工程力学第2节 二向应力状态分析

例12-1 已知构件内某点处的应力单元体如图所示，
试求斜截面上的正应力 和切应力 。
解：按正负号规定则有：
x 60 MPa x 120 MPa y 80 MPa 300
代入公式得：


x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2
78.9MPa
低碳钢试件扭转破坏是被剪断的，且其抗剪能力
低于其抗拉能力。
铸铁试件扭转破坏是被拉断的，且其抗拉能力低 于其抗剪能力。
例12-3 图示单元体，x=100MPa，x= –20MPa，
y=30MPa。试求：1） = 40º的斜截面上的 和 ； 2）确定A点处的max、max和它们所在的位置。


x
y
2
sin 2
x
cos2

121MPa
二、主应力和极限切应力
1、主应力和主平面


x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos2
将公式 对 求一阶导数、并令其为0：
d d


x

2
y
(2 sin
由切应力互等定理有x=y，并利用三角关系：
sin2 1 cos2 、 cos2 1 cos2 及
2
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2sin cos sin 2 对以上二式进行整理得到：


x
y
2

x
y
2
cos2
x
sin 2


x
y
2
sin 2
x
2 )

x
(2 c os2 )

0
0

则有：
x

2
y
sin
20

x
cos20

0
0 0
x

2
y
sin
20

x
cos20

0
说明
则
tan
2 0



2 x x
y
0 0
极值正应力所在的平面恰好是切应力等于零的面， 即主平面。因此极值正应力就是主应力。
解：1）试件横截面最外端切应力最大，所以低碳钢 和铸铁两种试件均从表面开始破坏。
2）要解释断口的不同，首先确定最大正应力和 最大切应力所发生的平面：
x y 0
sin 2 cos 2
当 450时， max
当 00 时， max
一、单元体截面上的应力
正应力：仍以拉压力为正，压应力为负； 切应力：当表示切应力的矢有绕单元体内任一点
作顺时针转动趋势时为正，反之为负；
斜截面外法线与x轴所成角度：从 x 轴按逆时针
转向转到外法线n时为正，反之为负。
规定
设de斜截面面积为dA，则ae面的面积为dAsin 面的面积为dAcos 。取 t 和 n 为参考轴，建立棱柱

x

2
y
2


2 x
确定 max 和 min 所在平面的方法
1）若x>y，则所求的两个角度0 和90º+ 0 中， 绝对值较小的一个确定max所在的平面；
2）若x<y，则所求的两个角度0 和90º+ 0 中， 绝对值较小的一个确定min所在的平面；
确定max和min所在平面的方法
x 100 MPa x 20 MPa y 30 MPa
解：1） 400，代入公式


x
y
2

x
y
2
cos2
x
sin 2

90.8 MPa


x
y
2
sin
2
x
cos2
31.0 MPa
体ade的受力平衡方程如下：
dA ( xdAcos ) sin ( xdAcos ) cos ( ydAsin ) cos ( ydAsin ) sin 0
dA ( xdAcos ) cos ( xdAcos ) sin ( ydAsin ) sin ( ydAsin ) cos 0
3）若x=y ，如果有x 使单元体顺时针转动趋势，则
指向为从所在的 x 轴正向沿顺时针转过45º，如图a
所示；如果有x 使单元体逆时针转动趋势，则指向
为从所在的x轴正向沿逆时针转过45º，如图b所示
2、极限切应力及所在平面


x
y
2
x
y
2
cos2
x
sin 2

上式解得的斜截面角有0 和90º+0 两个，其中一个是 max所在的平面，另一个是 min所在的平面，且两个主
平面相互垂直的。再考虑到 各应力均为零的平面也是主 平面，故平面应力状态下的 三个主平面互相垂直。
最大主应力和最小主应力的计算式

max m in
x
y
2


cos2

x
y
2
x
y
2
cos2
x sin 2


x
y
2
sin 2
x
cos2
利用上述两式可以求得de斜截面上的正应力和切应
力。且斜截面上的应力是角度 的函数，正应力 和切应力 随截面的方位改变而变化。
若已知单元体上互相垂直面上的应力x、x 、y、 y，则该点处的应力状态可由上述两式完全确定。
则
tan
21


x 2 x
y
cot 20
上式解得的斜截面角有1 和90º+1 两个，其中一 个是max所在的平面，另一个是min所在的平面，
且两个主平面相互垂直的。

max m in



x

2
y
2


2 x
1 0 450
例12-2 扭转试验破坏现象如下：低碳钢试件从表 面开始沿横截面破坏，如图a所示；铸铁试件则从表 面开始沿与轴线成倾角的螺旋曲面破坏，如图b所示。 试分析并解释它们的破坏原因。

x
y
2
sin 2
x
cos2
同理：将公式 对 求一阶导数，并令其为0：
d d
( x y ) cos2 2 x sin 2 0
1
则有： ( x y ) cos 21 2 x sin 21 0
( x y ) cos 21 2 x sin 21 0