发现 和 之间能十分接近. 因此，速度v=v(t)是时间间隔[T 1,T 2]上t 的一个连续函数，且v(t )≧0, ，()s t 是()v t 的原函数，则物体在这段时间内经过的路程 是：
如果剔除问题的物理意义，将有一下猜想：
⎰2
1
)(T T dt
t v )()(12T s T s -).()()(122
1
T s T s dt t v T T -=∴
⎰
).
()(t v t s
='其中{}121,,
,,[,]
n i i i T t t ∆∆∆∆-==[]
[]211111
1
()()()()()(),,n
i i i n
n
i i i i i i i i i i s T s T s t s t s t v t t t η∆η∆η∆-=-==∴-=-'==∈=∑∑∑1
()n
i i i v t η∆=∑
1
()n
i i i v t ξ∆=∑2
1
()T T v t dt ⎰
[]
1,i i i i t t ξ∆-∈=1
()n
i i i v t ξ∆=∑()
()s t v t '=2
1
21()()()
T T v t dt s T s T =-⎰
命题 若函数f 在区间[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F'(x)= f(x) , x ∈[a,b ] ,则f 在[a,b]上可积，且
)()()(a F b F dx x f b
a
-=⎰
（三）验证猜想，得到定理
证明：有定积分的定义，任给0>∀ε,只需证0>∃δ，当||T||<0
时，有
ε
ξ<--∆
∑=n
i x i
a F
b F f i
1
)]()([)(.
事实上，对于[a,b]的任意分割T={a=x 1,x 2,...,x n =b},在每个小区间[x i-1,x i ]上对F(x)使用拉格朗日中值定理，则分别存在
使得,,...,2,1),,(1n i x x i i i =∈-η
i
n
i i i n
i i i n
i i x f x F x F x F a b F ∆=∆=-=-∑∑∑==-=)()()]()([)(F )(1
1
'11
ηη
、当对上述上连续，从而一致连续在因为',0,0.b][a,x f >∃>∀δε
有时且,||],['''''δ<-∈x x b a x
a b x f x f -|)(-)(|'
''ε
<
.
证得：
则有时，任取.||],,[1δξηξδ<-∈<<∆-i i i i i i x x T x
ε
ε
ηξηξξ∑∑∑∑=====∆≤
∆≤∆=-∆n
i i i
i i n
i i i i i i n
i x a
b x f f x f f a F b F x f 1
1
n
1i 1.-|)(-)(||
)](-)([||
)]()([-)(|
所以，f 在[a ,b ]上可积，则命题成立，成为定理.
定理 9.1 若函数f 在区间[a,b]上连续，且存在原函数F ，即F'(x)= f(x) ,
x ∈[a,b ] ,则f 在[a,b]上可积，且
)
()()(a F b F dx x f b
a
-=⎰
这成为牛顿-莱布尼茨公式，可以写成
.
|)()(b a b a x F dx x f f =
（四）反馈练习，巩固新知
例1.求
注：因为定积分是一类和式的极限，故可以借助于定积分来为某些特殊
的极限.
例2.计算曲线y=sinx 在],0[π上与x 轴所围成的平面图形的面积.
例3.用定积分求极限
)21...2111(lim n
n n n +++++∞→ 分析：解题要领主要是利用定积分来为极限的关键是把扫求极限转化成某函数的积分和的形式.
（五）总结反思，提炼精华
1.学生反思：本节课的学习有何收获？积极参与课堂活动了吗？
2.教师反思：课堂气氛？充分调动学生学习的兴趣了吗？ （六）、安排作业，课堂延伸
作业：习题第一题中的（2）、（4）、（6）、（8）；第二题中的（2）、（3）.
.
)1sin cos 2(2
0⎰π
-+dx x x。