爱因斯坦关系式

1. 试由一维随机行走理论推导表面原子扩散的爱因斯坦公式。

答：一维随机行走理论：被吸附的表面原子扩散的形式为布朗运动（方向随机，各向同性）。

设每次跳跃的距离为d ，温度为T ，在一段时间下扩散净距离为x 。 因为布朗运动的方向随机，因此得到的x 是具有统计意义的值，并且由于各向同性，因此=0.

但却不等于0，推导过程如下：

设一段时间t 后，分子跳跃的次数为n （n=ft ，f 为跳跃频率），则 2212)(n d d d x +++=

j i n d d d d d 222221∑++++=

2nd =

2ftd =

扩散系数的定义：设表面距离为x 的两个区域内，分子浓度分别为C 和x dx

dC C ⋅+

，则单位时间，表面单位距离上扩散与逆向扩散的分子数分别为-xC/2t 和)(21x dx dC C x t ⋅+⋅。因为定义为一维扩散，所以方向数为2。相加得dx dC t x N ⋅=22。定义扩散系数t

x D 22=， 则可得爱因斯坦关系式Dt x 22=。与最初的公式对比可发现，若要使扩散系数为常数，则联立可得2

2fd D =。