第5章-轴心受压构件

均匀弹性。
欧拉临界压力：
NE
2EA 2
cr
2E 2
N NE压杆维持直线平衡 N NE压杆维持曲线平衡，临界状态 N NE压杆失稳
1947年，香莱(Shanley)研究了理想轴心压 杆的非弹性稳定问题，临界压力与临界应力为：
Nt
2Et A 2
t
2Et 2
crd
欧拉双曲线
切线模量 临界应力
Ny EI x
联 （2）合三
式
式1求两阶导数得：
d2y dz 2
d 2 y1 dz 2
d 2 y2 dz 2
dy2 dz
1V
1N
dy dz
（3）
Ny EI x
1N
d2y dz 2
1
1
N
d2 dz
y
2
Ny EI x
d2y
Ny
dz2 EIx 1 1N 0
上式符合边界条件的通解为：
y Asin z
稳定极限承载力理论：轴心构件的压力达到极值 型失稳的顶点。
2、按边缘纤维屈服准则计算临界应力
弯曲变形的微分方程：
N
EIx v4 v04 Nv2 0
假定压杆为两端简支，杆轴具有正弦
Lx y1
y2
曲线的初弯曲，即
v0 0 sin
z
l
x
压杆中点最大初挠度
y
N
m
m
0 1 N
压杆中点的最大挠度
N Ex
2
2
2
3
2
2
3
2
2
4 2
或附表4查稳定系数
整体稳定计算
N f A
5.4 轴心受压格构式构件的整体稳定 一、格构式构件的形式
缀板
实轴
虚轴
缀条
二、格构式构件绕实轴失稳计算
计算方法与实腹式压杆相同
三、格构式构件的绕虚轴的整体稳定
z N
虚轴
格构式压杆绕虚 轴失稳不仅要考 虑压弯作用，还 应考虑剪力作用 下柱肢与缀条的 变形的影响
失稳状态
三、局部失稳破坏
轴心受压构件的翼缘或腹板的宽度与厚度之 比太大就会出现局部失稳。
5.2 轴心受压构件的强度
N f
An
与轴心受拉构件相同
5.3 轴心受压实腹构件的整体稳定
一、理想轴心压杆的整体稳定
18世纪，瑞士欧拉(Euler)对理想压杆模型
的稳定性进行研究，假定杆件是等截面直杆，
压力的作用线与截面形心纵轴重合，材料完全
先计算缀条的伸长量： 当V 1时，斜缀条的伸长量为：
d Ndld
1
a
EA1x sin cos EA1x
1
1
ld 缀条的长度
ld
Nd 前后两根缀条内力总和
a
V 1 d
Nd
1
sin
ld
a
cos
1 d / sin
N
z N
L
C
z a
y
N
y
N
N
V
虚轴
C
1
1
ld
a
V 1 d
Nd
1
sin
1 d / sin
1
1 a
d
a sin
且d Ndld 1
a
EA1x sin cos EA1x
1
1
sin 2 cos
1 EA1x
0x
2x 2EA1
联 合
1
sin
2
1
cos
1 EA1x
两 式
0x
2x
sin
2
2
cos
A A1x
在实际钢结构中 40 70 《钢结构设计规范》采用简化公式： 0x
（1）和（2）式的临界力≤（3）式
EI
x
EIy
v4 v04 u4 u04
Nv2 0 Nu2 0
EI
4 04
GIt
2 02
r02 N 2 R 2
0
四、弯曲失稳的极限承载力
1、弯曲失稳极限承载力的准则 边缘纤维屈服准则：截面边缘纤维的应力达到屈
服点时就认为轴心受压构件 达到了弯曲失稳极限承载力。
任一点的变形由两部分组成：
L y1
y2 z
弯曲变形y1，剪切变形y2 y y1 y2
y N
y
弯曲变形由下式计算：
d 2 y1 M Ny
z
dz 2
EIx EIx
N
L
C
z
y N
y
N
V C
剪切变形由下式计算：
dy2 dz
1V
1N
dy dz
y y1 y2
（1）
d 2 y1 dz 2
M EI x
2E 2
绕x轴长细比： 绕y轴长细比： 扭转长细比：
x
l0 x Ix
A
y
l0 y Iy
A
l0
源自文库
I Ar02
l02
2
GIt R EAr02
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
对于一般的双轴对称截面，弯曲失稳的 极限承载力小于扭转失稳，因此不会出现扭 转失稳现象，但对某些特殊截面形式如十字 形等，扭转失稳的极限承载力会低于弯曲失 稳的极限承载力。
欧拉扭转失 稳临界力：
N E
2 EI l02
GIt
R
1 r02
r02
Ix
Iy A
x02
y02
R T x2 y2 dA
A
计算长度系数
l0x xl l0 y yl l0 l 查P101表5-1
欧拉弯曲失 稳临界应力：
欧拉扭转失稳 临界应力：
Ex
2E 2x
Ey
2E 2y
E
第5章 轴心受压构件
Chapter 5 Axial Compression Member
钢结构基本原理 Basic Principles of Steel Structure
本章基本内容：
§5.1 可能破坏形式 §5.2 轴心受压构件的强度 §5.3 实腹构件的整体稳定 §5.4 格构式构件的整体稳定 §5.5 整体稳定计算 §5.6 实腹构件的局部稳定 §5.7 格构式构件的局部稳定 §5.8 轴心受压构件的刚度
EI
x
EIy
v4 v04 u4 u04
Nv2 Nx0 2
Nu2 0
0
EI
4
4
0
GIt
2 02
Nx0v2 r02 N 2 R 2
0
（1）和（3）式相关，（2）式独立
r02
Ix
Iy A
x02
假定两端铰支时，上述微分方程的通解为：v
C1 sin
nz
l
令n=1，代入到上述微分方程得：
二、整体稳定计算方法
双轴对称截面绕实轴、虚轴弯曲失稳 单轴对称截面绕非对称轴弯曲失稳
格构式构件绕实轴弯曲失稳
1、冷弯薄壁型钢构件
相对长细比计算： f y E
稳定系数计算： 直接查附表4-1、附表4-2
cr
fy
1 2
1
1
2
1 0
1
1
2
1
0
2
4
2
2、其他构件按照《钢结构设计规范》
nz ；
l
C2
sin
nz
l
知：C1
0；C2
0
则上式的系数行列式必为0，即：
NEx N Nx0
Nx0
NE N r02
0
N N Ex
N
N E
1
x02 r02
N2 NEx NE
1
结合下式
2EA N Ex 2x
N E
2 EA
2
结合下式：
N Ex
2EA 2x
N E
2EA 2
2EA NE 2
L
x y1
N
y2
由边缘屈服准则得：
初偏心率
0
A0 Wx
x
cr
平
N A
均 应
cr
fy
N A
N m Wx
fy
m
0 1 N
N Ex
1 0 Ex 欧拉应力
2
联 合 两 式 佩 利
y
N
m
力
fy
1 0 Ex
2
2
f y Ex
公 式
上式给出了关系 cr
给定 0即可求得 cr 关系，我国《冷弯薄
EI
4 04
GIt
2
2
0
r02 N 2 R 2
0
绕z轴扭转失稳
此时，三个微分方程变为相互独立，可以单独分析。
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
对于理想压杆，对方程组的三式分别求解可以得到失稳临界力
u0 v0 0 0
欧拉弯曲失 稳临界力：
N Ex
2 EI x l02x
N Ey
2EI y l02y
以初弯曲为l/1000，选用不同的截面形式，不同的残余应 力模式计算出200条柱子曲线，这些曲线呈相当宽的带状分布。
根据数理统计原理，将这些柱子曲线分成a、b、c、d四组
这四条曲线具有如下形式：
当
0.215时，
cr
fy
11 2
当 0.215时，
cr fy
1
2 2
2
3
2
2
5.1 轴心受压构件的可能破坏形式 一、截面的强度破坏
截面无消弱：发生整体失稳破坏而不发生强度破坏 截面有消弱：消弱处可能发生强度破坏
二、整体失稳破坏
1、整体失稳破坏过程
稳定状态 临界状态
2、整体失稳形式
弯曲失稳：双轴对称截面、单 轴对称截面绕非对称轴失稳
弯扭失稳：单轴对称截面绕对 称轴失稳
扭转失稳：十字形、Z字形截 面，发生弯曲失稳，也可能只 发生扭转失稳
或
d2y dz 2
k
2
y
0
l
k2
N
EIx 1 1N
将通解代入下式：
d 2 y k 2 y 0 y Asin z
dz 2
l
A
k
2
2
l2
0
代入下式：
k2
N
EIx 1 1N
Ncr
2x
2EA 2EA1
令：0x 2x 2EA1
Ncr
2EA 2
0x
剪应变考虑了缀条或缀板剪切变形的影响，与缀条的截面 尺寸、缀条布置方式和缀板的截面尺寸、缀板间距等有关，可 以采用以下方法计算：
C2
sin
nz
l
C1
2 EI l2
x
N C2 Nx0
0
C1Nx0
C2
2 EI l2
GIt
R
1 r02
N
r02
0
将以下关系代入上式
N Ex
2 EI x l02x
N E
2 EI l02
GIt
R
1 r02
C1 C1
NEx N
Nx0 C2
C2 Nx0
NE N
r02
0
0
由v
C1 sin
Nx0v2 Ny0u2 r02 N 2 R 2
0
三个微分方程是相互联系的
双轴对称截面的弯曲失稳和扭转失稳
双轴对称截面因其剪力中心与形心重合，有
x0 y0 0
故双轴对称截面弹性微分方程简化为:
EI
x
EIy
v4 v04 u4 u04
Nv2 0 Nu2 0
绕x轴平面内弯曲失稳 绕y轴平面内弯曲失稳
壁型钢结构技术规范》采用了这个方法，并用下式
计算 cr / f y ，称为轴心压杆稳定系数 ：
cr
fy
1 2
1
1
2
1 0
1
1
2
1
0
2
4
2
fy E
相对长细比
0
初偏心率见 P104表5-2
附表4-1与4-2给出了我国《冷弯薄壁型钢结构技术规范》 对Q235与Q345钢计算得到的稳定系数表，设计时直接查表。
相对长细比计算： f y E
稳定系数计算：
公 式
当
0.215时， cr
fy
11 2
计 当 0.215时，
算
cr
fy
1
2 2
2
3
2
2
3
2
2
4 2
查 按表5-4确定截面类型(a、b、c、d) 表
计 算
查附表4-3～附表4-6
单轴对称截面绕对称轴弯扭失稳
换算长细比计算
N f A
三、轴心压杆的弯曲失稳、扭转失稳与弯扭失稳
钢结构压杆一般都是开口薄壁杆件，根据开口 薄壁杆件理论，具有初始缺陷的轴心压杆的弹性微 分方程为：
EI
x
EIy
v4 u4
v04 u04
Nv2 Nx0 2 0 Nu2 Ny0 2 0
EI
4 04
GIt
2 02
也称柱子曲线
二、实际轴心压杆的整体稳定
实际轴心压杆有多种初始缺陷，如初始弯曲、 初始偏心、残余应力、材料不均匀，使得实际轴心 压杆与理想轴心压杆之间存在很大区别。
初始缺陷使得压杆在受力一开始就出现弯曲变 形，压杆失稳为极值型失稳。
实际轴心压杆的稳定极限承载力不再是长细比 的唯一函数。
实际轴心压杆整体稳定计算公式：
查表找初偏心率
2x 2
2 41
x02 r02
2x2
按边缘纤维屈服准则计算稳定系数
cr
fy
1 2
1
1
2
1 0
1
1
2
1
0
2
4
2
公式（5-32）
或按稳定极限承载力理论计算稳定系数
当
0.215时，
cr
fy
11 2
当 0.215时，
公式（5-34）
cr fy
1
2x
27
A A1x
格构式构件换算长细比的计算公式见表5-5
当缀板刚度不满足表5-5时，换算长细比应按下式计算：
0x
2x
2
12
1
2
k1 kb
12
5.5 轴心受压构件的整体稳定计算
一、整体稳定计算公式 双轴对称、单轴对称、格构式截面均采
用以下公式：
整体稳定极限承载力 Ncr Af y
整体稳定设计承载力 Ncrd Af
其中换算长细比为：
弯扭失稳临界力公式
2
1 2
2x 2
1 2
2x 2
2
41
x02 r02
2x2
采用换算长细比后，理想轴心压杆的弯
扭失稳临界应力的计算公式与弯曲失稳临界 应力的计算公式完全一样。
单轴对称截面弯扭失稳极限承载力计算过程：
计算换算长细比
2
1 2
2x 2
1 2
计算相对长细比 f y E
3、按极限承载力理论计算临界应力
实际轴心受压构件存在初始弯曲、残余应力、初始偏心 等缺陷，我国《钢结构设计规范》将其作为压弯构件来处理。
实际轴心受压构件的柱子曲线分布在一个相当宽的带状 范围内，因此，用单一的柱子曲线来反映构件的整体稳定， 显然是不合理的。
柱子曲线见P105图5-5
我国《钢结构设计规范》方法：
3
2
2
4
2
系数见P105表5-3
截面分类见P106表5-4
五、单轴对称截面弯扭失稳的极限承载力
1、单轴对称截面在对称平面内失稳时为弯曲失稳，计算 方法同上节
2、单轴对称截面在非对称平面内失稳时为弯扭失稳，其 极限承载力计算方法不同
3、单轴对称截面在非对称平面内的弯扭失稳微分方程：
假设x轴为对称轴，则有 y0 0