经典函数的三种表示法

2．已知f(x)是二次函数，且满足f(0)＝0，f(x＋1)－f(x) ＝2x，求f(x)的解析式．
解：由题意，设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0). ∵f(0)＝0，∴c＝0. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)－ax2－bx＝2x, 即 2ax＋a＋b＝2x.∴2aa＋＝b2＝，0. ∴a＝1，b＝－1. 从而 f(x)＝x2－x.
4．已知 f( x－1)＝x＋2 x，求 f(x)．
解：令 t＝ x－1，则 x＝t＋1，∴t≥－1. ∴x＝(t＋1)2. ∴f(t)＝(t＋1)2＋2(t＋1)＝t2＋4t＋3. 又 t＋1＝ x≥0， 故所求解析式为 f(x)＝x2＋4x＋3(x≥－1).
[例 3] (12 分)作出下列函数的图象并求出其值域． (1)y＝x2＋1，x∈{1,2,3,4,5}； (2)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [ 思 路 点 拨 ] 列表 → 描点 → 用平滑的线连成图象 → 观察图象求值域
[一点通] 1．求函数解析式实际上就是寻找函数三要素中的 对应关系． 2．当已知函数的类型时，可设出其函数解析式， 利用待定系数法求解，这里包含着方程思想的应用．
1．已知f(x)是一次函数，且f（f(x)）＝4x＋3，求f(x)． 解：设 f(x)＝ax＋b(a≠0)， 则 f[f(x)]＝f(ax＋b)＝a(ax＋b)＋b ＝a2x＋ab＋b＝4x＋3， ∴aab2＝＋4b，＝3， 解得ab＝＝21，， 或ab＝＝－－23，. 故所求的函数为 f(x)＝2x＋1 或 f(x)＝－2x－3.
问题3：试用表格表示铅笔数x与钱数y之间的关系．
提示：
铅笔数x/支 1 2 3 4 5 钱数y/元 0.5 1 1.5 2 2.5
问题4：试用图象表示x与y之间的关系． 提示：
函数的表示法
表示法
定义
解析法 用 数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用 图象表示两个变量之间的对应关系
列表法 列出表格 来表示两个变量之间的对应关系
(10分)
由图，可得函数的值域是[－1,8]．
(12分)
[一点通] 作函数图象主要有三步：列表、描点、 连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义 域内化简函数解析式，再列表画出图象，并标注一些关 键点，如与坐标轴的交点、最高点、最低点等．
5．函数y＝f(x)的图象如图，则f(x)的
定义域是
[精解详析] (1)用列表法可将函数 y＝x2＋1，x∈[1,5]， x∈Z 表示为：
x 1 2 3 45
y
3 2
2
5 2
3
7 2
(2分)
图象如图．
值域为{32，2，52，3，72}．
(6 分)
(2)y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1，x∈[－2,2]． 图象是抛物线y＝x2＋2x在［－2，2］上的部分，如图所示．
2．配凑法的应用 对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子 “x＋2 x”变成含有“ x＋1”的表达式.这种解法 对变形能力、观察能力有较高的要求．
3．已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)的解析式． 解：设x＋1＝t，则x＝t－1， f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1， 即f(t)＝t2＋2t－2. ∴所求函数为f(x)＝x2＋2x－2.
4．映射中的两个集合有先后顺序，A到B的映射 与B到A的映射是截然不同的．其中，f表示具体的对 应法则，可以用文字叙述．
[例1] (1)已知反比例函数f(x)满足f(3)＝－6，求 f(x)的解析式； (2)一次函数y＝f(x)，f(1)＝1，f(－1)＝－3，求f(3)．
[思路点拨] 分别设出反比例函数和一次函数的 一般形式，然后根据题设条件求待定系数即可．
某市空调公共汽车的票价按下列规则判定： (1)5千米以内，票价2元； (2)5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足 5千米的按5千米计算)． 已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括 起点站和终点站)有11个汽车站．
问题1：从起点站出发，公共汽车的行程x（千米） 与票价y（元）有函数关系吗？
提示：有函数关系． 问题2：函数的表达式是什么？
提示：y＝23， ，
0＜x≤5， 5＜x≤10.
问题3：x与y之间有何特点？ 提示：x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同．
分段函数 在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区 间，有着不同的 对应关系 ，这样的函数通常叫做分 段函数．
A＝{x|x是三角形}，B＝{x|x是圆}. 对应关系：每一个三角形都对应它的外接圆． 问题1：从集合A到集合B能构成函数吗？ 提示：不能． 问题2：从集合A到集合B的对应有什么特点？ 提示：对于集合A中的任何一个三角形，在集合B中 都有唯一的外接圆与之对应．
理解 教材 新知
知识点一 知识点二 知识点三
第
1.2
把握
一 章
1.2.2
第 一
热点 考向
考点一 考点二 考点三
课
时 应用创新演练
某同学计划买x(x∈{1,2,3,4,5})支2B铅笔．每支铅 笔的价格为0.5元，共需y元．于是y与x间建立起了一个 函数关系．
问题1：函数的定义域是什么？ 提示：{1,2,3,4,5}． 问题2：y与x的关系是什么？ 提示：y＝0.5x，x∈{1,2,3,4,5}．
法二：(配凑法) ∵x＋2 x＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1. 又∵ x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1)．
[一点通] 1．换元法的应用 当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元 法.所谓换元法，即将“ x＋1”换成另一个字母“t”，然 后从中解出 x 与 t 的关系，再代入原式中求出关于“t”的 函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后 自变量取值范围的变化情况．
[例 2] 求下列函数的解析式： (1)已知 f(1＋x x)＝1＋x2x2＋1x，求 f(x)； (2)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)．
[思路点拨] (1) 令t＝1＋x x → x＝t－1 1 → 求ft → 改写成fx (2) 令 x＋1＝t → x＝t－12 → 求ft → 改写成fx 以上两题也可用配凑法求解．
映射的定义 设A，B是两个 非空 的集合，如果按某一个确定 的对应关系f，使对于集合A中的 任意一个 元素x，在 集合B中都有 唯一确定 的元素y与之对应，那么就称 对应 f：A→B为从集合A到集合B的一个映射．
1．函数的表示法有三种，即解析法、图象法和 列表法，三种方法各有优缺点．
2．分段函数是一个函数，而不是几个函数． 3．函数中的两个集合是数集，而映射中的两个 集合不一定是数集．
[精解详析] (1)设反比例函数 f(x)＝kx(k≠0)， 则 f(3)＝k3＝－6，解得 k＝－18. ∴f(x)＝－1x8.
(2)设一次函数 f(x)＝ax＋b(a≠0). ∵f(1)＝1，f(－1)＝－3， ∴a－＋ab＋＝b1＝，－3. 解得ab＝＝2－，1. ∴f(x)＝2x－1.∴f(3)＝2×3－1＝5.
图 很形象来很直观， 近似表达对应值，
象 变化趋势很明显 误差较大误判断
法
解析列表和图象， 三法各有优缺点. 面对实际问题时， 根据需要恰当选
2．作函数图象时应注意以下几点： (1)在定义域内作图； (2)图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线 来衬托整个图象； (3)要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点与坐标 轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心点．
[精解详析] (1)法一：(换元法) 令 t＝1＋x x＝1x＋1， 则 t≠1.把 x＝t－1 1代入 f(1＋x x)＝1＋x2x2＋1x，得 f(t)＝1＋t－1t－11122＋t－11 1＝(t－1)2＋1＋(t－1)＝t2－t＋1. ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1，x∈(－∞，1)∪(1，＋∞)．
(3)当x＝2时，y＝1，其图象如图3所示．
1．函数的三种表示法的优缺点比较：
优点
缺点
联系
变量关系特明 解
显，给定任意 析
自变量，代入 法
式子值好求
不形象来不直 观，变化趋势 难判断，有些 函数无法用
解析列表和图象， 三法各有优缺点. 面对实际问题时，根 据需要ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ当选
优点
缺点
联系
列 不用计算只需看， 变量增多好麻烦， 表 任意给定变量值， 此时难表无限多， 法 表中查找很容易 只限数量不多时
()
A．R
B．(－∞，1)∪(1，＋∞)
C．(－∞，0)∪(0，＋∞)
D．(－1,0)
解析：由图象知x≠0，即x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)．
答案：C
6．画出下列函数的图象： (1)y＝2x＋1，x∈[0,2]； (2)y＝x2－2x(－1≤x＜2)； (3)y＝2x，x∈[2，＋∞)．
解：(1)当x＝0时，y＝1； 当x＝2时，y＝5. 所画图象如图1所示． (2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1. 当x＝－1时，y＝3. 当x＝0时，y＝0. 当x＝1时，y＝－1. 当x＝2时，y＝0.所画图象如图2所示．
法二：(配凑法) ∵f(1＋x x)＝1＋x2＋x22x－2x＋1x
＝(1＋x x)2－1＋xx－x ＝(1＋x x)2－1＋x x＋1，
∴f(x)＝x2－x＋1. 又∵1＋x x＝1x＋1≠1， ∴所求函数的解析式为 f(x)＝x2－x＋1(x≠1)．
(2)法一：(换元法) 令 x＋1＝t(t≥1)，则 x＝(t－1)2， ∴f(t)＝(t－1)2＋2 t－12＝t2－1. ∴f(x)＝x2－1(x≥1)．