等比数列高三一轮复习教案-高三化学一轮复习教案

3.3 等比数列

【考点及要求】

等比数列的定义、等比数列的通项公式、求和公式和等比中项.

理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式与前n 项和公式,并能解决简单的实际问题.

等比数列的定义、通项公式、前n 项和公式是解决等比数列的有关计算、论证,等比数列的有关性质的基础和出发点,这类问题往往解法灵活、多变,是高考试题的生长点,选择题、填空题和解答题都可能出现.

【要点回放】

等比数列 1.定义：

q a a n

n =+1

（常数q 为公比）)(*∈N n （注意隐含条件:0,0n a q ≠≠） 2.通项公式：11-=n n q a a 推广: m n m n q a a -=

3.等比中项：如果在a 与b 间插入一个数G ，使b G a ,,成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，ab G ±=.)0(>ab .

4.前n 项和公式：1

1(1)(1)(1,0)1n n na q S a q q q q

=⎧⎪

=-⎨≠≠⎪-⎩

且 （易错点:不分类讨论）

注意:应用前n 项和公式时,一定要区分11≠=q q 与的两种不同情况,必要的时候要分类讨论. 5.等比数列{}n a 的一些常用性质

(1)对于任意正整数s r q p ,,,，如果s r q p +=+，则有s r q p a a a a ⋅=⋅；如果q r p 2=+，则有2

q r p a a a =⋅

(2)对于任意正整数,1>n 有112

+-⋅=n n n a a a

(3)对于任意非零实数b ，数列{}n ba 是等比数列，则数列{}n a 是等比数列 (4)已知数列{}n b 是等比数列，则{}n n b a ⋅也是等比数列。 ⑸下标成等差数列的项构成等比数列 ⑹连续若干项的和也构成等比数列. 6．证明数列为等比数列的方法:

(1)定义法:若

{}为等比数列数列n n

n a N n q a a ⇔∈=*+)(1

(2)等比中项法:若{}为等比数列数列且n n n n n n n a a a a N n a a a ⇔≠∈⋅=++*

++)0(212

21 (3)通项法:若{}为等比数列数列的常数均是不为n n n a N ，n q c cq a ⇔∈=*)0,( (4)前n 项和法:若{}为等比数列数列且为常数n n n a q q ，q A A Aq S ⇔≠≠-=)1,0,( 7．解决等比数列有关问题的常见思维方法 (1)方程的思想(“知三求二”问题) (2)分类的思想

①运用等比数列的求和公式时,需要对11≠=q q 和讨论

②{}为递增数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<<>> ()1(111-=--+q q a a a n n n )

{}为递减数列等比数列时或n a q a q a ,10,01,011<<>>< 【基础训练】

1.（江苏卷）在各项都为正数的等比数列｛a n ｝中，首项a 1=3 ，前三项和为21，则a 3+ a 4+ a 5= （ C ）

( A ) 33 ( B ) 72 ( C ) 84 ( D )189

2. 已知等比数列{}n a 中，33a =，10384a =，则该数列的通项公式n a 3

32n -⋅

3.命题甲:2

11

(),2,22

x x x -成等比数列，命题乙:lg ,lg(1),lg(3)x x x ++成等差数列，则甲是乙的 必要不充分 条件。（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）

4.（04年上海卷.文理12）若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设{a n }是公比为q 的无穷等比数列,下列{a n }的四组量中,一定能成为该数列“基本量”的是

第 ①④ 组.(写出所有符合要求的组号) ①S 1与S 2; ②a 2与S 3; ③a 1与a n ; ④q 与a n . 其中n 为大于1的整数, S n 为{a n }的前n 项和.

5. (05重庆卷) 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点。已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是( C )

(A) 4； (B) 5； (C) 6； (D) 7.

6.设数列{}n a 的前n 项和为n S （N*n ∈），关于数列{}n a 有下列三个命题： （1）若{}n a 既是等差数列又是等比数列，则1

(N*)n n a a n +=∈；

（2）若()2R n S an bn a b =+∈、，则{}n a 是等差数列； （3）若()11n

n S =--，则{}n a 是等比数列.

这些命题中，真命题的序号是 ⑴⑵⑶ .

【例题讲练】

题型Ⅰ 等比数列中基本量的计算 例1:数列{}n a 为等比数列,求下列各值, (1)已知.,2

1

18367463n a a a a a n 求=

=+=+ (2) .,15367382q a a a a 求公比已知=+= (3) .),21(15,218a S q 求已知-=-=

思维分析:运用等比数列的基本公式和基本性质”知三求二”问题 解(1)2

1,36,18)(63636374=

∴=+=+=+=+q a a a a q q a q a a a 9

2

1

2)21(3232,36)1(833333333363=∴====∴=∴=+=+=+---n q a a a q a q a a a a n n n n (2) ,03615,,1536273738273两根是方程=+-∴=+==x x a a a a a a a a

2

2

2414,3,1212,3447373±

=±=∴=

=∴====∴q q q q a a a a 或或或 (3)1)21()21()21(152

1)15(2

1])2(1[11818=+⋅--=∴-=+-=

+--=

a a a S

变式1.设一个等比数列的首项为a(a>0),公比为q(q>0),其前n 项和为80,而其中最大的一项为

54,又其前2n 项和是6560,求a 和q.

思维分析:运算等比数列的求和公式及整体代换思想和分类讨论思想, 解:若q=1,则na=80,∴2na=160矛盾,1≠∴q

于是)3(541,081)1()2()2(65601)1()1(801)

1(1

1211==∴>∴>=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=---n n n n

n q a a q q q q

q a q q a 又得 3,2548111)3)(1(81==∴=-=-=q a q a q

a

q n 及得

代入 变式2.设等比数列{}n a 的前n 项和为S n ,若S 3+S 6=2S 9,求数列的公比q.