立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法一、知识点1.点的位置向量：在空间中，取一定点O 作为基点，那么空间中任意一点P 的位置就可以用向量OP 来表示，我们把向量OP称为点P 的位置向量.2.直线的方向向量：空间中任意一条直线ｌ的位置可以由ｌ上一个定点A 以及一个定方向确定.★直线的方向向量就是指和这条直线平行（或共线）的向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个.3.平面的法向量：若直线ｌ⊥α，取直线ｌ的方向向量a ，则向量a叫做平面α的法向量.4. 平面的法向量的求解步骤：首先要建立空间直角坐标系，然后设平面的法向量为()n x,y,z =（1）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标()()111222a a ,b ,c ,b a ,b ,c== ； （2）根据法向量的定义建立关于x,y,z 的方程组n a 0n b 0⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩（3）解方程组，取其中的一组解，即得法向量.5.利用空间向量解决立体几何问题（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间的距离和夹角等问题；（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.题型一：用向量方法解决平行问题例1、已知111ABC A B C -是正三棱柱，D 是AC 的中点，求证：1AB ∥平面1DBC ．例2、已知正方体1AC 的棱长为1，E F G ，，分别为1AB AD AA ，，的中点，求证：平面EFG ∥平面11B CD ．题型二：用向量方法解决垂直问题例3、如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1中点.求证：AB 1⊥面A 1BD.例4、如图，在六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，四边形A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方形，DD 1⊥平面A 1B 1C 1D 1，DD 1⊥平面ABCD ，DD 1＝2.（Ⅰ）求证：11C A 与AC 共面，11D B 与BD 共面； （Ⅱ）求证：.1111BDD B ACC A 平面平面⊥∴.B 1C 1D 1 A 1 A BC D题型三：用向量方法求空间中的角例5、正四面体A BCD -边长均为1，E 、F 分别为AD 和BC 中点，求异面直线AF 和CE 所成角的余弦值.例6、求正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角的大小.例7、如图，四边形PCBM 是直角梯形，∠PCB ＝90°，PM ∥BC ，PM ＝1，BC ＝2，又AC ＝1，∠A C B ＝120°，AB ⊥PC ，直线AM 与直线PC 所成的角为60°.(Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面ABC ； （Ⅱ）求二面角B AC M --的余弦值.B C A DF E题型四：用向量方法求距离例8、如图，已知正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的侧棱长和底面边长均为1，M 是底面BC 边上的中点，N 是侧棱CC 1上的点，且CN ＝2C 1N ． （Ⅰ）求二面角B 1－AM －N 的平面角的余弦值； （Ⅱ）求点B 1到平面AMN 的距离。
立体几何中的向量方法
讨论： 设A是空间任一点, n为空间任一非零向
α//β(或重合) n 1//n2 α⊥β ⊥n2 · 2=0 n1 n1 n
量,适合条件AM· n=0. 的点M 构成什么样的图形? AM· n=0. 我们用上式表述通过空间一点并且与一个向量 垂直的平面.通常称为一个平面的向量表示. 设n1,n2分别是平面α,β的法向量,则容易得到
Байду номын сангаас 5.练习:
已知二面角 -A B - 为1200，AC ，BD ， 且AC AB，BD AB，A B =A C =B D =1.
(1)求CD的长.
(2)CD与AB
所成的角.
5.练习:
正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 为DD1的中 点，O1，O2，O3分别是平面A1B1C1D1，平面 BB1C1C，平面ABCD的中心. z （1）求证：B1O3⊥PA. D1 O1 C1 A1 B1 P O2 D Cy O3 A B x
1.利用向量判断位置关系
利用向量可证明四点共面、线线平行、 线面平行、线线垂直、线面垂直等问题，
其方法是通过向量的运算来判断，这是数
形结合的典型问题.
例1 在正方体AC1中，E,F分别是BB1,CD 的中点，求证：平面AED⊥平面A1FD1.
D1 A1 D A x F z C1 B1
E
C y
B
评述：
n
M1
M
M2
A
例3 已知点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c), 求平面ABC的一个法向量. 解: 由已知得AB=OB-OA=(-a,b,0) AC=OC-OA=(-a,0,c) z 设平面ABC的一个法向量为 C n n=(x,y,z),则
3.2立体几何中的向量方法(位置关系)
一、直线的方向向量
把直线 l 上的向量 e 以及与 e 共线的 向量叫做直线 l 的方向向量
二、平面的法向量：
如果表示向量 n 的线段所在直线垂直于平面 则称这个向量垂直于平面
，记作 n
，
.
如果 n ，那么向量 n 叫平面 的法向量. 一个平面有无数个法向量，它们都是共线向量
练习：如图 ABCD是直角梯形 ABC 90, 1 SA AB BC 1，AD . 2 求平面 SCD与平面 ABA的法向量.
z
S
y
1 B 则D（ ， 0， 0）C（ 1， 1， 0）， S（ 0， 0， 1） 21 CD （ ， 1， 0）， SC （ 1， 1， 1） 2 A
1. 已知正三棱柱 ABC A1 B1C 1 D1的各棱长都为 1，M 是底面上 1 BC 边的中点， N 是侧棱 CC 1 上的点，且 CN CC 1 . 4 求证： AB1 MN .
A1 B1 A B M C1
N C
2. 如图，已知正方体 ABCD A1 B1C 1 D1中， P 为底面 对角线 BD 上一点，且 BP 3 PD ，Q 为棱 DD1 的中点， 求证： PQ 平面 A1QC 1 .
练习：如图 ABCD是直角梯形 ABC 90, 1 SA AB BC 1，AD . 2 求平面 SCD与平面 ABA的法向量.
解： AD、AB、AS是三条两两垂直的线段 以A为原点， AD、 AB、 AS的方向为 x、y、z轴的正方向建立坐标系 A xyz. 设平面 SCD的法向量为 n （x，y，z）
三、法向量的求法
例. 已知平面 经过三点A（ 1， 2， 3），B（ 2， 0， 1） ， C（ 3， 2， 0） ，求平面 的一个法向量.
3.2立体几何中的向量方法(法向量)
y＝－x ∴ 1 z＝－ x. 2
令 x＝2 得 y＝－2，z＝－1. ∴n＝(2，－2,1)即为平面 BDEF 的一个法向量.
【解】 设正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2， 则 D(0,0,0)， B(2,2,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，E(1,0,2) → ＝(－2,2,0)为平 (1)连 AC，因为 AC⊥平面 BDD1B1，所以AC 面 BDD1B1 的一个法向量．
→ ＝(2,2,0)，DE → ＝(1,0,2)． (2)DB 设平面 BDEF 的一个法向量为 n＝(x，y，z)． → ＝0 n· DB ∴ → n · DE ＝0，
【自主解答】
以点 A 为原点，AD、AB、AS 所在的直线分
别为 x 轴、 y 轴、 z 轴， 建立如图所示的坐标系， 则 A(0,0,0)， B(0,1,0)，
1 C(1,1,0)，D2，0，0，S(0,0,1)．
→ ＝(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法 (1)∵SA⊥平面 ABCD， ∴AS 向量． ∵AD⊥AB，AD⊥SA，∴AD⊥平面 SAB，
-----直线的方向向量与平面的法向量
1、点的位置向量
在空间中，我们取一定 点O作为基点， 那么空间中任意一点 P的位置就可以用 向量OP来表示。我们把向量 OP称为 点P的位置向量。
P
A
2、直线的方向向量
空间中任意一条直线 l的位置可以由 l上 一个定点A以及一个定方向确定。
P
a
B
A
AP t AB
x 2 y 4z 0 2 x 4 y 3z 0
依题意,有 n AB 0且n AC 0 ,即
高中数学3.2立体几何中的向量方法课件-(共43张PPT)
，即14x＋ 43y＋12z＝0
，
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
∵ PD ＝0，23 3，－1，显然 PD ＝
3 3 n.
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∵ PD ∥n，∴ PD ⊥平面 ABE，即 PD⊥平面 ABE.
探究提高 证明线面平行和垂直问题，可以用 几何法，也可以用向量法，用向量法的关键在 于构造向量，再用共线向量定理或共面向量定 理及两向量垂直的判定定理。若能建立空间直 角坐标系，其证法较为灵活方便.
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r 平面的法向量：如果表示向量 n的有向线段所在
直线垂直于r平面 ，则称r这个向量垂直于平r
面 ,记作 n⊥ ，如果 n⊥ ，那 么 向 量n
叫做平面 的法向量.
r
l
给定一点Ar 和一个向量 n,那么 过点A,以向量 n 为法向量的平面是
r 完全确定的.
n
几点注意：
1.法向量一定是非零向量;
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题型分类 深度剖析
题型一 利用空间向量证明平行问题 例 1 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1
中，M、N 分别是 C1C、B1C1 的中点．求证： MN∥平面 A1BD.
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证明 方法一 如图所示，以 D 为原点，DA、DC、DD1 所在
直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方体的
1，得
x
1 2
y 1
r n
(
1
,
1,1),
2
10
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的 位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量与平 面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、 夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空间两 直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹角吗？ 你能用平面的法向量表示空间两平面平行、垂直的 位置关系以及它们二面角的大小吗？
13—立体几何中的向量方法
13—立体几何中的向量方法向量是几何学中非常重要的概念之一，它可以用来描述空间中的方向和大小。
在立体几何中，向量方法被广泛应用于解决各种问题，例如计算向量的模、方向角、点到直线的距离等等。
本文将详细介绍立体几何中的向量方法，包括向量的基本概念、加减乘除、数量积、向量积等内容。
一、向量的基本概念在立体几何中，我们通常用箭头表示一个向量，表示向量的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
两个向量相等意味着它们的大小和方向都相同。
向量的模表示向量的大小，一般用，AB，表示，表示点A到点B的距离，也表示向量的大小。
二、向量的加减乘除1.向量的加法：向量的加法按照平行四边形法则进行，即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
用数学表示为A+B=C，C的起点为A的起点，终点为B的终点。
2.向量的减法：向量的减法等价于将减去的向量取反再进行加法，即A-B=A+(-B)。
其中，-B表示B的方向相反，大小相同的向量。
3. 向量的数量积：两个向量的数量积等于向量的模的乘积与两个向量之间的夹角的余弦值的乘积，即A·B=，A，B，cosθ。
其中，θ为两个向量之间的夹角。
4. 向量的向量积：两个向量的向量积等于一个新的向量，其方向垂直于原来两个向量所在的平面，大小等于两个向量的模的乘积与夹角的正弦值的乘积，即A×B=，A，B，sinθn。
其中，n为右手定则确定的垂直于平面的方向。
三、应用实例1.计算向量的模：给定一个向量A=(-3,4,5)，可以计算其模为，A，=√((-3)^2+4^2+5^2)=√50。
2. 计算向量的方向角：给定一个向量A=(-3,4,5)，可以计算其方向角为α=arccos(-3/√50)，β=arccos(4/√50)，γ=arccos(5/√50)。
3.计算点到直线的距离：给定一点P(x,y,z)和一直线l，可以通过向量的方法计算点P到直线l的距离。
立体几何中的向量方法
3.2立体几何中的向量方法空间距离利用向量方法求解空间距离问题，可以回避此类问题中大量的作图、证明等步骤，而转化为向量间的计算问题．例１如图，已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离．例2已知正方体ABCD －''''D C B A 的棱长为1，求直线'DA 与AC 的距离．分析：设异面直线'DA 、AC 的公垂线是直线l ，则线段'AA 在直线l 上的射影就是两异面直线的公垂线段，所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解．1A 向量的内积与二面角的计算在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中，讲到几何空间的内积时，有一个例题（见[1]，p53）要求证明如下的公式：,cos sin sin cos cos cos ϕβαβαθ+= (1)其中点O 是二面角P-MN-Q 的棱MN 上的点，OA 、OB 分别在平面P 和平面Q 内。
α=∠AON ，β=∠BON ， θ=∠AOB 。
ϕ为二面角P-MN-Q （见图1）。
图1公式（1）可以利用向量的内积来加以证明：以Q 为坐标平面，直线MN 为y 轴，如图1建立直角坐标系。
记xOz 平面与平面P 的交线为射线OD ，则MN OD ⊥，得απ-=∠2AOD ，ϕ=∠DOx ，ϕπ-=∠2DOz 。
分别沿射线OA 、OB 的方向上作单位向量a ，b ，则θ=b a,。
由计算知a ，b的坐标分别为)sin sin ,cos ,cos (sin ϕααϕα，)0,cos ,(sin ββ，于是，ϕβαβαθcos sin sin cos cos ||||cos +=⋅=⋅⋅=b a b a ba。
公式（1）在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。
我们来介绍如下的两个应用。
例1．立方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的边长为1，E 、F 、G 、H 、I 分别为A 1D 1、A 1A 、A 1B 1、B 1C 1、B 1B 的中点。
立体几何中的向量方法
§3.2立体几何中的向量方法（2）1. 掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题； .105107，找出疑惑之处. 复习1：已知1a b ∙= ，1,2a b == ，且2m a b =+ ，求m.复习2：什么叫二面角？二面角的大小如何度量？二面角的范围是什么？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：用向量求空间线段的长度问题：如何用向量方法求空间线段的长度？新知：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a = 求出线段长度.试试：在长方体''''ABC D A B C D -中，已知'1,2,1AB BC CC ===,求'AC 的长.反思：用向量方法求线段的长度，关键在于把未知量用已知条件中的向量表示. ※ 典型例题例1 如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？变式1：上题中平行六面体的对角线1BD 的长与棱长有什么关系？变式2：如果一个平行六面体的各条棱长都相等，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于α, 那么由这个平行六面体的对角线的长可以确定棱长吗?探究任务二：用向量求空间图形中的角度例2如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点B处.从A，B到直线l（库底与水坝的交线）的距离,A CB D分别为,a b，C D的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值.变式：如图，60︒的二面角的棱上有,A B两点，直线,A CB D分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于,===,求C D的长.A B已知4,6,8AB AC BD※动手试试练1. 如图，已知线段AB在平面α内，线段A Cα⊥，D Dα⊥，线段BD⊥AB，线段'∠= ，如果AB＝a，AC＝BD＝b，求C、D间的距离.DBD'30练2. 如图，M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -的棱'BB 、''B C 的中点．求异面直线MN 与'C D 所成的角.三、总结提升※ 学习小结1.求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式a = ；2. 空间的二面角或异面直线的夹角，都可以转化为 利用公式cos ,a b a b a b ⋅=⋅ 求解.※ 知识拓展解空间图形问题时,可以分为三步完成:（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题(还常建立坐标系来辅助)；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题；“翻译”成相应的几何意义.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 已知()()1,02,1,1,3A B -，则AB = .2. 已知1cos ,2a b =- ，则,a b的夹角为 . 3. 若M 、N 分别是棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -的棱''',A B BB 的中点,那么直线,AM C N 所成的角的余弦为（ ） A.2 10 C.35 D.25 4. 将锐角为60︒边长为a 的菱形ABC D 沿较短的对角线折成60︒的二面角，则,A C B D 间的距离是（ ）A.32a 2 C.34a 45.正方体''''ABC D A B C D -中棱长为a ，'13AM AC =,N 是'B B 的中点，则M N 为（ ）A.66631.如图，正方体''''-的棱长为1，ABC D A B C DM N分别是''',BB B C的中点，求：,⑴'MN CD所成角的大小；,⑵,M N AD所成角的大小；⑶A N的长度.§3.2立体几何中的向量方法（3）1. 进一步熟练求平面法向量的方法；2. 掌握向量运算在几何中如何求点到平面的距离和两异面直线间距离的计算方法；3. 熟练掌握向量方法在实际问题中的作用.复习1：已知)()1,1,2C，试求平面ABC的一个法向量.A B()1,2,0,0,1,1,复习2：什么是点到平面的距离？什么是两个平面间距离？二、新课导学※ 学习探究探究任务一：点到平面的距离的求法 问题：如图A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,已知平面α的一个法向量为n ,且AP 与n 不共线,能否用AP 与n 表示d ?分析:过P 作PO ⊥α于O ,连结OA ,则 d =|PO |=||cos .PA APO ⋅∠∵PO ⊥α,,n α⊥ ∴PO ∥n . ∴cos ∠APO=|cos ,PA n 〈〉 | ∴D. =|PA ||cos ,PA n 〈〉 | =|||||cos ,|||PA n PA n n ⋅⋅〈〉 =||||PA n n ⋅新知：用向量求点到平面的距离的方法：设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n，则 D. =||||PA n n ∙试试：在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，求点'C 到平面''A BCD 的距离.反思：当点到平面的距离不能直接求出的情况下，可以利用法向量的方法求解.※ 典型例题例1 已知正方形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，GC ⊥平面ABCD ，且GC ＝2，求点B 到平面EFG 的距离.变式：如图,ABC D 是矩形,PD ⊥平面A B C D ,PD D C a ==,AD =,M N 、分别是A D P B、的中点,求点A 到平面M N C 的距离.小结：求点到平面的距离的步骤：⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标；⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.探究任务二：两条异面直线间的距离的求法例 2 如图，两条异面直线,a b 所成的角为θ，在直线,a b 上分别取点',A E 和,A F ,使得'A A a ⊥,且 'AA b ⊥.已知',,A E m AF n EF l ===，求公垂线'A A 的长.变式：已知直三棱柱111A B C A B C ─的侧棱14AA =,底面ABC △中, 2AC BC ==，且90BC A ∠= ,E 是AB 的中点,求异面直线C E 与1AB 的距离.A PD C BM N小结：用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB d n∙=求解.三、总结提升※ 学习小结1.空间点到直线的距离公式2.两条异面直线间的距离公式※ 知识拓展用向量法求距离的方法是立体几何中常用的方法.※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为（ ）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，平面''A B B A 的一个法向量为 ；2. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 所成角是 ；3. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，两个平行平面间的距离是 ；4. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，异面直线'A B 和'CB 间的距离是 ；5. 在棱长为1的正方体''''ABC D A B C D -中，点O 是底面''''A B C D 中心，则点O 到平面''A CDB 的距离是 .1. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点M 是棱1AA 中点，点O 是1BD 中点，求证：O M 是异面直线1AA 与1BD 的公垂线，并求O M 的长.2. 如图，空间四边形O ABC各边以及,O A BC的中点，A CB O的长都是1，点,D E分别是边,连结D E.⑴计算D E的长；⑵求点O到平面ABC的距离.。
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )1．下列各组向量中不平行的是( )A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．已知平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α的是( )A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________．4．若A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(x ，y ，z )，则x ∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1 (2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，M，N分别是棱AB，AD，A1B1，A1D1的中点，点P，Q分别在棱DD1，BB1上移动，且DP＝BQ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC1∥平面EFPQ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．题型二证明垂直问题例2如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC ＝2，在四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，AB＝4，CD＝1，点M在PB上，PB＝4PM，PB与平面ABCD成30°角．(1)求证：CM∥平面PAD；(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.题型三解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．如图所示，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)若SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A 组 专项基础训练1．若直线l 的方向向量为a ＝(1,0,2)，平面α的法向量为n ＝(－2,0，－4)，则( )A ．l ∥αB ．l ⊥αC ．l ⊂αD ．l 与α相交2．若AB →＝λCD →＋μCE →，则直线AB 与平面CDE 的位置关系是( )A ．相交B ．平行C ．在平面D ．平行或在平面3．已知A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (3,7，－5)，则平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标是( )A ．(2,4，－1)B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(5,13，－3)4．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为( )A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．已知平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为( )A ．(1,1,1)B ．(23，23，1)C ．(22，22，1) D ．(24，24，1) 12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，若α⊥β，则t 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN →的实数λ有________个．14．如图所示，已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．(1)求证：EF⊥CD；(2)在平面PAD求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论．。
立体几何中的向量方法
3.2立体几何中的向量方法1.直线的方向向量：我们把直线l 上的向量a 以及与a 共线的向量叫做直线l 的方向向量.2.平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a ，那么向量a 叫做平面α的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的.3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”：（1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题；（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．4.用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面21,αα的法向量分别为21,n n ，则有如下结论5.用向量法求线线角：A B 与C D 的夹角和AB与CD 的夹角相等或互补.公式为cos ,||||AB C DAB C D AB C D ⋅<>=. 6.法向量求线面角：设平面β的斜线l 与平面β所成的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为cos ,||||AB nAB n AB n ⋅<>=. 7.法向量求面面角：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为121212cos ,||||n n n n n n ⋅<>=.8.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为a ，与这两条异面直线都垂直的向量为n ，则两异面直线间的距离是a 在n 方向上的正射影向量的模.公式为d =9.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为a ，平面的法向量为n ，则P 到平面的距离d 等于a 在n 方向上正射影向量的模.公式为d =.（19）（本小题满分12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，112A CBC A A ==，D 是棱1A A 的中点，1D C BD ⊥。
第三讲立体几何中的向量方法
第三讲立体几何中的向量方法类型一利用空间向量证明位置关系设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α，β的法向量分别为u＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(1)线面平行l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1a3＋b1b3＋c1c3＝0.(2)线面垂直l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku⇔a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3.(3)面面平行α∥β⇔u∥v⇔u＝kv⇔a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4.(4)面面垂直α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0⇔a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.[例1](2012年高考福建卷)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．(1)求证：B1E⊥AD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．跟踪训练如图，在圆锥PO中，已知PO＝2，⊙O的直径AB＝2，C是 AB的中点，D为AC的中点．证明：平面POD⊥平面P AC.类型二利用空间向量求角1．向量法求异面直线所成的角若异面直线a，b的方向向量分别为a，b，异面直线所成的角为θ，则cos θ＝|cos 〈a，b〉|＝|a·b| |a||b|.2．向量法求线面所成的角求出平面的法向量n，直线的方向向量a，设线面所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n，a〉|＝|n·a| |n||a|.3．向量法求二面角求出二面角α－l－β的两个半平面α与β的法向量n1，n2，若二面角α－l－β所成的角θ为锐角，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝|n1·n2| |n1||n2|；若二面角α－l－β所成的角θ为钝角，则cos θ＝－|cos〈n1，n2〉|＝－|n1·n2||n1||n2|.[例2](2012年高考辽宁卷)如图，直三棱柱ABC A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝λAA′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．(1)证明：MN∥平面A′ACC′；(2)若二面角A′MNC为直二面角，求λ的值．跟踪训练(2012年长沙模拟)如图，在底面为直角梯形的四棱锥P-ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.(1)求证：BD⊥PC；(2)求直线AB与平面PDC所成的角的大小；类型三利用空间向量解决探索性问题探索性问题的类型(1)对平行、垂直关系的探索；(2)对条件和结论不完备的开放性问题的探索．[例3](2012年高考北京卷)如图(1)，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6.D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图(2)．(1)求证：A 1C ⊥平面BCDE ；(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小；(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直？并说明理由．跟踪训练如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知BC ＝1，BB 1＝2，∠BCC 1＝π2，AB ⊥侧面BB 1C 1C .(1)求直线C 1B 与底面ABC 所成角的正切值；(2)在棱CC 1(不包含端点C ，C 1)上确定一点E 的位置，使得EA ⊥EB 1(要求说明理由)．【真题】(2012年高考天津卷)如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC ＝45°，P A＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角APCD的正弦值；(3)设E为棱P A上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．名师押题【押题】如图，在四棱锥P ABCD中，P A⊥底面ABCD，∠DAB为直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E、F分别为PC、CD的中点．(1)求证：AB⊥平面BEF；(2)设P A＝k·AB，若平面EBD与平面BDC的夹角大于45°，求k的取值范围．。
立体几何中的向量方法
立体几何中的向量方法立体几何中的向量方法是一种应用向量的数学工具和技巧来研究和解决与立体几何相关的问题的方法。
向量方法可以使得我们更加直观地理解和推导立体几何中的性质和结论，并且可以解决许多传统几何方法比较复杂的问题。
在本文中，我们将详细讨论立体几何中的向量方法，并且给出一些具体的例子来说明其应用。
首先，我们需要明确向量的基本概念和性质。
在立体几何中，我们通常使用三维空间中的向量来描述和表示几何体。
一个向量可以被表示成一个有方向和长度的箭头，其中方向表示向量指向的方向，长度表示向量的大小。
在数学上，向量可以用坐标表示，如表示为一个三维向量(a,b,c)，其中a，b，c分别表示向量在三个坐标轴上的分量。
利用向量的表示方法，我们可以推导出一些基本的立体几何结论。
例如，我们可以根据向量的平行和垂直性质来判断线段、直线和平面的关系。
如果两个向量平行，则它们所表示的线段或直线也是平行的。
如果两个向量垂直，则它们所表示的线段或直线也是垂直的。
另外，向量的加法和减法也是我们在立体几何中常常使用的运算。
如果我们想要求两个向量之和，则可以将它们的对应分量相加得到新的向量。
同样地，如果我们想要求两个向量的差，则可以将它们的对应分量相减得到新的向量。
这些运算对于求解几何体的位置、长度和角度等问题非常有用。
进一步地，向量的数量积和向量积是在立体几何中经常应用的运算。
数量积（也称为点积）可以用来求解两个向量之间的夹角。
具体地，如果两个向量A和B的数量积为0，则它们是垂直的；如果数量积为正，则它们是锐角；如果数量积为负，则它们是钝角。
向量积（也称为叉积）可以用来求解一个平面的法向量，以及计算平面的面积和体积。
具体地，向量积的大小等于该平面的面积的二倍，而向量积的方向与该平面垂直，并且遵循右手定则。
除了上述的基本运算和性质，向量方法还可以应用于解决许多具体的立体几何问题。
例如，通过向量法可以证明平行四边形的对角线互相平分，并且可以推导出梅涅劳斯定理（即三角形的三条中线交于一点且互相平分）。
立体几何中的向量方法
利用直线方向向量
直线a的方向向量a , 直线b的方向向量b a b a // b a // b
证明平行问题
证明线面平行的方法
利用线线平行 若 a , b , a // b，则 a //
利用面面平行
若 a // , a , 则a // .
利用向量共面充要条件
点到直线距离
点到直线的距离：一点到它在一直线上的射影的距 离叫做这一点到这条直线的距离 定义法：作出距离线段(常利用三垂线定理作出)， 解三角形求之 A 向量法：
1.取斜线AB上的向量BA, 取直线方向向量l 2.计算 BA在l方向上的投影的绝对值 即 BO ) ( BO BA cos BA, l BA l l 3.利用勾股定理求 AO (点到线的距离 )
小结
画出下列空间几何体，思考如何建立坐标系？ 正方体、长方体 正三棱锥、正四棱锥 正三棱柱、直三棱柱 …… 注意：要建立右手系：x→y→z按逆时针顺序转. 用向量解立体几何问题步骤： 建系（必须用文字表述，并在图中标出） 写点坐标 写向量坐标 计算…… 回归到立体几何结论
向量方法与传统立体几何方法 “两手都要抓，两手都要硬”
立体几何中的向量方法
空间角的计算
异面直线所成的角
平移法：平移其中一条，或者利用中位线平移，或者 利用补形平移，用余弦定理求角 向量法：取两直线的方向向量a , b，cos a , b a b ab
两异面直线所成角， cos a , b cos
小结论： 三面角余弦公式
证明平行问题
证明线线平行的方法
利用平行公理 若a // b, b // c , 则a // c.
利用线面平行 若 a // , a , b, 则a // b.
立体几何中的向量方法
1．用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几 何问题转化为向量问题；
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间夹角问题
（3）把向量的运算结果“翻译”成相对应的几何意 义。
2．向量的相关知识： （1）两向量数量积的定义：
且OS=OC=BC=1，OA=2.
z
求：(3)二面角B－AS－O的余弦值.
S
解：由(2)知平面SAB的一个法向量为n (1，1，2)，
O
又由OC 平面SAO知OC是平面SAO的法向量
A
且OC (0，1，0)
x
cos n，OC 0 1 0 6 6 1 6
所以二面角B－AS－O的余弦值为 6 6
2
CD (1, 1 , 0), SD (0, 1 , 1)
2
2
S B
xA D
设平面 SCD的法向量n2 (x, y, z), 由n2 CD, n2 SD,得：
x2y 2yz
0 0
x
z
y 2 y 2
任取n2 (1, 2,1)
cos
n1, n2
|
n1 n2 n1 || n2
|
可得PA 2EG PA // EG。因为PA与EG不共线，所以PA // EG
又PA 平面EDB，EG 平面EDBPA // 平面EDB
(2)求EB与底面ABCD所成的角的正切值。
解：因为PD 平面ABCD，所以PD是平面ABCD的法向量。
由(1)知D(0，0，0)，P(0，0，1)，
z P
两直线 l, m 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ), cos a b ；
立体几何中的向量方法——证明平行及垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直1．直线的方向向量与平面的法向量确实定(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧n ·a ＝0，n ·b ＝0.2．用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.3．用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)(1)直线的方向向量是唯一确定的．()(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()1．以下各组向量中不平行的是()A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()A ．P (2,3,3)B ．P (－2,0,1)C ．P (－4,4,0)D ．P (3，－3,4)3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.题型一 证明平行问题例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在线段AC 上，且AQ ＝3QC .证明：PQ ∥平面BCD .如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．题型二 证明垂直问题例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1⊥平面A 1BD .如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．(1)求证：CM ∥平面PAD ；(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .题型三 解决探索性问题例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.(1)求证：BD⊥AA1；(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD.(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．利用向量法解决立体几何问题典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．(1)证明：PB∥平面AEC；(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E－ACD的体积．A组专项根底训练1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()A．l∥αB．l⊥αC．l⊂αD．l与α相交2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面D．平行或在平面3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()A.627B.637C.607D.6575．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为()A ．60°B ．45°C ．90°D ．以上都不正确6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定的平面上，则a ＝________.8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB＝12PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.(1)求证：EF ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .B 组 专项能力提升11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()A ．(1,1,1)B ．(23，23，1) C ．(22，22，1) D ．(24，24，1)12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()A ．3B ．4C ．5D ．613．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN→的实数λ有________个．14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中点．求证：(1)DE ∥平面ABC ；(2)B 1F ⊥平面AEF .15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．。
立体几何中的向量方法(空间角与距离问题)
速度和加速度的研究
加速度
表示物体运动速度变化的快慢和方向， 通过向量表示加速度，研究其合成与分 解。
解决实际问题的应用
物理问题
向量方法广泛应用于解决物理中的力学、电磁学和振动等问题。
工程问题
在机械、航空、航海和建筑等领域，向量方法用于解决各种实际工 程问题。
数学建模
向量方法在数学建模中用于描述和分析复杂系统的动态行为。
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平行线间的距离
定义 平行线间的距离是指两条平行线之间的最短距离。
向量表示 平行线间的距离可以表示为两条平行线方向向量 的模长差。
求解方法 利用向量模长的性质，通过向量的模长运算求解。
04
1
向量方法的应用
2
力的合成与分解
力的合成
通过向量加法，将多个力合成一个合力，计算合力的方向和大小。
力的分解
将一个力分解为两个或多个分力，通过向量分解确定分力的方向和大小。
点到平面的距离可以表示为点与平面内任意一点向量的模长。
求解方法
利用向量投影和模长的关系，通过向量的数量积和点积运算求解。
点到直线的距离
定义
点到直线的距离是指一个点到直线上任意一点的 最短距离。
向量表示
点到直线的距离可以表示为点与直线上一动点向 量的模长。
求解方法
利用向量投影和模长的关系，通过向量的数量积 和点积运算求解。
立体几何中的向量方法
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CONTENTS
目录
CON TEN
TS
WORKREVIEW
立体几何中的向量方法(全)
数量积的性质 a·b = b·a（交换律）。 (a + b)·c = a·c + b·c（分配律）。
03
立体几何中常见问
题及解决方法
平行与垂直问题
判断两直线平行
通过证明两直线的方向向量平行，即方向向量的对应 分量成比例。
判断两平面平行
通过证明两平面的法向量平行，即法向量的对应分量 成比例。
判断直线与平面平行
两个向量垂直的充要条件是它们的数量积为零。即若向量a与向量b垂直，则 a·b=0；反之，若a·b=0，则向量a与向量b垂直。
02
空间向量及其坐标
表示
空间向量基本概念
零向量
长度为0的向量叫做 零向量，记作0。
相等向量
长度相等且方向相 同的向量叫做相等 向量。
向量的定义
既有大小又有方向 的量叫做向量。
向量表示方法
向量可以用小写字母a、b、c等表示， 也可以用表示向量的有向线段的起点 和终点字母表示，如向量AB、向量 CD等。
向量的线性运算
向量的加法
向量加法满足平行四边形法则或三角形法则，即两个向量相加，等于以这两个 向量为邻边作平行四边形，这个平行四边形的对角线就表示这两个向量的和。
向量的减法
通过证明直线的方向向量与平面的法向量垂直，即方 向向量与法向量的点积为零。
角度与距离问题
计算异面直线所成角
通过找出两直线的方向向量，利用向量的夹 角公式计算夹角。
计算二面角
通过找出两个平面的法向量，利用向量的夹 角公式计算夹角。
计算线面角
通过找出直线的方向向量和平面的法向量， 利用向量的夹角公式计算夹角。
，导致计算过程繁琐或结果错 误
纠正方法
立体几何中的向量方法完整版
垂直
(2)u (1,2,2),v (2,4,4) 平行
(3)u (2,3,5),v (3,1,4) 相交
巩固性训练3
1、设平面 α的法向量为(1,2,-2),平面β 的法
向量为(-2,-4,k/)/ ,若
，则
4y 2z
0 0
取 x 4,则 n (4, 3, 6)
∴
y z
3 4 3 2
x x
∴ n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
11
平面向量 推广到 空间向量
立体几何问题
思考2：
因为方向向量与法向量可以确定直线和平 面的位置，所以我们应该可以利用直线的方向向量 与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂 直、夹角等位置关系.你能用直线的方向向量表示空 间两直线平行、垂直的位置关系以及它们之间的夹 角吗？你能用平面的法向量表示空间两平面平行、 垂直的位置关系以及它们二面角的大小吗？
过点A,以向量 n 为法向量的平面是
完全确定的.
平面的法向量：
l
注意：
1.法向量一定是非零向量;
2.一个平面的所有法向量都
n
互相平行;
例1：已知A(0, 2,3), B (2, 0, -1),C(3,-4,0) 求平面ABC的法向量.
求法向量的步骤：
(1)设出平面的法向量为n (x, y, z)
五、垂直关系：
设直线 l, m 的方向向量分别为 a, b ，平面 ,
的法向量分别为 u, v ，则
线线垂直 l ⊥ m a ⊥ b a b 0 ； 线面垂直 l ⊥ a ∥ u a ku ； 面面垂直 ⊥ u ⊥ v u v 0.
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(1)如果平面的一条斜线与它在这个平面上的射影的方 向向量分别是 a＝(1,0,1)，b＝(0,1,1)，那么，这条斜线与平 面所成的角是________．
(2)已知两平面的法向量分别为 m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)， 则两平面所成的二面角的大小为________．
(3)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、 法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为________．
[审题视点] (1)证明两直线的方向向量数量积为零；(2)设 存在点P(0,0，z0)，构建z0的方程，若能求出z0的值，说明点P存 在；(3)先求出两平面的法向量，利用二面角的平面角的度数即 可得到关于a的方程，从而可求出a的值．
[解] (1)以 A 为原点，A→B，A→D，A→A1的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系(如右图)．
设A→D1与 n 所成的角为 θ，
则 cosθ＝|nn|·|AA→→DD11|＝ 2
－a2－a 1＋a42＋a2.
∵二面角 A－B1E－A1 的大小为 30°，
∴|cosθ|＝cos30°，即 2
3a 21＋54a2＝ 23，
解得 a＝2，即 AB 的长为 2.
1．利用向量法证明空间的平行或垂直问题，建系是关键的一 步，通常借助于几何图形中的垂直关系选择坐标原点和坐标 轴，并让尽可能多的顶点在坐标轴上． 2．用向量法证线面平行还可以使用证明直线的一个方向向量 与平面内的某一向量是共线(平行)向量，也可以证明直线的 方向向量与平面的某个法向量垂直，在具体问题中可选择较 简单的解法．
第七章 第7讲
第12页
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1个必知趋势 用向量法解立体几何问题是新课标高考形式的主趋势，掌 握向量法解立体几何问题的方法，可以使几何论证问题化难为 易，可以使立体几何中空间角、空间距离的求法公式化． 2个必记提醒 1. 用向量证明平行、垂直时，要注意解题的规范性．如证 明线面平行时，仍需要表明一条直线在平面内、另一条直线在 平面外． 2. 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该 异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其 补角才是异面直线的夹角．
求两异面直线所成的角，用向量法就是求两直线上的两方向 向量的夹角，但需注意二者范围的区别．同样地，利用向量 法求二面角的大小，就是求两个半平面的法向量的夹角(或夹 角的补角)．在空间直角坐标系中，常采用待定系数法求平面 的法向量．
[变式探究] 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面 ABCD，底面ABCD为矩形，且PA＝AD，E、F分别为线段AB、 PD的中点．
求证：(1)AF∥平面PEC； (2)AF⊥平面PCD.
解：以 A 为原点，向量A→B，A→D，A→P的方向分别为 x 轴， y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示．
解：由例题解析知D→A1＝(－2,0,2 2)，D→B1＝(2,0，2 2)， D→C＝(0， 5，0)．
设平面 A1CD 的法向量为 m＝(x1，y1，z1)，
则 m⊥D→C，m⊥D→A1，即－52yx11＝＋02，2z1＝0，
取 z1＝1，得 m＝( 2，0,1)．
设平面 B1CD 的法向量为 n＝(x2，y2，z2)， 则 n⊥D→C，n⊥D→B1，即2x52y＋2＝2 02，z2＝0， 取 z2＝－1，得 n＝( 2，0，－1)． 所以 cos(m，n)＝|mm|··|nn|＝ 2＋21－·12＋1＝13. 所以二面角 A1－CD－B1 的平面角的余弦值为13.
第七章 第7讲
第14页
核心要点研究
例1 [2012·福建高考]如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1 中，AA1＝AD＝1，E为CD中点．
(1)求证：B1E⊥AD1； (2)在棱AA1上是否存在一点P， 使得DP∥平面B1AE？若存在， 求AP的长；若不存在，说明理由；
(3)若二面角A－B1E－A1的大小为30°，求AB的长．
第七章 第7讲
第13页
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3种必会方法 1. 求两异面直线a、b的夹角θ，须求出它们的方向向量a， b的夹角，则cosθ＝|cos〈a，b〉|. 2. 求直线l与平面α所成的角θ，可先求出平面α的法向量n与 直线l的方向向量a的夹角．则sinθ＝|cos〈n，a〉|. 3. 求二面角α－l－β的大小θ，可先求出两个平面的法向量 n1，n2所成的角，则θ＝〈n1, n2〉或π－〈n1，n2〉.
则 n⊥D→C，n⊥C→C1，即
5y2＝0，
2
2z2＝0，
取 x2＝1，得 n＝(1,0,0)．
所以 cos〈m，n〉＝|mm|·|nn|＝
2＋21·1＝
6 3.
所以二面角
A1－CD－C1
的平面角的余弦值为
6 3.
奇 思 妙 想 ： 本 例 条 件 不 变 ， 若 AB1⊥A1C ， 求 二 面 角 A1 － CD－B1的平面角的余弦值．
(3)连接 A1D，B1C，由长方体 ABCD－A1B1C1D1 及 AA1 ＝AD＝1，得 AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D，∴AD1⊥B1C. 又由(1)知 B1E⊥AD1，且 B1C∩B1E＝B1， ∴AD1⊥平面 DCB1A1，∴A→D1是平面 A1B1E 的一个法向 量，此时A→D1＝(0,1,1)．
(3)求二面角的大小 (ⅰ)如图①，AB、CD是二面角α－l－β的两个半平面内与 棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝________.
(ⅱ)如图②③，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面 α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝cos〈n1，n2〉或－ cos〈n1，n2〉．取值范围是[0，π]．
设 AB＝a，则 A(0,0,0)，D(0，1,0)， D1(0,1,1)，Ea2，1，0，B1(a,0,1)， 故A→D1＝(0,1,1)，B→1E＝－a2，1，－1， A→B1＝(a,0,1)，A→E＝a2，1，0. ∵A→D1·B→1E＝－a2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，∴B1E⊥AD1.
(3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量 分别为u，v，则
l∥m⇔a∥b⇔a＝kb，k∈R； l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝0； l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0； l⊥α⇔a∥u⇔a＝ku，k∈R； α∥β⇔u∥v⇔u＝kv，k∈R； α⊥β⇔u⊥v⇔u·v＝0.
在求平面法向量时，所列方程组中有三个变量，但只有两 个方程，如何处理？
下列命题是否正确
①若n1，n2分别是平面α、β的法向量，则n1∥n2⇔α∥β( ) ②若n1，n2分别是平面α、β内的向量，则α∥β⇔n1∥n2( ) ③ 若 n1 是 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量 ， n2 是 平 面 α 的 一 个 法 向 量，则l∥α⇔n1⊥n2( ) ④若n1＝(－7,3,4)，n2＝(x，y,8)分别是两直线l1、l2的方向 向量，若l1∥l2，则x＋y＝－8( )
设 AB＝a，PA＝AD＝1， 则 P(0,0,1)，C(a,1,0)，E(a2，0,0)， D(0,1,0)，F(0，12，12)．
(1)A→F＝(0，12，12)，E→P＝(－a2，0,1)，E→C＝(a2，1,0)， ∴A→F＝12E→P＋12E→C，又 AF⊄平面 PEC，∴AF∥平面 PEC. (2)P→D＝(0,1，－1)，C→D＝(－a,0,0)， A→F·P→D＝(0，12，12)·(0,1，－1)＝0， A→F·C→D＝(0，12，12)·(－a,0,0)＝0， ∴A→F⊥P→D，A→F⊥C→D，即 AF⊥PD，AF⊥CD，又 PD∩CD＝D， ∴AF⊥平面 PCD.
(2)假设在棱 AA1 上存在一点 P(0,0，z0)， 使得 DP∥平面 B1AE.此时D→P＝(0，－1，z0)． 又设平面 B1AE 的法向量 n＝(x，y，z)．
∵n⊥平面 B1AE，∴n⊥A→B1，n⊥A→E，得aa2xx＋＋zy＝＝00，.
取 x＝1，得平面 B1AE 的一个法向量 n＝1，－a2，－a. 要使 DP∥平面 B1AE，只要 n⊥D→P，有a2－az0＝0，解得 z0＝12. 又 DP⊄平面 B1AE，∴存在点 P，满足 DP∥平面 B1AE， 此时 AP＝12.
法解题．
[解] (1)因为 AC＝BC，D 为 AB 的中点．故 CD⊥AB. 又 CD⊥AA1，故 CD⊥平面 A1ABB1，所以点 C 到平面 A1ABB1 的距离为 CD＝ BC2－BD2＝ 5.
(2)如图，过 D 作 DD1∥AA1 交 A1B1 于 D1， 在直三棱柱中，由(1)知 DB，DC，DD1 两两垂直．以 D 为原点，射线 DB，DC，DD1 分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正半 轴建立空间直角坐标系 D－xyz. 设直三棱柱的高为 h，则 A(－2,0,0)， A1(－2,0，h)，B1(2,0，h)，C(0， 5，0)，C1(0， 5，h)， 从而A→B1＝(4,0，h)，A→1C＝(2， 5，－h)， 由A→B1⊥A→1C得A→B1·A→1C＝0，即 8－h2＝0，得 h＝2 2.
例 2 [2012· 重 庆 高 考 ] 如 图 ， 在 直 三 棱 柱 ABC － A1B1C1 中，AB＝4，AC＝BC＝3，D为AB的中点．
(1)求点C到平面A1ABB1的距离； (2)若AB1⊥A1C，求二面角 A1－CD－C1的平面角的余弦值． [审题视点] 以D为原点建立空间直角坐标系，用空间向量
3. 求空间的距离 (1)点到平面的距离 如图，设AB为平面α的一条斜线段，n 为平面α的法向量，则点B到平面α的距离d ＝________. (2)线面距、面面距均可转化为点面距 进行求解．