高等代数学习笔记

欢迎下载学习好资料：学习笔记上《高等代数()》这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，

但意思是一样的，祝大家都能通过考试。行列式第一章

定义§1.1

这是行列式（或写为|D|）这是矩阵，注意区别

这是三元线性方程组

代数和阶行列式右下斜线为正

左下斜线为负

§1.2 逆序数

偶排列，正号逆序数奇排列，负号个n阶排列，有n!

§1.3 n阶行列式的代数和判断逆序数的奇偶性

阶排列n

§1.4 行列式性质

1、行列式转置值不变：

2、k可以乘上某行(列)：

3、加法：某行之和展开为两行列式之和：

4 、互换两行(列)：负号

5、两行相同(成比例)：零值

6、某行乘以k加到另一行：值不变

学习好资料欢迎下载§1.5 代数余子式)

所在行列的和(同等于逆序数τ

余子式：删去i, j所在的行与列后得到的n-1阶行列式代数余子式

列行即展开第阶行列式n

§1.6 范德蒙行列式

表示所有可能的差i>j

如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)

第二章线性方程组

§2.1 克莱姆法则

、解集：类似左边

系数行列式(b在1列)

：该解法适用于n阶时，方程组有唯一解当

只有当常数项b不全为零时，且s=n时才可用克莱姆法则

§2.2 消元法

初等变换：反复对方程进行row变换，最后剩下一个上三角矩阵。

如果线性方程组，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。

数域§2.3 ，复数，有理数、且任意两个数的基本运算仍属于。如实数：包含

§2.4 n维向量

维基本向量组n

行向量与列向量：零向量：数量乘积：负向量：

学习好资料欢迎下载

§2.5 线性相关

rank=n，有唯一解rank

由向量组线性表出线性组合

充要充要充要有解可线性表出系数矩阵增广矩阵线性相关

互相线性表出向量组等价：

线性相关线性无关有待更进一步补充常数项为0的充要条件

K 有解，且不全0 K只有零解＝

时不一定

线性表出线性表出都可被不能被

不可逆，因为分母不能为0 可逆r

极大线性无关组：每个向量都不能被前面某些向量线性表出

不能表出，即

§2.6 秩

rank=极大线性无关组的向量个数

行秩＝列秩＝行列式秩最高阶子式

§2.7 求全部解和基础解系的步骤详见书P154-155页例6

初等变换梯阵增广矩阵第一步：求梯阵的一般解求第二步：求一般解

注：如果是求矩阵化和求特征值，γ，求设自由只需求基础解系，又称特征向量0第三步：求特解γn-r个，求一般解使常数第四步：求齐次的一般解代入自由将，求基础解系第五步：求基础解系即n维基本向量组

即

第六步：答：得全部解

全部解基础解系特解．

学习好资料欢迎下载

第三章矩阵

附1：矩阵名词汇总：

方阵：初等变换等价矩阵：系数矩阵：b即系数增广矩阵：初等矩阵：初等变换一次

，梯阵：正交矩阵：左下左下：对角线左三角形，元首约化梯阵：＝相似矩阵：左下

约当形矩阵：左下，三角矩阵：二次形矩阵：对角矩阵：详看除对角线，余为对

角线上的元素实对称矩阵：实数，对角线对称，对角单位矩阵：

(半)正定矩阵：全，全零矩阵：λ即特征值

(半)负定矩阵：全数量矩阵：

转置矩阵：不定矩阵：不全

标准形矩阵：对角线分块矩阵：

满秩矩阵：Rank即矩阵的秩逆矩阵：

伴随矩阵：

附2：一般n维线性方程组、s×n维矩阵、n维向量组的表示法

注：全为0时，称齐次线性方程组

不全为0时，称非齐次线性方程组

注：s为行数，n为列数(未知数个数) 附：有的书行数用m表示

注：这个既可理解为：基础解系的系数也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素

的特征值(同上句还可以理解为：二次型)

附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师”表示，我认为不错，不易混淆。或某书中用“

学习好资料欢迎下载

§3.1 矩阵运算

1、加(减)法：，即各个元素对应相加（减）

性质：

交换律：

结合律：

2、乘法：

51

0 2 ＝

+ + ×××例：注：A的|row|=B的|column|

性质：不一定（当，称可交换）

结合律：

k次幂：

非交换律：

§3.2 分块分块后矩阵的基本运算依然等价详见书P183页AB

§3.3 逆矩阵

1、求a的代数余子式A ij ij伴随矩阵：

2、对应的元素要转置

求逆公式：

§3.4 等价矩阵

初等变换等价矩阵：次初等变换做由初等矩阵：r 的个数＝1标准形：同时做行、列变换，对角线为行变换用单位矩阵求逆：但易出错，附：这是一个求逆的简便方法，阶矩阵建议用求逆公式。3

欢迎下载学习好资料

正交矩阵3.5 §:性质例：又称正交向量组，

一定线性无关向量组的内积0任意两行或列的内积必为内积公式内积性质：分配律：

结合律：

交换律：

正交化：的公式线性无关，求正交化的 1

例详见书P219页

施密特正交化方法

附：由于向量通常是指列向量，（如更易理解，谨记

单位化：正交向量组（又称归一化）注：

，数学中并没有明确规定符号这里我设正交单位向量组