2018届高考数学(理)大一轮复习顶层设计教师用书选修4-5 不等式选讲 第二节 不等式证明的基本方法 Word版

第二节不等式证明的基本方法

☆☆☆考纲考题考情☆☆☆

．比较法

作差比较法与作商比较法的基本原理：

作差法：－

()

>

⇔

>

。

()作商法：>⇔>(>，>)。

．综合法与分析法()

推理综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过

论证

而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法。()

分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的

充分条件

，直至所需条

件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的

命题成立。这是一种

执果索因

的思考和证明方法。

．反证法

先假设要证的命题

不成立

，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质

，得到和命题的条件

推理

(

等，进行正确的

或已证明的定理、性质、明显成立的事实等

矛盾

的

)

结论，以说明假设

，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法。

不正确

．放缩法

证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地

，以利于化简，并使它与不等

放大

缩小

或

式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法。

．柯西不等式

设，，，均为实数，则(＋)(＋)≥(＋)，等号当且仅当＝时成立。

微点提醒

．作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与的大小

关系。．用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)…”“即要证…”“就要证…”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立。

小题快练

．设、、均为正数，且＋＋＝，证明：

()＋＋≤；

()＋＋≥。

【证明】()由＋≥，＋≥，＋≥得

＋＋≥＋＋。

由题设得(＋＋)＝，

即＋＋＋＋＋＝。

所以(＋＋)≤，即＋＋≤。

()因为＋≥，＋≥，＋≥，

故＋＋＋(＋＋)≥(＋＋)，

即＋＋≥＋＋。

所以＋＋≥。

．设>，－<，－<，求证：

＋－<。

【证明】因为－<，－<，

所以＋－＝(－)＋(－)≤－＋－<×＋＝。

()求；

()证明：当，∈时，＋<＋。

【解析】()()＝错误!

当≤－时，由()<得－<，解得>－；

当－<<时，()<；

当≥时，由()<得<，解得<。