均值不等式在数学中的应用——伯努利不等式与指数函数不等式
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，
将上 述不等式化简整理， ｅ ． ≥点 ｅ ≥ 两边同 ｆ次方ｅ ≥ｘ 得 或 ： 时 ÷
， 即当 ｘ ｅ 函数 ｆ ｘ ＝ 有 最犬值 ｅ ： 时， （） ｘ 。
ａ： ａ ｒ ：
： １ － ． －＂ ｍ－ ＋ ａ １旦 （ 卜１ｒａ １ ￣ ． １－ａ ＜ ｎ ｎ ： ＂ １ －１ ａ】 （～ ）
一 一
（ 卜
元
即 ］ 穰总造价 龌低为 ２ ７ ０ ： ９ ６ ０元 （ 时底面 足边 长为 ４ 米 的Ｊ 此 Ｏ 方形 ） 众所 周知，伯努利不 等式： 《 葭 数学 分析》的极限 沦 古 有重要 地位，指 数函 ｐ 数不等式 同样起 肴 不可低估 的作用。 在我 要由均值不 等式 出发推 导 出高等 数学 现
吁
讨 硷
函
等 号。我们把 扣折方案 分析 一Ｆ：设商 品价 格是 Ｍ元 ，打 ７折 就是 ０ ７ ， Ｍ元，８ 折就 是 ０ ８ ． Ｍ元 ，前两种方 案就是 ０ ７ ｘ０ ８ ０ ８ ×０ ７元，而利刚均低 不等式 ． Ｍ ． ＝ Ｍ ．
ｒｆ ． （ ｌ １ 数
爵 证 明 ａ ｔ ｒ ａ １ Ｉ １当 １ １ ≤０时 ，ａ Ｏ ｌ ｒ ａ １ ＞ ＋ （一 ） ＞ ｒ（ ） ＞ ≥ ＋ （一 ）
１ ｌ
两边 同时 ｘ ＋ 次方， （ ：１ 从Ｉ 有 （＋ ） 斫 １
‘
４ －１
） ： ） ＋ １
（１ （
） Ｈ … 口 （ ）＞ （ ， ｘ ｘ）
中的伯努 利不等式 ， 由此讨 论函数 中 （ ） （ 二１ 并 ｘ ＝ １ 及 （ ） １ ） （ ＞ ） ｘ ＝（ ＋ “ ｘＯ 的啦调性 ， 而导 Ｈ 指数函数 不等式 ，及其这 两个不等 式的 些 巧妙 之应用 ，并 进 ５ 就这 一 定理在 高等数学 中的应 用进行探 讨。
幸福 … … 结 合 教 材 ， 生对 幸福 的 理 解 是 对 的 ， 惜 拥 有 的 ， 的感 恩 就 是 更 好 完善 。那 什 么 是 为所 当为 ？ 学 珍 懂
幸福的人。于是 我又把书上那些不快乐不幸福的人的表现让学生 们分析 ，
森 田先生把 与人相关的事物划分 为可控制 的事 物和不 可控 制的事物
＾ ＾
（ ＋ 一 ）： ＋ １ １ ｌ
Ｘ
）
Ｉ
ｘ２
ｘＩ
２
元二 次函数来求解 ，而利 用均值定 理就 更为简便 ！
ｆ Ｔ
＝
ｌ
我们来香分 析求解过程： 可设总造价为 ｙ 底耐积是！ ＝６０ 元． １０ 水 ，池
ｊ
两边 同时 ｘ 次方， １ ） （＋ ） ２ （＋ ＜ １ ｎ，即 （ ， 中 （ ） ｘ ）＜ ｘ
域 此 不 等 式 部有 应 用 。比 如 ，在 求 黼 数 最 小 值 万 面 ，再 来 看 一问 题 ： 某 体 馆
翦 式
＋
＜一 ＜一
＋ ＋
的
凋
盘： ｉ
ｑ （
要建造 …个 长方 体无盖游 泳池 ， 总容积 为 ４０ ｍ ， ８０ 商艇 ３ ， ｍ池底造 价为 １０ ／ ５元 埘
池壁造 价为 １ ０元／ｍ ，问如 何设计使造 价蹬低 ？以 前我们 求此类 问题 多采用 ２ ：
一
解 ：（ 任 墩 ｏ ｘ．ｘ， 令 ａ １ ＞ ， ：玉 （＜ ＜ ） １） ＜ ＜ ， ：＋性 ｒ ｏ ｏ ｒ １ ＋ 一
Ｚ ＝
２
ｄ （ 一 ｊ 一Ａ）有 （ 十 ） 十 １ 玉
一
．
．
瀚数 （ ）在 （ ．＋ｏ） 卜 ｘ ０ ｃ 严格 递减 。
二 、 数 函数 不 等 式 指
设 ｒ ，则 ｅ ∈Ｒ ≥ｌ 当且仅 当 ｒ Ｏ 圩（ ＝ 时取 等 号）
例 ２ 求 函 数 ｆ（） ｘ （ ＞ ） 母 丈 值 ？ ． ｘ： ｘ０ 的
、
伯 努利 不 等 式
‘ ” （ ａ－１； ’ （ Ａ）
说说他们 为什 么不 幸福昵？ 身居高位 ， 万贯 家财 的人是很 多人所不 具备 这 样 两 大 类 别 。所 谓 可 控 制 的 事 物 是 个 人 通 过 自 己 的 主 观 意 志 可 以 调 控 的． 而他们却感觉没有成功的喜悦 和幸福感 ， 原因是他 们不懂 的珍惜 自己 和 改 变 的 事物 ； 不 可 控 制 的事 物 是 个 人主 观 意 志 不 能决 定 的 事物 。 而
着黑板上每天更新的倒计时记 录， 他们 的心情是 何等的压抑 ， 有谁知道呢？
因此 ， 对 这 个 学 生 的想 法 给 予及 时 的 肯定 和 表扬 ， 对 他 的质 疑 ， 我 针 我
而我能做的就是在我的课 堂上适 当的辅导或 引领 他们正确 面对 目前及将 做了如下 的解释。确实刚才这个学生 的问题提到 了一个高度上 ， 本来我们
的策划人员对元旦、 春节 、 宵节连续 三个节 日中 同一 件商品 出了三个促 且ｌ ｒ ｒ则 订 ａｒａ ｌｒ ａ １， ｎ ＋ｏ ， ａ ≤ １ （— ） Ｂ 元 ｉ ｍ ＜ 十 （ ） 令 ＿ ｏ 得 ， 奸 ａ １ ：（ ） ‘
，
“
（ ） 对 商 品 先进 行 ７折 销 售 ， 进行 ８折 销 售 ｉ １： 再 方 案 （ ： 商 品先 进 行 ８折 销 售 ， 进 行 ７折 销 售 ； ２】 对 再
设 ａ ｒ∈Ｒ ， ，Ｈ ≠ １ 则 ａ ，
解：根据 （ ）式，有 ｅ ≥１ —－ （ Ｈ仪 当 ｘ ｅ时取等 号） Ｂ ＋ — 当 ｘ ｅ ＝
ｅ
｛ ＞１ （ ＋ｒａ—１ ，＞１ ）‘ ；
分 析 与 ｔ 明 ： 先 证 ａ １ ａ～） ；Ｏ ｒ ｉ ｅ ＜ ｒ（ １ ＜ ｉ 证 明 ： １ 当 ｒ 时 ． 设 ｒ 旦 （ ｍ ， ， 噩 质 Ｈ ｎ ｍ ， （） ∈Ｑ ＝ ｎ ∈Ｎ ｎ 『 ¨ Ｚ ） 由均 值 等式 苻：
肇 ◆
均 值 不 等 式 在 数 学 中 的 应 用
伯 努 利 不 等 式与 指数 函数 不 等 式
◆宫 丽
（ 占林 省 吉 林信 息 工 程 学校 ）
【 摘要 】均 值 不 等 式 是 不等 式 中的 重要 内容 ， 的 应 用 范 围几 乎 涉及 初 等 数 学的 所 有 章 节 ， 时伯 努利 不 等 式在 《 学分 析 》 它 同 数 的极 限论 中 占有 重要 地 位 ， 指数 函数 不 等 式 同样 起 着 不可 低 估 的 作 用 。 由均值 不等 式 出发 推 导 出 高等数 学 中的 伯 努利 不 等 式 ， 而 导 出指 数 函数 不 进
１
＞Ｉ： ｏｒ
＋ １ ０
）
【 ＜ ＜） ｏｒ １
４ Ｊ －
Ｖ
／ ＝００７０９０ ． ２０。６：７０ ４０５０２６
ｘ
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１
） ＋ Ｈ ＋ 一 ｌ：卜— ｌ 嚣１者 十 ＋ ｌ一 。 十１ Ｄ
此题就 衙臻利 ｝均 值不等式 来解 决， 们来 看均 值不等式 的内容：两个 正数 １ ］ 我
一 ！± ： ｒ ＋ ｔ ： —＊— － ａＺａ：
２ ２
ｒ
，
的算术乎 均值大ｊ ： 等于它们的 几何 Ｆ 均值，即—＝ ≥√ 当 且 仅 当 ｂ 时 取 ａ一 ＋ ｂ ：
，
ｍ ｍ
（ 下转 第 ４ ） ８页
ｎ ，）ｎ １１ ，
◆ ◆ ◆ ◆
顺 其 自然 ，为 所 当 为
《 幸福 在 我 心》 一课 的教 学体 会
◆ 徐 淑 梅
（ 大庆市第十三中学）
【 摘要】《 幸福在我心》 黑龙江省初 中四年级《 是 生命教育》 地方教材 ， 主要是针 对初 四年级学生的 学习压力和即将 面对的中考选择给 予积
若 。ａ 取有理数 列 ｛ ‘‘， ｒ ｝ 使对 任意 自然数 ｎ有 。 ， ， ‘ｒ
ｌ Ｊ ｌ
ｒ ＇
则有 ａ （ （＋ｒ （ １，令 ｌ ∞， ａ ａ １ —） １ 得 ≤ｌｒａ １，ＦＪ ａ ＜＋ （—） ＋ （—） ｉ １ｒａ １。 Ｅ
取 ０ ｚ ｍ ｎ｛，卜ｉ ， ＜＜ｉ ｒ ’ ｝
针 对 初 四 年 级 学 生的 学 习压 力 和 即 将 面 对 的 中考 选 择 给 予 积 极 的 疏 导 和 来 我 在 学 习心 理 学 知 识 学 到 的 日本 心 理 学 界 的 著 名 大 师 ． 田 先 生 的观 森 指 导 。 初 中 四年 的 学 习 ， 生们 承 受 了来 自 家 长 ， 师 和 自己 的 压 力 ， 临 点 ： 所 当 为是 顺 其 自然最 好 的补 充 与充 实 。 学 老 面 为
一
下日本心理大 师森田先生的观点 ， 也许能让我们一起领 悟到更多的成长
个 馒头 就 好 ， 的 说 我 傲对 了 一 道 数 学 难 题 很 幸 福 、 得 到 老 师 的 表 扬 很 道 理 。如 果 说 顺 其 自然是 “ 任 自流 ”的话 ， 么 “为所 当 为 ” 是 对 它 的 有 我 放 那 则
Ｘ
）
嘴（ ２ 因此 ａ， 等 『 为时灿帕取 ） 州 得
（
ｏ ． 一 ×
当 ｌｒ ａ １＞ 时 ， ＋ （～ ） ｏ 应用 已证不 等式有 ：ｎ ｒ ａ １ ］ ｌ ［ 竹（ — ） １ ： ＝ （～ ） ＜ １ ａ １一 ］ ａ
往
（
，
０ ８， ． Ｍ 鄢么若 是聪明 的消费者就 不能误 入打折 陷阱， 看起来第 三种 最省钱 ，其实 不然， 须掌握数 学知识特 别是均值 不等式 的知识就 会有慧限看 出方案 才 是 首 必 选 ，第 ’次 ７折最省 钱，第 次 ０ ７ Ｍ更省 钱 ！ 一 ｘｏ ８ 着选 择后两种 就会让商家大 Ｉ便 宜 ！ 这堡 只是举 了 ‘ 个小 生活侧 ｆ说 明它的重 要鹰 另外 ， 征 他 很 多领
｝
一
‘ ． ．
底 宽为 ｘ米，则 ￣
１０ 米 ６０
，
函数 （ ｊ在 （ ， ｂｏ 二 ｘ ０ ｏ ）』 严格 单调递增
件
（
）
池底造 价为 １ ０ ｘ １ ０ ２ ０ ０ ６ ０ 元： ４ ０ ０元，侧肇 是两 ５
ｌＲ ｆ ￣ ＿ － ， ａ 令 十
．
ｘ
两 相 等 的 跃方 形 ， 用 商 积 乘 以 ｌ０元 印 ， 列 式 ！ ２ ［ ＂Ｆ： ｙ ２ ０ ０ ｛ ２ ｘ ６０） ： ， ０ ０ ７ ０（ ＋１０ １ ２ ０ ０ ４ ０ ０ ２× ７ ０ ２
来的选择 ， 达到一个合理 的平 衡 ， 让学生 能够坦然 面对 自己的选择和 自然 接受所发生的 ， 对无法 改变 的事 实只能面对和 接受。 可是对于一 个有追求 担当选择 带来 的结果。从而体 会到 幸福感。 在课 堂上我让学生谈自己对幸福 的理解 时， 有的学生说 我饿 的时候有 有理想的青少年来说 ， 感觉有点消极 了。其实不是这样的。我给 大家介 绍
等式。 【 键 词】均值 不等 式 几 何 平 均 值 关
算术 平 均 值
伯努利不等式
指 数 函数 不等 式
（） Ｅ（— ） 时 ， ａ ｌ取 有理 数列 ｉ ， ２ 当ｒ Ｒ Ｑ ｔ 若 ＞ ｒ 使对任意 自然数 ｍ订 ｒ ｒ ｌ ｝ ＜ ＜ ，
，
我 们 在 实 际 生 活 中 ， 常 能 遇 到 一 些 数 学 问 题 ， 如 曾 经 有 一 个 商 场 常 比
方案 （ ） 两次对商 品都进 行 ３： 者， 会选择哪一种打 折形式呢？
折销售 ｉ 如果 你是 一个聪 明的消 费
Hale Waihona Puke Baidu
则 ｒ±ｚ ｏ１， 么 ＝ ａ １ ａ ．√ ＝ ａ ∈（ ）那 ａ ．： ， ｒ ｒ ｒ． 蛹
． 】 性 ａ 例 ： 口
＜
极 的 疏 导和 指 导 。 通 过 这 节课 的教 学 ， 学生 明 白 了幸福 的 真谛 ， 让 获得 了幸福 的心 情 。 【 关键词】课堂辅 导 教 学体会 中考指导
《 幸福在我心》 是黑龙江省 初 中四年级《 生命 教育》 方教材 ， 地 主要 是 老师你 的观点不是让我们不 求进取 ， 甘于 落后吗？面对学生 的提 问 。 想起
将上 述不等式化简整理， ｅ ． ≥点 ｅ ≥ 两边同 ｆ次方ｅ ≥ｘ 得 或 ： 时 ÷
， 即当 ｘ ｅ 函数 ｆ ｘ ＝ 有 最犬值 ｅ ： 时， （） ｘ 。
ａ： ａ ｒ ：
： １ － ． －＂ ｍ－ ＋ ａ １旦 （ 卜１ｒａ １ ￣ ． １－ａ ＜ ｎ ｎ ： ＂ １ －１ ａ】 （～ ）
一 一
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元
即 ］ 穰总造价 龌低为 ２ ７ ０ ： ９ ６ ０元 （ 时底面 足边 长为 ４ 米 的Ｊ 此 Ｏ 方形 ） 众所 周知，伯努利不 等式： 《 葭 数学 分析》的极限 沦 古 有重要 地位，指 数函 ｐ 数不等式 同样起 肴 不可低估 的作用。 在我 要由均值不 等式 出发推 导 出高等 数学 现
吁
讨 硷
函
等 号。我们把 扣折方案 分析 一Ｆ：设商 品价 格是 Ｍ元 ，打 ７折 就是 ０ ７ ， Ｍ元，８ 折就 是 ０ ８ ． Ｍ元 ，前两种方 案就是 ０ ７ ｘ０ ８ ０ ８ ×０ ７元，而利刚均低 不等式 ． Ｍ ． ＝ Ｍ ．
ｒｆ ． （ ｌ １ 数
爵 证 明 ａ ｔ ｒ ａ １ Ｉ １当 １ １ ≤０时 ，ａ Ｏ ｌ ｒ ａ １ ＞ ＋ （一 ） ＞ ｒ（ ） ＞ ≥ ＋ （一 ）
１ ｌ
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） Ｈ … 口 （ ）＞ （ ， ｘ ｘ）
中的伯努 利不等式 ， 由此讨 论函数 中 （ ） （ 二１ 并 ｘ ＝ １ 及 （ ） １ ） （ ＞ ） ｘ ＝（ ＋ “ ｘＯ 的啦调性 ， 而导 Ｈ 指数函数 不等式 ，及其这 两个不等 式的 些 巧妙 之应用 ，并 进 ５ 就这 一 定理在 高等数学 中的应 用进行探 讨。
幸福 … … 结 合 教 材 ， 生对 幸福 的 理 解 是 对 的 ， 惜 拥 有 的 ， 的感 恩 就 是 更 好 完善 。那 什 么 是 为所 当为 ？ 学 珍 懂
幸福的人。于是 我又把书上那些不快乐不幸福的人的表现让学生 们分析 ，
森 田先生把 与人相关的事物划分 为可控制 的事 物和不 可控 制的事物
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元二 次函数来求解 ，而利 用均值定 理就 更为简便 ！
ｆ Ｔ
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我们来香分 析求解过程： 可设总造价为 ｙ 底耐积是！ ＝６０ 元． １０ 水 ，池
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两边 同时 ｘ 次方， １ ） （＋ ） ２ （＋ ＜ １ ｎ，即 （ ， 中 （ ） ｘ ）＜ ｘ
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翦 式
＋
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凋
盘： ｉ
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要建造 …个 长方 体无盖游 泳池 ， 总容积 为 ４０ ｍ ， ８０ 商艇 ３ ， ｍ池底造 价为 １０ ／ ５元 埘
池壁造 价为 １ ０元／ｍ ，问如 何设计使造 价蹬低 ？以 前我们 求此类 问题 多采用 ２ ：
一
解 ：（ 任 墩 ｏ ｘ．ｘ， 令 ａ １ ＞ ， ：玉 （＜ ＜ ） １） ＜ ＜ ， ：＋性 ｒ ｏ ｏ ｒ １ ＋ 一
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ｄ （ 一 ｊ 一Ａ）有 （ 十 ） 十 １ 玉
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．
瀚数 （ ）在 （ ．＋ｏ） 卜 ｘ ０ ｃ 严格 递减 。
二 、 数 函数 不 等 式 指
设 ｒ ，则 ｅ ∈Ｒ ≥ｌ 当且仅 当 ｒ Ｏ 圩（ ＝ 时取 等 号）
例 ２ 求 函 数 ｆ（） ｘ （ ＞ ） 母 丈 值 ？ ． ｘ： ｘ０ 的
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伯 努利 不 等 式
‘ ” （ ａ－１； ’ （ Ａ）
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因此 ， 对 这 个 学 生 的想 法 给 予及 时 的 肯定 和 表扬 ， 对 他 的质 疑 ， 我 针 我
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（ ） 对 商 品 先进 行 ７折 销 售 ， 进行 ８折 销 售 ｉ １： 再 方 案 （ ： 商 品先 进 行 ８折 销 售 ， 进 行 ７折 销 售 ； ２】 对 再
设 ａ ｒ∈Ｒ ， ，Ｈ ≠ １ 则 ａ ，
解：根据 （ ）式，有 ｅ ≥１ —－ （ Ｈ仪 当 ｘ ｅ时取等 号） Ｂ ＋ — 当 ｘ ｅ ＝
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分 析 与 ｔ 明 ： 先 证 ａ １ ａ～） ；Ｏ ｒ ｉ ｅ ＜ ｒ（ １ ＜ ｉ 证 明 ： １ 当 ｒ 时 ． 设 ｒ 旦 （ ｍ ， ， 噩 质 Ｈ ｎ ｍ ， （） ∈Ｑ ＝ ｎ ∈Ｎ ｎ 『 ¨ Ｚ ） 由均 值 等式 苻：
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均 值 不 等 式 在 数 学 中 的 应 用
伯 努 利 不 等 式与 指数 函数 不 等 式
◆宫 丽
（ 占林 省 吉 林信 息 工 程 学校 ）
【 摘要 】均 值 不 等 式 是 不等 式 中的 重要 内容 ， 的 应 用 范 围几 乎 涉及 初 等 数 学的 所 有 章 节 ， 时伯 努利 不 等 式在 《 学分 析 》 它 同 数 的极 限论 中 占有 重要 地 位 ， 指数 函数 不 等 式 同样 起 着 不可 低 估 的 作 用 。 由均值 不等 式 出发 推 导 出 高等数 学 中的 伯 努利 不 等 式 ， 而 导 出指 数 函数 不 进
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《 幸福 在 我 心》 一课 的教 学体 会
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（ 大庆市第十三中学）
【 摘要】《 幸福在我心》 黑龙江省初 中四年级《 是 生命教育》 地方教材 ， 主要是针 对初 四年级学生的 学习压力和即将 面对的中考选择给 予积
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针 对 初 四 年 级 学 生的 学 习压 力 和 即 将 面 对 的 中考 选 择 给 予 积 极 的 疏 导 和 来 我 在 学 习心 理 学 知 识 学 到 的 日本 心 理 学 界 的 著 名 大 师 ． 田 先 生 的观 森 指 导 。 初 中 四年 的 学 习 ， 生们 承 受 了来 自 家 长 ， 师 和 自己 的 压 力 ， 临 点 ： 所 当 为是 顺 其 自然最 好 的补 充 与充 实 。 学 老 面 为
一
下日本心理大 师森田先生的观点 ， 也许能让我们一起领 悟到更多的成长
个 馒头 就 好 ， 的 说 我 傲对 了 一 道 数 学 难 题 很 幸 福 、 得 到 老 师 的 表 扬 很 道 理 。如 果 说 顺 其 自然是 “ 任 自流 ”的话 ， 么 “为所 当 为 ” 是 对 它 的 有 我 放 那 则
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嘴（ ２ 因此 ａ， 等 『 为时灿帕取 ） 州 得
（
ｏ ． 一 ×
当 ｌｒ ａ １＞ 时 ， ＋ （～ ） ｏ 应用 已证不 等式有 ：ｎ ｒ ａ １ ］ ｌ ［ 竹（ — ） １ ： ＝ （～ ） ＜ １ ａ １一 ］ ａ
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０ ８， ． Ｍ 鄢么若 是聪明 的消费者就 不能误 入打折 陷阱， 看起来第 三种 最省钱 ，其实 不然， 须掌握数 学知识特 别是均值 不等式 的知识就 会有慧限看 出方案 才 是 首 必 选 ，第 ’次 ７折最省 钱，第 次 ０ ７ Ｍ更省 钱 ！ 一 ｘｏ ８ 着选 择后两种 就会让商家大 Ｉ便 宜 ！ 这堡 只是举 了 ‘ 个小 生活侧 ｆ说 明它的重 要鹰 另外 ， 征 他 很 多领
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池底造 价为 １ ０ ｘ １ ０ ２ ０ ０ ６ ０ 元： ４ ０ ０元，侧肇 是两 ５
ｌＲ ｆ ￣ ＿ － ， ａ 令 十
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两 相 等 的 跃方 形 ， 用 商 积 乘 以 ｌ０元 印 ， 列 式 ！ ２ ［ ＂Ｆ： ｙ ２ ０ ０ ｛ ２ ｘ ６０） ： ， ０ ０ ７ ０（ ＋１０ １ ２ ０ ０ ４ ０ ０ ２× ７ ０ ２
来的选择 ， 达到一个合理 的平 衡 ， 让学生 能够坦然 面对 自己的选择和 自然 接受所发生的 ， 对无法 改变 的事 实只能面对和 接受。 可是对于一 个有追求 担当选择 带来 的结果。从而体 会到 幸福感。 在课 堂上我让学生谈自己对幸福 的理解 时， 有的学生说 我饿 的时候有 有理想的青少年来说 ， 感觉有点消极 了。其实不是这样的。我给 大家介 绍
等式。 【 键 词】均值 不等 式 几 何 平 均 值 关
算术 平 均 值
伯努利不等式
指 数 函数 不等 式
（） Ｅ（— ） 时 ， ａ ｌ取 有理 数列 ｉ ， ２ 当ｒ Ｒ Ｑ ｔ 若 ＞ ｒ 使对任意 自然数 ｍ订 ｒ ｒ ｌ ｝ ＜ ＜ ，
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我 们 在 实 际 生 活 中 ， 常 能 遇 到 一 些 数 学 问 题 ， 如 曾 经 有 一 个 商 场 常 比
方案 （ ） 两次对商 品都进 行 ３： 者， 会选择哪一种打 折形式呢？
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《 幸福在我心》 是黑龙江省 初 中四年级《 生命 教育》 方教材 ， 地 主要 是 老师你 的观点不是让我们不 求进取 ， 甘于 落后吗？面对学生 的提 问 。 想起