(完整word)三角恒等变换高考专题

例1：快速写出下列运算结果，思考如何应用公式。

（1）.

cos80cos 20cos10sin 20o o o o += ▲ ； （2）.

()()()()cos 27cos 33sin 27sin 33o o o o αααα+--+-= ▲ ； （3）.

()()sin cos cos sin αβααβα+-+= ▲ ； （4）. sin14cos31sin17o o o += ▲ ；

（5）. 1tan151tan15

o

o -=+ ▲ ； （6）.

sin 67.5cos67.5o o = ▲ ； （7）.

22cos sin 88ππ-= ▲ ；

（8）. 21cos 122π-= ▲ ； （9）.

cos 20cos 40cos60cos80o o o o = ▲ ； 例2 求解以下3道小题，然后总结求解此类问题的入手点和注意问题。

（1） 已知3tan 4α=，5cos 13

β=-，()0,αβπ∈、，求()sin αβ+、()cos αβ-、tan 2α； （2） ()4cos 5αβ+=，1cos 7β=-，()0,αβπ∈、，求sin α； （3） 已知()4cos 5αβ-=-，()4cos 5αβ+=，且,2παβπ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，3,22παβπ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭

，求cos2α。

例3 已知tan tan αβ、是方程26510x x -+=的两个根，()0,αβπ∈、，求αβ+。

例4 （1）求证：tan 20tan 25tan 20tan 251o o o o ++=，你还能写出类似的式子吗？

（2）已知A B 、都是锐角，求证()()1tan 1tan 2A B ++=是4A B π

+=的充要条件。

（3）已知三个电流瞬时值函数式分别是122sin I t ω=，()222sin 120o I t ω=-，()322sin 120o I t ω=+。求证：1230I I I ++=。

课堂练习。

（1） 已知2sin cos 3

θθ+=，求sin 2θ的值； （2） 已知A B C 、、都是锐角，且tan 0.5A =，tan 0.2B =，tan 0.125C =，

求证：45o A B C ++=；

（3） 在斜ABC ∆中，求证：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=。

例5 已知函数()()sin sin cos f x x x x =+。

（1）. 求函数()f x 的周期；

（2）. 求函数()f x 的单调递增区间；

（3）. 求函数()f x 的最大值和此时x 的值；

（4）. 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦

时，求函数()f x 的值域； （5）. 求函数()f x 的对称中心和对称轴；

（6）. 已知14f m ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求314f π-⎛⎫ ⎪⎝⎭

（用m 表示）； （7）. 函数()f x 的图像如何由函数sin y x =变换得到？

（8）. 作出()f x 在一个周期内的图像。

变式训练：

（1）为了得到函数sin cos y x x =+的图像，只需把sin cos y x x =-的图像上所有的点

A ．向左平移

4π个单位长度 B ．向右平移4

π个单位长度 C ．向左平移2π个单位长度 D ．向右平移2π个单位长度 （2）函数2cos 2y x π⎛

⎫=+ ⎪⎝⎭

的单调增区间是 A ．,,2k k k Z πππ⎛

⎫+∈ ⎪⎝⎭ B ．,,2k k k Z ππππ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭

C ．()2,2,k k k Z πππ+∈

D ．()2,22,k k k Z ππππ++∈

例6 已知函数()2

2cos2sin 4cos f x x x x =+-。 （Ⅰ）求3f π⎛⎫ ⎪⎝⎭

的值； （Ⅱ）求()f x 的最大值和最小值。

变式训练：函数2sin 2cos y x x =+43

3x ππ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭的最大值是 ▲ ，最小值是 ▲ 。

例7 如图1，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴的正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且,62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭

。将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B 。记()11,A x y 、()22,B x y 。 （Ⅰ）若113x =

，求2x ； （Ⅱ）分别过A B 、作x 轴的垂线，垂足依次为C D 、。记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S 。若122S S =，求角α的值。

一题多解：

例8 （2015四川卷理科第12题）=+

75sin 15sin 。 例9 （2013全国卷Ⅱ理科第12题）设θ为第二象限角，若1tan 42

πθ⎛⎫+

= ⎪⎝⎭ ，则sin cos θθ+=_________. 例10 （2015全国卷Ⅱ理科第12题）若tan α=2tan 5π，则3cos()10sin()5παπα-=-

A 、1

B 、2

C 、3

D 、4

例11 （2015北京卷理科第15

题）已知函数2()cos 222

x x x f x ． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）求()f x 在区间[π0]-，上的最小值．

例12 （2015重庆卷理科第18题）已知函数(

)2sin sin 2f x x x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭

. （Ⅰ）求()f x 的最小正周期和最大值；