高等代数学习笔记
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欢迎下载学习好资料:学习笔记上《高等代数()》这是我自学的笔记做成的电子档,其中有许多注释,尽量深入浅出,以供大家学习。有些笔误也修正差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同,
但意思是一样的,祝大家都能通过考试。行列式第一章
定义§1.1
这是行列式(或写为|D|)这是矩阵,注意区别
这是三元线性方程组
代数和阶行列式右下斜线为正
左下斜线为负
§1.2 逆序数
偶排列,正号逆序数奇排列,负号个n阶排列,有n!
§1.3 n阶行列式的代数和判断逆序数的奇偶性
阶排列n
§1.4 行列式性质
1、行列式转置值不变:
2、k可以乘上某行(列):
3、加法:某行之和展开为两行列式之和:
4 、互换两行(列):负号
5、两行相同(成比例):零值
6、某行乘以k加到另一行:值不变
学习好资料欢迎下载§1.5 代数余子式)
所在行列的和(同等于逆序数τ
余子式:删去i, j所在的行与列后得到的n-1阶行列式代数余子式
列行即展开第阶行列式n
§1.6 范德蒙行列式
表示所有可能的差i>j
如:(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)
第二章线性方程组
§2.1 克莱姆法则
、解集:类似左边
系数行列式(b在1列)
:该解法适用于n阶时,方程组有唯一解当
只有当常数项b不全为零时,且s=n时才可用克莱姆法则
§2.2 消元法
初等变换:反复对方程进行row变换,最后剩下一个上三角矩阵。
如果线性方程组,则初等变换后的上三角矩阵,元首都不为0。
数域§2.3 ,复数,有理数、且任意两个数的基本运算仍属于。如实数:包含
§2.4 n维向量
维基本向量组n
行向量与列向量:零向量:数量乘积:负向量:
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§2.5 线性相关
rank=n,有唯一解rank 由向量组线性表出线性组合 充要充要充要有解可线性表出系数矩阵增广矩阵线性相关 互相线性表出向量组等价: 线性相关线性无关有待更进一步补充常数项为0的充要条件 K 有解,且不全0 K只有零解= 时不一定 线性表出线性表出都可被不能被 不可逆,因为分母不能为0 可逆r 极大线性无关组:每个向量都不能被前面某些向量线性表出 不能表出,即 §2.6 秩 rank=极大线性无关组的向量个数 行秩=列秩=行列式秩最高阶子式 §2.7 求全部解和基础解系的步骤详见书P154-155页例6 初等变换梯阵增广矩阵第一步:求梯阵的一般解求第二步:求一般解 注:如果是求矩阵化和求特征值,γ,求设自由只需求基础解系,又称特征向量0第三步:求特解γn-r个,求一般解使常数第四步:求齐次的一般解代入自由将,求基础解系第五步:求基础解系即n维基本向量组 即 第六步:答:得全部解 全部解基础解系特解. 学习好资料欢迎下载 第三章矩阵 附1:矩阵名词汇总: 方阵:初等变换等价矩阵:系数矩阵:b即系数增广矩阵:初等矩阵:初等变换一次 ,梯阵:正交矩阵:左下左下:对角线左三角形,元首约化梯阵:=相似矩阵:左下 约当形矩阵:左下,三角矩阵:二次形矩阵:对角矩阵:详看除对角线,余为对 角线上的元素实对称矩阵:实数,对角线对称,对角单位矩阵: (半)正定矩阵:全,全零矩阵:λ即特征值 (半)负定矩阵:全数量矩阵: 转置矩阵:不定矩阵:不全 标准形矩阵:对角线分块矩阵: 满秩矩阵:Rank即矩阵的秩逆矩阵: 伴随矩阵: 附2:一般n维线性方程组、s×n维矩阵、n维向量组的表示法 注:全为0时,称齐次线性方程组 不全为0时,称非齐次线性方程组 注:s为行数,n为列数(未知数个数) 附:有的书行数用m表示 注:这个既可理解为:基础解系的系数也可以理解为:矩阵对角化后对角线的元素 的特征值(同上句还可以理解为:二次型) 附:本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量,但王老师”表示,我认为不错,不易混淆。或某书中用“ 学习好资料欢迎下载 §3.1 矩阵运算 1、加(减)法:,即各个元素对应相加(减) 性质: 交换律: 结合律: 2、乘法: 51 0 2 = + + ×××例:注:A的|row|=B的|column| 性质:不一定(当,称可交换) 结合律: k次幂: 非交换律: §3.2 分块分块后矩阵的基本运算依然等价详见书P183页AB §3.3 逆矩阵 1、求a的代数余子式A ij ij伴随矩阵: 2、对应的元素要转置 求逆公式: §3.4 等价矩阵 初等变换等价矩阵:次初等变换做由初等矩阵:r 的个数=1标准形:同时做行、列变换,对角线为行变换用单位矩阵求逆:但易出错,附:这是一个求逆的简便方法,阶矩阵建议用求逆公式。3 欢迎下载学习好资料 正交矩阵3.5 §:性质例:又称正交向量组, 一定线性无关向量组的内积0任意两行或列的内积必为内积公式内积性质:分配律: 结合律: 交换律: 正交化:的公式线性无关,求正交化的 1 例详见书P219页 施密特正交化方法 附:由于向量通常是指列向量,(如更易理解,谨记 单位化:正交向量组(又称归一化)注: ,数学中并没有明确规定符号这里我设正交单位向量组