工程力学第2节 二向应力状态分析
工程力学---应力状态分析
τα =
ห้องสมุดไป่ตู้
2
sin2α +τ xcos2α
上述关系建立在静力学基础上， 上述关系建立在静力学基础上，故所得结 论既适用于各向同性与线弹性情况， 论既适用于各向同性与线弹性情况，也适 用于各向异性、 用于各向异性、非线弹性与非弹性问题
单辉祖：工程力学 12
应力圆
应力圆原理
σα = σ x +σ y σ x −σ y
17
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： ：
σ m = −115 MPa
τ m = 35 MPa
18
单辉祖：工程力学
例 2-2 利用应力圆求截面 m-m 上的应力
解： 1. 画应力圆 ： A点对应截面 x, B点对应截面 y 点对应截面 点对应截面 τ 2. 由应力圆求 σm 与 m 顺时针转60 由A点（截面 x ）顺时针转 。至D点（截面 y ） 点 点
解： σ x = −100 MPa τ x = −60 MPa σ y = 50 MPa α = −30o ：
σm =
σ x + σ y σ x −σ y
2 +
τm =
单辉祖：工程力学
σ x −σ y
2
2
cos2α −τ xsin2α = −114.5MPa
sin2α +τ xcos2α = 35.0MPa
(τ ydAsinα)sinα + (σ ydAsinα)cosα = 0
σα = σ xcos2α +σ ysin2α − (τ x +τ y )sinα cosα
τα = (σ x −σ y )sinα cosα +τ xcos2α −τ ysin2α
二向应力状态分析--解析法和图解法
0 0 90 O
练习求单元体 1 主应力的大小 2 主单元体 3 (面内)最大切应力（应力单位取MPa)
TSINGHUA UNIVERSITY
20 40
顺时针!!
x -40MPa\ \ \ \ y -20MPa xy -40MPa 40
1 11.2MPa\ \ \ \3 -71.2MPa 2 0
特别说明
y 0,
二向应力状态
xy x
横力弯曲 中性轴
其它点
中性轴
xy
圆轴扭转
除了梁顶(底) 二向应力状态
例题3
P
70
TSINGHUA UNIVERSITY
50
解：
x -70MPa
1 主应力大小 2 主平面位置 3 绘出(主应力)单元体。
y 0
xy 50MPa
1 求主应力
大 大 27.5
x
x
y
2
x
- y
2
cos 2
- xy
sin 2
b
3
00
20MPa
10 - 30 10 30 cos 60 - 20sin 60
30
2
2
30MPa
-17.32MPa
x
- y
2
sin 2
xy
cos 2
30
10 30 sin 60 2
20cos 60
27.32MPa
思考 900 ？ 900 ？？
T (Me)
Wt
x y 0 xy
TSINGHUA UNIVERSITY
2 求主应力
max min
x
y
2
x
-
2
y
工程力学中的应力和应变分析
工程力学中的应力和应变分析工程力学是应用力学原理解决工程问题的学科，它研究物体受外力作用下的力学性质。
应力和应变是工程力学中的重要概念，它们对于分析材料的强度和变形特性具有重要意义。
本文将就工程力学中的应力和应变进行详细分析。
一、应力分析应力是指物体单位面积上的内部分子间相互作用力。
根据作用平面的不同，可以分为法向应力和剪切应力两种。
1. 法向应力法向应力是指力作用垂直于物体某一截面上的应力。
根据物体受力状态的不同，可以分为拉应力和压应力两种。
- 拉应力拉应力是指作用于物体截面上的拉力与截面面积的比值。
拉应力的计算公式为：σ = F/A其中，σ表示拉应力，F表示作用力，A表示截面面积。
- 压应力压应力是指作用于物体截面上的压力与截面面积的比值。
压应力的计算公式与拉应力类似。
2. 剪切应力剪切应力是指作用在物体截面上切向方向上的力与截面面积的比值。
剪切应力的计算公式为：τ = F/A其中，τ表示剪切应力，F表示作用力，A表示截面面积。
二、应变分析应变是指物体由于外力的作用而产生的形变程度。
根据变形情况，可以分为线性弹性应变和非线性应变。
1. 线性弹性应变线性弹性应变是指物体在小应力下，应变与应力成正比，且随应力消失而恢复原状的应变现象。
线性弹性应变的计算公式为：ε = ΔL/L其中，ε表示线性弹性应变，ΔL表示物体的长度变化，L表示物体的原始长度。
2. 非线性应变非线性应变是指物体在较大应力下，应变与应力不再呈线性关系的应变现象。
非线性应变的计算公式较为复杂，需要根据具体情况进行分析。
三、应力和应变的关系应力和应变之间存在一定的关系，常用的关系模型有胡克定律和杨氏模量。
1. 胡克定律胡克定律是描述线性弹性材料的应力和应变之间关系的基本模型。
根据胡克定律，拉应力和拉应变之间的关系可以表示为：σ = Eε其中，σ表示拉应力，E表示弹性模量，ε表示拉应变。
2. 杨氏模量杨氏模量是描述材料抵抗拉伸或压缩变形能力的物理量。
二向应力状态分析PPT课件
2
+
4
2 x
z
25mm
1
2
3
2
4
h
1
3
3
Fs 4 2、计算各点主应力
1点
Iz
bh3 12
500cm4
1
My Iz
11000M10P3a 50 500 104
2点 (处于纯剪状态)
1 2 0 3 -100MPa
max
3 2
Fs A
330M12P0a103 2 60100
3点 (一般平面状态)
2
300 + -600 x + y 40MPa
在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其σ的和为一常数。
分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明 低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。
低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。
x
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x
平面应力状态的几种特殊情况
x + y
2
+ x - y cos 2
2
- x sin 2
x - y sin 2
2
+ x cos 2
扭转
- x sin 2 x cos 2
1 ＝ x 2 ＝0 3 ＝- x max x
min
弯
x
2
+x
2
cos 2
- x sin 2
曲
x
2
sin 2
D(x, xy)
2
2
A1
C L A 1
yx y
D’ (y, yx) G2 "
工程力学-应力状态
sy
n
例1 已知 sx= –100MPa、sy =50MPa 、tx = – 60MPa，a = –30º
cos[2 ( 30)] ( 60)sin[2 ( 30)]
114.5MPa
τ 30
上海应用技术学院
τ T WP
此时不适用基本变形下的强度条件，应同时考虑s 、t 的影响。 又如：受内压容器筒壁
上海应用技术学院
sy
A 筒壁某点A处应力： sx 、sy，为双向受拉状态。 又如：火车车轮与铁轨接触处表层
4
sx
s s
A
s
A点应力：为三向受压状态。 此外：在通过A点不同斜截面上的应力是不同的，将影响到构 件的破坏形式。
s
OC CFcos2 α DFsin2 α σx σy σx σy cos2 α τ x sin2 α σ α 2 2
上海应用技术学院
证明： H点横坐标： OM 纵坐标： MH CD与s 轴夹角为2a0
OM σx σy 2 σx σy 2 cos2 α τ x sin2 α σ α
ty
e
cos2 α τ x sin2 α
b
sy
切线方向上： Σ F 0 τ
τ α d A (σ x d A cos α )sin α ( τ x d A cos α )cos α (σ y d A sin α )cos α ( τ y d A sin α )sin α 0
∴ τ α σ x sin α cos α σ y sin α cos α τ x cos2 α τ y sin 2 α
上海应用技术学院
一般二向应力状态下求解主应力方法
一般二向应力状态下求解主应力方法1.引言二向应力状态是指材料在受力情况下同时受到两个不同方向的应力作用。
在工程实践中，很多材料都会出现二向应力状态，因此如何准确求解在这种情况下的主应力是非常重要的。
本文将介绍一般二向应力状态下求解主应力的方法。
2.二向应力状态的概念在材料受力的情况下，如果同时存在两个不同方向的应力作用，就形成了二向应力状态。
一般来说，二向应力状态可以分为各向同性的和各向异性的两种情况。
各向同性是指材料在各个方向上的性能均相同，而各向异性则是指材料在不同方向上的性能存在差异。
在工程实践中，需要根据具体情况来判断材料的二向应力状态，以便正确求解主应力。
3.一般二向应力状态下求解主应力方法一般二向应力状态下求解主应力的方法可以分为数学方法和实验方法两种。
3.1 数学方法数学方法是通过数学推导和计算来求解主应力的方法。
在一般二向应力状态下，可以采用坐标变换的方法将二向应力状态转化为主应力状态。
具体步骤如下：（1）确定材料受力情况并获取二向应力状态的数值；（2）根据材料的各向同性或各向异性特点，选择合适的坐标系，进行坐标变换；（3）利用坐标变换后的应力矩阵，通过数学运算求解出主应力的数值。
3.2 实验方法实验方法是通过实验手段来求解主应力的方法。
在一般二向应力状态下，可以采用应变片法或光栅法来进行主应力的实验测量。
具体步骤如下：（1）利用应变片或光栅在材料表面进行应力测量；（2）根据实验测量结果，计算出主应力的数值。
4.应用举例为了更好地理解一般二向应力状态下求解主应力的方法，我们可以举一个具体的应用例子。
某种材料同时受到水平和垂直方向的应力作用，需要求解主应力。
可以采用数学方法进行坐标变换，将二向应力状态转化为主应力状态，再通过数学计算求解主应力的数值。
5.总结一般二向应力状态下求解主应力是工程实践中的重要课题。
通过数学方法和实验方法的结合，可以准确求解出材料在二向应力状态下的主应力，为工程设计和材料应用提供重要依据。
二向应力状态分析——解析法
对应力σ、τ和角度α的正负号，作这样的规定：正应力σ以拉应力为正，压应力为负；切应力τ以对单元体内的任一点作顺时针转向时为正，反时针转向时为负（这种规定与第八章中对剪力所作的规定是一致的）；角度α以从x轴出发量到截面的外法线n是反时针转时为正，顺时针转时为负。
按照上述正负号的规定可以判断，在图10-6中的是正值，τx是正值，τy是负值，α是正值。
当杆件处于静力平衡状态时，从其中截取出来的任一单元体也必然处于静力平衡状态，因此，也可以采用截面法来计算单元体任一斜截面上的应力。
取bef为脱离体如图10-6c所示。
对于斜截面ef上的未知应力
[例7—2] 试计算图10-8a所示的矩形截面简支梁，在点k处α= - 30的斜截面上的应力的大小和方向。
工程力学-应力状态与应力状态分析资料报告
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位yx xytg σστα--=2204、主应变122122x y x y xy xyx y()()tg εεεεεεγγϕεε⎡=+±-+⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：zM y I σ=b I QS z z *=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。
工程力学教材
目录绪论 (1)第一节质点、刚体及变形体概念 (1)第二节工程力学课程的内容和学习方法 (2)第一篇刚体静力学 (1)第一章刚体的受力分析 (1)第一节基本概念 (1)第二节静力学公理 (3)第三节力在直角坐标轴上的投影 (7)第四节力对点的矩 (10)第五节力对轴的矩 (16)第六节约束和约束反力 (19)第七节物体的受力分析和受力图 (25)习题 (31)第二章力系的简化和平衡方程 (1)第一节平面汇交力系 (1)例1 力偶和力偶系 (8)例2 平面一般力系 (11)例3 空间一般力系简介 (22)例4 物体的重心 (26)习题 (32)第三章平衡方程的应用 (1)第一节静定问题及刚体系统平衡 (1)第二节平面静定桁架的内力计算 (10)习题 (17)第四章摩擦 (1)第一节滑动摩擦 (1)第二节摩擦角和自锁现象 (3)第三节滚动摩阻 (6)第四节考虑摩擦时物体的平衡问题 (9)习题 (14)第二篇弹性静力学I（杆件的基本变形）......................................................5－1 第五章轴向拉伸和压缩 (2)第一节轴向拉伸（压缩）时杆的内力和应力 (2)第二节轴向拉伸（压缩）时杆的变形 (7)第三节材料在轴向拉伸和压缩时的力学性能 (10)第四节许用应力.安全系数.强度条件 (16)第五节简单拉压超静定问题 (20)第六节应力集中的概念 (25)习题 (27)第六章剪切 (1)第一节剪切的概念 (1)第二节剪切的实用计算 (2)第三节挤压的实用计算 (5)习题 (10)第七章扭转 (1)第一节外力偶矩的计算 (1)第二节扭矩和扭矩图 (2)第三节圆轴扭转时的应力和强度计算 (4)第四节圆轴扭转时的变形和刚度计算 (9)*第五节圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 (11)*第六节非圆截面杆扭转的概念 (14)习题 (17)第八章梁弯曲时内力和应力 (1)第一节梁的计算简图 (2)第二节弯曲时的内力 (3)第三节剪力图和弯矩图 (5)第四节纯弯曲时的正应力 (11)第五节剪切弯曲时的正应力强度计算 (14)第六节弯曲切应力 (18)第七节提高梁弯曲强度的一些措施 (24)* 第八节悬索 (27)习题 (35)第九章梁的弯曲变形 (1)第一节工程中的弯曲变形 (1)第二节梁变形的基本方程 (1)第三节用叠加法求梁的变形 (6)第四节简单静不定梁 (12)第五节梁的刚度校核提高梁弯曲刚度的措施 (15)习题 (18)1.弹性静力学II（压杆稳定、强度理论和组合变形）………………………………第十章压杆稳定与压杆设计 (1)1.压杆稳定的概念 (1)1.细长压杆的临界载荷 (2)1.欧拉公式及经验公式 (5)1.压杆稳定条件 (8)1.提高压杆稳定性的措施 (10)习题 (12)第十一章复杂应力状态和强度理论 (1)第一节应力状态概念 (1)第二节二向应力状态分析 (4)第三节三向应力状态分析 (11)第四节广义胡克定律 (12)第五节强度理论 (13)习题 (21)第十二章组合变形的强度计算 (1)第一节组合变形的概念 (1)第二节拉伸（压缩）与弯曲的组合变形 (2)第三节弯曲和扭转的组合变形 (6)习题 (12)附录A 单位制及数值精度…………………………………………………………………附录B 截面的几何性质……………………………………………………………………附录C 型钢表……………………………………………………………………………习题答案…………………………………………………………………………………参考文献………………………………………………………………………………绪论固体的移动﹑旋转和变形，气体和液体的流动等都属于机械运动。
应力状态分析和强度理论
03
弹性极限
材料在弹性范围内所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生弹性变形。
01
屈服点
当物体受到一定的外力作用时，其内部应力状态会发生变化，当达到某一特定应力状态时，材料会发生屈服现象。
02
强度极限
材料所能承受的最大应力状态，当超过这一极限时，材料会发生断裂。
应力状态对材料强度的影响
形状改变比能准则
04
弹塑性材料的强度分析
屈服条件
屈服条件是描述材料在受力过程中开始进入屈服（即非弹性变形）的应力状态，是材料强度分析的重要依据。
根据不同的材料特性，存在多种屈服条件，如Mohr-Coulomb、Drucker-Prager等。
屈服条件通常以等式或不等式的形式表示，用于确定材料在复杂应力状态下的响应。
最大剪切应力准则
总结词
该准则以形状改变比能作为失效判据，当形状改变比能超过某一极限值时发生失效。
详细描述
形状改变比能准则基于材料在受力过程中吸收能量的能力。当材料在受力过程中吸收的能量超过某一极限值时，材料会发生屈服和塑性变形，导致失效。该准则适用于韧性材料的失效分析，尤其适用于复杂应力状态的失效判断。
高分子材料的强度分析
01
高分子材料的强度分析是工程应用中不可或缺的一环，主要涉及到对高分子材料在不同应力状态下的力学性能进行评估。
02
高分子材料的强度分析通常采用实验方法来获取材料的应力-应变曲线，并根据曲线确定材料的屈服极限、抗拉强度等力学性能指标。
03
高分子材料的强度分析还需要考虑温度、湿度等环境因素的影响，因为高分子材料对环境因素比较敏感。
02
强度理论
总结词
该理论认为最大拉应力是导致材料破坏的主要因素。
工程力学-应力状态与应力状态分析
8 应力状态与应变状态分析1、应力状态的概念，2、平面应力状态下的应力分析，3、主平面是切应力为零的平面，主应力是作用于主平面上的正应力。
（1）过一点总存在三对相互垂直的主平面，对应三个主应力,主应力排列规定按代数值由大到小为:321σσσ≥≥最大切应力为132max σστ-=（2）任斜截面上的应力ατασσσσσα2sin 2cos 22xy yx yx --++=ατασστα2cos 2sin 2xy yx +-=（3) 主应力的大小22minmax )2(2xyyx yx τσσσσσ+-±+=主平面的方位y x xytg σστα--=2204、主应变12122x y xyx y()tg εεεεγϕεε⎡=+±⎣=-5、广义胡克定律)]([1z y x x E σσμσε+-=)]([1x z y y E σσμσε+-=)]([1y x z z E σσμσε+-=G zxzx τγ=G yzyz τγ=，G xyxy τγ=6、应力圆与单元体之间的对应关系可总结为“点面对应、转向相同、夹角两倍。
”8.1 试画出下图8.1(a)所示简支梁A 点处的原始单元体。
图8.1[解]（1）原始单元体要求其六个截面上的应力应已知或可利用公式直接计算，因此应选取如下三对平面：A 点左右侧的横截面，此对截面上的应力可直接计算得到；与梁xy 平面平行的一对平面，其中靠前的平面是自由表面，所以该对平面应力均为零。
再取A 点偏上和偏下的一对与xz 平行的平面。
截取出的单元体如图8.1(d)所示。
(2)分析单元体各面上的应力:A 点偏右横截面的正应力和切应力如图8.1(b)、(c)所示，将A 点的坐标x 、y 代入正应力和切应力公式得A 点单元体左右侧面的应力为：z M y I σ=bI QS z z*=τ由切应力互等定律知,单元体的上下面有切应力τ ；前后边面为自由表面，应力为零。
工程力学材料力学之应力应变状态分析
二、材料破坏的两种类型（常温、静载荷） (Two failure types for materials in normal temperature and static loads)
1. 断裂失效(Fracture failure) （1）脆性断裂 : 无明显的变形下突然断裂. （2）韧性断裂 : 产生大量塑性变形后断裂.
剪切
扭转
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
上述强度条件具有如下特点： (1)危险点处于单向应力状态或纯剪切应力状态； (2)材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试验测定试 件在破坏时其横截面上的极限应力,以此极限应力作为强度指 标,除以适当的安全系数而得，即根据相应的试验结果建立的 强度条件.
胡克（1635-1703）
波义耳（1627-1691）
惠更斯（1629-1695）工程力学材料力学牛析之顿应力（应1变64状3态-分1727）
复杂应力状态的应变能密度
三向应力状态
体积改变能密度 畸变能密度
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
§7-8 强度理论(The failure criteria)
构件每单位体积的体积变化, 称为体积应变用θ表示.
各向同性材料在三向应力状态下的体应变
如图所示的单元体，三个边长为 a1 , a2 , a3 变形后的边长分别为
a1(1+，a2(1+2 ，a3(1+3
变形后单元体的体积为
2
a2
1
3
a1
a3
V1=a1(1+·a2(1+2 ·a3(1+3
工程力学材料力学之应力应变状态分 析
二向应力状态下(In plane stress-state) 设 3= 0
《工程力学》复习指导含答案
材料力学 重点及其公式材料力学的任务 （1）强度要求； （2）刚度要求； （3）稳定性要求。
变形固体的基本假设 （1）连续性假设；（2）均匀性假设；（3）各向同性假设；（4）小变形假设。
外力分类：表面力、体积力；内力：构件在外力的作用下，内部相互作用力的变化量，即构件内部各部分之间的因外力作用而引起的附加相互作用力 截面法：（1）欲求构件某一截面上的内力时，可沿该截面把构件切开成两部分，弃去任一部分，保留另一部分研究（2）在保留部分的截面上加上内力，以代替弃去部分对保留部分的作用。
（3）根据平衡条件，列平衡方程，求解截面上和内力。
应力： dA dPA P p A =∆∆=→∆lim 0 正应力、切应力。
变形与应变：线应变、切应变。
杆件变形的基本形式 （1）拉伸或压缩；（2）剪切；（3）扭转；（4）弯曲；静载荷：载荷从零开始平缓地增加到最终值，然后不在变化的载荷动载荷：载荷和速度随时间急剧变化的载荷为动载荷。
失效原因：脆性材料在其强度极限b σ破坏，塑性材料在其屈服极限s σ时失效。
二者统称为极限应力理想情形。
塑性材料、脆性材料的许用应力分别为：[]3n s σσ=，[]bbn σσ=，强度条件：[]σσ≤⎪⎭⎫⎝⎛=maxmax A N ，等截面杆 []σ≤A N max轴向拉伸或压缩时的变形：杆件在轴向方向的伸长为：l l l -=∆1，沿轴线方向的应变和横截面上的应力分别为：l l ∆=ε，AP A N ==σ。
横向应变为：b b b b b -=∆=1'ε，横向应变与轴向应变的关系为：μεε-='。
胡克定律：当应力低于材料的比例极限时，应力与应变成正比，即 εσE =，这就是胡克定律。
E 为弹性模量。
将应力与应变的表达式带入得：EANl l =∆ 静不定：对于杆件的轴力，当未知力数目多于平衡方程的数目，仅利用静力平衡方程无法解出全部未知力。
圆轴扭转时的应力 变形几何关系—圆轴扭转的平面假设dx d φργρ=。
工程力学基础第8章 应力、应变和应力应变关系
第8章 应力、应变和应力-应变关系
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节
一点处的应力状态 平面应力状态分析 应变状态分析 广义胡克定律 材料失效和失效判据
第一节 一点处的应力状态
一、引言 在本章中，将应用微元体法，从力、变形、力与变形的关系三 方面研究变形固体内一点处的性态。本章的内容覆盖了固体力 学的三大理论基础：应力理论、应变理论和本构关系(主要是对 理想弹性体)。在此基础上建立复杂受载条件下，材料的失效判 据和构件的强度设计准则，从而为解决杆件在复杂受载条件下 的强度、刚度和稳定性问题创造条件。
（1）一点处的应变状态由六个应变分量εx、εy、εz、γxy、γyz、 γzx完全决定，即由它们可以确定该点处任一方向的线应变和任
第三节 应变状态分析
（2）在任一点处都存在三个互相垂直的方向，它们在变形过 程中保持垂直，即切应变为零，这三个方向称为应变主方向， 沿应变主方向的线应变称为主应变，记为ε1≥ε2≥ε3。主应变ε1 和ε3 试验证明，对于各向同性的线弹性材料的小变形问题，应变主 方向与应力主方向重合，即一对切应力为零的正交截面在变形 过程中保持垂直。应变和应力由材料的力学性能相联系。在工 程中除接触应力等少数情形外，直接测量应力是很困难的，而 变形则比较容易测量。通常是从测得的应变来确定应力。应变 分析的实际意义在于：通过测得的应变确定主方向和主应变，
第一节 一点处的应力状态 三、主应力和主方向 如果微元体某对截面上的切应力等于零，该对截面就称为主平 面，主平面的法向称为主方向，主平面上的正应力称为主应力。 按不等于零的主应力的个数分类，可以把一点处的应力状态分
（1）单向(单轴)应力状态，也称为简单应力状态，只有一个主 应力不为零，如受轴向拉压的直杆和纯弯曲直梁中各点处的应
二向应力状态分析-解析法
sin2 1 (1 cos 2 )
2
2sin cos sin2
并注意到 yx xy 化简得
1 2
(
x
y)
1 2
(
x
y ) cos2
xy
sin 2
1 2
(
x
y ) sin 2
xy cos2
材料力学
目录
材料力学
二向应力状态分析-解析法
2.正负号规则
y yx
x
xy
x
y
α n x
t
yx(dAsin ) cos y (dAsin)sin 0
y
Ft 0
dA xy(dAcos ) cos x (dAcos )sin
yx(dAsin )sin y (dAsin ) cos 0
材料力学
目录
材料力学
二向应力状态分析-解析法
{ 利用三角函数公式
cos2 1 (1 cos 2 )
已知 x 60MPa， xy 30MPa, y 40MPa , 30。
试求（1） 斜面上的应力； （2）主应力、主平面； （3）绘出主应力单元体。
y xy
x
材料力学
目录
材料力学 材料力学
二向应力状态分析-解析法
解：（1） 斜面上的应力
y xy
x
y
2
x
y
2
cos 2
xy sin 2
3
max min
x
y
2
x
2
y
2
xy2
xy
max 1 xy min 3 xy
45
1
此现象称为纯剪切
材料力学
工程力学之应力状态分析和强度计算
工程力学之应力状态分析和强度计算工程力学是研究物体受力和变形规律的学科，其基础之一就是应力状态分析和强度计算。
应力状态分析主要是通过计算和评估物体内部的应力分布情况，强度计算则是根据应力状态来确定物体的强度和稳定性。
应力状态分析是力学中的一个重要步骤，它不仅可以用来评估物体的受力情况，还可以为工程设计提供依据。
在进行应力状态分析时，首先需要确定物体所受的外力，然后利用力学原理和相关公式计算物体内部的应力分布。
具体来说，首先我们需要确定物体所受的外力，包括静力、动力以及热力等，这些外力会作用在物体的不同部位上。
然后，通过应用牛顿第二定律、平衡方程等力学原理，可以计算得到物体内部的应力分布情况。
在实际工程中，通常使用数值计算方法来解决这些力学方程，比如有限元法和边界元法等。
强度计算则是根据应力状态来评估物体的强度和稳定性，以确定物体是否满足设计和使用要求。
在进行强度计算时，首先需要确定物体的强度参数，比如抗拉强度、屈服强度、抗剪强度等。
然后，根据物体所受的应力状态，通过应力分析和计算，可以得到物体内部的应力大小。
接下来，比较物体内部的应力和其强度参数，就可以判断物体是否安全和稳定。
应力状态分析和强度计算在各个工程领域中都有广泛的应用。
在土木工程中，它可以用来评估建筑物、桥梁和道路等结构的受力情况，以确保它们的安全使用。
在机械工程中，它可以用来评估机械零件和设备的强度和稳定性，以确保它们能够正常工作。
在航空航天工程中，它可以用来评估飞机和航天器在各种飞行状态下的受力情况，以确保它们在高速和极端环境下的安全性。
总之，应力状态分析和强度计算是工程力学的重要内容，它们不仅可以为工程设计提供依据，还可以用来评估物体的强度和稳定性。
在实际应用中，我们可以通过数值计算的方法来解决应力分析和强度计算问题，从而确保工程项目的安全性和可靠性。
在工程实践中，应力状态分析和强度计算是非常重要的步骤，涉及到许多领域，如结构工程、材料工程、土木工程等。
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例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，
试求斜截面上的正应力 和切应力 。
解：按正负号规定则有：
x 60 MPa x 120 MPa y 80 MPa 300
代入公式得：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
78.9MPa
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力
低于其抗拉能力。
铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低 于其抗剪能力。
例12-3 图示单元体，x=100MPa，x= –20MPa，
y=30MPa。试求：1） = 40º的斜截面上的 和 ； 2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。
x
y
2
sin 2
x
cos2
121MPa
二、主应力和极限切应力
1、主应力和主平面
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
将公式 对 求一阶导数、并令其为0：
d d
x
2
y
(2 sin
由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系：
sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 及
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
x
y
2
sin 2
x
2 )
x
(2 c os2 )
0
0
则有：
x
2
y
sin
20
x
cos20
0
0 0
x
2
y
sin
20
x
cos20
0
说明
则
tan
2 0
2 x x
y
0 0
极值正应力所在的平面恰好是切应力等于零的面， 即主平面。因此极值正应力就是主应力。
解：1）试件横截面最外端切应力最大，所以低碳钢 和铸铁两种试件均从表面开始破坏。
2）要解释断口的不同，首先确定最大正应力和 最大切应力所发生的平面：
x y 0
sin 2 cos 2
当 450时， max
当 00 时， max
一、单元体截面上的应力
正应力：仍以拉压力为正，压应力为负； 切应力：当表示切应力的矢有绕单元体内任一点
作顺时针转动趋势时为正，反之为负；
斜截面外法线与x轴所成角度：从 x 轴按逆时针
转向转到外法线n时为正，反之为负。
规定
设de斜截面面积为dA，则ae面的面积为dAsin 面的面积为dAcos 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱柱
x
2
y
2
2 x
确定 max 和 min 所在平面的方法
1）若x>y，则所求的两个角度0 和90º+ 0 中， 绝对值较小的一个确定max所在的平面；
2）若x<y，则所求的两个角度0 和90º+ 0 中， 绝对值较小的一个确定min所在的平面；
确定max和min所在平面的方法
x 100 MPa x 20 MPa y 30 MPa
解：1） 400，代入公式
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
90.8 MPa
x
y
2
sin
2
x
cos2
31.0 MPa
体ade的受力平衡方程如下：
dA ( xdAcos ) sin ( xdAcos ) cos ( ydAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
dA ( xdAcos ) cos ( xdAcos ) sin ( ydAsin ) sin ( ydAsin ) cos 0
3）若x=y ，如果有x 使单元体顺时针转动趋势，则
指向为从所在的 x 轴正向沿顺时针转过45º，如图a
所示；如果有x 使单元体逆时针转动趋势，则指向
为从所在的x轴正向沿逆时针转过45º，如图b所示
2、极限切应力及所在平面
x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
上式解得的斜截面角有0 和90º+0 两个，其中一个是 max所在的平面，另一个是 min所在的平面，且两个主
平面相互垂直的。再考虑到 各应力均为零的平面也是主 平面，故平面应力状态下的 三个主平面互相垂直。
最大主应力和最小主应力的计算式
max m in
x
y
2
cos2
x
y
2
x
y
2
cos2
x sin 2
x
y
2
sin 2
x
cos2
利用上述两式可以求得de斜截面上的正应力和切应
力。且斜截面上的应力是角度 的函数，正应力 和切应力 随截面的方位改变而变化。
若已知单元体上互相垂直面上的应力x、x 、y、 y，则该点处的应力状态可由上述两式完全确定。
则
tan
21
x 2 x
y
cot 20
上式解得的斜截面角有1 和90º+1 两个，其中一 个是max所在的平面，另一个是min所在的平面，
且两个主平面相互垂直的。
max m in
x
2
y
2
2 x
1 0 450
例12-2 扭转试验破坏现象如下：低碳钢试件从表 面开始沿横截面破坏，如图a所示；铸铁试件则从表 面开始沿与轴线成倾角的螺旋曲面破坏，如图b所示。 试分析并解释它们的破坏原因。
x
y
2
sin 2
x
cos2
同理：将公式 对 求一阶导数，并令其为0：
d d
( x y ) cos2 2 x sin 2 0
1
则有： ( x y ) cos 21 2 x sin 21 0
( x y ) cos 21 2 x sin 21 0