《数学物理方法》第七章 贝塞尔函数
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24
§7.1.4 研究波的问题时，方程的通解常用汉克 尔函数表示 1.汉克尔函数的定义
既然Jv(x)和Nv(x)是贝塞尔方程的线性无关的
易见级数解y1(x)的收敛范围是0≤|x|<∞; 10
5. 另一个特解
同理，令r=r2=-v，可得另一特解
级数解y2(x)的收敛范围是0<|x|<∞
11
§7.1.2 当vn(整数)，方程的通解是贝塞尔函 数J±v(x)的线性组合 (1)贝塞尔函数J±v(x)的定义． 若在特解y1(x)中取
便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)，
若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节)
(7.1.10) (7.1.11)
12
图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。 实际上，当x→0时
因为当x → 0时，级数只保留n=0项．易见
23
(5) 结论． 当v不为整数和零时，由Nn(x)的定义式可见，
它是Jv(x)和J-v(x)的线性组合。 既然Jv(x)与J-v(x)线性无关，所以Nn(x)与
Jv(x)也是线性无关的。
由此可见，无论v是否整数和零，贝塞尔方程 的解均可表示为
y(x) = C1Jv(x)十C2Nv(x) (7.1.23)
①汪德新．理论物理学导论第二卷：电动力 学．北京：科学出版社，2005．157-163
②汪德新．理论物理学导论第三卷：量子力 学．武汉：湖北科学技术出版社，2003.316323
2
§7. 1 贝塞尔方程与贝塞尔函数
本节首先用级数解法求解贝塞 尔方程，得到两个特解 Jn(x)和J-n(x) ，称为第一类贝塞 尔函数，简称贝塞尔函数．
19
同理，由J-v(x)是贝塞尔方程的解
对v求导 (7.1.16)
20
(7.1.15)
(7.1.16) 用式(7.1.15)减去(-1)n乘式(7.1.16)，得
当v＝n时
当即v＝有n时x2NJnnʺ(x(x)=)+(-x1N)nnJʹ-(nx(x)+) (x(27-n.12).1N2n)(x)=为0 Nn(x)
当v不为整数时, Jv(x)与J-v(x)的行为完全不同, 是线 性无关的两个特解;故方程的通解是两者的线性组合
14
§7.1.3 无论v是否整数，方程的通解可表 示为Jv(x)与诺伊曼函数Nv(x)的线性组合
(1) 当v=n(整数)时, Jn(x)与J-n(x)是线性相关 的．在3.4节已证明 Jn(x)=(-1)nJ-n(x) (7.1.12)
16
当v=n(整数)时，诺伊曼函数的定义式是不定 式．利用洛必达法则，可以得到它的微分表 达式
(7.1.14)
17
图7.2给出自变量为实数时头几个Nn(x)的 函数曲线．
18
(3)诺伊曼函数是贝塞尔方程的解
贝塞尔函数Jv(x)是贝塞尔方程的解，将y=Jv(x) 代人式(7.1.1)，可得
对v求导，可得
22
诺伊曼函数在x=0点是无界的
将式(7.1.10)和式(7. 1. 11)代入式(7. 1. 14)，经
过繁杂的计算可得 ⇒当x→0时，无论n是否
为零，Nn(x)都是无界的
由此可见，当v为整数和零时，Nn(x)与Jn(x)
是线性无关的。贝塞尔方程的通解为
y(x) = C1Jn(x)十C2Nn(x) (7.1.22)
可见诺伊曼函数满足贝塞尔方程 .
21
(4) 诺伊曼函数Nn(x)与贝塞尔函数Jn(x)线性无关 为了证明这一点，只要考查x=0时两者的取值
即可．由式(7.1.10)
(7.1.10)
将x=0代入上式, 无论n是否为零, Jn(x)都是有界的 Jn(x) ＝1，当n=0 (7.1.17) Jn(x) ＝0，当n≥1 (7.1.18)
6
3.系数递推公式 为确定起见，令v＞0，并将r=r1=v ，代人方
程(7.1.3)，得
改变第二项的求和指标，可得
(7.1.5)
7
由x的同次幂系数之和为零
(7.16) (7.17) C0表示C2n，用C1表示C2n+1 (其中n=1,2,…)
8
4.由递推公式求系数得特解
9
将系数代入式(7.1.2)，即得贝塞尔方程的一 个特解
因而它们不能组合成通解，这时与Jv(x)线性无关的 特解可按式( 6.1.4)求得
但是用这个公式计算a与Dk通常是很麻烦的．人们 宁愿重新定义一个与Jn(x)线性无关的函数作为特解， 它就是诺伊曼函数．
15
(2)诺伊曼函数的定义及其微分表达式
诺伊曼函数的定义是
(7.1.13) 诺伊曼函数又称为第二类贝塞尔函数．
在不同情况下使用不同特解组成的通解．
4
§7.1.1贝塞尔方程的级数解
二阶线性齐次常微分方程 x2yʺ+xyʹ+(x2-v2)y＝0，0≤x≤b (7.1.1) 称为贝塞尔方程．
现在，在x=0的邻域求解贝塞尔方程． 1.级数解的形式 由p(x)=1/x, q(x)=1-v2/x2 , 可见, x=0是p(x)的
一阶极点，是q(x)的二阶极点．因此，x=0是 方程的正则奇点．方程的第一个解具有形式
5
2.指标方程
将式(7.1.2)代入方程(7.1.1) ，可得
由x的最低次幂xr的系数为零，即有 (r2-v2)C0=0
因C0 0，即得指标方程r2-v2=0．由此得指标 r1=v r2=-v (7.1.4)
Jn(x)和J-n(x)通过线性叠加得到第二类贝塞尔 函数Nn(x)，也称诺伊曼(Neumann)函数．
Jn(x)和Nn(x)的线性叠加还可得到第三类贝塞 尔函数Hn(1)(x) , Hn(2)(x)，也称汉克尔(Hankel ) 函数．
Jn(x),J-n(x),Nn(x), Hn(1)(x)和Hn(2)(x)都是贝塞 尔方程的特解．
第七章 贝塞尔函数
本章介绍贝塞尔方程、虚宗量贝塞尔方 程及球贝塞尔方程的解; 它们解的微分与积分表达式,递推公式、 渐近公式; *贝塞尔方程本征函数的正交性、正交 归一关系式与完备性等; *在此基础上，还介绍了平面波分别按 柱面波和球面波的展开．
本章的内容在电动力学(如光导波的电磁结构 ①)及量子力学(如弹性散射中的分波法②)中 均有重要应用．
§7.1.4 研究波的问题时，方程的通解常用汉克 尔函数表示 1.汉克尔函数的定义
既然Jv(x)和Nv(x)是贝塞尔方程的线性无关的
易见级数解y1(x)的收敛范围是0≤|x|<∞; 10
5. 另一个特解
同理，令r=r2=-v，可得另一特解
级数解y2(x)的收敛范围是0<|x|<∞
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§7.1.2 当vn(整数)，方程的通解是贝塞尔函 数J±v(x)的线性组合 (1)贝塞尔函数J±v(x)的定义． 若在特解y1(x)中取
便得到v阶贝塞尔函数(3.4节)，
若在特解y2(x)中取 即得一阶贝塞尔函数(3.4节)
(7.1.10) (7.1.11)
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图7.1 自变量为实数时头几个Jv(x)的函时Jv(x)与J-v(x)是线性无关的。 实际上，当x→0时
因为当x → 0时，级数只保留n=0项．易见
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(5) 结论． 当v不为整数和零时，由Nn(x)的定义式可见，
它是Jv(x)和J-v(x)的线性组合。 既然Jv(x)与J-v(x)线性无关，所以Nn(x)与
Jv(x)也是线性无关的。
由此可见，无论v是否整数和零，贝塞尔方程 的解均可表示为
y(x) = C1Jv(x)十C2Nv(x) (7.1.23)
①汪德新．理论物理学导论第二卷：电动力 学．北京：科学出版社，2005．157-163
②汪德新．理论物理学导论第三卷：量子力 学．武汉：湖北科学技术出版社，2003.316323
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§7. 1 贝塞尔方程与贝塞尔函数
本节首先用级数解法求解贝塞 尔方程，得到两个特解 Jn(x)和J-n(x) ，称为第一类贝塞 尔函数，简称贝塞尔函数．
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同理，由J-v(x)是贝塞尔方程的解
对v求导 (7.1.16)
20
(7.1.15)
(7.1.16) 用式(7.1.15)减去(-1)n乘式(7.1.16)，得
当v＝n时
当即v＝有n时x2NJnnʺ(x(x)=)+(-x1N)nnJʹ-(nx(x)+) (x(27-n.12).1N2n)(x)=为0 Nn(x)
当v不为整数时, Jv(x)与J-v(x)的行为完全不同, 是线 性无关的两个特解;故方程的通解是两者的线性组合
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§7.1.3 无论v是否整数，方程的通解可表 示为Jv(x)与诺伊曼函数Nv(x)的线性组合
(1) 当v=n(整数)时, Jn(x)与J-n(x)是线性相关 的．在3.4节已证明 Jn(x)=(-1)nJ-n(x) (7.1.12)
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当v=n(整数)时，诺伊曼函数的定义式是不定 式．利用洛必达法则，可以得到它的微分表 达式
(7.1.14)
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图7.2给出自变量为实数时头几个Nn(x)的 函数曲线．
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(3)诺伊曼函数是贝塞尔方程的解
贝塞尔函数Jv(x)是贝塞尔方程的解，将y=Jv(x) 代人式(7.1.1)，可得
对v求导，可得
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诺伊曼函数在x=0点是无界的
将式(7.1.10)和式(7. 1. 11)代入式(7. 1. 14)，经
过繁杂的计算可得 ⇒当x→0时，无论n是否
为零，Nn(x)都是无界的
由此可见，当v为整数和零时，Nn(x)与Jn(x)
是线性无关的。贝塞尔方程的通解为
y(x) = C1Jn(x)十C2Nn(x) (7.1.22)
可见诺伊曼函数满足贝塞尔方程 .
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(4) 诺伊曼函数Nn(x)与贝塞尔函数Jn(x)线性无关 为了证明这一点，只要考查x=0时两者的取值
即可．由式(7.1.10)
(7.1.10)
将x=0代入上式, 无论n是否为零, Jn(x)都是有界的 Jn(x) ＝1，当n=0 (7.1.17) Jn(x) ＝0，当n≥1 (7.1.18)
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3.系数递推公式 为确定起见，令v＞0，并将r=r1=v ，代人方
程(7.1.3)，得
改变第二项的求和指标，可得
(7.1.5)
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由x的同次幂系数之和为零
(7.16) (7.17) C0表示C2n，用C1表示C2n+1 (其中n=1,2,…)
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4.由递推公式求系数得特解
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将系数代入式(7.1.2)，即得贝塞尔方程的一 个特解
因而它们不能组合成通解，这时与Jv(x)线性无关的 特解可按式( 6.1.4)求得
但是用这个公式计算a与Dk通常是很麻烦的．人们 宁愿重新定义一个与Jn(x)线性无关的函数作为特解， 它就是诺伊曼函数．
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(2)诺伊曼函数的定义及其微分表达式
诺伊曼函数的定义是
(7.1.13) 诺伊曼函数又称为第二类贝塞尔函数．
在不同情况下使用不同特解组成的通解．
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§7.1.1贝塞尔方程的级数解
二阶线性齐次常微分方程 x2yʺ+xyʹ+(x2-v2)y＝0，0≤x≤b (7.1.1) 称为贝塞尔方程．
现在，在x=0的邻域求解贝塞尔方程． 1.级数解的形式 由p(x)=1/x, q(x)=1-v2/x2 , 可见, x=0是p(x)的
一阶极点，是q(x)的二阶极点．因此，x=0是 方程的正则奇点．方程的第一个解具有形式
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2.指标方程
将式(7.1.2)代入方程(7.1.1) ，可得
由x的最低次幂xr的系数为零，即有 (r2-v2)C0=0
因C0 0，即得指标方程r2-v2=0．由此得指标 r1=v r2=-v (7.1.4)
Jn(x)和J-n(x)通过线性叠加得到第二类贝塞尔 函数Nn(x)，也称诺伊曼(Neumann)函数．
Jn(x)和Nn(x)的线性叠加还可得到第三类贝塞 尔函数Hn(1)(x) , Hn(2)(x)，也称汉克尔(Hankel ) 函数．
Jn(x),J-n(x),Nn(x), Hn(1)(x)和Hn(2)(x)都是贝塞 尔方程的特解．
第七章 贝塞尔函数
本章介绍贝塞尔方程、虚宗量贝塞尔方 程及球贝塞尔方程的解; 它们解的微分与积分表达式,递推公式、 渐近公式; *贝塞尔方程本征函数的正交性、正交 归一关系式与完备性等; *在此基础上，还介绍了平面波分别按 柱面波和球面波的展开．
本章的内容在电动力学(如光导波的电磁结构 ①)及量子力学(如弹性散射中的分波法②)中 均有重要应用．