形式语言与自动机理论(一)(精)
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3.2 有限状态自动机的形式定义 （4）到达某状态的字符串集合 定义：设 FA M=(Q,,,q0,F)， 对 qQ 能从开始状态到达所输 入的字符串集合为： set(q)={x|x*,并且(q0,x)= q}
第三章 有限状态自动机
3.2 有限状态自动机的形式定义 （5）有限状态自动机等价
第三章 有限状态自动机
3.1 有限状态系统
3.2 有限状态自动机的形式定义
（１）形式定义 定义：有限状态自动机（finite automaton,FA）是 一个五元组：Ｍ=(Q,,,q0,F) 其中， Q：非空有限状态集合； ：有限输入字母表； ：状态转换函数；：QQ；（DFA） q0：q0Q,是Ｍ的初始状态； F：FQ 是Ｍ的终止状态集。
形式语言与自动机理论
山东大学计算机科学与技术学院 2010年3月
参考教材
1、形式语言与自动机理论
作者：蒋宗礼、姜守旭 出版社：清华大学出版社
2、An Introduction to Formal Languages and Automata (Third Edition)
作者：Peter Linz 出版社：机械工业出版社
(3) 2 型文法 （上下文无关文法） 对P,都有||||，并且V CFG (context free grammar) CFL (context free language)
第二章 文法
2.4ຫໍສະໝຸດ Baidu文法的类型 2.4.1 Chomsky 体系 (4) 3 型文法 （正规文法、正则文法） 对P,有以下形式： AwB,Aw or ABw,Aw 其中 A,BV, wT+ RG (regular grammar) RL (regular language)
第二章 文法
2.4 文法的类型 2.4.1 Chomsky 体系 (2) 1 型文法 （上下文有关文法） 对P,都有|||| CSG (context sensitive grammar) CSL (context sensitive language)
第二章 文法
2.4 文法的类型 2.4.1 Chomsky 体系
如果 a b，则称 b 在文法G中直 接归约成a，简称为归约。
第二章 文法
2.2 文法的形式定义 2.2.3 语言
定义：设文法 G = (V,T,P,S)。对 (VT)*， 如果S()* , 则为文法G的一个句型； 若对wT*，如果 S()* w，则 w 称为由 G 产生的一个句子。 称 L(G)={w| w T*, S()* w}为文法 G 产 生的语言。
第二章 文法
2.3 文法的构造 例1：构造文法 G，使 L(G)={0,1,00,11}
定义：假设 G1,G2 是文法，如果 L(G1)=L(G2)， 则称 G1,G2 是等价的。
第二章 文法
2.3 文法的构造
例2：构造文法 G，使
(1) L(G)={0n|n0} (2) L(G)={0n|n1} (3) L(G)={0n1n|n0} (4) L(G)={0n1n|n1} (5) L(G)={0n1n+1|n0} (6) L(G)={0n1n2n|n1}
第三章 有限状态自动机
3.1 有限状态系统
3.2 有限状态自动机的形式定义 例如：假设DFA M =(Q,,,q0,F)。其中 Q={q0,q1,q2,q3}， ={a,b}，F={q3}
: (q0 , a) q1 (q1 , a) q3 (q2 , a) q2 (q3 , a) (q0 , b) q2 (q1 , b) q1 (q2 , b) q3 (q3 , b)
第二章 文法
2.4 文法的类型 2.4.2 正规文法和正规语言
定理：L 是 RL 的充分必要条件是存在一 个文法，该文法产生语言L,并且产生式 的形式是：
AaB,Aa or ABa,Aa 其中 A,BV, aT.
第二章 文法
2.4 文法的类型
2.5 空语句 定义：假设G=(V,T,P,S)是一个文法。如 果 S 不出现在 G 的任何产生式的右部， 则P{S}所形成的文法仍然是与G 等价的相应类型的文法，所产生的语言 是相应类型的语言。
第一章 绪论
1.4 语言
1.4.3 基本概念
语言描述的三种途径：
（1）穷举法：只适合句子数目有效的语言。
（2）语法描述：生成语言中合格的句子。
（3）自动机：对输入的句子进行检验，区别哪 些是语言中的句子，哪些不是语言中的句子。
第一章 绪论
1.4 语言
1.4.3 基本概念
（1）符号
（2）字母表
算法和复杂性理论；
数据结构和数据库；
人工智能；
人机交互和人机界面。
第一章 绪论
计算机科学
理论计算机科学
①自动机论与形式语言理论；②程序理论（包括程序
正确性证明、程序验证等）；③形式语义学；④算法 分析和计算复杂性理论。
实验计算机科学
第一章 绪论
1.4 语言 1.4.1 语言的非形式和形式定义 Webster 定义： 为相当大的团体的人所懂得,并使的 字和组合这些字的方法的统一体。
第三章 有限状态自动机
3.3 非确定的有限自动机(NFA)
状态转换函数 ：Qp(Q)，对qQ ˆ(q, ) (q, ) {q} ①对* ②对a,w*有 ˆ(q, wa) { p | r ˆ(q, w),使p (r, a)}
假设 M1,M2 是 FA， 如果 L(M1)=L(M2)，则 M1 与 M2 等价。
第三章 有限状态自动机
3.3 非确定的有限自动机(NFA) （1）形式定义
定义：非确定有限自动机（non-deterministic finite automaton,NFA）是一个五元组： Ｍ=(Q,,,q0,F) 其中，Q、、q0、F的定义与在FA中的定义相同； ：状态转换函数， ：Qp(Q) 即对(q,a) Q (q,a)={p1,p2,…,pm}Q
设计 考虑有以下状态： （1）到此为止读入偶数个 （2）到此为止读入奇数个 （3）到此为止读入偶数个 （4）到此为止读入奇数个 a a a a 和偶数个 和偶数个 和奇数个 和奇数个 b; b; b; b;
第三章 有限状态自动机
3.2 有限状态自动机的形式定义 （２）设计有限状态自动机 例２：设计一台有限状态自动机，识别含有 00 作为子串的所有{0,1}上的字符串组成的语言。
第一章 绪论
1.4 语言 1.4.1 语言的非形式和形式定义
Chomsky 定义： 按照一定规律构成的句子和符号串的有限或无 限的集合。 吴天蔚 定义： 语言可以被看成一个抽象的数学系统。（1994）
(信息产业部计算机与微电子发展研究中心)
第一章 绪论
1.4 语言
1.4.2 形式语言和自动机理论的产生和作用
3、Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation (Second Edition)
作者：John E.Hopcroft,Rajeev Motwani,Jeffrey D.Ullman 出版社：清华大学出版社
第一章 绪论
计算机科学研究的课题是： 可计算性；
ˆ(q, wa) ( ˆ(q, w), a) (2)
当 w 时， ˆ(q, wa) ˆ(q, a) ( ˆ(q, ), a) (q, a)
第三章 有限状态自动机
3.2 有限状态自动机的形式定义 （２）设计有限状态自动机
例１：构造一台有限状态自动机，它能够识别 所有由奇数个ａ和奇数个ｂ组成的字符串。
第三章 有限状态自动机
3.3 非确定的有限自动机(NFA)
例：设计一台NFA，使它能够接受0，1形成 的字符串且该字符串的最后两位是01。
第二章 文法
〈句子〉 〈主语〉 〈名词短语〉 〈谓语〉 〈动宾短语〉
〈名词〉 王平
〈连词〉 和
〈名词短语〉 〈名词〉 李新
〈动词〉 是
〈宾语〉 〈名词〉 大学生
该文法也能产生: 王平是大学生；李新和王平是大学生；王平和大学生是李新；王平和 王平和王平是王平 等句子。
第二章 文法
2.2 文法的形式定义 2.2.1 定义
第二章 文法
2.4 文法的类型 2.4.1 Chomsky 体系 (1) 0 型文法 (短语结构文法) 对产生式不做任何限制 PSG (phrase structure grammar) PSL (phrase structure language) RE (recursively enumerable )
ˆ(q, w), a) (
ˆ ( q , w) r
(r , a)
qP
③对PQ ( P, w) (q, w)
第三章 有限状态自动机
3.3 非确定的有限自动机(NFA) （1）形式定义
非确定的有限自动机(NFA M)所 接受的语言:
* ˆ L(M ) {w | (q0 , w) F , w }
第三章 有限状态自动机
3.2 有限状态自动机的形式定义 （3）即时描述（瞬时描述、格局） 定义：设 M=(Q,,,q0,F)是一个FA, x,y*,(q0,x)= q。 则 xqy 称为 M 的一个即时描述 (instantaneous description,ID)。
第三章 有限状态自动机
文法 G 是一个4元组 G = (V, T, P, S) 其中：（1）V 是非终结符非空有限集合； （2）T 是终结符的非空有限集合； 并且V T = F； （3）P 是产生式的非空有限集合； （4）S V 是文法G的开始符。
第二章 文法
2.2 文法的形式定义 2.2.2 推导和归约
定义：假设 G = (V, T, P, S) 是一个文法。 如果 a b P, 并且 ,(VT）*，则 称 a 直接推导出 b，记为：a b
①乘积运算 字母表的运算 ②幂运算 ③闭包运算
（3）字符串
（4）语言
第二章 文法
2.1 文法的引入
例1 汉语中的句子：王平和李新是大学生。
它由两个短语组成： 〈主语〉 王平和李新
〈谓语〉 是大学生
该句子可以应用下列规则构成：
第二章 文法
1．〈句子〉→〈主语〉〈谓语〉 2．〈主语〉→〈名词短语〉 3．〈名词短语〉→〈名词〉 4．〈名词短语〉→〈名词〉〈连接词〉〈名词短语〉 5. 〈名词〉→王平 6. 〈名词〉→李新 7. 〈连词〉→和 8. 〈谓语〉→〈动宾短语〉 9．〈动宾短语〉→〈动词〉〈宾语〉 10.〈动词〉→是 11.〈宾语〉→〈名词〉 12.〈名词〉→大学生
设计 考虑以下状态： （1）开始状态，什么都没有输入或者输入 1； （2）接收到的符号是 0； （3）接收到的符号是 00；
第三章 有限状态自动机
3.2 有限状态自动机的形式定义 （２）设计有限状态自动机 例3：设计一个DFA M，它能识别所有能被 3 整除的十进制数。
设计 可以考虑有以下情况： （1）已输入的数字与上一余数之和被 3 除余 0； （2）已输入的数字与上一余数之和被 3 除余 1； （3）已输入的数字与上一余数之和被 3 除余 2；
（1）产生过程
形式语言的产生过程
自动机的产生过程
（2）作用
第一章 绪论
1.4 语言
1.4.3 基本概念 形式语言的直观意义 形式语言是用来精确描述语言（包括人工 语言和自然语言）及其结构的手段。形式语言
学也称代数语言学。
第一章 绪论
1.4 语言
1.4.3 基本概念 对语言研究的主要方面： （1）表示 （2）有穷描述 （3）语言的结构
L(M ) {abn a, banb | n 0}
第三章 有限状态自动机
3.1 有限状态系统
3.2 有限状态自动机的形式定义
ˆ : Q * Q 输入字符串时，转换函数为：
其定义为：对 q Q, w * , a (1) 对
ˆ(q, ) q * ，有
第三章 有限状态自动机
3.2 有限状态自动机的形式定义 （5）有限状态自动机等价
第三章 有限状态自动机
3.1 有限状态系统
3.2 有限状态自动机的形式定义
（１）形式定义 定义：有限状态自动机（finite automaton,FA）是 一个五元组：Ｍ=(Q,,,q0,F) 其中， Q：非空有限状态集合； ：有限输入字母表； ：状态转换函数；：QQ；（DFA） q0：q0Q,是Ｍ的初始状态； F：FQ 是Ｍ的终止状态集。
形式语言与自动机理论
山东大学计算机科学与技术学院 2010年3月
参考教材
1、形式语言与自动机理论
作者：蒋宗礼、姜守旭 出版社：清华大学出版社
2、An Introduction to Formal Languages and Automata (Third Edition)
作者：Peter Linz 出版社：机械工业出版社
(3) 2 型文法 （上下文无关文法） 对P,都有||||，并且V CFG (context free grammar) CFL (context free language)
第二章 文法
2.4ຫໍສະໝຸດ Baidu文法的类型 2.4.1 Chomsky 体系 (4) 3 型文法 （正规文法、正则文法） 对P,有以下形式： AwB,Aw or ABw,Aw 其中 A,BV, wT+ RG (regular grammar) RL (regular language)
第二章 文法
2.4 文法的类型 2.4.1 Chomsky 体系 (2) 1 型文法 （上下文有关文法） 对P,都有|||| CSG (context sensitive grammar) CSL (context sensitive language)
第二章 文法
2.4 文法的类型 2.4.1 Chomsky 体系
如果 a b，则称 b 在文法G中直 接归约成a，简称为归约。
第二章 文法
2.2 文法的形式定义 2.2.3 语言
定义：设文法 G = (V,T,P,S)。对 (VT)*， 如果S()* , 则为文法G的一个句型； 若对wT*，如果 S()* w，则 w 称为由 G 产生的一个句子。 称 L(G)={w| w T*, S()* w}为文法 G 产 生的语言。
第二章 文法
2.3 文法的构造 例1：构造文法 G，使 L(G)={0,1,00,11}
定义：假设 G1,G2 是文法，如果 L(G1)=L(G2)， 则称 G1,G2 是等价的。
第二章 文法
2.3 文法的构造
例2：构造文法 G，使
(1) L(G)={0n|n0} (2) L(G)={0n|n1} (3) L(G)={0n1n|n0} (4) L(G)={0n1n|n1} (5) L(G)={0n1n+1|n0} (6) L(G)={0n1n2n|n1}
第三章 有限状态自动机
3.1 有限状态系统
3.2 有限状态自动机的形式定义 例如：假设DFA M =(Q,,,q0,F)。其中 Q={q0,q1,q2,q3}， ={a,b}，F={q3}
: (q0 , a) q1 (q1 , a) q3 (q2 , a) q2 (q3 , a) (q0 , b) q2 (q1 , b) q1 (q2 , b) q3 (q3 , b)
第二章 文法
2.4 文法的类型 2.4.2 正规文法和正规语言
定理：L 是 RL 的充分必要条件是存在一 个文法，该文法产生语言L,并且产生式 的形式是：
AaB,Aa or ABa,Aa 其中 A,BV, aT.
第二章 文法
2.4 文法的类型
2.5 空语句 定义：假设G=(V,T,P,S)是一个文法。如 果 S 不出现在 G 的任何产生式的右部， 则P{S}所形成的文法仍然是与G 等价的相应类型的文法，所产生的语言 是相应类型的语言。
第一章 绪论
1.4 语言
1.4.3 基本概念
语言描述的三种途径：
（1）穷举法：只适合句子数目有效的语言。
（2）语法描述：生成语言中合格的句子。
（3）自动机：对输入的句子进行检验，区别哪 些是语言中的句子，哪些不是语言中的句子。
第一章 绪论
1.4 语言
1.4.3 基本概念
（1）符号
（2）字母表
算法和复杂性理论；
数据结构和数据库；
人工智能；
人机交互和人机界面。
第一章 绪论
计算机科学
理论计算机科学
①自动机论与形式语言理论；②程序理论（包括程序
正确性证明、程序验证等）；③形式语义学；④算法 分析和计算复杂性理论。
实验计算机科学
第一章 绪论
1.4 语言 1.4.1 语言的非形式和形式定义 Webster 定义： 为相当大的团体的人所懂得,并使的 字和组合这些字的方法的统一体。
第三章 有限状态自动机
3.3 非确定的有限自动机(NFA)
状态转换函数 ：Qp(Q)，对qQ ˆ(q, ) (q, ) {q} ①对* ②对a,w*有 ˆ(q, wa) { p | r ˆ(q, w),使p (r, a)}
假设 M1,M2 是 FA， 如果 L(M1)=L(M2)，则 M1 与 M2 等价。
第三章 有限状态自动机
3.3 非确定的有限自动机(NFA) （1）形式定义
定义：非确定有限自动机（non-deterministic finite automaton,NFA）是一个五元组： Ｍ=(Q,,,q0,F) 其中，Q、、q0、F的定义与在FA中的定义相同； ：状态转换函数， ：Qp(Q) 即对(q,a) Q (q,a)={p1,p2,…,pm}Q
设计 考虑有以下状态： （1）到此为止读入偶数个 （2）到此为止读入奇数个 （3）到此为止读入偶数个 （4）到此为止读入奇数个 a a a a 和偶数个 和偶数个 和奇数个 和奇数个 b; b; b; b;
第三章 有限状态自动机
3.2 有限状态自动机的形式定义 （２）设计有限状态自动机 例２：设计一台有限状态自动机，识别含有 00 作为子串的所有{0,1}上的字符串组成的语言。
第一章 绪论
1.4 语言 1.4.1 语言的非形式和形式定义
Chomsky 定义： 按照一定规律构成的句子和符号串的有限或无 限的集合。 吴天蔚 定义： 语言可以被看成一个抽象的数学系统。（1994）
(信息产业部计算机与微电子发展研究中心)
第一章 绪论
1.4 语言
1.4.2 形式语言和自动机理论的产生和作用
3、Introduction to Automata Theory, Languages, and Computation (Second Edition)
作者：John E.Hopcroft,Rajeev Motwani,Jeffrey D.Ullman 出版社：清华大学出版社
第一章 绪论
计算机科学研究的课题是： 可计算性；
ˆ(q, wa) ( ˆ(q, w), a) (2)
当 w 时， ˆ(q, wa) ˆ(q, a) ( ˆ(q, ), a) (q, a)
第三章 有限状态自动机
3.2 有限状态自动机的形式定义 （２）设计有限状态自动机
例１：构造一台有限状态自动机，它能够识别 所有由奇数个ａ和奇数个ｂ组成的字符串。
第三章 有限状态自动机
3.3 非确定的有限自动机(NFA)
例：设计一台NFA，使它能够接受0，1形成 的字符串且该字符串的最后两位是01。
第二章 文法
〈句子〉 〈主语〉 〈名词短语〉 〈谓语〉 〈动宾短语〉
〈名词〉 王平
〈连词〉 和
〈名词短语〉 〈名词〉 李新
〈动词〉 是
〈宾语〉 〈名词〉 大学生
该文法也能产生: 王平是大学生；李新和王平是大学生；王平和大学生是李新；王平和 王平和王平是王平 等句子。
第二章 文法
2.2 文法的形式定义 2.2.1 定义
第二章 文法
2.4 文法的类型 2.4.1 Chomsky 体系 (1) 0 型文法 (短语结构文法) 对产生式不做任何限制 PSG (phrase structure grammar) PSL (phrase structure language) RE (recursively enumerable )
ˆ(q, w), a) (
ˆ ( q , w) r
(r , a)
qP
③对PQ ( P, w) (q, w)
第三章 有限状态自动机
3.3 非确定的有限自动机(NFA) （1）形式定义
非确定的有限自动机(NFA M)所 接受的语言:
* ˆ L(M ) {w | (q0 , w) F , w }
第三章 有限状态自动机
3.2 有限状态自动机的形式定义 （3）即时描述（瞬时描述、格局） 定义：设 M=(Q,,,q0,F)是一个FA, x,y*,(q0,x)= q。 则 xqy 称为 M 的一个即时描述 (instantaneous description,ID)。
第三章 有限状态自动机
文法 G 是一个4元组 G = (V, T, P, S) 其中：（1）V 是非终结符非空有限集合； （2）T 是终结符的非空有限集合； 并且V T = F； （3）P 是产生式的非空有限集合； （4）S V 是文法G的开始符。
第二章 文法
2.2 文法的形式定义 2.2.2 推导和归约
定义：假设 G = (V, T, P, S) 是一个文法。 如果 a b P, 并且 ,(VT）*，则 称 a 直接推导出 b，记为：a b
①乘积运算 字母表的运算 ②幂运算 ③闭包运算
（3）字符串
（4）语言
第二章 文法
2.1 文法的引入
例1 汉语中的句子：王平和李新是大学生。
它由两个短语组成： 〈主语〉 王平和李新
〈谓语〉 是大学生
该句子可以应用下列规则构成：
第二章 文法
1．〈句子〉→〈主语〉〈谓语〉 2．〈主语〉→〈名词短语〉 3．〈名词短语〉→〈名词〉 4．〈名词短语〉→〈名词〉〈连接词〉〈名词短语〉 5. 〈名词〉→王平 6. 〈名词〉→李新 7. 〈连词〉→和 8. 〈谓语〉→〈动宾短语〉 9．〈动宾短语〉→〈动词〉〈宾语〉 10.〈动词〉→是 11.〈宾语〉→〈名词〉 12.〈名词〉→大学生
设计 考虑以下状态： （1）开始状态，什么都没有输入或者输入 1； （2）接收到的符号是 0； （3）接收到的符号是 00；
第三章 有限状态自动机
3.2 有限状态自动机的形式定义 （２）设计有限状态自动机 例3：设计一个DFA M，它能识别所有能被 3 整除的十进制数。
设计 可以考虑有以下情况： （1）已输入的数字与上一余数之和被 3 除余 0； （2）已输入的数字与上一余数之和被 3 除余 1； （3）已输入的数字与上一余数之和被 3 除余 2；
（1）产生过程
形式语言的产生过程
自动机的产生过程
（2）作用
第一章 绪论
1.4 语言
1.4.3 基本概念 形式语言的直观意义 形式语言是用来精确描述语言（包括人工 语言和自然语言）及其结构的手段。形式语言
学也称代数语言学。
第一章 绪论
1.4 语言
1.4.3 基本概念 对语言研究的主要方面： （1）表示 （2）有穷描述 （3）语言的结构
L(M ) {abn a, banb | n 0}
第三章 有限状态自动机
3.1 有限状态系统
3.2 有限状态自动机的形式定义
ˆ : Q * Q 输入字符串时，转换函数为：
其定义为：对 q Q, w * , a (1) 对
ˆ(q, ) q * ，有