【高中数学】圆锥曲线大题十个大招
圆锥曲线是高中数学必考考点，13种常见大题题型及解题模板总结
圆锥曲线是高中数学必考考点，13种常见大题题型及解题模板
总结
圆锥曲线历来都是高中数学必考的大考点！大部分要冲刺高分的学生都会再圆锥曲线丢分！其实圆锥曲线再怎么变形题目，都少不了基础的巩固和突破！
其中最需要巩固就算基础性质的总结！能够吃透好课本上每一个圆锥曲线的基础知识点，能灵活运用起来就能够很快掌握相关题型的考点考法，从而进行轻松解题！
而题型的总结是圆锥曲线最快的提升的方法，特别是这13种典型的圆锥曲线常见大题考法的题型！对其中的大题的考题的得分规律和解题的思维一定要多吃透一下，能够举一反三下来，就基本上突破好圆锥曲线了！
下面是洪老师高考必备资料库，高中数学圆锥曲线13种常见大题题型及解题模板总结！
完整版的圆锥曲线113种常见大题题型及解题模板总结，可关注一下后呢，然后嗯看下到下私信，那里回下：013。
圆锥曲线经典解题大招含解析
学渣逆袭，学霸无敌——圆锥曲线经典解题大招目录CONTENTS 第一讲定义与焦点三角形 (3)第二讲焦半径 (16)第三讲切线的光学性质 (32)第四讲点差法和直径 (41)第五讲定比点差法和极点极线 (72)第六讲三大模型处理定点问题 (85)第七讲定点问题的性质 (102)第八讲定值问题（1） (117)第九讲定值问题（2） (125)第十讲四点共圆类问题 (132)212NF NF NF +2PQ QN =，那么002,3x x y y ==)()(2231y y +=12PF PF ⋅等于，因为12F PF △的面积为2tantan 22θθ=1212cos PF PF PF PF ⋅=⋅⋅1212cos PF PF PF PF ⋅=⋅⋅2=，则AF=（FA FB3B．2AF=2这里还有一种处理方法是先求出根据三角形相似求出=可以求得3FA FB(0AF FB λλ=＞3=，则AF FB =知，AA3AF FB根据同角三角函数关系可得=，于是有AF FB3化简得=，所以AF FB3=，所以AF FB312BF FD =，则的倾斜角为θ，由【性质cos θ=ab (,BFc =-(FD x =-2BF FD =3)22c x c x c y b y ⎧=⎪-⎧⎪⇒⎨⎨-⎪=-⎪⎩2BF FD =，得1||OF DD =1DD =4=，则AF FBC．85】非常相似，这里只写一种做法0PA PB ⋅=，即((1112PA PB x x x x x x ⋅=-=-=-212,y y +代入上式化简得6,3⎛+∞ ⎝，直线l 的斜率为】或由点差法结论可得k k ⋅6,3⎛+∞ ⎝。
高考数学大招秒杀压轴版
超强圆锥曲线结论总结结论1:过圆2222x y a +=上任意点P 作圆222x y a +=的两条切线,则两条切线垂直.结论2:过圆2222x y a b +=+上任意点P 作⿰木阴圆22221(0)x y a b a b+=>>的两条切线,则两条切线垂直.结论3:过圆2222(0)x y a b a b +=->>上任意点P 作双曲线22221x y a b-=的两条切线,则两条切线垂直.结论4:过圆222x y a +=上任意不同两点,A B 作圆的切线,如果切线垂直且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆:2222x y a +=.结论5:过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任意不同两点,A B 作椭圆的切线,如果切线垂直且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆2222x y a b +=+.结论6:过双曲线22221(0)x y a b a b-=>>上任意不同两点,A B 作双曲线的切线,如果切线垂直.且相交于P ,则动点P 的轨迹为圆2222x y a b +=-.结论7：点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上,过点M 作椭圆的切线方程为00221x x y ya b+= 结论8:点()00,M x y 在椭圆22221 0x y a b a b+=>>（）外,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为 ,A B 则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b+=. 结论8:(补充)点()00,M x y 在椭圆22221 0x y a b a b+=>>（）内,过点M 作椭圆的弦AB (不过椭圆中心),分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:00221x x y ya b+=. 结论9:点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上,过点M 作双曲线的切线方程为00221x x y ya b-= 结论10:点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外,过点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为00221x x y ya b-=. 结论10:（补充）点()00,M x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>内，过点M 作双曲线的弦AB (不过双曲线中心),分别过,A B 作双曲线的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:00221x x y ya b-= 结论11:点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>上,过点M 作抛物线的切线方程为()00y y p x x =+.结论12:点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>外，过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()00y y p x x =+.结论12:（补充）点()00,M x y 在抛物线22(0)y px p =>内，过点M 作抛物线的弦AB ,分别过,A B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()00y y p x x =+.结论13:点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b--+=上,过点M 作椭圆的切线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b ----+=结论14:点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b---=上,过点M 作双曲线的切线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b -----=结论15:点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-上,过点M 作抛物线的切线方程为()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论16:点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b --+=外,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()()0022()()1x m x m y n y n a b ----+=.结论17:点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b---=外,过点M 作双曲线的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线方程为()()0022()() 1.x m x m y n y n ab-----=结论18:点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-外,过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线方程为()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论16:（补充）点()00,M x y 在椭圆2222()()1x m y n a b --+=内，过点M 作椭圆的弦AB （不过椭圆中心）,分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()0022()()1x m x m y n y n ab----+=.结论17:(补充)点()00,M x y 在双曲线2222()()1x m y n a b ---=内,过点M 作双曲线的弦AB (不过双曲线中心),分别过,A B 作双曲线的切线,则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()0022()()1x m x m y n y n ab-----=结论18:(补充)点()00,M x y 在抛物线2()2()y n p x m -=-内,过点M 作抛物线的弦AB ,分别过,A B 作抛物线的切线，则两条切线的交点P 的轨迹方程为直线:()()00()2y n y n p x x m --=+-.结论19:过椭圆准线上一点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ,且MF 垂直切点弦AB .结论20:过双曲线准线上一点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B 则切点弦AB 的直线必过相应的焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论21:过抛物线准线上一点M 作抛物线的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 的直线必过焦点F ，且MF 垂直切点弦AB .结论22:AB 为椭圆的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论23:AB 为双曲线的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在相应的准线上. 结论24:AB 为抛物线的焦点弦，则过,A B 的切线的交点M 必在准线上.结论25:点M 是椭圆准线与长轴的交点,过点M 作椭圆的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是通径.结论26:点M 是双曲线准线与实轴的交点,过点M 作双曲线的两条切线,切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是通径.结论27:M 为抛物线的准线与其对称轴的交点,过点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 就是其通径.结论28：过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上任意一点(,0)(0)M m m ->作抛物线的两条切线，切点分别为,A B 则切点弦AB 所在的直线必过点(,0)N m .结论29:过椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的对称轴上任意一点(,)M m n 作⿰木阴圆的两条切线,切点分别为,A B .(1)当0,||n m a =>时，则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭; (2)当0,||m n b =>时，则切点弦AB 所在的直线必过点20,b Q n ⎛⎫⎪⎝⎭.结论30:过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴上任意一点(,0)(||)M m m a <作双曲线（单支）的两条切线，切点分别为,A B ,则切点弦AB 所在的直线必过点2,0a P m ⎛⎫⎪⎝⎭. 结论31：过抛物线22(0)y px p =>外任意一点M 作抛物线的两条切线，切点分别为,A B ,弦AB 的中点为N ,则直线MN 必与其对称轴平行.结论32:若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22221(0,0)x y m n m n-=>>共焦点,则在它们交点处的切线相互垂直.结论33:过椭圆外一定点P 作其一条割线,交点为,A B ,则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论34:过双曲线外一定点P 作其一条割线,交点为,A B 则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论35:过抛物线外一定点P 作其一条割线,交点为,A B 则满足||||||||AP BQ AQ BP ⋅=⋅的动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论36:过双曲线外一点P 作其一条割线,交点为,A B ,过,A B 分别作双曲线的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作双曲线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上. 结论37:过椭圆外一点P 作其一条割线,交点为,A B 过,A B 分别作椭圆的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作椭圆两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论38:过抛物线外一点P 作其一条割线,交点为,A B ,过,A B 分别作抛物线的切线相交于点Q ,则动点Q 的轨迹就是过P 作抛物线两条切线形成的切点弦所在的直线方程上.结论39:从椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右焦点向椭圆的动切线引垂线,则垂足的轨迹为圆:222x y a +=.结论40:从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点向双曲线的动切线引垂线,则垂足的轨迹为圆:222x y a +=.结论41:F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点,M 是椭圆上任意一点,则焦半径[,]MF a c a c ∈-+.结论42:F 是双曲线22221(0)x y a b a b-=>>的右焦点,M 是双曲线上任意一点.(1)当点M 在双曲线右支上,则焦半径MF c a ≥-;(2)当点M 在双曲线左支上,则焦半径MF c a ≥+.结论43:F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,M 是抛物线上任意一点,则焦半径022p p MF x =+≥. 结论44:椭圆上任一点M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角)，亦即椭圆的光学性质.结论45：双曲线上任一点M 处的切线平分过该点的两条焦半径的夹角（或者说M 处的法线平分过该点的两条焦半径的夹角的外角),亦即双曲线的光学性质.结论46:抛物线上任一点M 处的切线平分该点的焦半径与该点向准线所作的垂线的夹角,亦即抛物线的光学性质.结论47:椭圆的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ,且MF PQ ⊥. 结论48:双曲线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其相应的焦点F ,且MF PQ ⊥. 结论49:抛物线的准线上任一点M 处的切点弦PQ 过其焦点F ,且MF PQ ⊥.结论50:椭圆上任一点P 处的切线交准线于,M P 与相应的焦点F 的连线交椭圆于Q ,则MQ 必与该椭圆相切,且MF PQ ⊥.结论51:双曲线上任一点P 处的切线交准线于,M P 与相应的焦点F 的连线交双曲线于Q ,则MQ 必与该双曲线相切，且MF PQ ⊥.结论52:抛物线上任一点P 处的切线交准线于,M P 与焦点F 的连线交抛物线于Q ,则MQ 必与该抛物线相切，且MF PQ ⊥.结论53:焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标(纵坐标)成等差数列.结论54:焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论55:焦点在x 轴上的抛物线（或焦点在y 轴）上三点,,P Q M 的焦半径成等差数列的充要条件为,,P Q M 的横坐标（纵坐标）成等差数列.结论56:椭圆上一个焦点2F 关于椭圆上任一点P 处的切线的对称点为Q ,则直线PQ 必过该椭圆的另一个焦点1F .结论57:双曲线上一个焦点2F 关于双曲线上任一点P 处的切线的对称点为Q ,则直线PQ 必过该双曲线的另一个焦点1F .结论58:椭圆上任一点P (非顶点),过P 的切线和法线分别与短轴相交于£, ?Q S 则有,,P Q S 及两个焦点共于一圆上.结论59:双曲线上任一点P （非顶点)，过P 的切线和法线分别与短轴相交于,Q S ,则有,P Q ,S 及两个焦点共于一圆上.结论60:椭圆上任一点P (非顶点)处的切线与过长轴两个顶点,A A '的切线相交于,M M ',则必得到以MM '为直径的圆经过该椭圆的两个焦点.结论61:双曲线上任一点P (非顶点）处的切线与过实轴两个顶点,A A '的切线相交于,M M ',则必得到以MM '为直径的圆经过该双曲线的两个焦点.结论62:以椭圆的任一焦半径为直径的圆内切于以长轴为直径的圆. 结论63:以双曲线的任一焦半径为直径的圆外切于以实轴为直径的圆. 结论64:以抛物线的任一焦半径为直径的圆与非对称轴的轴相切.结论65：焦点在x 轴上的椭圆（或焦点在y 轴上）上任一点M （非短轴顶点）与短轴的两个顶点B ,B '的连线分别交x 轴（或y 轴）于,P Q ,则2P Q x x a =(或)2P Q y y a =.结论66:焦点在x 轴上的双曲线（或焦点在y 轴上）上任一点M (非顶点)与实轴的两个顶点,B B '的连线分别交y 轴（或x 轴）于,P Q ,则(2P Q y y b =-或)2P Q x x b =-.结论67:P 为焦点在x 轴上的椭圆上任一点（非长轴顶点),则12PF F ∆与边2PF (或1PF )相切的旁切圆与x 轴相切于右顶点A (或左顶点A ').结论68:P 为焦点在x 轴上的双曲线右支（或左支）上任一点,则12PF F ∆的内切圆与x 轴相切于右顶点A (或左顶点A ').结论69:AB 是过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的一条弦(非通径),弦AB 的中垂线交x 轴于N ,则||2||AB NF e=. 结论70:AB 是过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的一条弦（非通径,且为单支弦),弦AB 的中垂线交x 轴于M ,则||2||AB MF e=. 结论71:AB 是过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的一条弦（非通径),弦AB 的中垂线交x 轴于M ,则||2||AB MF =. 结论72:AB 为抛物线的焦点弦，分别过,A B 作抛物线的切线,则两条切线的交点P 在其准线上.结论73:AB 为椭圆的焦点弦,分别过,A B 作椭圆的切线,则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论74:AB 为双曲线的焦点弦,分别过,A B 作双曲线的切线，则两条切线的交点P 在其相应的准线上.结论75:AB 为过抛物线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其准线相切.结论76:AB 为过椭圆焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相离（当然与另一条准线更相离）.结论77:AB 为过双曲线焦点F 的焦点弦，以AB 为直径的圆必与其相应的准线相交,截得的圆弧度数为定值,且为12arccos e. 结论78：以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相切,则该曲线必为抛物线.结论79:以圆雉曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相离，则该曲线必为椭圆.结论80:以圆锥曲线的焦点弦AB 为直径作圆，若该圆与其相应的准线相交,则该曲线必为双曲线,此时截得的圆弧度数为定值,且为12arccose结论81:AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y ,则||AB =12x x p ++结论82:AB 为过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y ,则||AB 122a e x x =-+结论83:AB 为过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>焦点F 的焦点弦,()()1122,,,A x y B x y .若AB 为单支弦，则12||2AB e x x a =+-;若AB 为双支弦，则|12|||2AB e x x a =++ 结论84:F 为抛物线的焦点,,A B 是抛物线上不同的两点,直线AB 交其准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论85:F 为椭圆的一个焦点,,A B 是椭圆上不同的两点,直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论86:F 为双曲线的一个焦点,,A B 是双曲线上不同的两点（同一支上),直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠的外角.结论87:F 为双曲线的一个焦点,,A B 是双曲线上不同的两点（左右支各一点),直线AB 交其相应的准线l 于M ,则FM 平分AFB ∠.结论88:AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>过焦点F 的弦,点P 是椭圆上异于,A B 的任一点,直线PA PB 、分别交相应于焦点F 的准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为42b c-.结论89:AB 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>过焦点F 的弦,点P 是双曲线上异于,A B任一点,直线PA 、PB 分别交相应于焦点F 的准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为42b c-.结论90:AB 是抛物线22(0)y px p =>过焦点F 的弦，点P 是抛物线上异于,A B 的任一点,直线PA PB 、分别交准线l 于M N 、,则点M 与点N 的纵坐标之积为定值,且为2p -.结论91:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线PA PB 、分别交直线2(0)a x m a m=<<于M N 、,则M N y y ⋅为定值,且有()2222M N b m a y y m -⋅=结论92：,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN ⋅为定值,且有()()222222a m a mb EM FN m -+-⋅=.结论93:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆上任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM ⋅为定值,且有()()222222a m a mb EN FM m -+-⋅=结论94:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则FM FN ⋅为定值,且有()()222222a m a mb FM FN m -+-⋅=结论95:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM EN ⋅为定值,且有()()2222222a mb a m EM EN m +--⋅=结论96:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则BM FN ⋅为定值,且有()()22222a m a amb BM FN m -+-⋅=结论97:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM FN ⋅为定值,且有()()22222a m a amb AM FN m ---⋅=结论98:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为椭圆任一点（非长轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM BN ⋅为定值,且有()()22222a m ab AM BN m --⋅=结论99:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,(,0),(,0),(0)E m F m m a -<<,P 为双曲线上任一点（非实轴顶点)，若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则M N y y ⋅为定值,且有()2222M N b m a y y m -⋅=.结论100:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN ⋅为定值,且有()()222222a m ab m EM FN m -++⋅=结论101:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM ⋅为定值,且有()()222222a m ab m EN FM m -++⋅=结论102:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则FM FN ⋅为定值,且有()()222222a m ab m FM FN m -+-⋅=结论103:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非实轴顶点，若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM EN ⋅为定值，且有()()2222222a mb a m EM EN m ++-⋅=结论104:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则BM FN ⋅为定值,且有()()22222a m ab amBM FN m -++⋅=结论105:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM FN ⋅为定值,且有()()22222a m ab amAM FN m -+-⋅=结论106:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM BN ⋅为定值,且有()()22222a m ab AM BN m -+⋅=结论107:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AP BP k k ⋅为定值,且有2221AP BP AM BNb k k k k e a⋅=⋅=-=-结论108:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AN BM k k ⋅为定值,且有2221AN BM b k k e a ⋅=-=-结论109:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AM AN k k ⋅为定值,且有()21AM AN a m k k e a m+⋅=--结论110:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则BM BN k k ⋅为定值，且有()21BM BN a m k k e a m-⋅=-+结论111:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为椭圆任一点(非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN k k ⋅为定值,且有222EM FNb k k a m ⋅=-+结论112:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴顶点,(,0),(,0),()E m F m m a ->,P 为椭圆任一点(非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则EN FM k k ⋅为定值,结论113:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的任一直径（中心弦),P 为椭圆上任一点(不与,A B 点重合),则PA PB k k ⋅为定值,且有2221PA PBb k k e a⋅=-=-结论114:,A B 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦(不过原点且不与对称轴平行),M为弦AB 的中点,若OM k 与AB k 均存在,则OM AB k k ⋅为定值,且有2221OM ABb k k e a⋅=-=-结论115:AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的任一弦(不与对称轴平行),若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ,则有2221PQ ABb k k e a⋅=-=-结论116:过椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上任意一点(P 不是其顶点)作椭圆的切线PA ,则有2221PA OPb k k e a⋅=-=-结论117:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m a m a -<<,过F 的弦的端点为A ,B ,过点A ,B 分别作直线2a x m =的垂线，垂足分别为,DC ,直线2a x m=与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论118:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),()F m m c =±,过F 任作一条弦,AB E 为椭圆上任一点,连接,AE BE ,且分别与准线2a x m =相交于,P Q ,则有1FP FQ k k ⋅=-结论119:椭圆22221(0)x y a b a b +=>>及定点(,0),(,0)F m a m a m -<<≠,过F 任作一条弦,AB E 为椭圆上任一点,连接AE BE 、,且分别与直线2a x m =相交于,P Q ,则有222FP FQb k k m a⋅=- 结论120:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AP BP k k ⋅为定值,且有2221AP BP AM BNb k k k k e a⋅=⋅=-=结论121:,A B 为双曲线22221(0)x y a b a b +=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则AN BM k k ⋅为定值,且有21AN BM k k e ⋅=-结论122:,A B 双曲线22221(0)x y a b a b +=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m =于M N 、,则AM AN k k ⋅为定值,且有()21AM AN a m k k e a m+⋅=--结论123:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,P 为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线AP BP 、分别交直线2a x m =于M N 、,则BM BN k k ⋅为定值,且有()21BM BN a m k k e a m-⋅=-+结论124:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点(非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EM FN k k ⋅为定值,且有222EM FNb k k a m ⋅=+ 结论125:,A B 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的顶点,(,0),(,0),(),E m F m m a P ->为双曲线上任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于M N 、,则EN FM k k ⋅为定值,且有222EN FMb k k a m⋅=+ 结论126:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的任一直径,P 为双曲线上任一点(不与,A B 点重合),则PA PB k k ⋅为定值,且有2221PA PBb k k e a⋅==- 结论127:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的任一弦(不过原点且不与对称轴平行),M 为弦AB 的中点,若OM k 与AB k 均存在,则AB OM k k ⋅为定值,且有22AB OMb k k a⋅= 结论128:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的任一弦(不与对称轴平行),若平行于AB 的弦的中点的轨迹为直线PQ ,则有2221AB PQb k k e a⋅==- 结论129:过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上任意一点P (不是其顶点)作双曲线的切线PA ,则有2221PA OPb k k e a⋅==- 结论130:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),(F m m a >或)m a <-,过F 的弦的䇄山端点为,A B ,过,A B 分别作直线2a x m =的垂线,垂足分别为,D C ,直线2a x m=与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论131:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),()F m m c =±,过F 任作一条弦AB ,E 为双曲线上任一点,连接,AE BE ,且分别与准线2a x m =相交于,P Q ,则有1FP FQ k k ⋅=- 结论132:双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>及定点(,0),(F m m a >或)m a <-,过F 任作一条弦,AB E 为双曲线上任一点,连接,AE BE ,且分别与直线2a x m =相交于,P Q ,则有222FP FQb k k a m ⋅=- 结论133:抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >,过F 的弦的端点为,A B 过A ,B分别作直线x m =-的垂线,垂足分别为,D C ,直线x m =-与x 轴相交于E ,则直线AC 与BD 恒过EF 的中点,且有0AE BE k k +=.结论134:抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),2p F m m ⎛⎫=⎪⎝⎭,过F 任作一条弦,AB E 为抛物线上任一点,连接AE BE 、,分别与准线x m =-相交,P Q ,则1FP FQ k k ⋅=-结论135：抛物线22(0)y px p =>及定点(,0),(0)F m m >,过F 任作一条弦,AB E 为抛物线上任一点,连接AE BE 、分别与直线x m =-相交,P Q ,则2FP FQ p k k m⋅=-结论136:过抛物线22(0)y px p =>的焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭的弦（焦点弦）与抛物线相交于A ,B ,过B 作直线BC 与x 轴平行,且交准线于C ,则直线AC 必过原点（即其准线与x 轴交点E 与焦点F 的线段的中点).结论137:AB 为椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦点F 的弦,其相应的准线与x 轴交点为E ,过A ,B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于,M N ,则直线,AN BM 均过线段EF 的中点.结论138:AB 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的焦点F 的弦,其相应的准线与x 轴交点为E ,过A ,B 作x 轴的平行线与其相应的准线分别相交于,M N ,则直线,AN BM 均过线段EF 的中点.结论139:过圆锥物线(可以是非标准状态下)焦点弦的一个䇄山端点向其相应的准线作垂线，垂足与另一个弦的端点的连线必经过焦点到相应的准线的垂线段的中点.结论140:AB 为垂直于椭圆22221(0,0,)x y a b a b a b+=>>≠长轴上的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该椭圆上.结论141:AB 为垂直于双曲线2222(0)x y a bλλ-=≠实轴的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该双曲线上.结论142:AB 为垂直于抛物线2y tx =或()2(0)x ty t =≠对称轴的动弦,其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该抛物线上.结论143:AB 为垂直于圆锥曲线的长轴（椭圆）(或实轴（双曲线）或对称轴（抛物线)）的动弦，其准线与x 轴相交于Q ,则直线AF 与BQ (或直线BF 与AQ )的交点M 必在该圆锥曲线上.结论144:圆锥曲线的焦点弦AM (不为通径,若双曲线则为单支弦),则在x 轴上有且只有一点Q 使AQF MQF ∠=∠.结论145：过F 任作圆锥曲线的一条弦AB (若是双曲线则为单支弦),分别过,A B 作准线l 的垂线(Q 是其相应准线与x 轴的交点),垂足为11A B 、,则直线1AB 与直线1A B 都经过QF 的中点K ,即A 、1K B 、及1B K A 、、三点共线.结论146:若AM BM 、是圆锥曲线过点F 且关于长轴（椭圆）对称的两条动弦(或实轴(双曲线）或对称轴（抛物线）),则四线1111AM BN NB MA 、、、共点于K .结论147:,A B 分别为椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点和左顶点,P 为椭圆任一点（非长轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2a x m=于,M N ,则以线段MN 为直径的圆必过两个定点,且椭圆外定点为2,0a Q m ⎛⎫+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及椭圆内定点为2,0a R m ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭结论148:,A B 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点和左顶点,P 为双曲线上任一点（非实轴顶点),若直线,AP BP 分别交直线2()a x m a m=>于,M N ,则以线段MN 为直径的圆必过两个定点,且双曲线内定点为2,0a Q m ⎛⎫+⎪ ⎪ ⎪⎝⎭及双曲线外定点为2,0a R m ⎛⎫- ⎪⎪ ⎪⎝⎭结论149:过直线(0)x m m =≠上但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫ ⎪⎝⎭,且有()22222AB MN b m k k a a m ⋅=-.结论150:过直线(0)x m m =≠上但在双曲线222210,0) (x y a b a b-=>>外（即双曲线中心所在区域）一点M 向双曲线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点2,0a N m ⎛⎫⎪⎝⎭,且有()22222AB MNb m k k a m a⋅=-. 结论151:过直线 0x m m =≠（）上但在抛物线22(0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域)一点M 向抛物线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点(,0)N m -,且有2AB MN pk k m⋅=结论152:设点M 是圆锥曲线的准线上一点（不在双曲线的渐近线上)，过点M 向圆锥曲线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过准线对应的焦点F ，且FM AB ⊥.结论153:过直线1mx ny +=上但在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>外一点M 向椭圆引两条切线,切点分别为,A B 则直线AB 必过定点()22,N ma nb .结论154:过直线1mx ny +=上但在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>外(即双曲线中心所在区域)一点M 向双曲线引两条切线，切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点()22,N ma nb .结论155:过直线10 mx ny m +=≠）（上但在抛物线22(0)y px p =>外（即抛物线准线所在区域）一点M 向抛物线引两条切线,切点分别为,A B ,则直线AB 必过定点1,pn N m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭结论156:,A B ,是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左右顶点,点P 是直线(||,0)x t t a t =≠≠上的一个动点（P 不在椭圆上),直线PA 及PB 分别与椭圆相交于,M N ,则直线MN 必与x轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭.结论157:,A B 是在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的顶点,点P 是直线(||,0)x t t a t =≠≠上的一个动点(P 不在双曲线上),直线PA 及PB 分别与双曲线相交于,M N ,则直线MN 必与x 轴相交于定点2,0a Q t ⎛⎫ ⎪⎝⎭. 结论158:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若直线AB 过定点(2,0)N p ,则OA OB ⊥，且A ,B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论159:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,则直线AB 必过定点(2,0)N p ,且,A B 的横坐标之积及纵坐标之积均为定值.结论160:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,过O 作OM AB ⊥,则动点M 的轨迹方程为2220(0)x y px x +-=≠.结论161:,A B 是抛物线22(0)y px p =>上异于顶点O 的两个动点,若OA OB ⊥,则()2min 4AOB S p ∆=结论162:过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则MA MB⊥的充要条件是直线AB 过定点()002,N x p y +-结论163:过抛物线22(0)y px p =>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则(0)MA MB k k λλ=≠的充要条件是直线AB 过定点002,p N x y λ⎛⎫-- ⎪⎝⎭结论164:过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上任一点()00,M x y 作两条弦,MA MB ,则MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点2222002222,a b b a N x y a b a b ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭特别地,(1)当M 为左、右顶点时,即00,0x a y =±=时，MA MB ⊥的充要条件是直线AB 过定点()2222,0a a b N a b ⎛⎫±- ⎪ ⎪+⎝⎭。
圆锥曲线压轴大题之方法总结(学生版)
圆锥曲线大题常用方法总结一、齐次化构造【例1】(2022届海南高三下检测)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左､右焦点分别为21F F 、，点()1,0-M 是椭圆的一个顶点,21MF F ∆是等腰直角三角形.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点M 分别作直线MB MA ,交椭圆于B A 、两点,设两直线的斜率分别为21k k ，,且421=+k k ,求证：直线AB 过定点.【例2】(2024河南一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左右焦点分别为21F F 、，其长轴长为6，离心率为e 且31＞e ，点D 为E 上一动点，21F DF ∆的面积的最大值为22，过()0,3-P 的直线21l l 、分别与椭圆E 交于B A 、两点（异于点P ），与直线8=x 交于N M 、两点，且N M 、两点的纵坐标之和为11．过坐标原点O 作直线AB 的垂线，垂足为H ．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）问：平面内是否存在定点Q ，使得HQ 为定值？若存在，请求出Q 点坐标；若不存在，请说明理由．【例3】(2022抚顺一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+，若下列四点_____中恰有三点在椭圆C 上．①()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-23,1,23,1,1,0,1,14321P P P P ;②()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--222,22,2,1,0,2,24321P P P P ．（1）从①②中任选一个条件补充在上面的问题中，并求出椭圆C 的标准方程；（2）在（1）的条件下，设直线l 不经过点2P 且与椭圆C 相交于B A 、两点，直线A P 2与直线B P 2的斜率之和为1-，过坐标原点O 作AB OD ⊥，垂足为D （若直线l 过原点O ，则垂足D 视作与原点O 重合），证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【例4】(2023隆回一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点相同，21F F 、为椭圆的左、右焦点，M 为椭圆上任意一点，21F MF ∆面积的最大值为1．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）设不过原点的直线：m kx y +=与椭圆C 交于B A 、两点①若直线2AF 与2BF 的斜率分别为21,k k ，且021=+k k ，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标；②若直线l 的斜率是直线OB OA 、斜率的等比中项，求OAB ∆面积的取值范围．【例5】(2022北京朝阳一模)已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-的离心率为3，右准线方程为33=x （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线l 是圆222=+y x O ：上动点()00,y x P ()000≠y x 处的切线，l 与双曲线C 交于不同的两点B A 、，证明AOB ∠的大小为定值．【例6】(2023岳麓区三模)已知椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+过点⎪⎭⎫ ⎝⎛231，A ,其长轴长为4.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l 分别与椭圆C 交于F E 、两点，若直线AF AE 、的斜率分别为21k k ，，且221=⋅k k ．求证：直线l 恒过定点.【例7】(2022长沙模拟)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左顶点为A ,离心率为33=e ，点B 为椭圆E 上一动点，ABO ∆的面积的最大值为26.（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）设直线l 分别与椭圆E 交于N M 、两点（异于点A ），以MN 为直径的圆恒过点A ．求证：直线l 恒过定点.【例8】(2022⋅新高考全国Ⅰ)已知点()12，A 在双曲线()111:2222＞a a y a x C =--上，直线l 与C 交于Q P 、两点,直线AQ AP 、的斜率之和0（Ⅰ）求直线l 的斜率；（Ⅱ）若22tan =∠P AQ ,求P AQ ∆的面积.二、定比点差法【例1】（2023徐州一模）已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x C =+的短轴长为22，离心率为22．（1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,4P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同的B A 、两点，在线段AB 上取点Q ，满足PB AQ QB AP ⋅=⋅，证明：点Q 总在某定直线上．【例2】（2020•武昌区一模拟）已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x M =+经过点()2,0-A ，离心率为33．（1）求椭圆M 的方程；（2）经过点()1,0E 且斜率存在的直线l 交椭圆于N Q 、两点，点B 与点Q 关于坐标原点对称．连接AB ，AN ．是否存在实数λ，使得对任意直线l ，都有AB AN k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．【例3】(2022昌平一模)已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左右焦点分别为21F F 、，点P 为E 上一动点且满足421=+PF PF ，离心率为e ，且21=e .（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若直线21,PF PF 交椭圆于B A 、两点，A F PF 111λ=，B F PF 222λ=，证明：21λλ+为定值.三、同构转化法【例1】（2019•新课标Ⅲ）已知曲线2:2x y C =，D 为直线21-=y 上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A 、．（1）证明：直线AB 过定点．（2）若以⎪⎭⎫ ⎝⎛250、E 为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求该圆的方程．【例2】（2020•浙江）已知抛物线y x C =21:，圆()14:222=-+y x C 的圆心为点M ．（Ⅰ）求点M 到抛物线1C 的准线的距离；（Ⅱ）已知点P 是抛物线1C 上一点（异于原点），过点P 作圆2C 的两条切线，交抛物线1C 于B A 、两点，若过P M 、两点的直线l 垂直于AB ，求直线l 的方程．【例3】（2018•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线x y C 4:2=上存在不同的两点B A 、满足PB P A 、的中点均在C 上．（Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆()014:22＜x y x C =+上的动点，求P AB ∆面积的取值范围．【例4】（2022慈溪市一模）已知抛物线2:ax y C =（a 是常数）过点()2,2-P ，动点⎪⎭⎫ ⎝⎛-21,t D ，过D 作C 的两条切线，切点分别为B A 、．（1）求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；（2）当1=t 时，求直线AB 的方程；（3）证明：直线AB 过定点．【例5】（2022荔湾区模拟）已知直线03=+-y x 与圆04:22=+-+m y y x C 相交，截得的弦长为2．（1）求圆C 的方程．（2）过原点O 作圆C 的两条切线，与抛物线2x y =相交于N M 、两点（异于原点）．证明：以MN 为直径的圆与圆C 相交．（3）若抛物线2x y =上任意三个不同的点R Q P 、、，满足直线PQ 和PR 都与圆C 相切，判断直线QR 与圆C 的位置关系，并加以证明．【例6】（2019天心区一模）已知椭圆()01:22221＞＞b a by a x C =+的两个焦点21F F 、，动点P 在椭圆上，且使得o PF F 9021=∠的点P 恰有两个，动点P 到焦点1F 的距离的最大值为22+．（1）求椭圆1C 的方程；（2）如图，以椭圆1C 的长轴为直径作圆2C ，过直线22-=x 上的动点T 作圆2C 的两条切线，设切点分别为B A 、，若直线AB 与椭圆1C 交于不同的两点D C 、，求CDAB 的取值范围．【例7】（2021大同三模）已知抛物线x y 22=的焦点为F ，点P 为抛物线上的动点，点()2,4M 为平面上的定点，点C B 、是y 轴上不同的两点．（1）求PM PF +的最小值，并求此时P 点的坐标；（2）若圆()1122=+-y x 是PBC ∆的内切圆，求PBC ∆的面积的最小值．四、非对称性韦达定理【对称韦达】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右顶点分别为B A 、，长轴长为4，离心率为21=e ．过右焦点F 的直线l 交椭圆E 于D C ,两点（均不与B A 、重合），记直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，．（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）是否存在常数λ，当直线l 变动时，总有21k k λ=成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【例1】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右顶点分别为B A 、，焦距为2，直线l 与椭圆交于C ，D 两点（均异于椭圆的左、右顶点）．当直线l 过椭圆的右焦点F 且垂直于x 轴时，四边形ACBD 的面积为6．（1）求椭圆的标准方程；（2）设直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，．①123k k =，求证：直线l 过定点；②若直线l 过椭圆的右焦点F ，试判断21k k 是否为定值，并说明理由．【例2】如图，已知椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，离心率为21，B A 、分别是椭圆C 的左，右顶点，过右焦点F 且斜率为()0＞k k 的直线l 与椭圆相交于N M 、两点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）记BFN AFM ∆∆、的面积分别为21,S S ，若，5611=S S 求k 的值；（3）记直线BN AM ,的斜率分别为21k k ，，求12k k 的值．【例3】已知椭圆()01:2222＞＞b a by a x E =+的左、右焦点分别为()()0,10,121F F 、-，左、右顶点分别为B A 、，()y x P ,为椭圆E 上一点，且()()4112222=++++-y x y x ．（1）求椭圆E 的方程；（2）过1F 的直线与椭圆E 交于D C 、两点（其中点C 位于x 轴上方），记直线BD AC 、的斜率分别为21k k ，，求211k k +的最小值．【例4】已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-的虚轴长为4，直线2x ﹣y ＝0为双曲线C 的一条渐近线．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，斜率为正的直线l 过点T （2，0），交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），直线MA 交y 轴于点P ，直线NB 交y 轴于点Q ，记△PAT 面积为1S ，△QBT 面积为2S ，求证：21S S 为定值．【例5】已知双曲线()0,01:2222＞＞b a by a x C =-，焦点到渐近线2x ﹣y ＝0的距离为2．（1）求双曲线C 的标准方程；（2）记双曲线C 的左、右顶点分别为A ，B ，直线l 交双曲线C 于点M ，N （点M 在第一象限），记直线MA 斜率为1k ，直线NB 斜率为2k ，过原点O 作直线l 的垂线，垂足为H ，当12k k 为定值31-时，问是否存在定点G ，使得GH 为定值，若存在，求此定点G ．若不存在，请说明理由．【例6】如图，O 为坐标原点，椭圆()01:2222＞＞b a b y a x C =+的焦距等于其长半轴长，M ，N 为椭圆C 的上、下顶点，且32=MN （1）求椭圆C 的方程；（2）过点()1,0P作直线l 交椭圆C 于异于M ，N 的A ，B 两点，直线AM ，BN 交于点T ．求证：点T 的纵坐标为定值3．。
【高中数学】圆锥曲线大题十个大招
yP yQ kxP
3(1 k ) kxQ
3(1 k ) ＝ k(xP xQ ) 2 3k ＝
12k 3(1 3k 2 )
xP
xQ
9k 2 18k 3 3(1 3k 2 )
9k 2 18k 3 ＝ 3(1 3k 2 )
36k 3(1 3k 2 )
kPQ
yP xP
yQ xQ
1 3
(1) 2 (2)
1
2
32k 2 3(1 2k 2 )
32
3(
1 k2
2)
k2
3 , 4 2
32
3(
1 k2
2)
16 . 3
4
1
2
16 3
.解得
1 3
3.
又 0 1, 1 1. 3
又当直线 GH 斜率不存在，方程为 x 0, FG 1 FH , 1 . 1 1,即所求的取值范围是[1 ,1)
x2
解：设双曲线方程为
a2
y2 b2
1，
Q（x0, y0）。
FQ (x0 c, y0 ) ，
S△OFQ=
1 2
|
OF
||
y0
|
2
6
，∴
y0
46 c
。
OF FQ (c,0)(x0
c, y0 ) =c(x0－c)= (
解：设直线
AB
的方程为
y
x
b
，由
y y
x2 xb
3
x2
x
b
3
0
x1
x2
1，进而可求出
AB
的中点 M ( 1 , 1 b) ，又由 M ( 1 , 1 b) 在直线 x y 0 上可求出 b 1，∴ x2 x 2 0 ，由弦
高考数学必做61道圆锥曲线问题——圆锥曲线性质大全.doc
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高考数学必做 61 道圆锥曲线问题——圆
锥曲线性质大全
一、神奇曲线，定义统一
01. 距离和差，轨迹椭双
02. 距离定比，三线统一
二、过焦半径，相关问题
03．切线焦径，准线作法
04. 焦点切线，射影是圆
05. 焦半径圆，切于大圆
06. 焦点弦圆，准线定位
07. 焦三角形，内心轨迹
三、焦点之弦，相关问题
08．焦点半径，倒和定值
09．正交焦弦，倒和定值
10. 焦弦中垂，焦交定长
11. 焦弦投影，连线截中
12. 焦弦长轴，三点共线
13. 对焦连线，互相垂直
14. 相交焦弦，轨迹准线
15. 相交焦弦，角分垂直
16. 定点交弦，轨迹直线
17. 焦弦直线，中轴分比。
圆锥曲线大题全攻略含答案详解
圆锥曲线大题全攻略含答案详解本文介绍了圆锥曲线中常见的问题和解题技巧，包括求轨迹方程问题、定点问题、定值问题、最值问题、点差法解决中点弦问题、常见几何关系的代数化方法、非对称“韦达定理”问题处理技巧、三点共线问题、巧用曲线系方程解决四点共圆问题、抛物线中阿基米德三角形的常见性质及应用、双切线题型等。
求轨迹方程问题是圆锥曲线中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。
直译法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，由已知条件建立关于x,y的方程，化简整理；相关点法的步骤是设求轨迹的点为P(x,y)，相关点为Q(xO,yO)，根据点的产生过程，找到(x,y)与(xO,yO)的关系，并将xO,yO用x和y表示，将(xO,yO)代入相关点的曲线，化简即得所求轨迹方程；定义法的步骤是分析几何关系，由曲线的定义直接得出轨迹方程；参数法的步骤是引入参数，将求轨迹的点(x,y)用参数表示，消去参数，研究范围。
本文还给出了四个例题，分别是求点P的轨迹方程、求动点M的轨迹方程、求动点Q的轨迹方程、求AB中点M的轨迹方程。
最后，给出两道专题练题，帮助读者巩固所学知识。
3.抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，点P满足AP=-2FA，求动点P的轨迹方程。
改写：已知抛物线C的焦点为F，点A在抛物线上运动，设点P的坐标为(x,y)，则有AP=-2FA，求P的轨迹方程。
4.已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，动圆P过定点F且与定圆M内切，求动圆圆心P的轨迹方程。
改写：已知定圆M的方程为(x+y+4)^2=100，定点F的坐标为(0,4)，设动圆P的圆心坐标为(x,y)，则P过定点F且与定圆M内切，求P的轨迹方程。
5.已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，动圆H与直线l相切，与定圆A外切，求动圆圆心H的轨迹方程。
改写：已知定直线l的方程为x=-2，定圆A的方程为(x-4)^2+y^2=16，设动圆H的圆心坐标为(x,y)，则H与直线l相切，与定圆A外切，求H的轨迹方程。
圆锥曲线大题十个大招——存在性问题
招式十：存在性问题例1、设椭圆E: （a,b>0）过M （2） ，,1)两点，O 为坐标原点，（I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。
解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M （2） ，,1)两点,所以解得所以椭圆E 的方程为 （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,要使,需使,即,所以,所以22221x y a b+=OA OB ⊥22221x y a b+=2222421611a b a b +=+=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩22118114a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2284a b ⎧=⎨=⎩22184x y +=OA OB ⊥y kx m =+22184x y y kx m+==+⎧⎪⎨⎪⎩222()8x kx m ++=222(12)4280k x kmx m +++-=222222164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>22840k m -+>12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222222212121212222(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=+++OA OB ⊥12120x x y y +=2222228801212m m k k k--+=++223880m k --=又,所以,所以,即,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,,,所求的圆为,此时圆的切线都满足,而当切线的斜率不存在时切线为的两个交点为或满足,综上, 存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且.因为, 所以,,①当时因为所以,所以, 223808m k -=≥22840k m -+>22238m m ⎧>⎨≥⎩283m ≥m ≥m ≤y kx m =+r =222228381318m m r m k ===-++r =2283x y +=y kx m =+m ≥m ≤x =22184x y +=(OA OB ⊥2283x y +=OA OB ⊥12221224122812km x x k m x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩22222212121222224288(84)()()4()41212(12)km m k m x x x x x x k k k --+-=+-=--⨯=+++||AB =====0k ≠||AB =221448k k ++≥221101844k k <≤++2232321[1]1213344k k<+≤++所以当且仅当时取”=”. ② 当时,.③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为或,所以此时,综上, |AB |即:2、在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2212x y +=有两个不同的交点P 和Q ．（I ）求k 的取值范围；（II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +与AB 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫+++=⎪⎝⎭①直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2221844202k k k ⎛⎫∆=-+=-> ⎪⎝⎭，解得k <k >k 的取值范围为2⎛⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++，，由方程①，12x x +=． ②又1212()y y k x x +=++0)(01)(A B AB =-，，．所以OP OQ +与AB 共线等价于46||233AB <≤22k =±0k =||AB =(||AB =||AB ≤≤||AB ∈1212)x x y y +=+，将②③代入上式，解得k =．由（Ⅰ）知k <或k >题意的常数k ．3、设1F 、2F 分别是椭圆22154x y 的左、右焦点. （Ⅰ）若P 是该椭圆上的一个动点，求21PF PF ⋅的最大值和最小值； （Ⅱ）是否存在过点A （5，0）的直线l 与椭圆交于不同的两点C 、D ，使得|F 2C|=|F 2D|？若存在，求直线l 的方程；若不存在，请说明理由.解：易知)0,1(),0,1(,1,2,521F F c b a -=∴===，设P （x ，y ）， 则1),1(),1(2221-+=--⋅---=⋅y x y x y x PF PF ，3511544222+=--+x x x ]5,5[-∈x ， 0=∴x 当，即点P 为椭圆短轴端点时，21PF PF ⋅有最小值3；当5±=x ，即点P 为椭圆长轴端点时，21PF PF ⋅有最大值4（Ⅱ）假设存在满足条件的直线l 易知点A （5，0）在椭圆的外部，当直线l 的斜率不存在时，直线l 与椭圆无交点，所在直线l 斜率存在，设为k ，直线l 的方程为)5(-=x k y由方程组2222221(54)5012520054(5)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪+-+-=⎨⎪=-⎩，得依题意220(1680)0k k ∆=->-<<，得当5555<<-k 时，设交点C ),(),(2211y x D y x 、，CD 的中点为R ),(00y x ，则45252,4550222102221+=+=+=+k k x x x k k x x.4520)54525()5(22200+-=-+=-=∴k kk k k x k y 又|F 2C|=|F 2D|122-=⋅⇔⊥⇔R F k k l R F12042045251)4520(0222222-=-=+-+--⋅=⋅∴k k k k k kk k k RF ∴20k 2=20k 2－4，而20k 2=20k 2－4不成立， 所以不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|综上所述，不存在直线l ，使得|F 2C|=|F 2D|4、椭圆G ：)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点为F 1、F 2，短轴两端点B 1、B 2，已知F 1、F 2、B 1、B 2四点共圆，且点N （0，3）到椭圆上的点最远距离为.25（1）求此时椭圆G 的方程；（2）设斜率为k （k≠0）的直线m 与椭圆G 相交于不同的两点E 、F ，Q 为EF 的中点，问E 、F 两点能否关于过点P （0，33）、Q 的直线对称？若能，求出k 的取值范围；若不能，请说明理由．解：（1）根据椭圆的几何性质，线段F 1F 2与线段B 1B 2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆心故该椭圆中,22c b a ==即椭圆方程可为22222b y x =+，H （x,y ）为椭圆上一点，则b y b b y y x HN ≤≤-+++-=-+=其中,182)3()3(||22222，30<<b ，则2||,HN b y 时-=有最大值962++b b ，25350962±-==++b b b 得（舍去），182||,3,322+-=≥b HN y b 有最大值时当，165018222==+b b 得∴所求椭圆方程为1163222=+y x（2）设),(),,(),,(002211y x Q y x F y x E ，则由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+116321163222222121y x y x 两式相减得0200=+ky x ……③又直线PQ ⊥直线m ∴直线PQ 方程为331+=x k y 将点Q （00,y x ）代入上式得，33100+-=x k y ④由③④得Q （33,332-k ），Q 点必在椭圆内部116322020<+∴y x ，由此得00294,0,2472<<<-∴≠<k k k 或又故当)294,0()0,294(⋃-∈k 时，E 、F 两点关于点P 、Q 的直线对称5、已知椭圆F 的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到 （I ）求，的值；（II ）上是否存在点P ，使得当绕F 有成立？若存在，求出所有的P 的坐标与的方程；若不存在，说明理由。
(完整word)高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结及高考试题和答案,推荐文档
圆锥曲线1. 圆锥曲线的两定义 ：第必定义 中要 重视“括号”内的限制条件 ：椭圆中 ，与两个定点F 1 ， F 2 的距离的和等于常数2a ，且此 常 数 2a 必定要大于 F 1 F 2 ，当常数等于F 1 F 2 时，轨迹是线段 F 1F 2 ，当常数小于 F 1 F 2 时，无轨迹； 双曲线 中，与两定点 F 1 ，F 2 的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数 2a 必定要小于 | F 1 F 2 | ，定义中的 “绝对值”与2a ＜ |F 1 F 2 | 不行忽略 。
若 2a ＝ |F 1 F 2 | ，则轨迹是以 F 1 ， F 2 为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2 | ，则轨迹不存在。
若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线 的一支。
如 方 程 ( x 6)2y 2( x6)2 y 28表示的曲线是 _____（答：双曲线的左支）2. 圆锥曲线的标准方程 （标准方程是指中心 （极点） 在原点，坐标轴为对称轴时的标准地点的方程） ：（ 1 ） 椭 圆 ： 焦 点 在 x 轴 上 时 x2y 2 1a 2b 2b 0 ）， 焦 点 在 y 轴 上 时 y2 2（ a 2x2 ＝ 1（ ab 0 ）。
方程 Ax2By2abC 表示椭圆的充要条件是什么？（ ABC ≠ 0，且 A ， B ，C 同号， A ≠ B ）。
若 x, yR ，且 3x22 y26 ，则 xy 的最大 值是 ____， x2y 2 的最小值是 ___（答：5,2 ）22（ 2）双曲线 ：焦点在 x 轴上： x2y 2 =1，焦ab点 在 y 轴 上 ： y2x 2＝ 1 （ a 0, b0 ）。
方程Ax2By2a 2b 2C 表示双曲线的充要条件是什么？（ ABC≠ 0，且 A ，B 异号）。
如 设中心在座标原点 O ，焦点 F 1 、 F 2 在座标轴上，离心率 e 2 的双曲线 C 过点 P(4, 10) ，则 C的方程为 _______（答： x 2y 2 6 ）（ 3）抛物线 ：张口向右时 y 22 px( p 0) ，开口向左时y22 px( p 0) ，张口向上时x 22 py( p0) ，张口向下时 x 22 py( p 0) 。
完整版)圆锥曲线大题题型归纳
完整版)圆锥曲线大题题型归纳圆锥曲线大题题型归纳基本方法：1.待定系数法：求解直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等；2.齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；3.韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。
但是，如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；4.点差法：解决弦中点问题，端点坐标设而不求。
也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式；5.距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化为水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题；基本思想：1.“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式；2.“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解；3.证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；4.证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决；5.有些题思路易成，但难以实施。
这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验；6.大多数问题只要真实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。
题型一：求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题例1、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1的两个焦点，P在椭圆上，且∠F1PF2=60°，则△F1PF2的面积为多少？点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。
变式1、已知F1,F2分别是双曲线3x^2-5y^2=75的左右焦点，P是双曲线右支上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积。
变式2、已知F1，F2为椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(0＜b＜10)的左、右焦点，P是椭圆上一点。
1）求|PF1|/|PF2|的最大值；2）若∠F1PF2=60°且△F1PF2的面积为100b^2，求b的值。
高中数学圆锥曲线难题汇总(75道题)
高中数学圆锥曲线难题汇总1. 如图所示，，分别为椭圆：（）的左、右两个焦点，，为两个顶点，已知椭圆上的点到，两点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆的焦点作的平行线交椭圆于，两点，求的面积．}2. 已知椭圆：的离心率为，过左焦点且倾斜角为的直线被椭圆截得的弦长为．（1）求椭圆的方程；（2）若动直线与椭圆有且只有一个公共点，过点作的垂线，垂足为，求点的轨迹方程．）3. 已知椭圆的离心率为，点在上．（1）求的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为．证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值．；4. 已知的顶点，在椭圆上，点在直线：上，且．\（1）当边通过坐标原点时，求的长及的面积；（2）当，且斜边的长最大时，求所在直线的方程．—5. 已知椭圆的中心为坐标原点，一个长轴顶点为，它的两个短轴顶点和焦点所组成的四边形为正方形，直线与轴交于点，与椭圆交于异于椭圆顶点的两点，，且．（1）求椭圆的方程；（2）求的取值范围．￥}6. 已知抛物线的焦点为，是抛物线上横坐标为，且位于轴上方的点，到抛物线准线的距离等于，过作垂直于轴，垂足为，的中点为．（1）求抛物线的方程；（2）若过作，垂足为，求点的坐标．：7. 已知圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为，曲线与直线相交于，两点．（1）求曲线的方程；—（2）当的面积等于时，求的值．【8. 已知直线与椭圆相交于两个不同的点，记与轴的交点为．（1）若，且，求实数的值；（2）若，求面积的最大值，及此时椭圆的方程．【·9. 如图，设抛物线（）的焦点为，抛物线上的点到轴的距离等于．（1）求的值；（2）若直线交抛物线于另一点，过与轴平行的直线和过与垂直的直线交于点，与轴交于点．求的横坐标的取值范围．}10. 已知点在椭圆上，且点到两焦点的距离之和为．（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，以为底作等腰三角形，顶点为，求的面积．【11. 已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）若，是椭圆上的两个动点，且使的角平分线总垂直于轴，试判断直线的斜率是否为定值若是，求出该值；若不是，说明理由．&：12. 已知椭圆：的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于，两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为当时，求直线的方程．，13. 设，分别是椭圆的左，右焦点，是上一点且与轴垂直．直线与的另一个交点为．（1）若直线的斜率为，求的离心率；（2）若直线在轴上的截距为，且，求，．:14. 在平面直角坐标系中，点，直线与动直线的交点为，线段的中垂线与动直线的交点为．（1）求点的轨迹的方程；（2）过动点作曲线的两条切线，切点分别为，，求证：的大小为定值．）15. 已知中心在原点的双曲线的右焦点为，右顶点为．（1）求该双曲线的方程；（2）若直线：与双曲线左支有两个不同的交点，，求的取值范围．￥16. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．,17. 已知右焦点为的椭圆：关于直线对称的图形过坐标原点．（1）求椭圆的方程；（2）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称原点为，证明：直线与轴的交点为．#]18. 在平面直角坐标系中，抛物线的顶点是原点，以轴为对称轴，且经过点．（1）求抛物线的方程；（2）设点，在抛物线上，直线，分别与轴交于点，，的斜率．19. 已知抛物线与直线相切．（1）求该抛物线的方程；（2）在轴正半轴上，是否存在某个确定的点，过该点的动直线与抛物线交于，两点，使得为定值．如果存在，求出点坐标；如果不存在，请说明理由．{；20. 左、右焦点分别为，的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为，．（1）求椭圆的方程；（2）为直线上一点，过点作椭圆的两条切线，，，为切点，问直线是否过定点若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．:21. 已知抛物线，为其焦点，过点的直线交抛物线于，两点，过点作轴的垂线，交直线于点，如图所示．（1）求点的轨迹的方程；·（2）直线是抛物线的不与轴重合的切线，切点为，与直线交于点，求证：以线段为直径的圆过点．·22. 已知椭圆，其短轴为，离心率为．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于，两点，设直线和的斜率为，，试判断是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．23. 在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，准线交轴于点，过作直线交抛物线于，两点，且．（1）求直线的斜率；（2）若的面积为，求抛物线的方程．|—24. 过双曲线的右支上的一点作一直线与两渐近线交于，两点，其中是的中点；（1）求双曲线的渐近线方程；（2）当坐标为时，求直线的方程；（3）求证：是一个定值．/25. 如图，线段经过轴正半轴上一定点，端点，到轴的距离之积为，以轴为对称轴，过，，三点作抛物线．~（1）求抛物线的标准方程；（2）已知点为抛物线上的点，过作倾斜角互补的两直线，，分别交抛物线于，，求证：直线的斜率为定值，并求出这个定值．~26. 如图，已知椭圆的左右顶点分别是，，离心率为．设点，连接交椭圆于点，坐标原点是．（1）证明：；（2）若三角形的面积不大于四边形的面积，求的最小值．【27. 已知抛物线的焦点为，过的直线交于，两点，为线段的中点，为坐标原点．，的延长线与直线分别交于，两点．（1）求动点的轨迹方程；（2）连接，求与的面积比．}\28. 已知抛物线过点．过点作直线与抛物线交于不同的两点，，过点作轴的垂线分别与直线，交于点，，其中为原点．（1）求抛物线的方程，并求其焦点坐标和准线方程；（2）求证：为线段的中点．；29. 如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．…（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．！30. 如图：中，，，，曲线过点，动点在上运动，且保持的值不变．（1）建立适当的坐标系，求曲线的标准方程；（2）过点且倾斜角为的直线交曲线于，两点，求的长度．~31. 已知椭圆的焦点在轴上，中心在坐标原点；抛物线的焦点在轴上，顶点在坐标原点．在，上各取两个点，将其坐标记录于表格中：（1）求，的标准方程；（2）已知定点，为抛物线上一动点，过点作抛物线的切线交椭圆于，两点，求面积的最大值．'32. 已知点 为椭圆 ： 的左焦点，且两焦点与短轴的一个顶点构成一个等边三角形，直线与椭圆 有且仅有一个交点．（1）求椭圆 的方程； （2）设直线与 轴交于 ，过点 的直线 与椭圆 交于不同的两点 ，，若的取值范围．^33. 已知点100(,)P x y 为双曲线22221(8x y b b b -=为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于点2P ． （1）求线段12P P 的中点P 的轨迹E 的方程；（2）设轨迹E 与x 轴交于B ，D 两点，在E 上任取一点Q 111()(0)x y y ≠，，直线QB ，QD 分别交于y 轴于M ，N 两点．求证：以MN【@34. 如图，已知圆G ：222(2)x y r -+=是椭圆2216x y +=1的内接ABC △的内切圆，其中A 为椭圆的左顶点． （1）求圆G 的半径r ；（2）过点M （0，1）作圆G 的两条切线交椭圆于E ，F 两点，证明：直线EF 与圆G 相切．—35. 设点00(,)P x y 在直线(01)x m y m m =≠±<<，上，过点P 作双曲线221x y -=的两条切线,PA PB ，切点为,A B ，定点10M m ⎛⎫⎪⎝⎭，． （1）过点A 作直线0x y -=的垂线，垂足为N ，试求AMN △的垂心G 所在的曲线方x程；（2）求证：A M B 、、三点共线．"36. 作斜率为13的直线l 与椭圆22:1364x y C +=交于,A B 两点（如图所示），且(32,2)P 在直线l 的左上方. （1）证明：PAB ∆的内切圆的圆心在一条定直线上； （2）若60oAPB ∠=，求PAB ∆的面积.《37. 如图，椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>3x 轴被曲线22:C y x b =-截得的线段长等于1C 的长半轴长.（1）求1C ，2C 的方程；（2）设2C 与y 轴的焦点为M ，过yAB#PNx=m O AxyOPB坐标原点O 的直线l 与2C 相交于点A,B ，直线MA,MB 分别与1C 相交与,D E . ①证明：MD ME ⊥； ￥②记MAB ∆,MDE ∆的面积分别是1S ，2S .问：是否存在直线l ,使得121732S S =请说明理由.】38. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点(1,0)K -的直线l 与C 相交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . （1）证明：点F 在直线BD 上； （2）设89FA FB =，求BDK ∆的内切圆M 的方程 .！39. (,)()o o o P x y x a ≠±是双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>上一点，,M N 分别是双曲线E 的左、右顶点，直线,PM PN 的斜率之积为15. （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于,A B 两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值.…40.已知以原点O为中心，F 为右焦点的双曲线C的离心率2e =. （1）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（2）如图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求△OGH 的面积．41.如图，在平面直角坐标系xoy 中，椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1(0)F c -，，2(0)F c ，．已知(1)e ，和e ⎛ ⎝⎭都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． ~（1）求椭圆的方程；（2）设,A B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线1AF 与直线2BF 平行，2AF 与1BF 交于点P ．（i ）若1262AF BF -=，求直线1AF 的斜率； （ii ）求证：12PF PF +是定值．;42.如图，椭圆C ：2222+1x y a b=(a ＞b ＞0)的离心率为12，其左焦点到点P (2，1)的距离为10．不过原点O 的直线l 与C 相交于A ，B 两点，且线段AB 被直线OP 平分．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ) 求∆ABP 的面积取最大时直线l 的方程． (43.设A 是单位圆221x y +=上的任意一点，l 是过点A 与x 轴垂直的直线，D 是直线l 与x 轴的交点，点M 在直线l 上，且满足||||(0,1)DM m DA m m =>≠且. 当点A 在圆上运动时，记点M 的轨迹为曲线C ．（Ⅰ）求曲线C 的方程，判断曲线C 为何种圆锥曲线，并求其焦点坐标；（Ⅱ）过原点且斜率为k的直线交曲线C于P，Q两点，其中P在第一象限，它在y轴上的射影为点N，直线QN交曲线C于另一点H. 是否存在m，使得对任意的⊥若存在，求m的值；若不存在，请说明理由.k>，都有PQ PH…44../45. 已知动直线l 与椭圆C: 22132x y +=交于P ()11,x y 、Q ()22,x y 两不同点，且△OPQ 的面积OPQ S ∆6其中O 为坐标原点. （Ⅰ）证明2212x x +和2212y y +均为定值;（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求||||OM PQ ⋅的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在点D,E,G ，使得6ODE ODG OEG S S S ∆∆∆===判断△DEG 的形状；若不存在，请说明理由.%46.如图，已知椭圆C1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C2的短轴为MN ，且C1，C2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C1交于两点，与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D. （I ）设12e =，求BC 与AD 的比值； （II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由《47. 平面内与两定点12(,0),(,0)(0)->A a A a a 连线的斜率之积等于非零常数m 的点的轨迹，加 上A 1、A 2两点所在所面的曲线C 可以是圆、椭圆或双曲线. (Ⅰ)求曲线C 的方程，并讨论C 的形状与m 的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C 1：对给定的(1,0)(0,)m ∈-+∞，对应的曲线为C2， ；设F 1、F 2是C 2的两个焦点，试问：在C 1上，是否存在点N ，使得△F 1NF 2的面 积2S m a =，若存在，求12tan F NF 的值；若不存在，请说明理由.:48.已知一条曲线C 在y 轴右边，每一点到点F （1,0）的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C 的方程；（Ⅱ）是否存在正数m ，对于过点M （m ，0）且与曲线C 有两个交点A,B 的任一直线，都有0FA FB •<若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由。
高考数学压轴题——圆锥曲线大题十个大招含答案全解析
终结圆锥曲线大题十个大招招式一：弦的垂直平分线问题 (25)招式二：动弦过定点的问题 (26)招式四：共线向量问题 (28)招式五：面积问题 (35)招式六：弦或弦长为定值、最值问题 (38)招式七：直线问题 (43)招式八：轨迹问题 (47)招式九：对称问题 (54)招式十、存在性问题 (57)招式一：弦的垂直平分线问题例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ∆是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。
【涉及到弦的垂直平分线问题】这种问题主要是需要用到弦AB 的垂直平分线L 的方程，往往是利用点差或者韦达定理．．．．．．．．产生弦AB 的中点坐标M ，结合弦AB 与它的垂直平分线L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线L 的方程，然后解决相关问题，比如：求L 在x 轴y 轴上的截距的取值范围，求L 过某定点等等。
有时候题目的条件比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦AB 的中点问题，比如：弦与某定点D 构成以D 为顶点的等腰三角形（即D 在AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点AB 关于直线m 对称等等。
例题分析1：已知抛物线y=-x 2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A 、B ，则|AB|等于解：设直线AB 的方程为y x b =+，由22123301y x x x b x x y x b⎧=-+⇒++-=⇒+=-⎨=+⎩，进而可求出AB 的中点11(,)22M b --+，又由11(,)22M b --+在直线0x y +=上可求出1b =，∴220x x +-=，由弦长公式可求出221114(2)32AB =+-⨯-=．招式二：动弦过定点的问题例题2、已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为32，且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。
圆锥曲线大题解题技巧
圆锥曲线大题解题技巧圆锥曲线是数学中一个重要的几何分支，它包括椭圆、双曲线和抛物线等曲线。
在解决圆锥曲线相关的大题时，掌握一些解题技巧是非常有帮助的。
以下是一些常见的解题技巧：1. 熟悉基本定义和性质：-掌握圆锥曲线的标准方程形式，了解它们的焦点、准线、偏心率等基本性质。
-理解直线与圆锥曲线的位置关系，包括相切、相交和相离。
2. 利用坐标法：-将圆锥曲线问题转化为代数问题，通过建立坐标系，将曲线方程转化为标准形式。
-利用坐标法求解直线与圆锥曲线的交点、弦长、面积等。
3.应用韦达定理：-韦达定理在解决圆锥曲线问题时非常有用，特别是在求解直线与圆锥曲线的交点问题时。
-利用韦达定理可以快速找到交点的坐标。
4. 利用参数方程：-对于某些复杂的圆锥曲线问题，可以尝试使用参数方程来简化问题。
-参数方程可以帮助我们更好地理解曲线的形状和性质。
5. 利用极坐标：-在处理与极点和极线相关的问题时，极坐标方法可以提供简洁的解决方案。
-极坐标方法特别适用于求解与焦点、准线相关的问题。
6. 利用图形工具：-利用几何画板等图形工具可以帮助我们直观地理解圆锥曲线的性质和问题。
-图形工具可以帮助我们验证答案的正确性。
7. 注意特殊情况：-在解决圆锥曲线问题时，要注意特殊点的存在，如顶点、焦点、准线等。
-特殊点的性质往往在解题中起到关键作用。
8. 练习和总结：-定期练习圆锥曲线相关的题目，总结解题方法和技巧。
-学习并掌握常见的解题模式和思路。
通过以上技巧的运用，可以大大提高解决圆锥曲线大题的效率和准确性。
重要的是要理解每个技巧背后的数学原理，这样才能在遇到不同问题时灵活运用。
圆锥曲线选填题大招秒杀技巧汇总
圆锥曲线选填题秒杀大招及训练1. 例题【例1】设P 是椭圆2212516x y +=上的点,若21,F F 是椭圆的两个焦点,则12PF PF +等于 ( ) A.4B.5C.8D.10【例2】已知椭圆C :22194x y +=,点M 与C 的焦点不重合,若M 关于C 的焦点的对称点分别为B A ,,线段MN 的中点在C 上,则||||AN BN += .【例3】已知双曲线122=-y x ,点21,F F 为其两个焦点,点P 为双曲线上一点,若21PF PF ⊥,则21PF PF +的值为_______.【例4】设椭圆1C 的离心率为135,焦点在x 轴上且长轴长为26,若曲线2C 上的点到椭圆1C 的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线2C 的标准方程为 ( )A.1342222=-y xB.15132222=-y xC.1432222=-y xD.112132222=-y x【例5】(2016年新课标全国卷I10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于B A ,两点,交C 的准线于E D ,两点.已知AB=,DE=则C 的焦点到准线的距离为 ( ) A.2 B.4 C.6 D.8【例6】已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ,点()111,y x P ,()222,y x P ,()333,y x P 在抛物线上,且2132x x x =+,则有 ( )A.123FP FP FP +=B.222123FP FP FP +=C.2132FP FP FP =+D.2213FP FP FP =· 【例7】(2017年新课标全国卷II)已知F 是抛物线:C 的焦点,M 是C 上一点,FM 的延长线交轴于点N .若M 为FN 的中点，则FN = .【例8】M 是抛物线24y x =上一点,F 是抛物线的焦点,以Fx 为始边、FM 为终边的角60xFM ∠=︒,求FM .【例9】抛物线24y x =的焦点为F ,准线为l ,经过F的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ,AK l ⊥,垂足为K ,则AKF △的面积是 ( ) A.4B.C.D.828y x =y2.巩固提升综合练习【练习1】(2011年新课标全国卷14)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的中心为原点,焦点12,F F 在x 轴上,离心率为2.过1F 的直线l 交C 于,A B 两点,且2ABF ∆的周长为16,那么C 的方程为 . 【练习2】已知为椭圆的两个焦点,过的直线交椭圆于,A B 两点,,则= .【练习3】已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ,点A 在C 上,若122F A F A =,则21cos AF F ∠=A.14 B.13C.4D.3【练习4】若双曲线 的左、右焦点分别为,点在双曲线上,且,则等于 ( )A.11B.9C.5D.3【练习5】抛物线24y x =上的一点M 到焦点的距离为1,则点M 的纵坐标是 ( ) A.1617 B.1615 C.87D.0 【练习6】已知F 是抛物线2y x =的焦点,,A B 是该抛物线上的两点,=3AF BF +,则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A.34 B.1 C.54 D.74【练习7】(2014年新课标全国卷I10)已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF = ( )A.72 B.52C.3D.2 【练习8】(2017年新课标全国卷II 文12)过抛物线x y C 4:2=的焦点F ,且斜率为3的直线交C 于点M(M 在x 轴上方),l 为C 的准线,点N 在l 上且l MN ⊥,则M 到直线NF 的距离为 ( ) A.5 B.22 C.32 D.33【练习9】设抛物线28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 为抛物线上一点,PA ⊥l ,A 为垂足,如果直线AF 的斜率为那么PF = ( )21F F 、192522=+y x 1F 1222=+B F A F AB 22:1916x y E -=12,F F P E 13PF =2PFA. B.8C. D.16【练习10】设O 是坐标原点,F 是抛物线22(0)y px p =>的焦点,A 是抛物线上的一点,FA 与x 轴正向的夹角为︒60,则OA 为 ．1.例题【例1】(2012年新课标全国卷8)已知等轴双曲线C 的中心在原点,焦点在x 轴上,C 与抛物线x y 162=的准线交于A,B 两点,34=AB ,则C 的实轴长为 ( ) A.2 B.22 C.4 D.8【例2】“”是“方程”表示焦点在y 轴上的椭圆”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【例3】设AB 是椭圆的长轴,点C 在椭圆上,且4π=∠CBA .若2,4==BC AB ,则椭圆的两个焦点之间的距离为 .【例4】已知双曲线和椭圆191622=+y x 有相同的焦点,且双曲线的离心率是 椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为 .【例5】曲线221(6)106x y m m m +=<--与曲线221(59)59x y m m m+=<<--的 ( ) A.焦距相等 B.离心率相等 C.焦点相同 D.准线相同 2.巩固提升综合练习【练习1】若R k ∈,则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【练习2】已知抛物线x y 82=的准线过双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为 .【练习3】下图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米【练习4】已知04πθ<<,则双曲线22122:1cos sin x y C θθ-=与222222:1sin sin tan y x C θθθ-=的 0m n >>221mx ny +=22221(0b 0)x y a a b -=＞，＞( )A.实轴长相等B.虚轴长相等C.焦距相等D. 离心率相等 【例1】(2017年新课标全国卷I 文12)设A 、B 是椭圆C1323=+my x 长轴的两个端点,若C 上存在点M 满足︒=∠120AMB ,则m 的取值范围是 ( )A.(][)+∞,91,0B.(][)+∞,93,0C.(][)+∞,41,0D.(][)+∞,43,01、椭圆的焦点三角形：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。
高考压轴题圆锥曲线综合 终结圆锥曲线大题十个大招0
2) 4
消
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4k12
)
x2
16k2
x
16k12
4
0
2和x1
是方程的两个根，
2 x1
16k12 4 1 4k12
则
x1
2 8k12 1 4k12
，
y1
4k1 1 4k12
，即点
M
的坐标为
(
2 8k12 1 4k12
,
1
4k1 4k12
)
，
同理，设直线
A2N
的斜率为
k2，则得点
y k(x
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消
y
整理，得 k 2 x2
(2k 2
1)x
k2
0
①
由直线和抛物线交于两点，得 (2k 2 1)2 4k 4 4k 2 1 0
即0 k2 1
②
4
由韦达定理，得：
x1
x2
2k 2 k2
1
,
x1x2
1 。则线段
AB
的中点为 (
2k 2 2k
1
2
,
1) 2k
。
线段的垂直平分线方程为：
AB
的方程为
y
x
b
，由
y y
x2 xb
3
x2
x
b
3
0
x1
x2
1，进而可求出
AB
的中点 M ( 1 , 1 b) ，又由 M ( 1 , 1 b) 在直线 x y 0 上可求出 b 1，∴ x2 x 2 0 ，由弦
22
22
长公式可求出 AB 112 12 4 (2) 3 2 ．
圆锥曲线大题解题方法
圆锥曲线大题解题方法圆锥曲线是数学中的一个重要部分，它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种形式。
解题时，我们需要了解各种圆锥曲线的特点和性质，并运用相应的解题方法来求解。
本文将介绍一些常用的圆锥曲线大题解题方法。
一、椭圆的解题方法椭圆是一种闭合曲线，其定义方式可以通过平面上到两个定点的距离之和等于常数的方式来表示。
椭圆的解题方法主要包括以下几个步骤：1. 确定椭圆的中心和半长轴、半短轴；2. 根据椭圆的定义方程，确定椭圆的具体形状；3. 根据所给条件，列出方程组，并运用解方程的方法来求解参数；4. 根据得到的参数，确定椭圆的具体方程；5. 判断所求的椭圆是否满足题目中给定的条件。
二、双曲线的解题方法双曲线是一种开放曲线，其定义方式可以通过平面上到两个定点的距离之差等于常数的方式来表示。
双曲线的解题方法主要包括以下几个步骤：1. 确定双曲线的中心和半长轴、半短轴；2. 根据双曲线的定义方程，确定双曲线的具体形状；3. 根据所给条件，列出方程组，并运用解方程的方法来求解参数；4. 根据得到的参数，确定双曲线的具体方程；5. 判断所求的双曲线是否满足题目中给定的条件。
三、抛物线的解题方法抛物线是一种开放曲线，其定义方式可以通过平面上到一个定点的距离等于到一条直线的距离的方式来表示。
抛物线的解题方法主要包括以下几个步骤：1. 确定抛物线的焦点和准线；2. 根据抛物线的定义方程，确定抛物线的具体形状；3. 根据所给条件，列出方程并运用解方程的方法来求解参数；4. 根据得到的参数，确定抛物线的具体方程；5. 判断所求的抛物线是否满足题目中给定的条件。
综上所述，解决圆锥曲线大题的方法主要包括确定曲线的形状，求解参数，确定具体的方程，并判断满足给定条件。
通过合理的步骤和运算，我们能够准确地解决各种圆锥曲线问题。
在解题过程中，我们需要灵活运用数学知识和解题技巧，理清思路，化繁为简，从而解出正确的答案。
通过学习和掌握圆锥曲线的解题方法，我们可以更好地理解和应用数学知识，提高解题能力。
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∴ 1
x1 2 x1
， 2
x2 2 x2
，所以
1
2
x1 2 x1
x2 2 x2
2(x1 x2 ) 2x1x2 4 2(x1 x2 ) x1x2
10
3、已知△OFQ 的面积 S=2 6 , 且 OF FQ m 。设以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过 Q，
| OF | c, m ( 6 1)c 2 ，当 | OQ | 取得最小值时，求此双曲线方程。 4
4k
2
1 k2
1 k2 2k
解得 k
39 13
满足②式此时
x0
5 3
。
【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦 AB 的垂直平分线 L 的方程，往往是利用点．差．或．者．韦．达．定．理．产生弦 AB 的
中点坐标 M，结合弦 AB 与它的垂直平分线 L 的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线 L 的方程，然后解 决相关问题，比如：求 L 在 x 轴 y 轴上的截距的取值范围，求 L 过某定点等等。有时候题目的条件比较隐 蔽，要分析后才能判定是有关弦 AB 的中点问题，比如：弦与某定点 D 构成以 D 为顶点的等腰三角形（即 D 在 AB 的垂直平分线上）、曲线上存在两点 AB 关于直线 m 对称等等。 例题分析 1：已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于
招式二：动弦过定点的问题
例题
2、已知椭圆
C：
x2 a2
y2 b2
1(a b 0) 的离心率为
3， 2
且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A2(2,0)。 （I）求椭圆的方程；
（II）若直线 l : x t(t 2) 与 x 轴交于点 T,点 P 为直线 l 上异于
点 T 的任一点，直线 PA1,PA2 分别与椭圆交于 M、N 点，试问直 线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论
y k(x
由
y
2
x
1)
消
y
整理，得 k 2 x2
(2k 2
1)x
k2
0
①
由直线和抛物线交于两点，得 (2k 2 1)2 4k 4 4k 2 1 0
即0 k2 1
②
4
由韦达定理，得：
x1
x2
2k 2 k2
1
,
x1x2
1 。则线段
AB
的中点为 (
2k 2 2k
1
2
,
1) 2k
。
线段的垂直平分线方程为：
C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为 2a 2 2,
焦距 2c=2. a 2, c 1, b2 1. ∴曲线 E 的方程为 x 2 y 2 1. 2
（2）当直线 GH 斜率存在时，设直线 GH 方程为 y kx 2, 代入椭圆方程 x 2 y 2 1, 2
得 ( 1 k 2 )x 2 4kx 3 0. 2
3(1
k
)
，由
y kx
x
2
3
y2
3(1 k) 12 0
消
y，整理得：
(1 3k 2)x2 6 3k(1 k)x 9k 2 18k 3 0 x 3 是方程的一个根，
xP
3
9k 2 18k 1 3k 2
3即
xP
9k 2 18k 3 3(1 3k 2)
同理可得：
xQ
9k 2 18k 3 3(1 3k 2)
解：设直线
AB
的方程为
y
x
b
，由
y y
x2 xb
3
x2
x
b
3
0
x1
x2
1，进而可求出
AB
的中点 M ( 1 , 1 b) ，又由 M ( 1 , 1 b) 在直线 x y 0 上可求出 b 1，∴ x2 x 2 0 ，由弦
22
22
长公式可求出 AB 112 12 4 (2) 3 2 ．
yP yQ kxP
3(1 k ) kxQ
3(1 k ) ＝ k(xP xQ ) 2 3k ＝
12k 3(1 3k 2 )
xP
xQ
9k 2 18k 3 3(1 3k 2 )
9k 2 18k 3 ＝ 3(1 3k 2 )
36k 3(1 3k 2 )
kPQ
yP xP
yQ xQ
1 3
3
33
3
2：已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 y 1 x2 的焦点，离心率为 4
2 5 .（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）过椭圆 C 的右焦点作直线 l 交椭圆 C 于 A 、B 两点，交 y 轴于 M 5
点， 若 MA 1 AF ， MB 2 BF ，求证： 1 2 10 .
若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线 x 3 对称，求直线 PQ 的斜率。
解：(I)
BC
2
AC
，且 BC 过椭圆的中心 O
OC
AC
ACBC
0 ACO
又 A
(2
3, 0) 点 C 的坐标为 (
3,
3) 。
2
A (2 3, 0) 是椭圆的右顶点， a 2 3 ，则椭圆方程为：
(1) 2 (2)
1
2
32k 2 3(1 2k 2 )
32
3(
1 k2
2)
k2
3 , 4 2
32
3(
1 k2
2)
16 . 3
4
1
2
16 3
.解得
1 3
3.
又 0 1, 1 1. 3
又当直线 GH 斜率不存在，方程为 x 0, FG 1 FH , 1 . 1 1,即所求的取值范围是[1 ,1)
N
的坐标为
(
8k22 2 1 4k22
,
4k2 1 4k22
)
yp
k1 (t
2), yp
k2 (t
2)
k1 k1
k2 k2
2 t
， 直线
MN
的方程为：
y y1 x x1
y2 x2
y1 x1
，
令 y=0，得 x x2 y1 x1 y2 ，将点 M、N 的坐标代入，化简后得： x 4
y1 y2
t
又t 2 ， 0 4 2 椭圆的焦点为 ( 3, 0) 4 3 ，即 t 4 3
t
t
3
故当 t 4
3
时，MN 过椭圆的焦点。
3
招式三：过已知曲线上定点的弦的问题
例题 直线
4、已知点 A、B、C 是椭圆 E： x2
BC
过椭圆的中心
O，且
AC
BCa2
y2 b2
0，
1 (a b 0) 上的三点，其中点 A (2 3, 0) 是椭圆的右顶点， BC 2 AC ，如图。(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程；(II)
又 MA (x1, y1 y0 ) ，
MB (x2, y2 y0 ) ， AF (2 x1, y1) ， BF (2 x2, y2 ) ，
而 MA 1 AF ， MB 2 BF ，即 (x1 0, y1 y0 ) 1(2 x1, y1) ，(x2 0, y2 y0 ) 2 (2 x2, y2 )
1
则直线 PQ 的斜率为定值 。
3
招式四：共线向量问题
1：如图所示，已知圆 C : (x 1)2 y 2 8,定点A(1,0), M 为圆上一动点，点 P 在 AM 上，点 N 在 CM 上，
且满足 AM 2 AP, NP AM 0,点N 的轨迹为曲线 E.I）求曲线 E 的方程；II）若过定点 F（0，2）的直
解：（I）由已知椭圆 C 的离心率 e c 3 ， a 2 ,则得 c 3,b 1。从而椭圆的方程为 x2 y2 1
a2
4
（II）设 M (x1, y1) ， N (x2 , y2 ) ，直线 A1M 的斜率为 k1 ,则直线 A1M 的方程为 y k1(x 2) ，由
y k1(x x2 4y2
由
0得k 2
3 2
.
设
G
(
x1
,
y1 ), H (x2 ,
y2 ),
则x1 x2
4k 1 k2
8k 1 2k 2
(1), x1x2
3 1 k2
6 1 2k 2
(2)
2
2
又 FG FH ,
(x1, y1 2) (x2 , y2 2) x1 x2 ,
x1 , ， x2
x2 解：设椭圆 C 的方程为 a2
y2 b2
1
（ a ＞ b ＞ 0 ）抛物线方程化为 x2
4 y ，其焦点为 (0,1) ，
则椭圆 C 的一个顶点为 (0,1) ，即 b 1由 e c a
a2 b2 a2
25 5
，∴ a2
5 ，椭圆 C 的方程为
x2 5
y2
1（2）证明：右焦点
F (2, 0)
x2 12
y2 b2
1
将点 C ( 3, 3) 代入方程，得 b2 4 ，椭圆 E 的方程为
x2 y2 1 12 4
(II) 直线 PC 与直线 QC 关于直线 x 3 对称， 设直线 PC 的斜率为 k ，则直线 QC 的斜率为 k ，从而直线 PC 的方程为：
y
3 k(x
3) ，即 y kx
招式一：弦的垂直平分线问题
例题 1、过点 T(-1,0)作直线 l 与曲线 N ：y2 x 交于 A、B 两点，在 x 轴上是否存在一点 E( x0 ,0)，使得 ABE 是等边三角形，若存在，求出 x0 ；若不存在，请说明理由。