02-03年度实变函数B卷 附答案

华中师范大学

2002——2003学年第二学期

期（中、末）考试试卷（A 、B 卷）

课程名称 实变函数 课程编号 42111300 任课教师 一、判断题（判断正确、错误，并改正。共5题，共5×3=15分）

1、无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。 ( )

2、存在闭集使其余集仍为闭集。 （ ）

3、若E 是可测集，F 是E 的可测子集，则 mF mE F E m -=-)(。 ( )

4、若E 是可测集，)(x f 是E 上的实函数，则)(x f 在E 上可测的充要条件是：存在

实数a ，使[]a f x E >|是可测集。 （ ）

5、若E 是可测集，)(x f 是E 上的非负简单函数，则

⎰E

dx x f )(一定存在。 ( )

二、叙述题（共5题，共5×3=15分） 1、伯恩斯坦定理。

2、伯恩斯坦定理。

3、可测集与开集的关系。

4、叶果洛夫定理的逆定理。

5、)(x f n 在可测集E 上几乎处处收敛于)(x f 的定义。

三、简答题（共1题，共1×10=10分）

按从简单到复杂的方式简述Lebesgue 的定义。

专业 年级 学号

四、解答题（共6题，共6×10=60分）

1、设)(x f 是),(+∞-∞=E 上的单调函数，证明)(x f 是E 上的可测函数。

2、设n

R E ⊂，证明E 是闭集的充要条件是：λλF E F Λ

∈= ，其中=Λ{包含E 的闭集全体}。

3、若321,,A A A 均为[]1,0上的可测子集，且23

1

>∑=i i

mA ，则 03

1

>=i

i A

m 。

4、利用Lebesgue 控制收敛定理，求 dx x n

n ⎰

∞

→0

sin lim π。

5、设 =)(x f ⎩

⎨⎧∈∉0cos 0

,,sin Q x e Q x x x ，其中0Q 是[]1,0上的有理数集，求

[]

⎰1

,0)(dx x f 。

6、若n

R 中的可测集列{}n E ，满足 0lim

=∑∞

=∞

→n

k k

n mE

，则 0)lim ()lim (==∞

→∞

→n n n n E m E m

华中师范大学2002——2003学年第二学期 期（中、末）考试试卷（A 、B 卷）

课程名称 42111300 一、判断题（判断正确、错误，并改正。共5题，共5×3=15分）

1、无限集中存在基数最大的集合，也存在基数最小的集合。 ( × ) 改正：无限集中不存在基数最大的集合，但存在基数最小的集合。

2、存在闭集使其余集仍为闭集。 （ √ ）

3、若E 是可测集，F 是E 的可测子集，则 mF mE F E m -=-)(。 ( × ) 改正：若E 是可测集，F 是E 的测度有限的子集，则 mF mE F E m -=-)(。

4、若E 是可测集，)(x f 是E 上的实函数，则)(x f 在E 上可测的充要条件是：存在 实数a ，使[]a f x E >|是可测集。 （ × ） 改正：若E 是可测集，)(x f 是E 上的实函数，则)(x f 在E 上可测的充要条件是： 对任意实数a ，[]a f x E >|是可测集。

5、若E 是可测集，)(x f 是E 上的非负简单函数，则⎰E dx

x f )(一定存在。

( √ )

二、叙述题（共5题，共5×3=15分） 1、伯恩斯坦定理。

答：设A 、B 是两个集合，若A 的基数不超过B 的基数，且B 的基数也不超过A 的基数，则A 与B 对等。

2、伯恩斯坦定理。

答：设A 、B 是两个集合，若A 的基数不超过B 的基数，且B 的基数也不超过A 的基数，则A 与B 的基数相等。

3、可测集与开集的关系。

答：设E 为可测集，则对任意0>ε，存在开集G ，使G E ⊂且ε<-)(E G m 。 4、叶果洛夫定理的逆定理。

专业 年 学号

答：设{

)(x f n }为E 上几乎处处有限的可测函数列，)(x f 也为E 上几乎处处有限的可测函数如果对

任意0>ε，存在可测子集E E ⊂ε

，使在εE 上，)(x f n 一致收敛于)(x f ，而εε<-)(E E m 则

)()(x f x f n → a.e.于E 。

5、

)(x f n 在可测集E 上几乎处处收敛于)(x f 的定义。

答：设E 是可测集，

)(x f n 、)(x f 均为E 上的可测函数，如果E 中使)(x f n 不收敛于

)(x f 的点 所成的集为零测集，则称)(x f n 在E 上几乎处处收敛于)(x f ，记为)()(x f x f n → a.e.

于E 。

三、简答题（共1题，共1×10=10分）

1、按从简单到复杂的方式简述Lebesgue 的定义。

答：1. 设E 为可测集，)(x f 为E 上非负简单函数，即i

n

i E E 1=⋃= （i E 两两不交）且当 i E x ∈时 i c x f =)( n i ,...,2,1=，则称i

n

i i m E c ∑=1

为)(x f 在E 上的Lebesgue 积分，记为

⎰E

dx

x f )(。 ————————————————————3分

2. 设E 为可测集，)(x f 为E 上非负可测函数，则存在一列单调递增非负简单函数列)(x n

ϕ

使)()(x f x n →ϕ，则称⎰∞→E n n dx x )(lim ϕ为)(x f 在E 上的Lebesgue 积分，记为⎰E dx x f )(。

—————————————————————7分

3. 设E 为可测集，)(x f 为E 上可测函数，由于

)()()(x f x f x f -

+-=，如果⎰

+E dx

x f )(与

⎰-

E

dx

x f

)(至少有一个为有限数，则称⎰+

E

dx

x f

)(－⎰-

E

dx

x f

)(为)(x f 在E 上的Lebesgue 积分，