空间向量及其运算和空间位置关系(含解析)

归纳与技巧：空间向量及其运算和空间位置关系
基础知识归纳
一、空间向量及其有关概念
OP＝x OA＋y OB＋z OC且x＋
二、数量积及坐标运算
1．两个向量的数量积
(1)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉；
(2)a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)；
(3)|a|2＝a2，|a|＝x2＋y2＋z2.
2．向量的坐标运算
三、平面的法向量
(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量有无数多个，它们是共线向量．
(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是唯一的．
基础题必做
1．(课本习题改编)已知a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)则下列结论正确的是()
A．a∥c，b∥c B．a∥b，a⊥c
C．a∥c，a⊥b D．以上都不对
解析：选C∵c＝(－4，－6,2)＝2a，∴a∥c.又a·b＝0，故a⊥b.
2．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
解析：选C若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．
3．(教材习题改编)下列命题：
①若A、B、C、D是空间任意四点，则有AB＋BC＋CD＋DA＝0；
②若MB＝x MA＋y MB，则M、P、A、B共面；
③若p＝x a＋y b，则p与a，b共面．
其中正确的个数为()
A．0B．1
C．2 D．3
解析：选D可判断①②③正确．
4．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝________(用a，b，c表示)．
解析：如图，OE＝1
2
OA＋1
2
OD
＝12OA ＋14OB ＋1
4OC ＝12a ＋14b ＋14c . 答案：12a ＋14b ＋14
c
5．已知ABCD －A 1B 1C 1D 1为正方体，①(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2；②1A C ·
(11A B －1A A )＝0；③向量1AD 与向量1A B 的夹角是60°；④正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的体积为|AB ·1AA ·AD |.其中正确命题的序号是________．
解析：设正方体的棱长为1，①中(1A A ＋11A D ＋11A B )2＝311A B 2＝3，故①正确；②中11A B －1A A ＝1AB ，由于AB 1⊥A 1C ，故②正确；③中A 1B 与AD 1两异面直线所成角为60°，但1AD 与1A B 的夹角为120°，故③不正确；④中|AB ·1AA ·AD |＝0.故④也不正确．
答案：①②
解题方法归纳
1.用空间向量解决立体几何中的平行或共线问题一般用向量共线定理；求两点间距离或某一线段的长度，一般用向量的模来解决；解决垂直问题一般可转化为向量的数量积为零；求异面直线所成的角，一般可以转化为两向量的夹角，但要注意两种角的范围不同，最后应进行转化．
2．直线的方向向量与平面的法向量的确定：
(1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB 为直线l 的方向向量，与AB 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量．
(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的
法向量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧
n ·
a ＝0，n ·
b ＝0.
空间向量的线性运算
典题导入
[例1] 如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中G 为△A 1BD 的重心，设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，试用a ，b ，c 表示1AC ，AG .
[自主解答] 1AC ＝AB ＋BC ＋1CC ＝AB ＋AD ＋1AA ＝a ＋b ＋c .
AG ＝1AA ＋1A G
＝1AA ＋1
3
(1A D ＋1A B )
＝1AA ＋13(AD －1AA )＋1
3(AB －1AA )
＝131AA ＋13AD ＋1
3AB ＝13a ＋13b ＋13
c .
本例条件不变，设A 1C 1与B 1D 1交点为M ，试用a ，b ，c 表示MG . 解：如图，
MG ＝1MA ＋1A G
＝－12(11A B ＋11A D )＋1
3(1A D ＋1A B )
＝－12a －12b ＋13(AD －1AA )＋1
3(AB －1AA )
＝－12a －12b ＋13b －13c ＋13a －13c
＝－16a －16b －23
c
解题方法归纳
用已知向量表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键，要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，灵活运用三角形法则及四边形法则．
以题试法
1.如图所示，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB 、AC ，M 、N
分别为OA 、BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG ＝2GN ，若OG ＝x OA ＋y OB ＋z OC ，则x ，y ，z 的值分别为________．
解析：∵OG ＝OM ＋MG ＝12OA ＋2
3MN
＝12OA ＋2
3(ON －OM ) ＝12OA ＋23ON －2
3
OM ＝12OA ＋23×12(OB ＋OC )－23×1
2OA ＝16OA ＋13OB ＋1
3OC ∴x ，y ，z 的值分别为16，13，13.
答案：16，13，13
共线、共面向量定理的应用
典题导入
[例2] 如右图，已知平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′，E 、F 、G 、H 分别是棱A ′D ′、D ′C ′、C ′C 和AB 的中点，求证E 、F 、G 、H 四点共面．
[自主解答] 取ED '＝a ，EF ＝b ，EH ＝c ，则HG ＝HB ＋BC ＋CG ＝D F '＋2ED '＋1
2
AA '
＝b －a ＋2a ＋12(AH ＋HE ＋EA ')＝b ＋a ＋1
2(b －a －c －a )
＝32b －1
2
c ，∴HG 与b 、c 共面．即E 、F 、G 、H 四点共面． 解题方法归纳
应用共线向量定理、共面向量定理证明点共线、点共面的方法比较：
三点(P ，A ，B )共线
空间四点(M ，P ，A ，B )共面
PA ＝λPB 且同过点P MP ＝x MA ＋y MB
对空间任一点O，OP＝OA→＋t AB
对空间任一点O，OP＝OM＋x MA＋
y MB
对空间任一点O，OP＝x OA＋(1－x)OB
对空间任一点O，OP＝x OM＋y OA＋(1
－x－y)OB
以题试法
2.已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、
CD、DA的中点，用向量方法，求证：
(1)E、F、G、H四点共面；
(2)BD∥平面EFGH.
证明：(1)连接BG，则EG＝EB＋BG
＝EB＋12(BC＋BD)
＝EB＋BF＋EH＝EF＋EH，
由共面向量定理知：
E、F、G、H四点共面．
(2)因为EH＝AH－AE
＝1 2AD－1
2
AB＝1
2(
AD－AB)＝1
2
BD，
又因为E、H、B、D四点不共线，所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
利用空间向量证明平行或垂直
典题导入
[例3]已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，边长为2a，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
(1)求证：AF ∥平面BCE ； (2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .
[自主解答] 依题意，以AC 所在的直线为x 轴，AB 所在的直线为z 轴，过点A 且垂直于AC 的直线为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)，C (2a,0,0)，B (0,0，a )，D (a ，3a,0)，E (a ，3a,2a )．
∵F 为CD 的中点，∴F ⎝⎛⎭
⎫32a ，3
2a ，0.
(1)易知，AF ＝⎝⎛⎭⎫32a ，3
2a ，0，BE ＝(a ，3a ，a )，BC ＝(2a,0，－a )，
∵AF ＝1
2(BE ＋BC )，AF ⊄平面BCE ，
∴AF ∥平面BCE .
(2)∵AF ＝⎝⎛⎭
⎫32a ，3
2a ，0，CD ＝(－a ，3a,0)，ED ＝(0,0，－2a )，
∴AF ·
CD ＝0，AF ·ED ＝0， ∴AF ⊥CD ，AF ⊥ED ，即AF ⊥CD ，AF ⊥ED . 又CD ∩ED ＝D ，∴AF ⊥平面CDE . 又AF ∥平面BCE ，∴平面BCE ⊥平面CDE .
解题方法归纳
利用直线的方向向量与平面的法向量，可以判定直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行和垂直．
(1)设直线l 1的方向向量v 1＝(a 1，b 1，c 1)，l 2的方向向量v 2＝(a 2，b 2，c 2)． 则l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)(k ∈R )． l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.
(2)设直线l 的方向向量为v ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α的法向量为n ＝(a 2，b 2，c 2)，则l ∥α⇔v ⊥n ⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0.
l ⊥α⇔v ∥n ⇔(a 1，b 1，c 1)＝k (a 2，b 2，c 2)．
(3)设平面α的法向量n 1＝(a 1，b 1，c 1)，β的法向量为n 2＝(a 2，b 2，c 2)，则α∥β⇔n 1∥n 2，α⊥β⇔n 1⊥n 2.
以题试法
3． 如图所示的长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 是边长为2的正方形，O 为AC 与BD 的交点，BB 1＝2，M 是线段B 1D 1的中点．
(1)求证：BM ∥平面D 1AC ； (2)求证：D 1O ⊥平面AB 1C .
证明：(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则点O (1,1,0)、D 1(0,0，2)， ∴1OD ＝(－1，－1，2)， 又点B (2,2,0)，M (1,1，2)， ∴BM ＝(－1，－1，2)， ∴1OD ＝BM ， 又∵OD 1与BM 不共线， ∴OD 1∥BM .
又OD 1⊂平面D 1AC ，BM ⊄平面D 1AC ， ∴BM ∥平面D 1AC .
(2)连接OB 1.∵1OD ·1OB ＝(－1，－1，2)·(1,1，2)＝0，1OD ·AC ＝(－1，－1，2)·(－2,2,0)＝0，
∴1OD ⊥1OB ，1OD ⊥AC ， 即OD 1⊥OB 1，OD 1⊥AC ，
又OB 1∩AC ＝O ，∴D 1O ⊥平面AB 1C .
1． 若直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，能使l ∥α的是( ) A ．a ＝(1,0,0)，n ＝(－2,0,0) B ．a ＝(1,3,5)，n ＝(1,0,1) C ．a ＝(0,2,1)，n ＝(－1,0，－1) D ．a ＝(1，－1,3)，n ＝(0,3,1)
解析：选D 若l ∥α，则a ·n ＝0.而A 中a ·n ＝－2， B 中a ·n ＝1＋5＝6，C 中a ·n ＝－1， 只有D 选项中a ·n ＝－3＋3＝0.
2．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－1,4，－2)，c ＝(7,5，λ)，若a ，b ，c 三向量共面，则实数λ等于( )
A.62
7 B.637 C.60
7
D.657
解析：选D 由题意得c ＝t a ＋μ b ＝(2t －μ，－t ＋4μ，3t －2μ)，
∴⎩⎪⎨⎪
⎧
7＝2t －μ，5＝－t ＋4μ，λ＝3t －2μ.
∴⎩⎪⎨⎪⎧
t ＝337
，
μ＝17
7，
λ＝657.
3.如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1
的交点．若AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则下列向量中与BM 相等的向量是( )
A ．－12a ＋1
2b ＋c
B.12a ＋1
2b ＋c C ．－12a －1
2
b ＋c
D.12a －1
2
b ＋
c 解析：选A BM ＝1BB ＋1B M ＝1AA ＋1
2(AD －AB )
＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋1
2b ＋c .
4. 如图所示，已知空间四边形OABC ，OB ＝OC ，且∠AOB ＝∠AOC ＝π
3
，则cos 〈OA ，BC 〉的值为( ) A ．0 B.12 C.3
2
D.22
解析：选A 设OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c ， 由已知条件〈a ，b 〉＝〈a ，c 〉＝π
3
，且|b |＝|c |，
OA ·BC ＝a ·(c －b )＝a ·c －a ·b
＝12|a ||c |－1
2
|a ||b |＝0，∴cos 〈OA ，BC 〉＝0. 5． 平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，向量AB 、AD 、1AA 两两的夹角均为60°，且|AB |＝1，|AD |＝2，|1AA |＝3，则|1AC |等于( )
A ．5
B ．6
C ．4
D ．8
解析：选A 设AB ＝a ，AD ＝b ，1AA ＝c ，则1AC ＝a ＋b ＋c ， 1AC 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·c ＋2b ·c ＋2c ·a ＝25， 因此|1AC |＝5.
6．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，点Q 为平面ABCD 内一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ ＝λMN 的实数λ的值有( )
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
解析：选C 建立如图所示的坐标系，设正方体的棱长为2， 则P (x ，y,2)，O (1,1,0)， ∴OP 的中点坐标为
⎝⎛⎭
⎫x ＋12，y ＋12，1，
又知D 1(0,0,2)，∴Q (x ＋1，y ＋1,0)， 而Q 在MN 上，∴x Q ＋y Q ＝3， ∴x ＋y ＝1，即点P 坐标满足x ＋y ＝1. ∴有2个符合题意的点P ，即对应有2个λ.
7．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是________．
①OM ＝2OA －OB －OC ；②OM ＝15OA ＋13OB ＋1
2OC ；③MA ＋MB ＋MC ＝0；④OM ＋OA ＋OB ＋OC ＝0.
解析：∵MA ＋MB ＋MC ＝0，∴MA ＝－MB －MC ，则MA 、MB 、MC 为共面向量，即M 、A 、B 、C 四点共面．
答案：③
8.如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 、F 分别是棱BC 、
DD 1上的点，如果B 1E ⊥平面ABF ，则CE 与DF 的和的值为________．
解析：以D 1A 1、D 1C 1、D 1D 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，
设CE ＝x ，DF ＝y ，
则易知E (x,1,1)，B 1(1,1,0)，∴1B E ＝(x －1,0,1)，
又F (0,0,1－y )，B (1,1,1)，∴FB ＝(1,1，y )，
由于AB ⊥B 1E ，故若B 1E ⊥平面ABF ，
只需PB ―→·1B E ＝(1,1，y )·
(x －1,0,1)＝0⇒x ＋y ＝1. 答案：1
9.如图所示，PD 垂直于正方形ABCD 所在平面，AB ＝2，E 为PB
的中点，cos 〈DP ，AE 〉＝33，若以DA 、DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则点E 的坐标为________．
解析：设PD ＝a ，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，
P (0,0，a )，E ⎝
⎛⎭⎫1，1，a 2. ∴DP ＝(0,0，a )，AE ＝⎝
⎛⎭⎫－1，1，a 2. 由cos 〈DP ，AE 〉＝
33， ∴a 22＝a 2＋a 24·33
，∴a ＝2. ∴E 的坐标为(1,1,1)．
答案：(1,1,1)
10.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，
AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明：
(1)AE ⊥CD ；
(2)PD ⊥平面ABE .
证明：AB 、AD 、AP 两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，则
P (0,0,1)．
(1)∵∠ABC ＝60°，
∴△ABC 为正三角形．
∴C ⎝⎛⎭⎫12，32，0，E ⎝⎛⎭⎫14，34，12. 设D (0，y,0)，由AC ⊥CD ，得AC ·
CD ＝0， 即y ＝233，则D ⎝⎛⎭
⎫0，233，0， ∴CD ＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0.又AE ＝⎝⎛⎭
⎫14，34，12， ∴AE ·
CD ＝－12×14＋36×34＝0， ∴AE ⊥CD ，即AE ⊥CD .
(2)法一：∵P (0,0,1)，∴PD ＝⎝⎛⎭
⎫0，233，－1. 又AE ·PD ＝34×233＋12
×(－1)＝0， ∴PD ⊥AE ，即PD ⊥AE .
∵AB ＝(1,0,0)，∴PD ·AB ＝0.
∴PD ⊥AB ，又AB ∩AE ＝A ，∴PD ⊥平面AEB .
法二：AB ＝(1,0,0)，AE ＝⎝⎛⎭
⎫14，34，12， 设平面ABE 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，
14x ＋34y ＋12z ＝0，
令y ＝2，则z ＝－3，∴n ＝(0,2，－3)．
∵PD ＝⎝⎛⎭
⎫0，233，－1，显然PD ＝33n . ∵PD ∥n ，∴PD ⊥平面ABE ，即PD ⊥平面ABE .
11．已知矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝62，E 为AD 的中点(图甲)．沿BE 将△ABE 折起，使二面角A －BE －C 为直二面角(图乙)，且F 为AC 的中点．
(1)求证：FD∥平面ABE；
(2)求证：AC⊥BE.
证明：(1)如图1，设M为BC的中点，连接DM、MF.∵F为AC的中点，M为BC的中点，∴MF∥AB.
又∵BM綊DE，∴四边形BMDE为平行四边形，∴MD∥BE.
∵MF∩MD＝M，AB∩BE＝B，
∴平面DFM∥平面ABE.
又∵PD⊂平面DFM，FD⊄平面ABE，
∴FD∥平面ABE.
(2)在矩形ABCD(如图2)中，连接AC，交BE于G.
BE·AC＝(BA＋AE)·(AB＋BC)
＝－AB2＋AE·BC＝－36＋36＝0.
∴AC⊥BE.
∴在图3中，AG⊥BE，CG⊥BE.
又∵AG∩GC＝G，
∴BE⊥平面AGC.
又∵AC⊂平面AGC，∴AC⊥BE.
12．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，
∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝3，BC＝4.
(1)求证：BD⊥PC；
(2)设点E在棱PC上，PE＝λPC，若DE∥平面P AB，求λ的值．
解：(1)证明：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交
BC于点F，以D为坐标原点，DA、DF、DP所在的直线分别为x、y、
z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B (1，3，0)，D (0,0,0)，C (－3，3，0)．
(1)设PD ＝a ，则P (0,0，a )，BD ＝(－1，－3，0)，PC ＝(－3，3，－a )，
∵BD ·PC ＝3－3＝0，∴BD ⊥PC . (2)由题意知，AB ＝(0，3，0)，DP ＝(0,0，a )，PA ＝(1,0，－a )，PC ＝(－3，3，－a )，
∵PE ＝λPC ，∴PE ＝(－3λ，3λ，－aλ)，
DE ＝DP ＋PE ＝(0,0，a )＋(－3λ，3λ，－aλ)
＝(－3λ，3λ，a －aλ)．
设n ＝(x ，y ，z )为平面P AB 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧ AB ·n ＝0，PA ·
n ＝0， 即⎩⎪⎨⎪⎧
3y ＝0，x －az ＝0.
令z ＝1，得x ＝a ，∴n ＝(a,0,1)，
∵DE ∥平面P AB ，∴DE ·n ＝0，
∴－3aλ＋a －aλ＝0，即a (1－4λ)＝0，
∵a ≠0，∴λ＝14
.
1．已知AB ＝(1,5，－2)，BC ＝(3,1，z )，若AB ⊥BC ，BP ＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为( )
A.337，－157
，4 B.407，－157，4 C.407，－2,4 D ．4，407，－15 解析：选B ∵AB ⊥BC ，∴AB ·
BC ＝0， 即3＋5－2z ＝0，得z ＝4.
又BP ⊥平面ABC ，∴BP ⊥AB ，BP ⊥BC ，BC ＝(3,1,4)，则⎩⎪⎨⎪⎧
(x －1)＋5y ＋6＝0，3(x －1)＋y －12＝0，解
得⎩⎨⎧ x ＝407，y ＝－157.
2．设空间四点O ，A ，B ，P 满足OP ＝OA ＋t AB ，其中0<t <1，则有( )
A ．点P 在线段A
B 上
B ．点P 在线段AB 的延长线上
C ．点P 在线段BA 的延长线上
D ．点P 不一定在直线AB 上
解析：选A ∵0<t <1，∴P 点在线段AB 上．
3．已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，E 、F 分别是BB 1、DD 1的中点．求证：
(1)FC 1∥平面ADE ；
(2)平面ADE ∥平面B 1C 1F .
证明：(1)如图所示，建立空间直角坐标系D －xyz ，
则有D (0,0,0)、A (2,0,0)、C (0,2,0)、C 1(0,2,2)、E (2,2,1)、F (0,0,1)，
所以1FC ＝(0,2,1)，DA ＝(2,0,0)，AE ＝(0,2,1)．
设n 1＝(x 1，y 1，z 1)是平面ADE 的一个法向量，则n 1⊥DA ，n 1⊥AE ， 即⎩
⎪⎨⎪⎧ n 1·DA ＝2x 1＝0，n 1·AE ＝2y 1＋z 1＝0. 解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x 1＝0，z 1＝－2y 1. 令z 1＝2，则y 1＝－1，所以n 1＝(0，－1,2)．
因为1FC ·n 1＝－2＋2＝0，所以1FC ⊥n 1.
又因为FC 1⊄平面ADE ，所以FC 1∥平面ADE .
(2)由(1)得B 1(2,2,2)，11C B ＝(2,0,0)．
设n 2＝(x 2，y 2，z 2)是平面B 1C 1F 的一个法向量，
则n 2⊥1FC ，n 2⊥11C B ， 即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2·1FC ＝2y 2＋z 2＝0，n 2·11C B ＝2x 2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2＝0，z 2＝－2y 2.
令z 2＝2，则y 2＝－1，所以n 2＝(0，－1,2)．
因为n 1＝n 2，所以平面ADE ∥平面B 1C 1F .
1.已知在一个60°的二面角的棱上，如图有两个点A ，B ，AC ，
BD 分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB 的线段，且AB
＝4 cm ，AC ＝6 cm ，BD ＝8 cm ，则CD 的长为________．
解析：设BD ＝a ，AB ＝b ，AC ＝c ，
由已知条件|a |＝8，|b |＝4，|c |＝6，
〈a ，b 〉＝90°，〈b ，c 〉＝90°，〈a ，c 〉＝60°，
|CD |2＝|CA ＋AB ＋BD |2＝|－c ＋b ＋a |2
＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ＝68，
则|CD |＝217. 答案：217 cm
2.如图所示，平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是菱形，
且∠C 1CD ＝∠C 1CB ＝∠BCD ＝60°.
(1)求证：C 1C ⊥BD ；
(2)当CD CC 1
的值是多少时，能使A 1C ⊥平面C 1BD ？请给出证明． 解：(1)证明：设CD ＝a ，CB ＝b ，1CC ＝c ，
由已知|a |＝|b |，且〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°，
BD ＝CD －CB ＝a －b ，1CC ·BD ＝c ·
(a －b )＝c ·a －c ·b ＝12|c ||a |－12
|c ||b |＝0，∴1C C ⊥BD ，即C 1C ⊥BD . (2)若A 1C ⊥平面C 1BD ，
则A 1C ⊥C 1D ，1CA ＝a ＋b ＋c ，1C D ＝a －c .
∴1CA ·1C D ＝0，即(a ＋b ＋c )·
(a －c )＝0. 整理得：3a 2－|a ||c |－2c 2＝0，
(3|a |＋2|c |)(|a |－|c |)＝0，
∴|a |－|c |＝0，即|a |＝|c |. 即当CD CC 1＝|a ||c |
＝1时，A 1C ⊥平面C 1BD . 3.如图所示，平面P AD ⊥平面ABCD ，ABCD 为正方形，△P AD 是
直角三角形，且P A ＝AD ＝2，E 、F 、G 分别是线段P A 、PD 、CD 的中
点．求证：PB ∥平面EFG .
证明：∵平面P AD ⊥平面ABCD ，
且ABCD 为正方形，
∴AB 、AP 、AD 两两垂直，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A －xyz ，则A (0,0,0)、B (2,0,0)、C (2,2,0)、D (0,2,0)、P (0,0,2)、E (0,0,1)、F (0,1,1)、G (1,2,0)．
∴PB ＝(2,0，－2)，FE ＝(0，－1,0)，
FG ＝(1,1，－1)，
设PB ＝s FE ＋t FG ，
即(2,0，－2)＝s (0，－1,0)＋t (1,1，－1)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧ t ＝2，t －s ＝0，
－t ＝－2，解得s ＝t ＝2.
∴PB ＝2FE ＋2FG ，
又∵FE 与FG 不共线，∴PB 、FE 与FG 共面．
∵PB ⊄平面EFG ，∴PB ∥平面EFG .。