保险精算学-生存年金(1)

• 也就是我们在第三章讲到的n年期纯粹生存 保险。单位元数的n年期生存保险的趸缴纯 保费为 A 1
x :n
• 在生存年金研究中习惯用n E x 表示该保险的
精算现值 nEx Ax:1n vnnpx
7
t
8
例6.1
• 计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸 缴纯保费。已知 40p250.78765825
1(A A ) i x:m x:mn
47
第五节
年付h次的生存年金
48
简介
• 分类
– 终身年金与定期年金 – 期初付年金与期末付年金 – 延期年金与非延期年金
• 推导思路
– 寻找与年付年金之间的关系
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终身生存年金（初付）
• 基本公式
a(h) x
k0
1
k
vh
h
k h
px
• UDD假定下的公式
a(h) x
P 60000
a30 60000
N 30 D30
60000 91,698 ,459 3,905 ,782
140865 .7（1 元）
Hale Waihona Puke Baidu
19
20
21
(3) 终身生存年金的趸交净保费
• 保险公司的收费原理是期望意义下的现 值或终值的收支相等，这样计算出来的 费用称为净保费.
• 对于1元的终身生存年金，如果要计算 投保人在投保初的一次性交清（趸交） 净保费，则其数额应该等于相应的年金 的精算现值，
mnaxh2 h1(mExm nEx)
52
第六节
等额年金转换函数公式
53
等额年金转换函数公式
险种
初付
延付
终身生存年金
定期生存年金
延期终身生存 年金
延期定期生存 年金
ax
Nx Dx
a Nx Nxn
x:n
Dx
m
ax
Nxm Dx
max:n
NxmNxmn Dx
ax
N x1 Dx
a Nx1Nxn1
x:n
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常见险种的期末付生存年金
险种
延付年金精算现值
终身生存年金
n年定期 生存年金
ax
1 Ax i
1 A
a x:n
x:n
i
m年延期 终身生存年金
m a x a x a x :mm E xa x m 1 i(A x :m A x)
m年延期 n年定期 生存年金
mnax
a x:mn
a x:m
mEx
a xm:n
Dx
m
ax
Nxm1 Dx
a m x:n
Nxm1Nxmn1 Dx
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年金计算一般公式
：首次支付
年金的年龄
n：支付
N N 次数
α
αn
特别： N∞ = 0
Dz
z :需要计算价 值的时间点
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谢谢您的关注！
– 假定i＝6％ – 假定i＝2.5％
(1 )1040 E 020 5 1 00 0 1.00 4 60 00.787 6756 .785 825 (1 )1040 E 020 5 1 00 0 1.002 4 0 0 5 0.787 6259.4 838 23
9
相关公式及意义
(1) lx n Ex(1i)n lxn
n-2
33
回顾：确定年金的终值计算
n-2 n-1
34
（1）生存年金保单的分解与合成
35
36
X岁 X+1岁 X+2岁 X+k岁 k
1
X+n岁
/1 1Ex+n-1
n-2
/1 n-kEx+k /1 n-1Ex+1
37
38
（2）利用相应的现值折算
39
40
X+14 54
41
..
42
t
t
t
t
(h)ax(h)
其 中 ： (h) i(hi)d d(h)
• 近似公式（实际操作公式）
ii(h)
(h) i(h)d(h)
a(h) x
ax
h1 2h
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定期生存年金
• 基本定义 ax (： hn) ax (h)nExax (h )n
• UDD假定下的推导公式
ax (:h n)[(h)ax(h)]nEx[(h)axn(h)] (h)ax:n(h)(1nEx)
• 近似公式（实际操作公式）
a(h) x:n
a x:n
h2h1(1nEx)
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延期生存年金
• 延期终身生存年金（UDD假定）
a(h)
mx
mExax(h)mmEx[(h)axm(h)]
maxh2h1mEx
• 定期终身生存年金 （UDD假定）
mnax (h)mExax (h )m :nmEx[ (h)axm ： n(h)(1nExm)]
22
.
23
计算保险费收入的精算现值的例子
• 例：假如40岁的王女士投保了终身 交费的终身寿险，保单规定每年初 交费100元，试根据附表II（183页） 计算保险公司在此保单上今后期望 的保费收入的现值（设年利率为 6%）.
24
解： x 40 , i 6 %.
P 100
a40 100
N 40 D 40
• 离散生存年金与连续生存年金的关系 – 计算精算现值时理论基础完全相同 – 连续－积分离散－求和 – 连续场合不存在初付延付问题，离散场合初付、 延付要分别考虑
• 离散生存年金的分类 – 期初年金/期末年金 – 终身年金/定期年金 – 延期年金/非延期年金
12
6.2.2 终身生存年金的现值
13
该保单可以分解成1年期、2年期、… n 年 期、… 的无穷多个纯粹生存年金保单的合成，
100 15 ,164 ,500 960 , 036
1579 . 58（元）
25
6.2.3 其它形式的生存年金的 趸交净保费的费率
26
1、n 年定期生存年金
27
28
2、n 年延期生存年金
29
3、n 年延期 m 年定期期末付生存 年金
30
31
6.2.4 生存年金 的终值
32
回顾：确定年金的终值计算
43
44
例6.2
• 已知 i 0.05
x
90 91 92 93
lx
100 72 39
0
dx
28 33 39 －
• 假定91岁存活给付5，92岁存活给付10，求：
a90
45
例6.2答案
a 9 05 v9p 0 1v 2 0 2p 9 01 .5 01 7 5 0 2 1 .1 0 0 21 0 3 5 0 9 6 .9 07
– 初付年金/延付年金 – 连续年金/离散年金 – 定期年金/终身年金 – 非延期年金/延期年金
4
生存年金与确定性年金的关系
• 确定性年金
– 支付期数确定的年金（利息理论中所讲的年金）
• 生存年金与确定性年金的联系
– 都是间隔一段时间支付一次的系列付款
• 生存年金与确定性年金的区别
– 确定性年金的支付期数确定
– 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条件）
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生存年金的用途
• 被保险人保费交付常使用生存年金的方式 • 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生
存年金的方式，特别在：
– 养老保险 – 伤残保险 – 抚恤保险 – 失业保险
6
与生存相关联的一次性支付
• 现龄x岁的人在投保n年后仍然存活，可以 在第n年末获得生存赔付的保险。
其精算现值可以用所有这些纯粹生存年金的 精算现值求和而得.
14
15
tEx=Dx+t /Dx
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17
例子：假设 30 岁的人投保了 终身的年初付的 6000 元的生 存年金 . 如果年利率为 3%.
试根据表 IV (117885 页) 计算其 精算现值 .
18
解： x 30 , i 3%.
(2)
S
1 n Ex
1 vn n px
(1i)n
lx lxn
(3)
n Ex
t Ex
nt Ext
t Ex n Ex
1 E nt xt
年龄
x
x+t
x+n
nEx
现时值
1
E n t x t
1
S
tE x
1
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第2节
离散生存年金
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简介
• 离散生存年金定义： – 在保障时期内，以被保险人生存为条件，每隔 一段时期支付一次年金的保险。
第六章
生存年金
1
本章结构
• 生存年金简介 • 与生存相联的一次性支付 • 连续生存年金 • 离散生存年金 • 年h次支付生存年金 • 等额年金的转换函数公式
2
第1节
生存年金简介
3
生存年金
• 生存年金的定义：
– 以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、 季、月）支付一次保险金的保险类型
• 分类