半导体物理与器件基础-第3章

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三、导带中的电子浓度和价带中的空穴浓度 E E
c
F
1、导带电子浓度 no 把导带所有的量子态都集 对非简并条件下的单位体积半导体，导带中能量 E 中在导带底，此处的状态 密度为Nc，则导带中的电 到E+dE之间的电子数为：
f B E g c E dE 2m dN dn 4 V V h
在绝对热力学零度，EF是全空态和全满态的分界线。 在温度不很高时，能量大于费米能级的量子态基本上没有 被电子占据，而能量小于费米能级的量子态基本上为电子 所占据。
所以费米能级的位置比较直观地标志了电子占据量子 态的情况，即费米能级标志了电子填充能级的水平。费米 能级位置较高，说明有较多的能量较高的量子态上有电子 占据。
f ( E ) T 0
1 lim f ( E ) T 0 0
E EF E EF
E EF E EF E EF
13
f (E) 1 2
当 T > 0 且温度不太高时，有
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f (E) 1 2 f (E) 1 2
2、费米能级 EF 的意义
比较可得
32 32 23 m m [( m ) ( m ) p dp p h p l ]
mdn称为价带空穴状态密度有效质量。
硅：mdn=1.08m0，mdp=0.59m0。 锗：mdn=0.56m0，mdp=0.37m0。
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§3.2 费米能级和载流子的统计分布
半导体物理与器件基础
雷天民
西Ⅱ-206 leitianmin@163.com
第三章 半导体中载流子的统计分布
热平衡状态下，半导体中的载流子数目如何确定？ 载流子浓度与温度之间有什么样的变化规律？
状态密度 费米能级和载流子的统计分布 本征半导体的载流子浓度 杂质半导体的载流子浓度 一般情况下的载流子统计分布 简并半导体
2) 费米分布函数与玻耳兹曼分布函数的比较:
可以看出，当 E-EF>2kBT 时，f(E) 与 fB(E) 的数值几乎 相同、都是很小的数值。 原因：在 E-EF>>kBT 的情况下，能级被电子占据的几率 很小，几乎不会发生两个以上电子占据同一能级的可能， 作为费米分布和玻耳兹曼分布主要差别的泡利不相容原理 就不起作用，故两者的结果相同。 通常把服从玻耳兹曼统计律的电子系统称为非简并性 系统，而服从费米统计律的电子系统称为简并性系统。
ni ki Li
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(i x, y, z, ni 0,1,2,)
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可见，在 k 空间，代表点是均匀分布的，每一个代表点 所占据的体积为
n x n y n z 1 k x k y k z Lx L y Lz V
因此，k 空间中单位体积内所包含的量子状态数为V。如 果考虑电子自旋，每个状态可以容纳自旋相反的两个电子。 若将每个电子的量子状态都看成独立的，则 k 空间中单位体积内所包含的量子状态数为2V！
mx m m m y z n
导带底附近的状态密度表达式可简化为
32 ( 2m n ) 12 g c ( E ) 4V ( E E ) c 3 h
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当价带顶在k=0处，则sp=1，若等能面为球面，则
( m ) ( m ) ( m ) m p x p y p z p
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桃李满天下
能斯特 阿仑尼乌斯 霍夫曼 海克 茨梅勒 埃仑费斯特 弗莱姆 迈耶 埃克斯纳尔 埃仑哈福特 弗兰克 康莱德 马凯 …… 16
f (E)
1 1 e
E EF k BT
1 f (E) e
1
E EF k BT
1 e
1
EF E k BT
硅、锗等半导体的价带顶位于布里源区中心，有两个能 带在k＝0处相接触，一个是重空穴带，—个是轻空穴带 ，其等能面可近似用球面代替。因而，价带顶的状态密度 应为这两个能带的状态密度之和，即
g ( E ) 4V [2(m p ) h ]3 2 h3 ( E E )1 2 4V [2(m p ) l ]3 2 h3 ( E E )1 2
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同理，可得价带顶附近的状态密度为
g ( E ) 4s pV
12 12 [(8(m ) ( m ) ( m ) ] ( E E ) p x p y p z
h3
式中sp 表示价带顶状态的对称点数目。 3）讨论： 当导带底在k=0处，则s=1，若等能面为球面，则
1
f(E)表示能量为 E 的量子态被电子占据的概率。 因而 1- f(E) 就是能量为 E 的量子态不被电子占据的 概率，这也就是量子态被空穴占据的概率。故 当 EF-E>>kBT 时，有
EF E k BT
1 f (E) e
e
EF k BT
e
E k BT
Be
E k BT
上式称为空穴的玻耳兹曼分布函数。它表明当E远低于EF 时，空穴占据能量为 E 的量子态的概率很小，即这些量 子态几乎都被电子所占据。
f ( Ec ) e
k BT

32 n 3
E E
c
子浓度是Nc中被电子占据 E EF 的量子态数。 12 k BT
e
dE
n0
2m E E 4 h 2m E E 4
Ec Ec 32 n 3 c
积分可得热平衡状态下非简并半导体的导带电子浓度
价带顶附近的状态密度为
g ( E ) 4V
32 ( 2m ) p
h3
( E E )1 2
对于硅、锗等半导体，导带极值不在k=0处，且等能面 为旋转椭球面，比较可得
mn mdn s 2 3 (mt2 ml )1 3
mdn称为导带底电子状态密度有效质量。
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h3
2）价带顶附近的状态密度 价带顶附近的能量E(k)与k的关系为
2 2 2 ( k k ) ( k k ) h (k x kix ) y iy z iz E (k ) E 2 (m p ) y (m p ) z (m p ) x 2
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应该注意： 这种热平衡状态不是绝对的、静止的平衡，而是一种 相对平衡。一旦温度发生变化破坏原来的平衡状态，它又 会在新的温度下建立起新的平衡状态，载流子浓度又达到 新的稳定数值。
二、热平衡状态下的状态密度
1、k 空间中量子态的分布 对于体积有限的半导体，根据玻恩-卡门周期性边界 条件，波矢 k 只能取分立值：
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§3.1 状态密度
本节要点：热平衡状态下，状态密度的概念及其计算！
一、热平衡状态
● ●
Ec ED
产 生
○ ○
复 合
Ev
载流子的热产生过程：本征激发、杂质电离 载流子的复合过程：电子和空穴同时消失 热平衡状态：复合率等于产生率，宏观性质不变
半导体内的电子浓度和空穴浓度保持不变！
7
雷天民
将上式对能量取微分得
dZ i ( E )
12 4V (8m x m y m z ) ( E E c )1 2
h
3
dE
根据对称性，考虑导带底有s个能谷，则导带底附近的状 态密度为
dZ g c (E) 4sV dE
12 (8m x m y m z ) ( E E c )1 2
f(E)称为电子的费米分布函数，它是描写热平衡状态下， 电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布函数。
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f (E)
1 E EF 1 exp k T B
P.A.M.Dirac 1902～1984
式中 EF 具有能量量纲，称为费米能级。 根据费米分布函数，易知当T=0时，有
则能量为E的等能面所包围的椭球体积为
12 ( 8 m 4 x m y mz ) 32 ( E E ) c 3 3 h
旋转椭球内所含状态数为Zi(E)＝2V· 椭球体积，即
8 Z i (E) V 3
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12 (8m x m y mz )
h
3
( E Ec ) 3 2
a.T = 0; b.kBT = 1; c.kBT =2.5
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二、玻耳兹曼统计规律
f (E) 1 1 e
E EF k BT EF k BT
E EF k BT
当 E-EF>>kBT 时，
L. E. Boltzmann 1844一1906
f B (E) e

e
e

E k BT
Ae

E k BT
表明：在一定温度下，电子占据能量为E 的量子态的概率 由指数因子 e E / k BT 所决定。此即玻耳兹曼统计分布函数 （1868）。因此，fB(E)称为电子的坡耳兹曼分布函数。
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点滴评论
统计力学的创 始人——赛格雷 如果没有玻耳 兹曼的贡献，现 代物理学是不可 想象的——劳厄 理论物理学的 一颗明珠 —— 洛伦兹 具有异常才能 的物理学家—— 爱因斯坦
2m E E p 4 h 2m E E 4
E 0 E 32 p 3
12

e

ห้องสมุดไป่ตู้
E EF k BT
dE dE
p B 3 32

E

h
32 p 3
12
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2、状态密度
定义：能带中能量 E 附近单位能量间隔内的量子态数
dZ g (E) dE
原则上说，状态密度的一般表达式可以根据能带理论 计算，一般是能量的复杂函数。 通常只需要考虑导带底和价带顶附近的状态密度 思路： 计算能量 E 到 E+dE 之间的状态数 dZ ； 根据定义求出状态密度。 注意：dZ 与能量 E 对应的 k 点在 k 空间的位置（对 称性）以及该点附近等能面的形状有关。
12
e e

E EF k BT
dE dE
n0 N c e
Nc

Ec EF k BT
32

Ec
h
32 n 3
12

c
E EF k BT
2m k T 2
n B 3
h
Nc称为导带的有效状态密度，它是温度的函数。
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2、价带空穴浓度 po 同理可得热平衡状态下非简并半导体的价带空穴浓度
f Be ( E ) e
E EF k BT
Ae
E k BT
f Bh ( E ) e

EF E k BT
Be
E k BT
随着 E 的增大，fBe(E)迅速减小，fBh(E)迅速增大，所以半 导体中电子（空穴）主要分布在导带底（价带顶）附近。
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1）导带底附近的状态密度 设导带底有s个等价能谷，ki表示对应的 k 值，导带底 附近的等能面为旋转椭球面，于是导带底附近的能量为
2 2 2 ( k k ) ( k k ) h ( k x kix ) y iy z iz E ( k i ) Ec 2 mx my mz 2
电子为全同粒子，具有自旋，受泡利不相容原理约束。
一、费米-狄拉克统计规律
1、费米分布函数 热平衡状态下，对于能量为E 的一个量 子态被一个电子占据的概率 f(E) 为
f (E) 1 E EF 1 exp k T B
Enrico Fermi 1901-1954
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1 f (E) e
EF E k BT
e
EF k BT
e
E k BT
Be
E k BT
E↑，空穴占有几率增加；EF↑，空穴占有几率下降，即电 子填充水平增高。 说明： 1) 在半导体中，最常遇到的情况是费米能级 EF 位 于禁带内，而且与导带底或价带顶的距离远大于kBT。所 以，半导体导带中的电子分布和价带中的空穴分布都可以 用相应的玻耳兹曼分布函数描写。