内切球和动点问题+高数一组+张鹏

Rt△OMC 中，2r＝ 2 2 ，r＝2 2，d＝ R2－r2＝ 3－8＝ 3，
sin 60° 3
33
dmax＝d＋R＝
3＋ 3
3＝4 3 3.
典型例题
例 1.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则该几何体
的外接球的表面积为( )
8π A.
3
16π B.
3
48π C.
3
64π D.
三棱柱的外接球，球心在上下底面斜边的中点连线的中点
处，求出上下底面斜边的中点连线的中点到顶点的距离，就
是球的半径，
R＝OB＝ OC2＋BC2＝
3 2 2＋
2 2 2＝
5，∴V＝4πR3＝5
5π.
2
3
6
跟踪训练
答案解析
答案解析
课后总结
1、本节课的主讲内容是： 2、学生的学习状态（收获与不足） 3、针对学生的不足之处，老师的一个合理化建议是什么
如球内切于正方体时，切点为正方体各个面的中心，正方体的 棱长等于球的直径；球外接于正方体时，正方体的各个顶点均在球 面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与其他旋转体组合时， 通常作它们的轴截面解题；球与多面体组合时，通常过多面体的一 条侧棱和球心及“切点”或“接点”作截面图进行解题.
典型例题
例 3.在边长为 6 cm 的正方形 ABCD 中，E、F 分别为 BC、CD 的中点，M、N 分别为 AB、CF 的中点，现沿 AE、AF、EF 折叠，使 B、C、D 三点重合于 B， 构成一个三棱锥. (1)G 是线段 AB 上一点，且A→G＝λ·A→B，问是否存在点 G 使得 AB⊥平面 EGF， 若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由； (2)求多面体 E－AFNM 的体积．
牛刀小试
1. 如图，在圆柱 O1O2 内有一个球 O，该球与圆柱的上、 下底面及母线均相切，记圆柱 O1O2 的体积为 V1，球 O 的体积为 V2，则VV12的值是________．
答案解析
设球 O 的半径为 R，球 O 与圆柱 O1O2 的上、下 底面及母线均相切，圆柱 O1O2 的高为 2R，底面 半径为 R. VV12＝π4Rπ2·R23R＝32.
知识梳理
1.球与几何体的切、接问题 与球有关的表面积或体积求解，其本质是半径的求解，这也是
此类问题求解的主线. 要谨记.先根据几何体的三视图确定其结构特征与数量特征，然
后确定其外接球的球心，进而确定球的半径，最后代入公式求值即 可；
也可利用球的性质——球面上任意一点对直径所张的角为直角， 然后根据几何体的结构特征构造射影定理求解.
典型例题
例 2.正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，
底面边长为 2，则该球的表面积为 ( )
A.814π C．9π
B．16π D.274π
答案解析
如图所示，设球半径为 R，底面中心为 O′且球心为 O，
∵正四棱锥 P-ABCD 中 AB＝2，∴AO′＝ 2.
∵PO′＝4，∴在 Rt△AOO′中，AO2＝AO′2＋OO′2，
2S
2×1×6×8 ＝ 2 ＝2，
a＋b＋c 6＋8＋10
故选 B.
牛刀小试
3. 边长为 2 2 的正△ABC 内接于体积为 4 3π的球，则球面上的点 到△ABC 的最大距离为________．
答案解析
设 M 是△ABC 的外心，半径为 r，设球心为 O，球体半径为 R，
V＝4πR3＝4 3π，R＝ 3， 3
立体几何动点及外接球问题
知识梳理
[高考点拨] 立体几何专题是高考中当仁不让的热点之一，小题主要考查三
视图与空间几何体的体积和空间位置关系及空间角，大题常考空间 位置关系的证明与空间角、距离的探求．
本课主要从“空间几何体的切、接球问题”“立体几何中的动点” 两大问题进行典例剖析，引领考生明确考情并提升解题技能．
答案解析
(1)存在 G 点使得 AB⊥平面 EGF，此时λ＝1. AB⊥BE
因为 AB⊥BF ⇒AB⊥平面 EBF. BE∩BF＝B
又 G 是线段 AB 上一点，且A→G＝λ·A→B， ∴ 当点 G 与点 B 重合时 AB⊥平面 EGF，此时λ＝1.
答案解析
(2)因为 AB⊥平面 BEF，且 AB＝6，BE＝BF＝3， VA－BEF＝13·AB·S△BEF＝9，又VVEE－－AAFBNFM＝SSA△FANBMF＝34， VE－AFNM＝247.
跟踪训练
3．等边三角形 ABC 的边长为 2，将它沿高 AD 翻折，使点 B 与 点 C 间的距离为 2，此时四面体 ABCD 外接球体积为________.
答案解析
根 据 题 意 可 知 三 棱 锥 B － ACD 的 三 条 侧 棱 BD⊥AD ，
DC⊥DA，底面是直角三角形，它的外接球就是它扩展为正
又正△ABC 的外接圆半径为 r＝
AB
＝4
3，因此
R2＝r2＋
2 3
3
2
2sin 60° 3
＝20，所以三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为 4πR2＝80π.
3
3
故选 D.
方法小结
与球有关的组合体问题常涉及内切和外接.解题时要认真分析图 形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出 合适的截面图.
3
牛刀小试
2.一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨、 加工成球，则能得到的最大球的半径等于( )
A．1 C．3
B．2 D．4
答案解析
该几何体为直三棱柱，底面是边长分别为 6,8,10 的直角三角形，
侧棱长为 12，故能得到的最大球的半径等于底面直角三角形内
切圆的半径，其半径为 r＝
∴R2＝( 2)2＋(4－R)2，解得 R＝9， 4
9
∴该球的表面积为
4πR2＝4π×
4
2＝81π. 4
跟踪训练
2.已知三棱锥 P-ABC 的四个顶点均在某球面上，PC 为该球的直径，
△ABC
是边长为
4
的等边三角形，三棱锥
P-ABC
的体积为16，则 3
此三棱锥的外接球的表面积为 ( )
A.16π 3
答案解析
由三视图知该几何体是一个四棱锥，如图所示，其 底面 ABCD 是长、宽分别为 4 和 2 的矩形，高为 2， 且侧面 SDC 与底面 ABCD 垂直，且顶点 S 在底面上 的射影为该侧面上的底面边的中点．由该几何体的结 构特征知球心在过底面中心 O 且与底面垂直的直线上，同时在过侧面△SDC 的外接圆圆心且与侧面 SDC 垂直的直线上．因为△SDC 为直角三角形，所 以球心就为底面 ABCD 的中心 O，所以外接球的半径为 R＝1AC＝ 5，故外
3
答案解析
由三视图可知，该几何体是如图所示的三棱锥 S -ABC，其中 HS 是三棱锥的高， 由侧视图可知 HS＝2 3. 由正视图和侧视图可得 HA＝HB＝HC＝2.由几何体的对称性可知三棱锥外接球 的球心 O 在 HS 上，延长 SH 交球面于点 P，则 SP 就是球的直径，
答案解析
由点 A 在球面上可得 SA⊥AP.又 SH⊥平面 ABC，所以 SH⊥AH.
在 Rt△ASH 中，SA＝ SH2＋AH2＝ 2 3 2＋22＝4.设球的半径为 R，则 SP
＝2R，在 Rt△SPA 中，由射影定理可得 SA2＝SH×SP，即 42＝2 3×2R，解得 R
＝4 3，所以所求外接球的表面积为 4πR2＝4π×16＝64π.
3
33
故选 D.
跟踪训练
1.一几何体的三视图如图(网格中每个正方形的边长为 1)，若这个几何体的顶 点都在球 O 的表面上，则球 O 的表面积是________．
三棱柱的外接球，球心在上下底面斜边的中点连线的中点
处，求出上下底面斜边的中点连线的中点到顶点的距离，就
是球的半径，
R＝OB＝ OC2＋BC2＝
3 2 2＋
2 2 2＝
5，∴V＝4πR3＝5
5π.
2
3
6
答案解析
根 据 题 意 可 知 三 棱 锥 B － ACD 的 三 条 侧 棱 BD⊥AD ，
DC⊥DA，底面是直角三角形，它的外接球就是它扩展为正
C.634π
B.40π 3
D.830π
答案解析
依题意，记三棱锥 P-ABC 的外接球的球心为 O，半径为 R，点 P 到
平面
ABC
的距离为
h，则由
VP-ABC＝13S△ABCh＝13×
3×42 4
×h＝136得
h
＝4 3
3.又
PC
为球
O
的直径，因此球心
O
到平面
ABC
的距离等于
12h
＝2 3. 3
答案解析
2 接球的表面积为 4πR2＝20π.
方法小结
与球有关外接问题的解题规律
(1)直棱柱外接球的球心到直棱柱底面的距离恰为棱柱高的.
(2)正方体外接球的直径为正方体的体对角线的长．此结论也适合长 方体，或由同一顶点出发的两两互相垂直的三条棱构成的三棱Baidu Nhomakorabea或 三棱锥．
(3)求多面体外接球半径的关键是找到由球的半径构成的三角形，解 三角形即可．
知识梳理
2.动点问题 立体几何 中 的 动 点 问题一般是条件开放性的探究问题，采用的
方法是执果索因的方法。 假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件，运用
方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决． 如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符
合题目结果要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．