2018届高考数学(理)大一轮复习顶层设计教师用书选修4-5 不等式选讲 第二节 不等式证明的基本方法 Word版

第二节不等式证明的基本方法
☆☆☆考纲考题考情☆☆☆
．比较法
作差比较法与作商比较法的基本原理：
作差法：－
()
>
⇔
>。

()作商法：>⇔>(>，>)。

．综合法与分析法()
推理综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过
论证
而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。

()
分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的
充分条件
，直至所需条
件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的
命题成立。

这是一种
执果索因
的思考和证明方法。

．反证法
先假设要证的命题
不成立
，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质
，得到和命题的条件
推理
(
等，进行正确的
或已证明的定理、性质、明显成立的事实等
矛盾
的
)
结论，以说明假设
，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。

不正确
．放缩法
证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地
，以利于化简，并使它与不等
放大
缩小
或
式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。

．柯西不等式
设，，，均为实数，则(＋)(＋)≥(＋)，等号当且仅当＝时成立。

微点提醒
．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与的大小
关系。

．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立。

小题快练
．设、、均为正数，且＋＋＝，证明：
()＋＋≤；
()＋＋≥。

【证明】()由＋≥，＋≥，＋≥得
＋＋≥＋＋。

由题设得(＋＋)＝，
即＋＋＋＋＋＝。

所以(＋＋)≤，即＋＋≤。

()因为＋≥，＋≥，＋≥，
故＋＋＋(＋＋)≥(＋＋)，
即＋＋≥＋＋。

所以＋＋≥。

．设>，－<，－<，求证：
＋－<。

【证明】因为－<，－<，
所以＋－＝(－)＋(－)≤－＋－<×＋＝。

()求；
()证明：当，∈时，＋<＋。

【解析】()()＝错误!
当≤－时，由()<得－<，解得>－；
当－<<时，()<；
当≥时，由()<得<，解得<。