河北中考数学 §8.3 几何最值问题

∴NQ=MN·cos 30°=2× 3 = 3 . 2
即PM+PQ的最小值为 3 .
三、利用“隐形圆”求最值 1.(2015湖北武汉,10,3分)如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,直线AG、 FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是 ( )
∴MN= 1 FD, 2
∴当FD最短时,MN最短, 由题意可知点D在直线AD上,根据垂线段最短可知当FD⊥AD时,FD最短. ∵AD∥BF,∠DAP=60°,AB=8,
∴FD的最小值为AB·sin 60°=8× 3 =4 3 , 2
∴MN的最小值为 1 FD=2 3 . 2
二、利用“轴对称”求最值 1.(2018新疆,9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD的对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,BC边的中 点,则MP+PN的最小值是 ( )
三、利用“隐形圆”求最值 1.(2018秦皇岛海港一模,13)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3 3 ,点P是BC边上的动点,现将△PCD沿直线 PD折叠,使点C落在点C1处,则点B到点C1的最短距离为 ( )
A.5 B.4 C.3 D.2 答案 C 将△PCD沿直线PD折叠,则DC=DC1,显然点C1在以点D为圆心,CD长为半径的圆上,连接BD交☉ D于一点,这个交点到点B的距离即为点B到点C1的最短距离,∵AB=CD=3,BC=3 3 ,∴BD= BC2 CD2 =
∵点P关于OA所在直线的对称点为D,关于OB所在直线的对称点为C,∴PM=DM,OP=OD,∠DOA=∠POA,
PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,∴OC=OP=OD,∠AOB= 1 ∠COD, 2
∵△PMN周长的最小值是5 cm,∴CD=5 cm,∵OP=5 cm, ∴OC=OD=CD=5 cm,即△OCD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴∠AOB=30°.故选B.
当y=0时, 3 x-3=0,x=4,∴点A的坐标为(4,0). 4
∴AB= 32 42 =5.
过C作CD⊥AB,垂足为D,延长DC交☉C于点P,
此时△PAB的面积取最大值.
∵∠BDC=∠AOB=90°,∠ABO=∠CBD,
∴△CBD∽△ABO,∴ BC = CD , AB OA
∴ 4 = CD ,∴CD= 16 .
A. 1 B.1 C. 2 D.2 2
答案 B 如图,取AD的中点M',连接M'N,M'P,则有MP=M'P.MP+PN的最小值为线段M'N的长,即菱形边长1. 故选B.
思路分析 先确定M关于直线AC的对称点M',再借助两点之间线段最短来确定线段和的最小值. 解题关键 解决本题的关键是要借助轴对称将MP+PN转化为M'P+PN,进而借助两点之间线段最短来解决.
(1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于
,线段CE1的长等于
;(直接填写结果)
(2)如图2,当α=135°时,求证:BD1=CE1,且BD1⊥CE1;
(3)①设BC的中点为M,则线段PM的长为
;
②点P到AB所在直线的距离的最大值为
.(直接填写结果)
解析 (1)2 5 ;2 5 . (2分) (2)证明:∵等腰Rt△AD1E1是由等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到的, ∴AD1=AE1,∠D1AB=∠E1AC=135°, (3分) 又AB=AC,∴△D1AB≌△E1AC. (4分) ∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA. (5分) 记直线BD1与AC交于点F,∴∠BFA=∠CFP, (6分) ∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1. (7分) (3)①2 2 ; (8分) ②1+ 3 . (10分) (提示:①点P在以BC为直径的圆上,得PM=2 2 ;②D1,E1在以A为圆心,AD为半径的圆上,当BD1所在直线与圆 A相切时,直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大,此时四边形AD1PE1是正方形,PD1=2,PB=2+2 3 ,作 PG⊥AB,交AB所在直线于点G,则PG=1+ 3 为所求)
(3 3)2 32 =6,∴点B到点C1的最短距离=6-3=3,故选C.
2.(2015广东梅州,23,10分)在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等腰Rt△ADE绕
点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0°<α≤180°),记直线BD1与CE1的交点为P.
A.2- 3 B. 3 +1 C. 2 D. 3 -1
答案 D 取AC的中点O,连接AD、DG、BO、OM,如图.
∵△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,∴AD⊥BC,GD⊥EF,DA=DG,DC=DF,
∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC, DA = DG , DC DF
MB NB,
∴△MBG≌△NBH(SAS),∴MG=NH,
根据垂线段最短,即MG⊥CH时,MG最短,即HN最短,
∵∠BCH= 1 ×60°=30°,CG= 1 AB= 1 ×2a=a,
2
22
∴MG= 1 CG= 1 ×a= a ,∴HN= a ,故选D.
2
22
2
2.(2018江苏苏州,18,3分)如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形
∴△DAG∽△DCF,∴∠DAG=∠DCF. ∴A、D、C、M四点共圆. 根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM,即BM≥BO-OM,当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM的长最小,
2.(2019陕西,14,3分)如图,在正方形ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是AO的中点,点M在BC边上,且BM=6,
P为对角线BD上一点,则PM-PN的最大值为
.
答案 2 解析 作点N关于直线BD的对称点G,连接MG并延长交BD于点P,此时PM-PN有最大值,最大值为线段GM 的长.
∵点N为OA的中点,∴点G为OC的中点,过点O作OH⊥BC,由正方形的性质可知OH=HC= 1 BC=4.∵BM=6, 2
∴CM=2,∴点M为CH的中点,∴GM为△COH的中位线,∴GM= 1 OH=2. 2
3.(2017山东泰安,24,3分)如图,∠BAC=30°,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上的一动点,PQ⊥AC,垂足为点Q,
则PM+PQ的最小值为
.
答案 3
解析 作点M关于AB的对称点N,过N作NQ⊥AC于Q,交AB于P, 则NQ 的长即为PM+PQ的最小值, 设MN与AB交于点D,则MD⊥AB,DM=DN,
∵∠NPB=∠APQ,∠NDP=∠PQA,∴∠N=∠BAC=30°,
∵AM=2,∴MD= 1 AM=1,∴MN=2, 2
54
5
∴S△PAB的最大值= 1 ×5× 2

16 5

1
= 21 ,故选C.
2
2.(2019石家庄十八县二模改编)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,BC=12 cm,半圆O的直径DE=12
cm,点E与点C重合,设点M是半圆O上一点,点N是线段AB上一点,则MN的最大值为
APCD和菱形PBFE,点P,C,E在一条直线上,∠DAP=60°.M,N分别是对角线AC,BE的中点.当点P在线段AB上
移动时,点M,N之间的距离最短为
(结果保留根号).
答案 2 3
解析 连接PD、DF、PF, ∵在菱形APCD和菱形PBFE中,M,N分别是对角线AC,BE的中点, ∴PD经过点M,PF经过点N,且M,N分别是PD,PF的中点, ∴MN是△PDF的中位线,
一、利用“垂线段最短”求最值
1.(2018秦皇岛海港期末,7)直线y= 3 x-3与x轴,y轴分别交于A,B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上的一
动点,连接PA,PB,则△PAB面积最大4 值是 ( )
A.8 B.12 C. 21 D. 17
2
2
答案 C 当x=0时,y=-3,∴点B的坐标为(0,-3);
∴S△ABC= 1 BC·AD= 1 ×4×AD=12,解得AD=6,
2
2
∵EF是线段AC的垂直平分线,
∴点C关于直线EF的对称点为点A,
∴AD的长为CM+MD的最小值,
∴△CDM的周长最小时,CM+MD+CD=AD+ 1 BC=6+ 1 ×4=6+2=8.
2
2
即△CDM的周长最小值为8.
思路分析 连接AD,由于△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,故AD⊥BC,再根据三角形的面积公式求 出AD的长,再根据EF是线段AC的垂直平分线可知,点C关于直线EF的对称点为点A,故AD的长为CM+MD的 最小值,由此即可得出结论. 解题关键 本题考查最短路线问题,熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键.
2.(2019唐山丰南二模改编)如图,等腰△ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AC的垂直平分线EF分别交AC,AB
边于E,F两点.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,当△CDM的周长最小时,最小值为
.
答案 8
解析 连接AD,
∵△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点, ∴AD⊥BC,
2
2
答案 D 如图,取BC的中点G,连接MG, ∵旋转角为60°,∴∠MBH+∠HBN=60°, 又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°,∴∠HBN=∠GBM,
∵CH是等边△ABC的高,∴HB= 1 AB,∴HB=BG, 2
又∵MB旋转到BN,∴BM=BN,
BG BH ,
在△MBG和△NBH中,MBG NBH ,
;MN的最小值为
.
答案 24 cm;(9 2 -6)cm
解析 MN的最大值即为线段BD的长,即MN的最大值为24 cm.如图所示,过点O作ON⊥AB于点N,垂线段的 长减去半径长,即为MN的最小值,在Rt△OBN中,∵∠B=45°,∠ONB=90°,OB=OC+BC=18 cm,∴ON=OB·sin ∠B=18×sin 45°=9 2 cm,∴MN的最小值=ON-OM=(9 2 -6)cm.
四、数形结合法求最值
1.(2015吉林长春,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作AC⊥x轴于点C,
以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD.则对角线BD的最小值为
.
答案 1
解析 ∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD. 当A在抛物线的顶点处时,AC最短, 此时A(1,1),AC=1,∴BD=1.即对角线BD的最小值为1.
一、利用“垂线段最短”求最值 1.(2018秦皇岛模拟,15,3分)如图,边长为2a的等边三角形ABC中,M是高CH所在直线上的一个动点,连接MB, 将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN,连接HN.则在点M运动过程中,线段HN长度的最小值是 ( )
A. 3 a B.a C. 3 a D. 1 a
二、利用“轴对称”求最值 1.(2015辽宁营口,10,3分)如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5 cm,点M和点N分别是射线OA和射线OB上的 动点,△PMN周长的最小值是5 cm,则∠AOB的度数是 ( )
A.25° B.30° C.35° D.40°
答案 B 分别作点P关于OA所在直线、OB所在直线的对称点D、C,连接CD,分别交OA、OB于点M、N, 连接OC、OD,此时△PMN的周长最小,如图所示:
2.(2018江苏徐州,23,8分)如图,在矩形ABCD中,AD=4,点E在边AD上,连接CE,以CE为边向右上方作正方形 CEFG,作FH⊥AD,垂足为H,连接AF. (1)求证:FH=ED; (2)当AE为何值时,△AEF的面积最大?
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解析 (1)证明:∵四边形CEFG是正方形,∴CE=EF, ∵∠FEC=∠FEH+∠CED=90°,∠DCE+∠CED=90°, ∴∠FEH=∠DCE,
EF CE,
在△FEH和△ECD中, FEH ECD,
FHE D,
∴△FEH≌△ECD,∴FH=ED.
(2)设AE=a,则ED=FH=4-a,
∴S△AEF= 1 AE·FH= 1 a(4-a)=- 1 (a-2)2+2,
2
2
2
∴当AE=2时,△AEF的面积最大.
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