均值不等式在数学中的应用——伯努利不等式与指数函数不等式
均值不等式法
均值不等式法均值不等式是数学中的一种重要的不等式定理，被广泛应用于各个数学领域中。
它可以帮助我们求解各种数学问题，特别是在求最值问题时非常有用。
本文将介绍均值不等式的定义、证明及其应用，重点讨论算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式的性质和应用。
首先，我们来介绍均值不等式的定义。
均值不等式是指若a，b是非负实数且a≥b，则有关于a和b的某种函数f(a,b)成立不等式a≥f(a, b)≥b。
其中，f(a, b)是对a，b进行某种运算的函数。
在均值不等式中，我们常用到的运算有算术平均数、几何平均数和平方平均数。
对应的不等式就是算术均值不小于几何均值，几何均值不小于平方均值。
由此可以得出三个主要的均值不等式：算术均值不等式、几何均值不等式和平方均值不等式。
接下来，我们来证明这三个均值不等式。
首先是算术均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：(a1+a2+...+an)/n ≥ √(a1a2...an)即算术平均数不小于几何平均数。
证明如下：设a1，a2，...，an为非负实数，令A = (a1+a2+...+an)/n，G = √(a1a2...an)。
根据等差平均不等式，对于任意的非负实数ai，我们有：(A-ai) + (G/√ai) ≥ 0将上述不等式对i从1到n分别求和，我们有：nA - (a1+a2+...+an) + G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an)≥ 0由于A = (a1+a2+...+an)/n，所以上述不等式等价于：nA - nA + G(1/√a1 + 1/√a2 + ...+ 1/√an) ≥ 0化简得：G(1/√a1 + 1/√a2 + ... + 1/√an) ≥ 0由于√ai是非负实数，所以1/√ai也是非负实数。
所以上述不等式恒成立。
证毕。
其次是几何均值不等式。
对于任意非负实数a1，a2，...，an，我们有：√(a1a2...an) ≥ (a1+a2+...+an)/n即几何平均数不小于算术平均数。
函数均值不等式及其应用
函数均值不等式及其应用
函数均值不等式是一个重要的数学原理，它简单地解释了一些经典的问题，而它的应用能够提供我们一些新的视角来理解数学问题。
函数均值不等式是指: 对于有界函数f, 存在常数K，使得对于任意x,y属于函数f的定义域：
|f(x)-f(y)| <= K*|x-y|
K的值与函数的大小有关。
它是由函数的一阶导数所决定的，公式表达为：
K=sup|f'(x)|
式中，sup表示最大值。
函数均值不等式的有效性分析和推导可以溯源到18世纪的利玛窦，他通过大量的数学实验，能够证明这一结论。
函数均值不等式对于数学、物理、化学等数学研究具有巨大的价值。
比如，函数均值不等式能够记录函数存在极限值，它也能够估算函数从某一点向某一路径求极限时，函数值的变化率，从更加宽泛的角度理解函数极限。
函数均值不等式还用于定义连续函数，判断某一函数是否为连续函数。
由此，我们可以利用函数均值不等式式评估连续函数的“质量”。
由于函数均值不等式的广泛应用，它能够帮助我们求得更加精确的定义，更深入的了解函数，从而有效地解决各种数学问题。
均值不等式应用
均值不等式应用在实际应用中，均值不等式有一些常用的技巧，可以帮助我们更方便地应用和理解它们。
1.对称性：均值不等式对于多个变量的情况，通常具有对称性。
这意味着可以通过交换变量的位置来得到等价的不等式。
例如，对于实数$a,b,c$，有$\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}} \geq \frac{a+b}{2}$ 和$\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}} \geq \frac{b+c}{2}$，可以通过交换$a$和$c$得到$\sqrt{\frac{a^2+c^2}{2}} \geq \frac{a+c}{2}$。
利用这个对称性，可以在一些情况下简化不等式的推导过程。
2.递增性：均值不等式通常对于多个变量的情况是递增的。
这意味着如果变量的取值不变，但其中一个变量增加了，那么均值不等式的左边将比右边更大。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2}$，如果将$b$增加为$b+c$，则有$\sqrt{a(b+c)} \leq \frac{a+b+c}{2}$。
利用这个递增性，可以在一些情况下通过增加变量的值来简化不等式的推导过程。
3.平方技巧：当不等式中涉及到平方时，可以通过对不等式同时两边取平方来简化推导过程。
例如，对于实数$a,b$，有$\sqrt{a^2b^2} \leq\frac{a^2+b^2}{2}$，两边同时平方得到$a^2b^2 \leq\frac{(a^2+b^2)^2}{4}$，再进行化简推导。
需要注意的是，平方技巧可能会引入额外的解，因此在使用此方法时需要注意检查这些额外的解是否符合原始问题的要求。
4.归纳思想：对于具有多个变量的复杂不等式问题，可以利用归纳思想逐步推导出目标不等式。
具体来说，可以先考虑两个变量的情况，再逐步增加变量的个数，通过观察和推导相应的不等式，逐步得到目标不等式的结论。
这种思想在解决一些较为复杂的均值不等式问题时非常有帮助。
均值不等式
均值不等式xx年xx月xx日contents •均值不等式的定义•均值不等式的性质•均值不等式的证明方法•均值不等式的扩展•均值不等式的应用实例目录01均值不等式的定义•均值不等式（Mean Inequality）是指在实数范围内，任何一个数的平方与它的算术平均数的平方之差，等于0。
也就是说，对于任意实数x，有x^2=(x-x)^2=0。
什么是均值不等式•均值不等式的常见形式是：对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
这个不等式表示，当a和b都是非负实数时，a的算术平均数大于等于b的几何平均数。
均值不等式的形式•均值不等式的证明方法有多种，其中一种是利用微积分中的积分函数。
设f(x)=x^2，则f'(x)=2x，令f'(x)=0，得x=0，则f(x)在x=0处取得极小值0。
因此，对于任意实数a和b（a≥0，b≥0），有√a≥b。
均值不等式的证明02均值不等式的性质算术平均数与几何平均数之间的关系：$AM \geq GM$均值的不等式性质：$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$均值不等式的形式二次幂和不等式当且仅当a=b时，均值不等式取等号。
一次幂和不等式当且仅当a+b为定值时，均值不等式取等号。
均值不等式的条件算术平均数的几何意义：长度为a和b的两线段的中点。
几何平均数的几何意义：面积的算术平均数。
均值的几何意义03均值不等式的证明方法总结词微积分方法证明均值不等式是通过研究函数的单调性和极值，证明在不同情况下，变量的和至少等于其平均值。
详细描述首先，定义一个实值函数 $f(x)$，并设其最小值 $m$ 和最大值 $M$ 存在。
由极值定理可知，对任意 $x_1, x_2$ 有 $[f(x_1) + f(x_2)]/2 \geq m$。
由此得出，对任意正整数 $n$，都有 $[f(x_1) + f(x_2) + \ldots + f(x_n)]/n \geq m$利用微积分知识证明矩阵相乘的性质证明均值不等式是通过利用矩阵相乘的顺序无关性，将矩阵相乘转化为向量点积，再利用柯西不等式证明。
第6节 均值不等式及其应用
第6节 均值不等式及其应用知识梳理1.均值不等式如果a ，ba ＝b 时，等号成立.数a ＋b2称为a ，b a ，b 的几何平均值. 2.两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号. (3)(a ＋b )2≥4ab ；2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2. 当且仅当a ＝b 时，等号成立. 3.利用均值不等式求最值 已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小).(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大).1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号. 2.ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22.3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a >0，b >0).4.应用均值不等式求最值要注意：“一定，二正，三相等”，忽略某个条件，就会出错.5.在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用均值不等式.若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致.诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的.( ) (2)函数y ＝x ＋1x 的最小值是2.( ) (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×解析 (1)不等式a 2＋b 2≥2ab 成立的条件是a ，b ∈R ； 不等式a ＋b2≥ab 成立的条件是a ≥0，b ≥0.(2)函数y ＝x ＋1x 的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值. (3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x 没有最小值. (4)x >0且y >0是x y ＋yx ≥2的充分不必要条件.2.若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A.9 B.18C.36D.81答案 A解析 因为x ＋y ＝18，所以xy ≤x ＋y2＝9，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立.3.(多选题)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A.3x ≥3y B.x ＋y2≥xy C.x 2≥y 2D.x 2＋y 2≥2xy答案 AD解析 由指数函数的单调性可知，当x ≥y 时，有3x ≥3y ，故A 正确； 当0＞x ≥y 时，x ＋y2≥xy 不成立，故B 错误； 当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立，故C 错误；x 2＋y 2－2xy ＝(x －y )2≥0成立，即x 2＋y 2≥2xy 成立，故D 正确.4.(2021·滨州三校联考)若函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)在x ＝a 处取最小值，则a 等于( ) A.1＋2 B.1＋3 C.3D.4答案 C解析 当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号，即当f (x )取得最小值时，x ＝3，即a ＝3，故选C.5.(2020·长沙月考)一段长为30 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 18 m ，则这个矩形的长为________m ，宽为________m 时菜园面积最大. 答案 15 152解析 设矩形的长为x m ，宽为y m.则x ＋2y ＝30(0＜x ≤18)，所以S ＝xy ＝12x ·(2y )≤12⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22＝2252，当且仅当x ＝2y ，即x ＝15，y ＝152时取等号.6.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，则2a＋18b的最小值为________.答案1 4解析由题设知a－3b＝－6，又2a>0，8b>0，所以2a＋18b≥22a·18b＝2·2a－3b2＝1 4，当且仅当2a＝18b，即a＝－3，b＝1时取等号.故2a＋18b的最小值为14.考点一 利用均值不等式求最值角度1 配凑法求最值【例1】 (1)(2021·乐山模拟)设0<x <32，则函数y ＝4x (3－2x )的最大值为________. (2)已知x <54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为________.(3)已知函数f (x )＝－x 2x ＋1(x <－1)，则( )A.f (x )有最小值4B.f (x )有最小值－4C.f (x )有最大值4D.f (x )有最大值－4答案 (1)92 (2)1 (3)A解析 (1)y ＝4x (3－2x )＝2[2x (3－2x )] ≤2⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋（3－2x ）22＝92， 当且仅当2x ＝3－2x ，即x ＝34时，等号成立.∵34∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，∴函数y ＝4x (3－2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜x ＜32的最大值为92.(2)因为x <54，所以5－4x >0，则f (x )＝4x －5＋14x －5＋3＝－⎝⎛⎭⎪⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2（5－4x ）·15－4x＋3＝－2＋3＝1，当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1时，取等号. 故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. (3)f (x )＝－x 2x ＋1＝－x 2－1＋1x ＋1＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1＋1x ＋1－2 ＝－(x ＋1)＋1－（x ＋1）＋2.因为x <－1，所以x ＋1<0，－(x ＋1)>0， 所以f (x )≥21＋2＝4， 当且仅当－(x ＋1)＝1－（x ＋1），即x ＝－2时，等号成立.故f (x )有最小值4.角度2 常数代换法求最值【例2】(2021·武汉模拟)已知正数m ，n 满足m ＋2n ＝8，则2m ＋1n 的最小值为________，等号成立时m ，n 满足的等量关系是________. 答案 1 m ＝2n解析 因为m ＋2n ＝8，所以2m ＋1n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋1n ×m ＋2n 8＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋4n m ＋m n ≥18⎝⎛⎭⎪⎫4＋24n m ×m n ＝18(4＋4)＝1，当且仅当4n m ＝m n ，即m ＝4，n ＝2时等号成立. 角度3 消元法求最值【例3】(2020·江苏卷)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是________. 答案 45解析 由题意知y ≠0.由5x 2y 2＋y 4＝1，可得x 2＝1－y 45y 2，所以x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2＋4y 2≥15×21y 2×4y 2＝45，当且仅当1y 2＝4y 2，即y ＝±22时取等号.所以x 2＋y 2的最小值为45.感悟升华 利用均值不等式求最值的方法(1)知和求积的最值：“和为定值，积有最大值”.但应注意以下两点：①具备条件——正数；②验证等号成立.(2)知积求和的最值：“积为定值，和有最小值”，直接应用均值不等式求解，但要注意利用均值不等式求最值的条件.(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数1”的替换，构造不等式求解.【训练1】(1)已知实数x，y>0，且x2－xy＝2，则x＋6x＋1x－y的最小值为()A.6B.62C.3D.32(2)(多选题)(2021·烟台模拟)下列说法正确的是()A.若x，y>0，x＋y＝2，则2x＋2y的最大值为4B.若x<12，则函数y＝2x＋12x－1的最大值为－1C.若x，y>0，x＋y＋xy＝3，则xy的最小值为1D.函数y＝1sin2x＋4cos2x的最小值为9答案(1)A(2)BD解析(1)由x，y>0，x2－xy＝2得x－y＝2x，则1x－y＝x2，所以x＋6x＋1x－y＝x＋6x＋x 2＝3⎝⎛⎭⎪⎫x2＋2x≥3×2x2×2x＝6，当且仅当x2＝2x，即x＝2，y＝1时等号成立，所以x＋6x＋1x－y的最小值为6.(2)对于A，取x＝32，y＝12，可得2x＋2y＝32>4，A错误；对于B，y＝2x＋12x－1＝－⎝⎛⎭⎪⎫1－2x＋11－2x＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，B正确；对于C ，易知x ＝2，y ＝13满足等式x ＋y ＋xy ＝3，此时xy ＝23<1，C 错误； 对于D ，y ＝1sin 2x ＋4cos 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2x ＋4cos 2x (sin 2x ＋cos 2x )＝cos 2x sin 2x ＋4sin 2x cos 2x ＋5≥24＋5＝9.当且仅当cos 2x ＝23，sin 2x ＝13时等号成立，D 正确.故选BD. 考点二 均值不等式的综合应用【例4】 (1)(2020·湘东七校联考)已知f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)在x ＝1处取得极值，则2a ＋1b 的最小值为( ) A.3＋223 B.3＋22 C.3D.9(2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( ) A.2B.4C.6D.8答案 (1)C (2)B解析 (1)因为f (x )＝13x 3＋ax 2＋(b －4)x ＋1(a >0，b >0)， 所以f ′(x )＝x 2＋2ax ＋b －4. 因为f (x )在x ＝1处取得极值，所以f ′(1)＝0，所以1＋2a ＋b －4＝0，解得2a ＋b ＝3. 所以2a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1b ·13·(2a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2b a ＋2a b ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋22b a ·2a b ＝3(当且仅当a ＝b ＝1时取等号).故选C. (2)已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，只要求(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值大于或等于9， ∵1＋a ＋y x ＋axy ≥a ＋2a ＋1，当且仅当y ＝ax 时，等号成立， ∴a ＋2a ＋1≥9，∴a ≥2或a ≤－4(舍去)，∴a ≥4， 即正实数a 的最小值为4，故选B.感悟升华 1.当均值不等式与其他知识相结合时，往往是提供一个应用均值不等式的条件，然后利用常数代换法求最值.2.求参数的值或范围时，要观察题目的特点，利用均值不等式确定相关成立的条件，从而得到参数的值或范围.【训练2】 (1)在△ABC 中，A ＝π6，△ABC 的面积为2，则2sin C sin C ＋2sin B＋sin Bsin C 的最小值为( ) A.32B.334C.32D.53(2)在△ABC 中，点D 是AC 上一点，且＝4，P 为BD 上一点，向量＝λ＋μ(λ>0，μ>0)，则4λ＋1μ的最小值为( ) A.16B.8C.4D.2答案 (1)C (2)A解析 (1)由△ABC 的面积为2，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc sin π6＝2，得bc ＝8， 在△ABC 中，由正弦定理得 2sin C sin C ＋2sin B ＋sin B sin C ＝2c c ＋2b ＋bc＝2·8b8b ＋2b ＋b 8b＝168＋2b2＋b 28＝84＋b2＋b 2＋48－12 ≥284＋b 2·b 2＋48－12＝2－12＝32， 当且仅当b ＝2，c ＝4时，等号成立，故选C.(2)由题意可知，＝λ＋4μ，又点B ，P ，D 共线，由三点共线的充要条件可得λ＋4μ＝1，又因为λ>0，μ>0，所以4λ＋1μ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4λ＋1μ·(λ＋4μ)＝8＋16μλ＋λμ≥8＋216μλ·λμ＝16，当且仅当λ＝12，μ＝18时等号成立，故4λ＋1μ的最小值为16.故选A. 考点三 均值不等式的实际应用【例5】网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2019年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足函数关系式x ＝3－2t ＋1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月利润是________万元. 答案 37.5 解析 由题意知t ＝23－x－1(1<x <3)，设该公司的月利润为y 万元，则y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16（3－x ）＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即最大月利润为37.5万元.感悟升华 1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数. 2.根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用均值不等式求得函数的最值.3.在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解.【训练3】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________.答案 30解析 一年的总运费与总存储费用之和为y ＝6×600x ＋4x ＝3 600x ＋4x ≥2 3 600x ·4x ＝240，当且仅当3 600x ＝4x ，即x ＝30时，y 有最小值240.A 级 基础巩固一、选择题1.已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( )A.a ＋b ≥2abB.a b ＋b a ≥2C.⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ≥2 D.a 2＋b 2>2ab答案 C解析 因为a b 和b a 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2. 2.若3x ＋2y ＝2，则8x ＋4y 的最小值为( )A.4B.42C.2D.22 答案 A解析 因为3x ＋2y ＝2，所以8x ＋4y ≥28x ·4y ＝223x ＋2y ＝4， 当且仅当3x ＋2y ＝2且3x ＝2y ，即x ＝13，y ＝12时等号成立.故选A.3.(多选题)(2021·山东新高考模拟)已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝2，下列式子中，最小值为2的有( )A.2abB.a 2＋b 2C.1a ＋1bD.2ab答案 BCD 解析 因为a ，b ＞0，所以2＝a ＋b ≥2ab ，所以0＜ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.由ab ≤1，得2ab ≤2，所以2ab 的最大值为2，A 错误；a 2＋b 2＝(a＋b )2－2ab ≥4－2＝2，B 正确；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝2ab ≥2，C 正确；2ab ≥2，D 正确，故选BCD.4.已知x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，则x ＋y 的最小值为( ) A.3B.5C.7D.9 答案 C解析 ∵x >0，y >0，且1x ＋1＋1y ＝12，∴x ＋1＋y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋1y (x ＋1＋y )＝2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋1＋y x ＋1＋x ＋1y ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2＋2y x ＋1·x ＋1y ＝8，当且仅当y x ＋1＝x ＋1y ，即x ＝3，y ＝4时取等号，∴x ＋y ≥7，故x ＋y 的最小值为7.5.要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( )A.80元B.120元C.160元D.240元答案 C解析 由题意知，体积V ＝4 m 3，高h ＝1 m ，所以底面积S ＝4 m 2，设底面矩形的一条边长是x m ，则另一条边长是4x m ，又设总造价是y 元，则y ＝20×4＋10×(2x ＋8x )≥80＋202x ·8x ＝160，当且仅当2x ＝8x ，即x ＝2时取得等号. 6.若实数x ，y 满足x 2＋y 2＋xy ＝1，则x ＋y 的最大值是( )A.6B.233C.4D.23答案 B解析 x 2＋y 2＋xy ＝1⇒(x ＋y )2－xy ＝1，∵xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22，当且仅当x ＝y 时取等号， ∴(x ＋y )2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22≤1， 即34(x ＋y )2≤1，∴－233≤x ＋y ≤233，∴x ＋y 的最大值是233.故选B.7.(2021·沈阳一模)若log 2x ＋log 4y ＝1，则x 2＋y 的最小值为( )A.2B.23C.4D.22 答案 C解析 因为log 2x ＋log 4y ＝log 4x 2＋log 4y ＝log 4(x 2y )＝1，所以x 2y ＝4(x >0，y >0)，则x 2＋y ≥2x 2y ＝4，当且仅当x 2＝y ＝2时等号成立，即x 2＋y 的最小值为4.故选C.8.(2020·重庆联考)对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，则实数a 的最大值为( ) A.2B.22C.4D.92 答案 B解析 ∵对任意m ，n ∈(0，＋∞)，都有m 2－amn ＋2n 2≥0，∴m 2＋2n 2≥amn ，即a ≤m 2＋2n 2mn ＝m n ＋2n m 恒成立，∵m n ＋2n m ≥2m n ·2n m ＝22，当且仅当m n ＝2n m 即m ＝2n 时取等号，∴a ≤22，故a 的最大值为22，故选B.二、填空题 9.若直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1，2)，则2a ＋b 的最小值为________.答案 8解析 由题设可得1a ＋2b ＝1，∵a >0，b >0，∴2a ＋b ＝(2a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＝4＋b a ＋4a b ≥4＋2b a ·4ab＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当b a ＝4a b ，即b ＝2a ＝4时，等号成立. 故2a ＋b 的最小值为8.10.已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________.答案 6解析 法一(换元消元法)由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x >0，y >0， 所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22， 当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0，令x ＋3y ＝t ，则t >0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.法二 (代入消元法)由x ＋3y ＋xy ＝9，得x ＝9－3y 1＋y， 所以x ＋3y ＝9－3y 1＋y ＋3y＝9＋3y 21＋y ＝3（1＋y ）2－6（1＋y ）＋121＋y＝3(1＋y )＋121＋y －6≥23（1＋y ）·121＋y－6 ＝12－6＝6，当且仅当3(1＋y )＝121＋y，即y ＝1，x ＝3时取等号， 所以x ＋3y 的最小值为6.11.(2020·天津卷)已知a ＞0，b ＞0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__________.答案 4解析 因为a ＞0，b ＞0，ab ＝1，所以原式＝ab 2a ＋ab 2b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b≥2a ＋b 2·8a ＋b ＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即a ＋b ＝4时，等号成立.故12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为4. 12.函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________. 答案 23＋2解析 ∵x >1，∴x －1>0，∴y ＝x 2＋2x －1＝（x 2－2x ＋1）＋（2x －2）＋3x －1＝（x －1）2＋2（x －1）＋3x －1＝(x －1)＋3x －1＋2≥23＋2.当且仅当x －1＝3x －1，即x ＝3＋1时，等号成立.B 级 能力提升13.(多选题)(2021·石家庄一模)若a ，b ，c ∈R ，且ab ＋bc ＋ca ＝1，则下列不等式成立的是( )A.a ＋b ＋c ≤3B.(a ＋b ＋c )2≥3C.1a ＋1b ＋1c ≥23D.a 2＋b 2＋c 2≥1答案 BD解析 由均值不等式可得a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ca ，∴2(a 2＋b 2＋c 2)≥2(ab ＋bc ＋ca )＝2，∴a 2＋b 2＋c 2≥1，当且仅当a ＝b ＝c ＝±33时，等号成立.∴(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3，∴a ＋b ＋c ≤－3或a ＋b ＋c ≥ 3.若a ＝b ＝c ＝－33，则1a ＋1b ＋1c ＝－33<2 3.因此，A ，C 错误，B ，D 正确.故选BD.14.(2020·山东名校联考)正实数a ，b 满足a ＋3b －6＝0，则1a ＋1＋43b ＋2的最小值为( ) A.13B.1C.2D.59 答案 B解析 由题意可得a ＋3b ＝6，所以1a ＋1＋43b ＋2＝19[(a ＋1)＋(3b ＋2)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋43b ＋2＝19⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋3b ＋2a ＋1＋4（a ＋1）3b ＋2≥1， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2（a ＋1）＝3b ＋2，a ＋3b ＝6，即a ＝2，b ＝43时等号成立.故1a ＋1＋43b ＋2的最小值为1，选B.15.若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________. 答案 4解析 ∵a ，b ∈R ，ab >0，∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，4ab ＝1ab ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝22，b 2＝24时取得等号. 16.已知函数f (x )＝x 2＋ax ＋11x ＋1(a ∈R )，若对于任意的x ∈N *，f (x )≥3恒成立，则a 的取值范围是________.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞ 解析 对任意x ∈N *，f (x )≥3，即x 2＋ax ＋11x ＋1≥3恒成立，即a ≥－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3. 设g (x )＝x ＋8x ，x ∈N *，则g (x )＝x ＋8x ≥42，当且仅当x ＝22时等号成立，又g (2)＝6，g (3)＝173，∵g (2)>g (3)，∴g (x )min ＝173.∴－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋8x ＋3≤－83，∴a ≥－83，故a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫－83，＋∞.。
平均值不等式及其应用
平均值不等式及其应用摘要：平均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一. 本文总结性地介绍了平均值不等式的几种具有代表性的证明方法，包括逆向归纳法、马克罗林的替代法、概率论方法、泰勒公式、不等式证明等，并归纳总结了其在不等式证明、求函数极值和最值、判断数列及级数的敛散性、解决积分不等式问题、比较大小等各方面应用，为今后此类问题的研究提供了便利，为解决其他不等式的证明提供了帮助.关键词：平均值不等式；数学归纳法；泰勒公式；应用Mean Value Inequality and its Application Abstract：The mean value inequality is of great importance in inequalities, and it is one of the most widely used inequality in modern analytical mathematic. In this paper ,we summarize several typical proof methods of the mean value inequality, including mathematic induction, Mark Rollin's alternative method, probability theory method, Taylor formua, inequality method. Furthermore, we introduce some applications of the mean value inequality through examples. It can use in proving inequalities, judging the divergence of certain sequences and the progression, and solving the integral inequality question, as well as seeking the extreme value of function and so on.Key words：mean value inequality；mathematic induction；Taylor formula；application1．引言平均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是数学中最重要的基本不等式12之一，也是人们最为熟悉的不等式，因此，它在数学的很多领域中都有着广泛的应用.平均值不等式是数学分析中解决许多极限问题以及其他应用问题的一个重要依据，特别是算术-几何平均值不等式的应用更是尤为广泛，许多极限问题的证明都要应用到这一不等式.2．平均值不等式下面介绍一下平均值不等式：考虑n 个正数n a a a ,,,21 的算术平均(n A )和几何平均(n G )：∑==ni i n a n A 11， n n n a a a G 21=平方平均(n Q )和调和平均(n H )：n a a a Q n n 22221+++= ，nn a a a nH 11121+++= 平均值不等式：n n n n Q A G H ≤≤≤，即22212121121111nnn n i i na a a na a a a n n a a a =+++≤≤≤+++∑ .其中当且仅当n a a a === 21时等号成立.3．平均值不等式的证明关于平均值不等式的证明方法，常见的有利用数学归纳法及詹生不等式的证明，下面介绍几种另外的证明方法.在介绍第一种证明方法之前，首先介绍一下逆向归纳法的证明思路. 逆向归纳法：设有一个与自然数n 有关的命题，如果(1) 命题对于无穷多个自然数成立；(2) 假设命题对n =k 时成立，得出命题对n =k-1时也成立； 那么这个命题对于一切自然数n 都成立.3证法一[2]（逆向归纳法）证明 i) 首先证明命题对一切2(1,2,)k n k == 成立. 当2n =时，12122a a a a +≥，命题成立； 当4n =时，有不等式：2234121234()()22a a a a a a a a ++≤⋅ 2341222a a a a ++⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭43412412342224a a a a a a a a ++⎛⎫+ ⎪+++⎛⎫≤=⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，即命题成立. 同理推出命题对3428,2,,2s n n n ==== 都成立(s 为任意自然数)，所以命题对无穷多个自然数成立.ii) 设命题对n k =成立，令 12k k a a a S k +++=，12111k k a a a S k --+++=- ，由上式立即得：12111k k k a a a S S k---++++= .由归纳假设得：121111211kk k k k k k a a a S Sa a a S k -----++++⎛⎫=≥ ⎪⎝⎭，即 11121k k k S a a a ---≥ . 故12111211k k k a a a a a a k ---+++≥- ，从而命题对1n k =-也成立.综合i)、ii)，由反归纳法原理知，命题对一切自然数n 都成立.证法二[2] (马克罗林的替代法证明)证明 我们保持12a a s +=和不变，以122a a +分别代替1a 和2a ，这时两个数122a a +的和仍然是s ，但两个数的积却增加了，即有21212()2a aa a +≥，实际上两个数的算术平均值大于几何平均值，且当两个数相等时等号成立.现在变动诸数12,,,n a a a ，但保持它们的和12n a a a s +++= 不变，这时乘4积12nn a a a 必须在12n a a a === 时取极大值，因为只要i j a a ≠，我们用2i ja a +分别代替i a 和j a ，这时和12n a a a s +++= 仍然不变，但它们的乘积却增加了，即有：121222i ji jn i j n a a a a a a a a a a a a ++>当且仅当12n a a a === 时，1212nn n a a a a a a n+++= .故1212n nn a a a a a a n+++≥ ，即命题成立.注：这个证明方法是由苏格兰科学家马克罗林给出的，所以我们称其为马克罗林替代法.证法三[3] (概率论证明方法) 证明 设1()i P a nξ==，(0,1,2,,)i a i n >= ，则 111()()nni i i i i E a P a a n ξξ===⋅==⋅∑∑ 11n i i a n ==∑.所以 2211()n i i E a n ξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑.又由公式得：222211111()()nnn i i i i i i i E a P a a a n n ξξ====⋅==⋅=∑∑∑，而22()()E E ξξ≤，所以221111n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ，即 21111n n i i i i a a n n ==≤∑∑. (1) 由公式11111(ln )ln ()ln ln nnni i i i i i i E a P a a a n n ξξ====⋅==⋅=∑∑∑，511ln()ln n i i E a n ξ=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，而(ln )ln()E E ξξ≤，所以有：1111ln ln n n i i i i a a n n ==⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑∑ ，即 1211ln ln nn n i i a a a a n =⎛⎫≤ ⎪⎝⎭∑ . 故 1211nn n i i a a a a n =≤∑ (2)再设有分布列11()i P a nξ==，(0,1,2,,)i a i n >= ，由(ln )ln()E E ξξ≤可得： 111111ln ln n n i i ii n a n a ==⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 故1211n n ni ina a a a=≤∑ (3)综合(1)、(2)、(3)得： 212111111n n nn i i ni i i ina a a a a n n a ===≤≤≤∑∑∑ . 注：这里，我们利用概率论模型证明了平均值不等式，实际上有许多不等式均可利用这种方法进行证明，这为证明不等式找到了新的途径.证法四[4] (利用不等式1x e x ≥+，1x ≥-) 证明 设12nn a a a A n+++= ，12n n n G a a a = ，(0,1,2,,)i a i n >=由不等式1x e x ≥+，(1x ≥-)可知，对于每一i 有：exp 1i i n na aA A ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭，1,2,,i n = .求其乘积，得：6111exp 1exp 1nn i i i i n na a A A ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∏ 1nni n i n n a G A A =⎛⎫≥= ⎪⎝⎭∏ 故n n A G ≥，即1212n nn a a a a a a n+++≥ .(0,1,2,,i a i n >= )注：利用不等式证明平均值不等式有几种方法，其中詹生不等式就是一种，而这里是利用不等式1x e x ≥+（1x ≥-）来得到证明.证法五 (利用泰勒公式)证明 设()log a f x x =，(01,0)a x <<>，则 ''21()0ln f x x a=>. 将()f x 在点0x 处展开，由泰勒公式，有：'''200000()()()()()()2f x f x f x f x x x x x =+-+-，其中00()x x x ξθ=+-，(01θ<<)因此有'000()()()()f x f x f x x x ≥+-. 取011ni i x x n ==∑，(,)i x a b ∈，1,2,,i n = ，则有：'111111()()()()n nn i i i i i i i i f x f x f x x x n n n ===≥+-∑∑∑，1,2,,i n = . 故'1111111()()()()nn n n ni i i i i i i i i i f x nf x f x x x n n =====≥+-∑∑∑∑∑ 11()n i i nf x n ==∑， 即 1111()()n ni i i i f x f x n n ==≤∑∑.因此有121211log ()(log log log )an a a a n a a a a a a n n+++≤+++ . 于是7121211log ()log ()a n a n a a a a a a n n≥+++ 112121log ()log ()na n an a a a a a a n≥+++ 故1212n nn a a a a a a n+++≥ .(0,1,2,,i a i n >= ).注：除了上面介绍的几种证明方法外，证明平均值不等式还有拉格朗日乘数法（见[5]）、排序不等式等.4．平均值不等式的应用在数学分析中，平均值不等式可用于判断某些数列及级数的敛散性，解决积分不等式问题，求函数极值等，并且其在求最值，比较大小，证明不等式等各方面都具有巧妙的应用. 下面通过实例说明平均值不等式的一些应用.4.1 判断数列敛散性，并求其极限例1[6]．设13a =，11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，(1,2,)n = ，证明lim n n a →∞存在，并求其值.证明 先证有下界. 132a =>；假设2k a >，则有11612611=(1)2123163k k k kk k a a a a a a +⎛⎫⎡⎤+=+++- ⎪⎢⎥++⎝⎭⎣⎦ 2611(1)223163k k a a ≥+⋅+⨯-=+. 由数学归纳法知：对任意正整数n ，有2n a >，即数列有下界. 再证数列单调递减. 事实上，对任意正整数n ，有11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭161(2)2212n n a a ⎛⎫<+=+ ⎪+⎝⎭()12n n n a a a <+=， 即1n n a a +<.8由单调有界原理，极限lim n n a →∞存在. 设lim n n a a →∞=，对等式11621n n n a a a +⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭两边取极限，得1621a a a ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭解之得：2a =(负值不合题意，舍去) 故lim 2n n a →∞=.例2．证明：数列12n n n n nn a n ⎧⎫+++=⎨⎬⎩⎭收敛. 证明 首先证明数列是单调的. 对任意的正整数1,2,,1k n =- ，都有11111nn k n k k n n n n ++⋅+⎛⎫<= ⎪++⎝⎭， 所以11(1)(1)n n n n k k n n +++<+. 所以12n n n n n n a n +++= 1111123(1)(1)n n n n n n a n +++++++++<<+ . 即数列{}n a 是单调递增的.再证数列有上界. 对任意的正整数1,2,,1k n =- ，都有1111111kn kn n k n n n ⎡⎤⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎢⎥-≤-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎛⎫+⎢⎥ ⎪-⎝⎭⎣⎦ 1kk e e -⎛⎫<= ⎪⎝⎭， 所以9(1)[(1)]n n n n n n n n n a n +-++--= 11111n nn n n -⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1(1)1111n n e e ee ------<+++=- 1111ee e -<=--， 即数列有上界.由单调有界定理知，该数列收敛.4.2 判断级数敛散性例3[6]．设111111111(1)112132n n b n n n n +⎛⎫=-⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪--⎝⎭ ，证明：级数1n n b ∞=∑是发散级数.证明 因111111111(1)112132n n b n n n n +⎛⎫=-⋅+⋅+⋅++⋅ ⎪--⎝⎭ ，由2a bab +≤有112n n +⋅≤，12(1)2n n +-≤，1,12n n ++≤ 故1211n n ≥+⋅，1212(1)n n ≥+-，12,11n n ≥+⋅ 从而有1112112(1)1n n b n n n n =+++≥+⋅-⋅ . 因lim 0n n b →∞≠，故级数1n n b ∞=∑发散.4.3 证明函数项级数一致收敛性10例4[7]．试证：22111(1)11lim (1)2n n x n n x x n x n ∞∞→==-=-∑∑. 证明 设 2(1)()(1)n n n x x u x n x -=-，1x ≠，显然有 211lim ()2n x u x n →=. 令21(1)2n u n=，则()n u x 在[0,2]上连续，()0n u x ≥，应用几何平均-算术平均不等式，得21()(1)n n n x u x n x x -=+++ 222221212221n n n x x n n n x x -≤=≤⋅⋅ ，[0,2]x ∈， 又因为211n n∞=∑收敛， 根据魏尔斯特拉斯判别法，得级数1()n n u x ∞=∑在[0,2]上是一致收敛的.故21111111lim ()lim ()2n n x x n n n u x u x n ∞∞∞→→=====∑∑∑， 即 22111(1)11lim (1)2n n x n n x x n x n ∞∞→==-=-∑∑.例5．试证级数2211cos 1nn n x nx x x x∞-=++++∑ 在(0,1]上一致收敛. 证明 设 21()1nn n x a x x x -=+++ ，()cos n b x nx =，1,2,n = ；显然{}()n a x 是递减的，因为21()1n n n x a x x x -=+++ 22112221n n n x x n nn x x -≤=≤⋅ ，(01)x ≤≤ 所以{}()n a x 是递减的且一致收敛于0. 注意到1111sin()sin1122cos 12sin sin sin242nk xn kx x x =+-=≤≤∑，1(1)2x ≤≤ 根据狄里克雷判别法，1()()n n n a x b x ∞=∑在1[,1]2上一致收敛.当102x ≤≤时，1()()2nn n n a x b x x ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭，1,2,n = ， 而112nn ∞=⎛⎫ ⎪⎝⎭∑收敛，根据魏尔斯特拉斯判别法，得 1()()n n n a x b x ∞=∑在1(0,]2上一致收敛. 故1()()n n n a x b x ∞=∑在(0,1]上一致收敛.4.4 求函数极值和最值平均值不等式是求最值的常用方法之一，运用平均值不等式求最值时，要注意三个条件：‚一正二定三相等‚，三者缺一不可，求值时，要注意所进行的必须是等价转化. 运用平均值不等式求最值的方法有：负变正法，乘‘1’法，配系数法，添项法，拆项法，平方法，换元法，引入参数法.例6[6]．求函数3()(33)(1)f x x x =-+在开区间(0,1)内的极大值.解 3()(33)(1)f x x x=-+ 44(33)(1)(1)(1)6814416x x x x -++++++⎡⎤⎛⎫≤== ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭ 当且仅当331x x -=+，即12x =时，()f x 有极大值8116.例7[10]．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求414141a b c +++++的最大值.[分析] 当函数恒为正值时，有时对目标函数进行平方，可达到凑和为定值的目的.解 令414141u a b c =+++++，则0u ≥.12所以24()32(41)(41)2(41)(41)2(41)(41)u a b c a b b c a c =++++++++++++72(41)(41)2(41)(41)2(41)(41)a b b c a c =+++++++++7(442)(442)(442)a b b c a c ≤+++++++++ 138()21a b c =+++=.4.5 证明积分不等式例8．若函数()f x 在[,]a b 上连续，且当[,]x a b ∈时()0f x >，则2()()()bbaadxf x dx b a f x ≥-⎰⎰[分析] 证法一中利用了定积分的定义和平均值不等式，定积分的定义是很容易可以想到的，再加上对平均值不等式的熟练掌握和灵活应用，即可解决本题的证明. 另外，如果对定积分的性质比较熟悉的话，也可以直接利用柯西-施瓦茨(Cauchy-Schwartz )不等式来证明.证法一[6]利用1212111nna a a n na a a +++≤+++ 的变形：21212111()()n na a a n a a a +++⋅+++≥ 由已知条件：()f x 与1()f x 在[,]a b 上均可积. 应用定积分定义，将[,]a b n 等分，得：111()()nn k k k k b a b af x n f x n ==--⋅∑∑ 2121()11[()()]()()n n b a f x f x n f x f x ⎡⎤-=++⋅++⎢⎥⎣⎦ 2222()()b a n b a n-≥⋅=-， 故对上式两边取极限n →+∞，得：2()()()bbaadxf x dx b a f x ≥-⎰⎰.13证法二 由于函数()f x 在[,]a b 上连续，所以()f x 在[,]a b 上可积. 根据Cauchy-Schwartz 不等式，即()222()()()()bb baaaf xg x dxf x dxg x dx ≤⋅⎰⎰⎰，得：221()()()b ab a f x dt f x ⎛⎫-=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎰()221()()b b aa f x dt dt f x ⎛⎫≤⋅⎪ ⎪⎝⎭⎰⎰ ()()bbaadxf x dx f x =⎰⎰， 即命题得证.例9. 设正值函数()f x 在[0,1]上连续，证明：11()0()f x dx e f x dx ⎰≤⎰.证明 由条件知()f x ，ln ()f x 在[0,1]上可积，将[0,1]进行n 等分，作积分和：111()lim ()n n i if x dx f n n →∞==∑⎰1011112ln ()lim ln ()lim ln[()()()]n n n i i nf x dx f f f f n n n n n n →∞→∞===∑⎰ 11limln[()]nn n i i f n →∞==∏ 所以11011lim ln[()]ln ()1lim[()]nn n i inf f x dx nn n i i e ef n→∞=→∞=∏⎰==∏由平均值不等式得：1111[()]()nn ni i i i f f n n n ==≤∑∏故得101()0()f x dxe f x dx ⎰≤⎰.4.6 证明不等式平均值不等式在不等式的证明中具有非常重要的地位，如果能够灵活应用，往往会达到事半功倍的效果.14例10[9]．若n N +∈，证明：111(1)(1)1n n n n++>++. 证明 由平均值不等式知，1111(1)(1)(1)(1)1n n n n n +=+++⋅ 11(1)11n n n n +⎡⎤+⋅+⎢⎥<⎢⎥+⎢⎥⎣⎦1121()(1)11n n n n n +++==+++ 故得证.例11．设n N ∈且1n >，证明：2(1)(21)(!)6nn n n ++⎡⎤<⎢⎥⎣⎦. 证明 由平均值不等式知，222221212nnn n n+++⋅< .又22112(1)(21)6n n n n n ⋅=++ 所以22(1)(21)126n n n n n ++⋅<两边作n 次乘方，即得2(1)(21)(!)6nn n n ++⎡⎤<⎢⎥⎣⎦.例12．已知,,a b c 都是正实数，求证：(1) 555333222a b c a b c b c a ++≥++； (2) 555222222a b c a b c b c c a a b++≥++.证明 (1)由平均值不等式可得，5553332225a a a b b a b b b++++≥, (1) 5553332225b b b c c b c c c ++++≥， (2) 5553332225c c c a a c a a a++++≥. (3)15(1)+(2)+(3)得：555333222a b c a b c b c a++≥++. (2) 由平均值不等式可得：552222225a a b b c a b c b c++++≥， (4) 552222225b b c c a b c a c a++++≥， (5) 552222225c c a a b c a b a b+++++≥. (6) (4)+(5)+(6)得：555222222a b c a b c b c c a a b++≥++.参考文献：[1] 匡继昌.常用不等式[M].长沙：湖南教育出版社，1989：17-18.[2] 谢刚.证明一类重要不等式的几种方法[J].滁州职业技术学院学报，2010，9(1)：79-80. [3] 姚仲明.蒋秀梅，平均值与平均值不等式[J].安庆师范学院学报，2009，15(1)：96-98. [4] 陈侃.算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报，2008，10(3)：129-130. [5] 黄东兰.算术-几何平均值不等式的证法[J].福建广播电视大学学报，2007，(4). [6] 刘俊先.平均值不等式在数学分析中的应用[J].廊坊师范学院学报，2009，9(1)：14-16. [7] 饶明贵.几个不等式的应用[J].河南科学，2008，26(8)：900-903.[8] 伏春玲，董建德.均值不等式的性质推广及应用[J].甘肃联合大学学报，2010，24(6)：26-31.[9] 夏立标.均值不等式及其推广[J].宁德师专学报，2010，22(2)：125-127.[10] 沈丙申.运用均值定理求最值的八种方法[J].四川教育学院学报，2007，23(6)：61-62.[11] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2002.[12] 华东师范大学数学系.数学分析：上册[M].北京：高等教育出版社，2001.[13] Akerberg B., A proof of arithmetic geometric mean inequality, Amer. Math Monthly, 1963,70:997-998.[14] Chong, Kong-Ming, An inductive proof of the A.M.-G.M. 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伯努利不等式的推广
伯努利不等式的推广伯努利不等式是数学中一条非常重要的不等式，用于研究数列的性质和数学问题的求解。
它的推广有许多不同的形式和应用，下面我们来生动地介绍一下伯努利不等式的推广及其指导意义。
首先，我们回顾一下伯努利不等式的基本形式。
伯努利不等式指出，当指数大于1时，正实数的幂函数的大小关系与底数的大小关系相反。
换句话说，如果一个正实数大于1，那么它的任意正整数次幂都大于它本身。
这个不等式在数列的研究中具有重要的应用，如极限证明和数列单调性的判定等。
现在我们来看一下伯努利不等式的推广形式。
伯努利不等式的推广可以分为两个方向，一个是指数为非整数的情况，另一个是底数为负实数的情况。
我们先来看第一个方向。
当指数为非整数时，伯努利不等式可以通过对指数取极限来推广。
具体来说，如果底数大于1，而指数为非整数，那么底数的非负整数次幂是递增且无上界的，而底数的负实数次幂是递减且无下界的。
这种推广形式常用于证明数学问题中的极限存在和极限性质等。
接下来，我们来看第二个方向的推广，即底数为负实数的情况。
当底数为负实数时，伯努利不等式的形式需要做一些调整。
具体来说，如果底数小于-1，而指数为奇数的正整数，那么底数的非负整数次幂是递减的，而底数的负实数次幂是递增的。
这种推广形式常用于证明数学问题中的不等式关系和函数性质等。
伯努利不等式的推广形式在解决数学问题中起到了重要的指导作用。
通过推广，我们可以更好地理解数学中的不等式关系和数列的性质。
例如，在解决一些特殊函数的极限问题时，通过应用伯努利不等式的推广形式，可以简化问题的分析，快速得出结论。
另外，在证明数学问题中的不等式关系时，可以通过推广形式，将问题转化为已知的形式，从而更容易找到证明的思路。
因此，熟悉和掌握伯努利不等式的推广形式对于解决数学问题和深入理解数学理论都有着重要的意义。
通过对不同形式的推广的探究和应用，我们可以更加灵活地运用伯努利不等式，抓住问题的本质，提高解决问题的效率。
指数平均不等式及其应用
指数平均不等式及其应用李玉佩(汉寿县第一中学ꎬ湖南邵东４１５９００)摘㊀要:文章给出指数平均不等式及其证明ꎬ建立指数平均不等式与对数平均不等式的联系ꎬ最后通过实例给出指数平均不等式的应用.关键词:指数平均不等式ꎻ对数平均不等式ꎻ证明ꎻ应用中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)３６－００５９－０３收稿日期:２０２３－０９－２５作者简介:李玉佩(１９８０.９－)ꎬ女ꎬ湖南省邵东人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀对数平均不等式最近几年在高考中很活跃ꎬ很多文献都有介绍ꎬ甚至有些文献将对数平均不等式进行了深度的推广[１].而与对数平均不等式密切联系的就是指数平均不等式.笔者给出指数平均不等式的证明ꎬ并探究其与对数平均不等式的联系ꎬ最后给出指数平均不等式的应用.１指数平均不等式设ａ>０ꎬｂ>０ꎬ且ａʂｂꎬ则ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ<ｅａ＋ｅｂ２.２不等式的证明证法１㊀不妨设ａ>ｂꎬ则不等式ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ等价于ａ－ｂ<ｅａ－ｂ２－ｅｂ－ａ２.令ｔ＝ａ－ｂ２(ｔ>０)ꎬ则不等式等价于ｅｔ－ｅ－ｔ－２ｔ>０在ｔ>０上成立.构造函数ｈｘ()＝ｅｘ－ｅ－ｘ－２ｘ(ｘ>０)ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝ｅｘ＋ｅ－ｘ－２>２ｅｘｅ－ｘ－２＝０.所以ｈ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上单调递增ꎬ故ｈ(ｘ)>ｈ(０)＝０.得证.欲证ｅａ－ｅｂａ－ｂ<ｅａ＋ｅｂ２ꎬ即证ａ－ｂ>２ｅａ－ｅｂ()ｅａ＋ｅｂ＝２ｅａ－ｂ－１()ｅａ－ｂ＋１.令ｔ＝ａ－ｂꎬ则ｔ>０ꎬ不等式等价于ｔ>２ｅｔ－１()ｅｔ＋１ꎬ即ｔ－２ｅｔ－１()ｅｔ＋１>０在ｔ>０上恒成立.令φｘ()＝ｘ－２ｅｘ－１()ｅｘ＋１(ｘ>０)ꎬ则φᶄｘ()＝１－４ｅｘｅｘ＋１()２＝ｅｘ－１()２ｅｘ＋１()２>０ꎬ所以φｘ()在０ꎬ＋¥()上单调递增ꎬ所以φｘ()>φ０()＝０.得证.综上:ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ<ｅａ＋ｅｂ２.证法２㊀令ｅａ＝ｘ２ꎬｅｂ＝ｘ１ꎬ则ａ＝ｌｎｘ２ꎬｂ＝ｌｎｘ１ꎬａ＋ｂ２＝ｌｎｘ１ｘ２ꎬ故不等式ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ<ｅａ＋ｅｂ２等价于ｘ１ｘ２<ｘ２－ｘ１ｌｎｘ２－ｌｎｘ１<ｘ１＋ｘ２２.这就是对数平均不等式ꎬ证明如下:不妨设ｘ２>ｘ１.先证ｘ１ｘ２<ｘ２－ｘ１ｌｎｘ２－ｌｎｘ１.因为ｘ１ｘ２<ｘ２－ｘ１ｌｎｘ２－ｌｎｘ１⇔ｌｎｘ２－ｌｎｘ１<ｘ２－ｘ１ｘ１ｘ２⇔ｌｎｘ２ｘ１－ｘ２ｘ１－１ｘ２ｘ１<０.令ｘ＝ｘ２ｘ１ꎬ则ｘ>１ꎬ只需证ｆｘ()９５＝２ｌｎｘ－ｘ＋１ｘ<０ｘ>１().因为ｆᶄｘ()＝２ｘ－１－１ｘ２＝－ｘ２－２ｘ＋１ｘ２＝－ｘ－１()２ｘ２<０ｘ>１()ꎬ所以函数ｆｘ()在区间１ꎬ＋¥()为减函数ꎬ故ｆｘ()<ｆ１()＝０.得证.再证ｘ２－ｘ１ｌｎｘ２－ｌｎｘ１<ｘ１＋ｘ２２.因为ｘ２－ｘ１ｌｎｘ２－ｌｎｘ１<ｘ１＋ｘ２２⇔２ｘ２－ｘ１()ｘ２＋ｘ１<ｌｎｘ２－ｌｎｘ１⇔２ｘ２ｘ１－１æèçöø÷ｘ２ｘ１＋１<ｌｎｘ２ｘ１.令ｘ＝ｘ２ｘ１ꎬ则ｘ>１ꎬ只需证ｇｘ()＝ｌｎｘ－２ｘ－１()ｘ＋１>０ｘ>１().因为ｇᶄｘ()＝１ｘ－４ｘ＋１()２＝ｘ－１()２ｘｘ＋１()２>０ｘ>１()ꎬ所以函数ｇｘ()在区间１ꎬ＋¥()为增函数ꎬ故ｇｘ()>ｇ１()＝０.得证.综上ꎬａｂ<ａ－ｂｌｎａ－ｌｎｂ<ａ＋ｂ２.故ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ<ｅａ＋ｅｂ２.３不等式的应用例１㊀已知ｆ(ｘ)＝ｘ－ａｅｘ存在两个不同的零点ｘ１ꎬｘ２ꎬ证明:ｘ１＋ｘ２>２.证明㊀由于ｆ(ｘ)＝ｘ－ａｅｘ存在两个不同的零点ｘ１ꎬｘ２ꎬ因此ｘ１ａ＝ｅｘ１ꎬｘ２ａ＝ｅｘ２ꎬìîíïïïï则ｅｘ１＋ｅｘ２＝ｘ１＋ｘ２ａꎬｅｘ１－ｅｘ２＝ｘ１－ｘ２ａꎬìîíïïïï根据指数平均不等式ꎬ有ｅｘ１－ｅｘ２ｘ１－ｘ２<ｅｘ１＋ｅｘ２２ꎬ从而１ａ<ｘ１＋ｘ２２ａꎬ故ｘ１＋ｘ２>２.例２㊀已知函数ｆｘ()＝ｅｘ－１２ｘ２－ａｘꎬａɪＲ.(１)若ｆｘ()是Ｒ上的增函数ꎬ求ａ的取值范围ꎻ(２)若ｇｘ()＝ｆｘ()－ａ－１２æèçöø÷ｘ２恰存在两个不等的极值点ｘ１ꎬｘ２ꎬ求明:ｘ１＋ｘ２<２ｌｎ２ａ.解析㊀(１)ａɤ１.(２)证明:由ｇｘ()＝ｆｘ()－ａ－１２æèçöø÷ｘ２＝ｅｘ－ａｘ２－ａｘꎬ得ｇᶄｘ()＝ｅｘ－２ａｘ－ａ.因为ｘ１ꎬｘ２为函数的两个极值点ꎬ不妨设ｘ１>ｘ２ꎬ则ｅｘ１－２ａｘ１－ａ＝０ｅｘ２－２ａｘ２－ａ＝０{ꎬ两式相减得２ａ＝ｅｘ１－ｅｘ２ｘ１－ｘ２.要证ｘ１＋ｘ２<２ｌｎ２ａꎬ即证ｘ１＋ｘ２２<ｌｎｅｘ１－ｅｘ２ｘ１－ｘ２ꎬ只需证ｅｘ１＋ｘ２２<ｅｘ１－ｅｘ２ｘ１－ｘ２.这就是对数平均不等式ꎬ因此ꎬｘ１＋ｘ２<２ｌｎ２ａ.例３㊀已知指数函数ｆｘ()经过点－１ꎬ１ｅæèçöø÷.求:(１)若函数ｇｘ()的图象与ｆｘ()的图象关于直线ｙ＝ｘ对称ꎬ且与直线ｙ＝ｋｘ＋１相切ꎬ求ｋ的值ꎻ(２)对于实数ａꎬｂꎬ且ａʂｂꎬ①ｆａ＋ｂ()<ｆａ()－ｆｂ()ａ－ｂꎻ②ｆａ()－ｆｂ()ａ－ｂ<ｆａ()＋ｆｂ()２.在两个结论中任选一个ꎬ并证明.(注:如果选择多个结论分别证明ꎬ按第一个计分)解析(１)ｋ＝１ｅ２.(２)选择①:不妨设ａ>ｂꎬ则ａ－ｂ>０.要证ｆａ＋ｂ()<ｆａ()－ｆｂ()ａ－ｂꎬ即证ｅａ＋ｂ<ｅａ－ｅｂａ－ｂꎬ即证ｅａ＋ｂ２<ｅａ－ｅｂａ－ｂ.这就是指数平均不等式.故结论①得证.例４㊀(２０２２年１２月Ｔ８联考)[２]已知函数ｆ(ｘ)＝ｅｘ－ｘ＋ｅ３ａꎬ其中－６５ɤａ<３ｅ３－１ꎬ函数ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋¥)上的零点为ｘ０ꎬ函数ｇｘ()＝ｘ＋ａ－ｘ－ａｅｘꎬ０ɤｘɤｘ０１－ｘ()ｌｎｘ－ａｘ＋１()ꎬｘ>ｘ０ìîíïïï(１)证明:０６①３<ｘ０<４ꎻ②函数ｇ(ｘ)有两个零点ꎻ(２)设ｇ(ｘ)的两个零点为ｘ１ꎬｘ２ｘ１<ｘ２()ꎬ证明:ｅｘ２－ｘ２ｅｘ１－ｘ１>ｅｘ１＋ｘ２２.(参考数据:ｅʈ２.７２ꎬｅ２ʈ７.３９ꎬｅ３ʈ２０.０９ꎬｌｎ２ʈ０.６９ꎬｌｎ３ʈ１.１)证明㊀(１)①因为ｆᶄ(ｘ)＝ｅｘ－１ꎬ当ｘ>０时ꎬｅｘ>１ꎬ所以ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在区间(０ꎬ＋¥)上递增.因为－６５ɤａ<３ｅ３－１ꎬ所以ｆ(３)＝ｅ３－３＋ａｅ３<ｅ３－３＋ｅ３３ｅ３－１æèçöø÷＝０ꎬｆ(４)＝ｅ４－４＋ａｅ３ȡｅ４－４－６５ｅ３ʈ７.３９２－４－６５ˑ２０.０９>０ꎬ所以ｆ(ｘ)有唯一零点ｘ０ꎬ且３<ｘ０<４.②当０ɤｘɤｘ０时ꎬｇ(ｘ)＝ｘ＋ａ－ｘ－ａｅｘꎬｇᶄ(ｘ)＝１－１－ｘ＋ａｅｘ＝ｅｘ－１＋ｘ－ａｅｘ.因为ｘ>０ꎬａ<０ꎬ所以ｅｘ－１>０ꎬｘ－ａ>０ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)>０ꎬ所以ｇ(ｘ)在区间０ꎬｘ０()上递增.因为３<ｘ０<４ꎬ所以ｇｘ０()>ｇ(３)＝３＋ａ－３－ａｅ３ȡ３－６５－３＋６５ｅ３＝９ｅ３－２１５ｅ３ʈ９ˑ２０.０９－２１５ˑ２０.０９>０.因为ｇ(１)＝１＋ａ－１－ａｅ＝１－１ｅ＋ａ１＋１ｅæèçöø÷<１－１ｅ＋３ｅ３－１æèçöø÷１＋１ｅæèçöø÷＝３＋３ｅ－２ｅ３ｅ４ʈ３＋３ˑ２.７２－２ˑ２０.０９ｅ４<０ꎬ所以ｇ(ｘ)在区间１ꎬｘ０[]上存在唯一零点.当ｘ>ｘ０时ꎬｇᶄ(ｘ)＝－ｌｎｘ＋１ｘ－１－ａ<－ｌｎｘ０＋１ｘ０－１－ａ<－ｌｎ３＋１３－１＋６５＝８１５－ｌｎ３ʈ８１５－１.１<０ꎬ所以ｇ(ｘ)在区间ｘ０ꎬ＋¥()上递减ꎬ所以ｇ(４)＝－３ｌｎ４－５ａ>－３ｌｎ４－５３ｅ３－１æèçöø÷＝５－３ｌｎ４－１５ｅ３ʈ０.１１>０ꎬｇｅ２()＝２１－ｅ２()－ａｅ２＋１()ɤ２１－ｅ２()＋６５ｅ２＋１()＝１６－４ｅ２５ʈ１６－４ˑ７.３９５<０ꎬ则ｇ(ｘ)在区间４ꎬｅ２()上存在唯一零点ꎬ所以ｇ(ｘ)在区间ｘ０ꎬ＋¥()上存在唯一零点.综上ꎬｇ(ｘ)存在两个零点.(２)由(１)可知ｇｘ１()＝ｇｘ２()＝０ꎬ其中１<ｘ１<ｘ０<ｘ２.由ｇｘ１()＝０可知ｘ１＋ａ－ｘ１－ａｅｘ１＝０ꎬ得ｘ１－ａｅｘ１＋１()－ｘ１ｅｘ１＝０ꎻ由ｇｘ２()＝０可知ｌｎｘ２－ａｘ２＋１()－ｘ２ｌｎｘ２＝０.设ｈ(ｘ)＝ｌｎｘ－ａ(ｘ＋１)－ｘｌｎｘꎬ则ｈｘ２()＝ｈｅｘ１()＝０.因为１<ｘ１<ｘ０<ｘ２ꎬ所以ｅｘ１>ｅꎬｘ２>ｘ０>３>ｅ.而当ｘ>ｅ时ꎬｈᶄ(ｘ)＝１ｘ－ａ－ｌｎｘ－１<１ｅ－ａ－２ɤ１ｅ＋６５－２＝１ｅ－４５<０ꎬ所以ｈ(ｘ)在区间(ｅꎬ＋¥)上递减ꎬ所以ｘ２＝ｅｘ１.要证ｅｘ２－ｘ２ｅｘ１－ｘ１>ｅｘ１＋ｘ２２ꎬ只需证ｅｘ２－ｅｘ１ｘ２－ｘ１>ｅｘ１＋ｘ２２ꎬ这就是指数平均不等式.因此ꎬｅｘ２－ｘ２ｅｘ１－ｘ１>ｅｘ１＋ｘ２２.文中给出四道与ｅｘ有关的双变量问题的简便解法ꎬ让读者感受指数均值不等式的妙用ꎬ但是任何一种方法都有其局限性.我们在日常的学习中ꎬ要结合自身掌握程度和实际情况ꎬ选择最佳的解题方法ꎬ不可一味追求某一种解法ꎬ要学会从不同解法中汲取不同的数学思想ꎬ从而提高自身的数学核心素养与解题能力[３].参考文献:[１]李鸿昌ꎬ徐章韬.关于对数平均的一个不等式的推广[Ｊ].数学通报ꎬ２０２３ꎬ６２(０８):５０－５２.[２]王科.一道函数压轴题的探究及推广应用[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２３(１６):８２－８４.[３]刘海涛.一个不等式的发现及其应用举例[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(３１):９－１１.[责任编辑:李㊀璟]１６。
基本不等式大全
基本不等式大全基本不等式是数学中的一个重要概念，有许多种不同的形式和用途。
以下是一些常见的基本不等式：1.均值不等式：a+b≥2\sqrt{ab} ，当且仅当a=b 时等号成立。
2.柯西不等式：如果a_i > 0, i=1,2,...,n, 则\sum_{i=1}^{n} a_i * b_i≥(\sum_{i=1}^{n} a_i)(\sum_{i=1}^{n} b_i)。
3.伯努利不等式：如果x > 0, n > 0, 则(1 + x)^n ≥1 + nx。
4.赫尔德不等式：如果f(x) 是[a, b] 上的非负连续函数，则对于所有满足a ≤x ≤b 的x，有\int_{a}^{b} f(x) dx ≤(b-a) * f(a) + f(b)。
5.琴声不等式：如果a_i > 0, i=1,2,...,n, 则\sum_{i=1}^{n} a_i^n ≥(\sum_{i=1}^{n} a_i)^n。
6.杨氏不等式：对于任意的实数a, b，都有a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立。
7.三角不等式：对于任意的实数x, y，都有|x+y|≤|x|+|y|，当且仅当x与y同号时等号成立。
8.绝对值不等式：对于任意的实数x, y，都有|x-y|≤|x|+|y|，当且仅当x与y异号时等号成立。
9.权方和不等式：如果a_i > 0, i=1,2,...,n, 则\sum_{i=1}^{n} a_i *\frac{b_i}{a_i} ≥(\sum_{i=1}^{n} b_i)(\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{a_i})。
以上这些基本不等式在数学学习和应用中都非常重要，希望能帮助到你。
均值不等式的证明方法及应用word文档良心出品
均值不等式的证明方法及应用摘要均值不等式在不等式理论中处于核心地位，是现代分析数学中应用最广泛的不等式之一。
应用均值不等式，可以使一些较难的问题得到简化处理。
本文首先系统全面地总结了均值不等式的十种证明方法,其中包括柯西法、数学归纳法、詹森不等式法、不等式法、几何法、排序法、均值变量替换法、构造概率模型法、逐次调整法、泰勒公式法；其次, 结合相关例题给出均值不等式在证明不等式、比较大小、求最值、证明极限的存在性、判断级数敛散性、证明积分不等式方面的应用。
关键词:均值不等式；数学归纳法；最值；极限；积分不等式页20共页1第PROOFS AND APPLICATIONS ON A VERAGE VALUE INEQUALIT YABSTRACTAverage value inequality occupies a core position in inequality theory and is one of themake inequality can modern mathematics. Using average inequalities most widely used insome difficult problems simple. In this paper, ten proof methods of average value inequalityinduction, mathematical method, summarized, including Cauchy are first systematicallyJensen inequality, inequality method, geometry method, sorting method, variable substitutionadjustment successive model method, constructing method of average value, probabilitymethod, Taylor formula method, respectively. Secondly, we give applications of average valueinequality combining the corresponding examples on comparing the size, solving maximumand minimum, proving the existence of the limit, judging convergence of series and provingintegral inequality.Key words average value inequality; mathematical induction; maximum and minimum;:limit; integral inequality页20共页2第目录前言--------------------------------------------------------------------- 41 均值不等式的证明方法--------------------------------------------------- 51.1 柯西法------------------------------------------------------------ 51.2 数学归纳法-------------------------------------------------------- 61.3 詹森不等式法------------------------------------------------------ 71.4 不等式法---------------------------------------------------------- 71.5 几何法------------------------------------------------------------ 81.6 排序法------------------------------------------------------------ 91.7 均值变量替换法---------------------------------------------------- 91.8 构造概率模型法---------------------------------------------------- 91.9 逐次调整法------------------------------------------------------- 101.10 泰勒公式法------------------------------------------------------ 102 均值不等式的应用------------------------------------------------------ 122.1 均值不等式在证明不等式中的应用----------------------------------- 122.2均值不等式在比较大小问题中的应用--------------------------------- 132.3 均值不等式在求最值问题中的应用----------------------------------- 132.3.1 均值不等式求最值时常见错误 --------------------------------- 14 2.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策 --------------------------- 16 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用----------------------------- 172.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用------------------------------- 192.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用------------------------------- 193 结论------------------------------------------------------------------ 21参考文献:--------------------------------------------------------------- 22 致谢-------------------------------------------------------------------- 23页20共页3第前言不等式在数学的各个领域和科学技术中都是不可缺少的基本工具, 而均值不等式是重中之重. 通过学习均值不等式，不仅可以帮助我们解决一些实际问题，还可以培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力，以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯. 因此，研究均值不等式的证明方法及应用，是一个既有理论意义又有广泛现实意义的问题.均值不等式的证明及运用均值不等式来解决数学中的某些问题，在数学研究中历历可见. 如，比较大小、求函数的最值、证明不等式常利用均值不等式的方法进行解答.均值不等式还是高等数学中最基本的运算之一，作为最基本不等式，在解决高等数学问题中也发挥着重要的作用. 运用均值不等式可以使复杂的问题简单化，繁琐的问题清晰化.??1最先运用了均值不等式，证明了球和圆柱的相关问题.此后科著名数学家阿基米德学家们对均值不等式的证明方法进行了深入的研究，并在此基础上把均值不等式应用到了其他领域. 当前, 我国许多学者对均值不等式的证明方法及应用进行了大量的研究??8??142?.如，陈益琳在学生利用均值不等式解题时遇到的常见问题作了总结性的工作.??9冉凯对均值不等式在数学分析中的应用做了探讨. 均值不等式在解决许多问题中发挥着重要的作用.本文将对均值不等式的证明方法及应用进行归纳和总结.页20共页4第1 均值不等式的证明方法. ,我们给出均值不等式首先是个正数，则定理1 设a,...,,aan n12a??a?a??n12，1?1aaa??n n21n.上式当且仅当时等号成立a?aa??n12我们把以后简称均值不等式. 上述不等式我们称之为算术—几何平均不等式,a??a?a n12分别记做个数的算术平均数和几何平均数,和分别叫做这aaa?n n n12n??????)aa?AGAaa(G.式即为和，(1-1)nnnn.下面给出均值不等式的几种证明方法柯西法1.12. ,由于.,得有当时0?a0,a?a?2aa(a?a)??0a2n?21212211)aa??a)?(a?a?a?a?(a,当时4?n42241331aaa4aa?aa?2aa?4aa?2a.4433423112142)?aa?aaa?a)?(?(a?a?时,当8?n85413627.aaaa?8aaaa?a4aaaa?4aaa8448541123747825663n令次之后将会得到, 这样的步骤重复a?a??a??n1221?A?aa,a?a,a?;a???a?2nnnn?111?n2n有1nn A)?nnA?(2?1nA?aa?(aAa?a)aA??222nn1122n2即n n2?nna?a??a n12?a?aa.n n21n这个归纳法的证明是柯西首次提出的,我们将它称之为柯西法.页20共页5第1.2 数学归纳法证法一当时，不等式显然成立. 2n?假设当时,命题成立. kn?则当时,1k?n?a?a??a?a11?k2k.,a?aG?a?A1k?1K?1?2K?1k11k?因为具有全对称性，所以不妨设ai a?min{a|i?1,2,,k,k?1}a?max{a|i?1,2,,k,k?1}.,ii11k??????AA0a?a?aa?A?.于是以及显然 ,,1?11kK?1?K1k?K?11A(a?a?A)?aa. 1kKK?1?111?k?1所以(a?a??a?A)AA?kA(k?1)121?K1k?1K?1KK?1???A?1?K kkk)(a?a?Aa??a?2?11kKk?1.=)A?a??aa?(a k1K1k?112?k?k k?aa(a?a?AA)A,得即两边乘以1Kkkk??1112?1?KK?1?1k??GaAaa(aa)aaA(a??A)?.2K?k1k112kK?1k?11k?1?1K?A?G.从而,有11K??K??aGa)?A(. 所以，由数学归纳法，均值不等式对一切成立，即n nn 证法二当时，不等式显然成立；2?n假设当时成立.kn?k1?G?G?k?(k?1)a，于是则当有1n?k?k时，1??1kk?1k1k?111G?1)a?(k1k?1k?)??G(GaG(G?) kk22k1k?1kk?1k?k a?(k?1)Ga?(k?1)G11k??k11?1k?1k?)??)(A?(G .kk2k2k2k?G?(k?1)A?(k?1)GG?A.,所以所以1?k1?1k?k1?1?kk页20共页6第当且仅当且时等号成立. G1)(k?k?G?aa?G?1?k?1kkk?1k??．G a A(a)?由数学归纳法知,均值不等式对一切成立，即n nn1.3 詹森不等式法f(x)xII，对任意)若的凸函数为区间，上式引理1(Jensen不等?in???，则，且1?)n1,?0(i?2,,ii1?i nn????x)()f(?fx (1-3)iiii1i?i?1成立.下面利用詹森不等式证明均值不等式.a?0(i?1,2,n,)令由,于易令 ,,知在是凸函数.)(0,f(0)x)ln f(x)??x??(x?i1?,1有下式，则由引理?i na?a??a1ln(?n12.)a??ln?(ln a?ln a)?n21nn则?a?a?a11a ln(n21,)a ln(a(ln)?a?ln a?)?a?ln nn2121nnn因此1a??a?a a ln(n21)a?ln(a),nn21n即a?a??a n12,a?aa?n n21n aa?a??.当且仅当时等号成立n121.4 不等式法x?1?ex进行推导在均值不等式的证明中，可以运用一个特殊的不等式.xx e)?ef(x?f(x)应用迈克劳林展开式并取拉格朗日余项得:设，对1?xx2x1?xe?e?, 2页20共页7第x?.当因此, 时，等号成立,, 其中, .. x1e??00xx?00???1x?. 下面给出均值不等式的证明过程n?0?x.，使取一组数,.令A(1?x)a?xn1,2,,k?knkkk1?k x,可得全为零时,取等号)则由(e??(1x)x k kk111nnn??nx???k，AeAG?(a)??(1?x)A?nn??nknknn??1k?k?1k?1)G(aA(a)?.所以nn 1.5 几何法x ex G?y)e(G,可见这条切线,,作函数的图像它是凸曲线，并在点处作切线e?y n n G na ea i Gi .所因此,可以得以到见在函数的下面(图)，0?e?）n,i?1,2,3,（11?n G n)??aa?a(ea n12nA eaea Gnnn21?nA?G e)((e?()?)?,，即且从上述证明中可知，，于是n nn G GGG nnnn G??a?a?a.时，等号成立当且仅当nn121-1图页20共页8第排序法1.6aaaaaaaaa n12112?n1211??xx??x?x，取其中的一个,做序列: ,…,,n112n?n1n2?GGGG nnnnaxaaxx nn2211???1?b?xxb?xb?，则,…,,,…,,排列. :n11n1?2n GbbGbG n2n1nn111???0?0x?x??x?则由排序原理可知不妨设..n12xxx2n1xxxx111n321??????x???x??n?x , 21n xxbxbbb2n3n112aaa aa??a?n21n????n21,,即aa?a?n n12GGG n nnn)(a(a)?GA.所以nn 1.7 均值变量替换法. 本节运用数学归纳和变量替换相结合的方法证明均值不等式. 易证时，不等式显然成立2n?. 假设当时，不等式成立kn?1?k?x)1,?A(i?2,,nx?axx必有一个,不全为零设则当,则1?n?k0?设时，.1ik?iii i1i?x?x?0, ,另一个为负,不妨设 ,由于为正)?x?A(A?x)Aaa?(?x)(A?x1i2?k?11211k?1211kk?从而(A?x?x)?a??a?A k?131k?12?(A?x?x)aaa k1k?11k42?3k?1kk1?Gaa1?k21??aaa.kk14?3k AA1k?k?1?1k?1k,即 .所以GA?GA?1?1kk?1?1k?k??a)?G(Aa aa?a??0x?成立．,)时取等号故原不等式当且仅当易证,(时即n12inn1.8 构造概率模型法首先给出证明过程中要用到的一个引理.页20共页9第有则存在,变量,并且数学期望引理2 设是一个随机EXX??22?,.41)(?EXEX)EX?E(ln X ln1.其中,建立概率模型,设随机变量的概率分布为,n,i?1,2,X0?a?)?aP(X ii n,由引理2可知111nnn???aaaa,,ln??ln aa lnln n n12iii n nn1ii?1?i?1a??a?an12.成立即a?a?a n n12n1.9 逐次调整法}a?min{a}a?max{a,a,...,aa易见中必存在最值数，不妨设,. in221i1a?(a?a)a22121不变.,但是增大.于是,用,即取代AGaa,a]?a[nn122122n)?a)(a(a?a11?2121a????(a?a),i3n n22n1i?)aa)(a?(a?2121a?a?aaa? .nn3n1n222n因此，次(有限次对于各个).,这种代换至多进行1－n aa?221)?aa??AAA?G?aaa?(A.nnnn2nn3nnnn12G?Aa?a??a时,当且仅当,取等号.即n1nn21.10 泰勒公式法1x log?(x)fa?1,x?0)(0?x处展开，有，将在设，则0?)??f''(x)xf(a02ln ax''(xf)2'0)?x)?(x)x?f(x)(x?xxf()?f(.00002因此有?',n2,)b),(i?1,?x(a,a?a,)xx)(x?()f(fx)?(x?f,n1,取000i0i n1?i nnn111???'a)(i?1,2,,?(fa()?()a?f)(aan)f.从而iiiii nnn1i?11i?i?页20共页10第??????'a()a)a)?(?a?f(a)?nf((a)?fnf故,iiiiii nnn11i??1i??11ii?1?ii1nn111)??a?a(a??n12aaa nnnnnn111)loglog???log?(log)(f()a?af,即.因此有n n21iiaaaa nnn11i?i?1111)a?a?(a?)a(a???a nn12n12)a(a?a)(a?aa1)?log?log(0?a loglog?,即 ,亦即nn n12n12aaaa na?a??a n21.,故有)1,n2,,0,a(?i?aa?a?n in12n页20共页11第2 均值不等式的应用2.1 均值不等式在证明不等式中的应用一般不等式的证明,常常考虑比较法,综合法,分析法,这是高中比较常用的方法,但有些不等式运用上述方法不好入手,故考虑均值不等式或者均值不等式与综合法相结合,这样处理,常常使复杂问题简单化,从而达到证明的目的.下面举几个例子予以说明.111. 且.求证例1已知为互不相等的正数,?b?c??a?c,a,b1abc?abc1111/b?1/c1/a?1/c1/a?1/b111???b??c??????a.证明bcacab222abc.故原不等式得证22b?a?b?1?aba?.证明例22222ab?2b??ba2b2a1??a1?.,证明由均值不等式得,,????2222ba??ab??1ab?原不等式得，即有,以上三式相加得,. bab?a?a?b1??22.证1,两弦和的半径为均与直径例3设圆交,记与和的交o CD?45CDEFEFABAB 2点分别为和Q,求证 .1?PD?QF2PC?QE?2P1?2图证明如图,设为弦的中点,连接,,则△为等腰直角三角形,POMCOCDMOM?12且.MOMP?222222222CO2?MO?)MC?MC)?(MPMCPDPC??(?)?MCMP?2(?MP)2(页20共页12第211??.??2??22??122. 同理,??QEQF2由均值不等式得，2222QF?PCPD?QE?QFQE?PD??PC?222222)??PDQF)?((PCQE?211?122.??22.即，原不等式得证1?QE?2PD?QF2PC? 2.2均值不等式在比较大小问题中的应用准确巧妙地运用均值不等式是快速解决这比较大小问题是高中数学中常见的问题，.类问题的关键ba?1之间试判断若,，,,例4lg R)Q?(lg a?lg b?bp lg a??lg RP,Q,1a?b?22.的大小关系由均值不等式，得解1.Pb?)b?lg a?lg Q?(lg a?lg21a?b.Q??lg b)abR?lg?lg?(lg a22.即由于，所以不能取等号,Pa?bQ?R?ba?,2.3 均值不等式在求最值问题中的应用是重要知识点解决一些取值范围问题时运用非常广泛,均值不等式在求函数最值,达到解,,我们应因题而宜地进行变换,并注意等号成立的条件在实际应用问题中之一.熟练运用该,利用熟悉知识求解是常用的解题技巧,,题的目的变换题目所给函数的形式.,对于提高思维的灵活性和严密性大有益处技巧例5求下列函数的值域：页20共页13第112；(1) (2). y?y?3x?x?2xx21122?x3x? =6y?3?2,解 (1)因为. 所以,. 值域为)6,+?[22xx2211?xy??2x??2时，(2)当. 0?x xx111-2?x??)?y?x??2???(x值域为,故时当,.??）]?[2，（－?,－20x?xxx . 的最大值求函数例6若,)x3x(8?3f(x)?2?0?x)3xx?(8?3????xf，的最大值是.解因为, 所以,故4x(8?3x?3fx) ??20??x24.使r h 和底面半径的比为何值时,例7制作容积一定的有盖圆柱形罐头, 当圆柱高)用的材料最省? (不计加工损耗VVV2V322222??????, 解 ,设圆当且仅当rr2???2?rh22r?Vr??32?2?S rrrr233???即圆柱形的高与底面此时有,故即 , 时, 材料最省. h2rrV?2?r2:1?h:r.使用的材料最省时,半径之比为2:1均值不等式求最值时常见错误2.3.1;(3)定正;(2)运用均值不等式解题是一项重要内容,运用这种方法有三个条件:(1)或不等式之间进行缩小, .在此运用过程中,往往需要对相关对象进行适当地放大、相等.,而且错误不易察觉,在此过程中,学生常常因为忽视条件成立而导致错误传递等变形.,就这一问题列举几个例子进行说明因此1??. 求的值域例81y?x??x1?x我们常常写成在解题时,分析111??31????1??12x??yx?1?x，1?1x?x?1x1????y?3,与1x?忽视均值不等式中,虽然.故但的积是常数,不一定是正数1?x1?x.下面给出正确解法因此解法是错误的的各项为“正”致错, .页20共页14第111???11?3??1?2y?x??x?x?1,当且仅时解当,当1 ?xx?11x?1x?1,即时等号成立; ?1x?2?x x?1111???1??x?1?y??x?211?1?x??,,所以,当时1?y?1?x1?x1?x1?x????. ?????,?13,当且仅当时取等号,所以原函数的值域为0?x2?5x的最小值.例9求?y24x?分析在解题时,我们常常写成22?4?1?5x1x122?2??2xy??x4??4?，22224?4?44xxx?x?1 22??x4,即2.可是在当且仅当中,这是不可,所以的最小值是3x??y2?y24?x能的,所以等号不成立,这个问题忽视均值不等式中等号成立条件.故原式的最小值不是2.下面给出正确解法.11122?y?x4??y??ty?t在(),中,令, 则解在易证4??tx2t?tt24x?152,,即当且仅当,取时上递增,所以的最小值是,?2?y2x??4)??[2,0xt??222号.”“?例10若正数满足,求的最大值.xyy,x6y?x?22yx???即,仅当且常常写成,当且解分析在题时,我们y?x6?x?2y?xy?? 2??xy其实很有道理, 4.初看起来可得时取号, 将其代入上式,,的最大值为2??xy”?“在用均值不等式求最值时,在各项为正的前提下,应先考虑定值,再考虑等号是否成立.2y?x??xy这个问题忽视了均值不等4.的最大值不是所以不是定值中但在,,y?x?xy??2??.下面给出正确解式中积或和是定值的条件.页20共页15第2392y1x?1??取此时)当且仅当时(解因, y?2x?3,yx?”“????2y?xxy???22222??9??. , 所以号?xy max22.3.2 均值不等式求最值“失效”时的对策.运用均值不等式是求最值的一种常用方法, 但由于其约束条件苛刻,在使用时往往顾此失彼,从而导致均值不等式“失效”. 下面例说几种常用的处理策略. 4.,求的最大值例11已知?xy?lg 1?0 ?x lg x从而有,因为，所以，解00??lg xx lg? 1?0 ?x??4??，44????y??2?lg x??lg x??14y??4?x??lg. 即即，当且仅当时等号成立，故?x 4y??max lg x1004??4lg x为定值，本题满足但因为,，所以此时不能直接应用均0?lg x 10 ?x?lg x值不等式，需将负数化正后再使用均值不等式.1????x0的最大值.例12求)x(1 ? 2y?x??2??21x1?2211x???????解，??12x1?2x???2x??y?x??8222??11y?x?. 故当且仅当,即时等号成立.x2?1?2x max48本题不是定值,但可通过平衡系数来满足和为定值.)2x?x?(164?y?a.13已知求的最小值,例0b?a???bba?646464??3??ba?b?b??3?y?a?6412?a?b,，解当且仅当??????bb?a?bbbaa?by?12.时等号成立,即.故4? 8a?b min页20共页16第64?a.但可通过添项、减项来满足积为定值不是定值本题 ,??bba?4?.,求的最小值例14 已知?x?y sin?0 ?x x sin33141??. 解5????y?sin x?sin x???2sin x??1x sin x sinsin x sin x??31. .故且,即当且仅当时等号成立5y?3??x sin1x?sin min x sin x sin44故可通过拆项来满足等号., 本题虽有为定值但不可能成立?sinsin x?xxx sinsin.成立的条件25xx??45???xf______.则15 已知,有例?x4?2x255??????. BAC1. 最小值最小值最大值1 最大值)D(442??21?x?2151?4x?x1?????????x?2x????1f,,解当且仅当??2x????2xx?2x2?42?22x??? . 时等号成立.故选即)(D3?x便可创造出使用均值不等式但对函数式进行分离,本题看似无法使用均值不等式,.的条件 2.4 均值不等式在证明极限的存在性时的应用需证明数列单调极限概念是高等数学中的重要概念，在证明数列极限的存在性时,.下面举例说明而在此过程中便运用了均值不等式的相关内容及数列有界..1n.例16证明重要极限的存在性e)?lim(1?n??n1n.}单调递增先证数列证明 {)?(1n1??11?1?a?a?1?aa??,，则由均值不等式，令得1n?n21n11111?(1?)?[(1).1???(1))?1](1?.nn1nnn?1n?个n个n11n?1)?(1?,即1n?nn?1页20共页17第11n?1n.所以)?? (1?)(1nn?11n}单调递增{.所以数列)(1?n1n}有上界{.再证数列)(1?n11nk?1（{为正整数）}以下面的证明可以看到一个更强的命题：数列)(1?)??(1Mk nk为上界.11n?1k?1., 当先证不等式, 时)(1?)??(1k?n nkk设，.1a?a????a?a?a n2k?11?2k k?1k1knk1n?k?)?1?([(k?1)??(n?k)]?，由均值不等式1n?k?1n?1k?1n?1kn11n?1k1?n?11k?. ,因此，所以)?)?)?()(1(1(?k?1n?1nk11111nn?1nk?1.所以,,其次由有)?(1?)?)???1?1(1(1(1?)nnnnk11k?1n}，的上界{.均是数列当时，任取一个正整数)M?(1?)(1?kn?k kn111nnk?1仍然成立时,不等式又数列{.}单调递增，所以,当)??(1(1?)?)(1kn?nnk111nnk?1（为正整数）. 因此，对于数列 {恒有}, 任)(1?(1?))??(1）（n1,2?k nnk11k?1n}的上界均是数列意选定一个值，{.)?(1M?(1?)k kn11nn} 极限存在{.极限值单调有界,由单调有界定理,所以数列{数列} )?(1(1?)nn1n.，即为e)?lim(1?e n??x1n?1}极限存在且其极限是证明数列{.例17)?(1e n1n?1}{(1?)x?.证明令n n n??11)(n?n?1n1n11?n2?nn?21n?1n??([)(?)?]??().x2n?n?1n?nx1?21?nn????xx0?x有下界,则数列. 又,所以数列单调减少.nnn页20共页18第111??n1n?)1?(?)((l)?im?1?l1im. ??nnn??????nn11n, 所以因为和的极限都存在)?(1(1?)nn111??n1n?e?(1?(1?lim(1?)))??lim. ??nnn????n??n11?n 数列{.}极限存在且其极限是因此, )?(1e n n1?n lim.18 证明例??n:）有由均值不等式（1-1证明1????1?n?1n n n?n?n?n?11??n??个?2n2n?n?22, 1???nn2nn n?1lim?n?0?1.从而有 ,故n??n2.5 均值不等式在判断级数敛散性中的应用均值不等式的应用很广泛,在证明级数的敛散性时也有很重要的应用.????aaa.收敛，证明级数已知正项级数也收敛例191n?nn1n??n11a?0,由均值不等式，有因为,,已知级数证明)aaa?(?a)(n?1,2,n1n?1nn?n2????111????)aaa(a?a从而级数与都收敛，收敛,所以级数再由比也收敛，?aa收敛较判别法，知级数.1nnn?n?1n2221n??1n?1n?1n?1n?nn?12.6 均值不等式在证明积分不等式中的应用积分不等式是一种特殊的不等式,而均值不等式又是证明不等式的重要方法.因此,在积分不等式的证明中我们自然会想到运用均值不等式来进行证明. ??ba,上是正值可积的, ,在20例证明函数且,则nk?1,2,（f）x b0?a?页20共页19第??nnnn????.1111bbbb??????dxf(x)dx)?f()ff(x)?dx(x)dxxf(x)?f(x??????n1n221??????aaaa a??a?an12,证明有利用.a?a?a n n21n)xf()(xf(x)f???dx)xf()dx)dx(ffx(x n12aaa??f(x))xf(x)f(1??n.n21?bbbn12??????bbb n???dx))f(xdxff((x)dxx????n21aaa111????????nnn??)xf()x)f(xf(??b???????n12于是dx?????????bbba???dxx)ff(x)dxf(x)dx(??????????????n21aaa???????dxx(x)dx)f(ff(x)dx1??n21aaa，1?????bbb????bbb n???dxxdx)f(f(x)dx)f(x????n21aaa1111bbbb????????nnnn????. 即dx(x)f)?f(x)ff(x)dx?(xf(x)dx)?dxxf(??????nn2112??????aaaa1?1dx)(x ln f?.在上非负连续，证明例21设dx)(?xfe）（fx[0,1]00证明由题设知在上可积，将等分，作积分和n（）fx[0,1][0,1]1nnn i1ii1??????)?lim(f)f(xdx. ，)f)?limlnln f(x)dx?lim(ln f(??nn nnn0??n0??n??n??1i?1i?1?i11nn11????n??)e?ef lim(?. 所以??1?i0??n??n??1?i a?a?...?a n12?a?aa得由均值不等??n i?1)f(limln n??i??n?dxx)ln f(n式,???.n n12n1nn i1i??n1dxx)f((f)?lim)f(lim???nnn0????nn??1?i1i?1?1dx)ln f(x?.故dx)e?(fx00页20共页20第3 结论均值不等式是数学中的重要内容，对培养数学思维发展有很大帮助.本文重在梳理均值不等式的相关证明方法和应用.如，运用均值不等式时，一定时刻谨记一正、二定、三相等原则，具体问题具体分析，有时可以通过转化达到运用均值不等式解题的目的.本文系统地归纳总结均值不等式的各种证明方法及其在具体解题分析和论证推理过程中的应用.通过本论文的撰写，更深刻地理解均值不等式在证明问题和解题中的重要作用.页20共页21第参考文献:[1]中译本（朱恩宽、李文铭等译）:《阿基米德全集》[M]. 西安：陕西科学技术出版社,1998.[2]陈侃.算术-几何平均值不等式的证明[J].巢湖学院学报,2008,6(3):129-130.[3]熊桂武 .概率方法在不等式证明中的应用[J].重庆师范大学学报,2003,12:89-91.[4]敦茂.算术平均值与几何平均值不等式的各种证法[J].云梦学刊,1980,1(3):65-80.[5]Norman schaumberger.A coordinate approach to the AM-GM inequality[J].Mathematics Magazine,1991,64:273.[6]刘鸿雁.由Jensen不等式导出某些重要不等式[J].成都大学学报,2003,22(3):32-35．[7]匡继昌.常用不等式[M].济南:山东科学技术出版社,2004．[8]陈益琳.高中教学导练(高二)[M].北京:冶金工业出版社,2004.[9]冉凯.均值不等式在数学分析中的应用[J].青海师专学报,1997,4(2):35-38.[10]赵建勋.浅谈均值不等式的应用[J].高中数学教与学,2011,5(3):7-10.[11]蓝兴苹.均值不等式的推广与应用[J].云南民族大学学报,2006,15(4):22-24．[12]高飞、朱传桥《高中数学教与学》[M]. 济南：山东科学技术出版社,2007.[13]章国凤.均值不等式在高等数学中的应用[J].广西教育学院学报,2008,05(1):151-152.[14]陈复华.均值不等式在微积分中的应用及其它[J].湖北民族学院学报（自然科学版）,1994,2(3):88-89.页20共页22第致谢毕业论文暂告收尾，这也意味着我在鞍山师范学院四年的学习生活既将结束。
重要不等式
重要不等式1柯西不等式柯西不等式的一般证法有以下几种：（1）Cauchy不等式的形式化写法就是：记两列数分别是ai, bi，则有(∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.我们令f(x) = ∑(ai + x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 + 2 * (∑ai * bi) * x + (∑ai^2)则我们知道恒有f(x) ≥ 0.用二次函数无实根或只有一个实根的条件，就有Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移项得到结论。
（2）用向量来证.m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn)mn=a1b1+a2b2+......+anbn=(a1^+a2^+......+an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^) ^1/2乘以cosX．因为cosX小于等于1，所以：a1b1+a2b2+......+anbn小于等于a1^+a2^+......+ an^)^1/2乘以(b1^+b2^+......+bn^)^1/2这就证明了不等式．柯西不等式还有很多种，这里只取两种较常用的证法．柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，我们在教学中应给予极大的重视。
巧拆常数：例：设a、b、c 为正数且各不相等。
求证：(2/a+c)+(2/b+c)+(2/c+a)＞(9/a+b+c)分析：∵a 、b 、c 均为正数∴为证结论正确只需证：2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＞9而2(a+b+c)=(a+b)+(a+c)+(c+b)又9=(1+1+1)(1+1+1)证明：Θ2(a+b+c)[(1/a+b)+(1/b+c)+(1/c+a)]＝[(a+b)+(a+c)+(b+c)][1/a+b)+(1/b+ c)+(1/c+a)]≥(1+1+1)(1+1+1)=9又a、b 、c 各不相等，故等号不能成立∴原不等式成立。
专题05 均值不等式及其应用--《2023年高考数学命题热点聚焦与扩展》【解析版】
【热点聚焦】高考命题对基本不等式的考查比较灵活，重点考查应用基本不等式确定最值（范围）问题、证明不等式、解答函数不等式恒成立等问题.独立考查以选择、填空为主，有时以应用题的形式出现．有时与三角函数、数列、解析几何、平面向量函数等相结合，考查考生应用数学知识的灵活性.【重点知识回眸】1． 基本不等式 ab ≤a ＋b 2(1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b . 2．几个重要的不等式（1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况（2）22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,,a b R ∈：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况（3）222a b ab +≥，,a b R ∈（4）222()22a b a b ++≤，,a b R ∈ （5）2,,b aa b a b+≥同号且不为零 （6）重要不等式链 若a ≥b ＞0，则a ≥a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b≥b . 上述不等式，当且仅当a ＝b 时等号成立 3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 4．利用基本不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则(1)x ＋y ≥2xy ，若xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p (简记：积定和最小)．(2)xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，若x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值q 24(简记：和定积最大)．提醒：在应用基本不等式求最值时，一定要检验求解的前提条件：“一正、二定、三相等”，其中等号能否取到易被忽视．特别是：① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突）② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围. 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求m nx y+的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解.（3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值解：()22211222228x y x y xy x y ++⎛⎫=⋅⋅≤= ⎪⎝⎭所以()()2224248x y x y xy x y +++=⇒++≥即()()2282320x y x y +++-≥，可解得234x y +≥，即()min 2434x y += 注：此类问题还可以通过消元求解：42241xx y xy y x -++=⇒=+，在代入到所求表达式求出最值即可，但要注意0y >的范围由x 承担，所以()0,2x ∈【典型考题解析】热点一 直接法求最值【典例1】（2021·全国·高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ） A ．224y x x =++ B ．4sin sin y x x=+ C ．222x x y -=+D ．4ln ln y x x=+【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质可判断A 选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D 不符合题意，C 符合题意． 【详解】对于A ，()2224133y x x x =++=++≥，当且仅当1x =-时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于B ，因为0sin 1x <≤，4sin 244sin y x x=+≥，当且仅当sin 2x =时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于C ，因为函数定义域为R ，而20x >，242222442x x xx y -=+=+≥=，当且仅当22x =，即1x =时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意； 对于D ，4ln ln y x x=+，函数定义域为()()0,11,+∞，而ln x R ∈且ln 0x ≠，如当ln 1x =-，5y =-，D 不符合题意．故选：C ．【典例2】（2021·全国·高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y +=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【解析】 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答案．【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．【典例3】（2023·全国·高三专题练习）若0a >、0b >，且411a b+=，则ab 的最小值为（ ）．A ．16B ．4C ．116 D ．14【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式计算求解. 【详解】因为0a >、0b >，所以414112+≥⨯=a b a b ab114≥ab 4ab ≥，即16ab ≥，当仅当41a b=，即82a b ==，时，等号成立. 故选：A.【典例4】（2022·全国·高考真题（文））已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（ ） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A 【解析】 【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出． 【详解】由910m=可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=． 又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>． 故选：A.热点二 配凑法求最值【典例5】（2023·全国·高三专题练习）已知102x <<，则函数(12)y x x =- 的最大值是（ ） A ．12 B ．14C ．18D ．19【答案】C【解析】 【分析】将(12)y x x =-化为12(12)2x x ⨯-，利用基本不等式即可求得答案.【详解】 ∵102x <<，120x ∴-> , ∴1(12)2(12)2x x x x -=⨯-22(12)112[]28x x +-=≤⨯， 当且仅当212x x =- 时，即14x =时等号成立， 因此，函数(12)y x x =-,1(0)2x <<的最大值为18,故选：C ．【典例6】（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞b ，关于x 的不等式220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，又存在实数0x ，使得2020ax x b ++=成立，则22a b a b+-最小值为_________．【答案】22【解析】 【分析】由220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立，可得0a >，且0∆≤；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得0∆≥，进而可得ab 的值为1，将22a b a b+-可化为()222a b a b a b a b+=-+--，利用基本不等式可得结果. 【详解】因为220ax x b ++≥对于一切实数x 恒成立， 所以0a >，且440ab ∆=-≤，所以1≥ab ；再由0x R ∃∈，使20020ax x b ++=成立，可得440ab ∆=-≥，所以1ab ≤， 所以1ab =，因为a b >，即0a b ->，所以()()2222222a b ab a b a b a b a b a b-++==-+≥--- 当且仅当2a b a b-=-，即2a b -= 所以22a b a b+-的最小值为22故答案为：22【典例7】（2023·全国·高三专题练习）已知 5<4x ，求函数14145y x x =-+- 的最大值． 【答案】2 【解析】 【分析】 将14145y x x =-+-变形为[()1]54454y x x=--++-，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】根据题意，函数()114545444554y x x x x ⎡⎤=-++=--++⎢⎥--⎣⎦， 又由54x <，则540x -> ，则()(115425425454)x x x x-+≥---⋅， 当且仅当15454x x-=-时，即1x =时取等号， 则1[(54)]424254y x x=--++≤-+=-, 故函数14145y x x =-+-的最大值为2. 【总结提升】形如()2ax bx c f x dx e +++＝的函数，可化为()11[()]f x x k m x k+++＝的形式，再利用基本不等式求解热点三 常数代换法求最值【典例8】（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，E 为AC 上一点，3AC AE =，P 为BE 上任一点，若(0,0)AP mAB nAC m n =+>>，则31m n+的最小值是（ ） A ．3B ．423+C ．6 D ．12【答案】D 【解析】 【分析】利用向量共线定理可得31m n +=，再根据3131(3)()m n m n m n+=++结合基本不等式即可得出答案． 【详解】 解：3AC AE =，∴3AP mAB nAC mAB nAE =+=+，,,P B E 三点共线，31m n ∴+=， ∴313199(3)()336212n m n m m n m n m n m n m n+=++=+++≥+⋅=， 当且仅当9n m m n=，132m n ==时取等号，所以31m n+的最小值是12. 故选：D ．【典例9】（2020·天津·高考真题）已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据已知条件，将所求的式子化为82a b a b+++，利用基本不等式即可求解. 【详解】0,0,0a b a b >>∴+>，1ab =,11882222ab ab a b a b a b a b∴++=++++ 882422a b a b a b a b++=+≥⨯=++，当且仅当a b +=4时取等号， 结合1ab =,解得23,23a b =-=+23,23a b ==. 故答案为：4【典例10】（2017·山东·高考真题（文））若直线1(00)x ya b a b+=＞，＞过点(1,2)，则2a b +的最小值为________． 【答案】8 【解析】 【分析】 由直线1(00)x y a b a b +=＞，＞过点(1,2)，可得121a b +=，从而有()1222a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，展开后利用基本不等式可求得其最小值 【详解】 解：因为直线1(00)x y a b a b+=＞，＞过点(1,2)，所以121a b +=，因为00a b ＞，＞所以()12442222428a b a b a b a b a b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+⋅ ⎪⎝⎭， 当且仅当4a bb a=，即2,4a b ==时取等号， 所以2a b +的最小值为8 故答案为：8 【总结提升】常数代换法主要解决形如“已知x ＋y ＝t (t 为常数)，求a b x y+的最值”的问题，先将a x ＋b y 转化为()a b x y x y t++⋅，再用基本不等式求最值． 热点四 基本不等式的实际应用【典例11】（2023·全国·高三专题练习）迷你KTV 是一类新型的娱乐设施，外形通常是由玻璃墙分隔成的类似电话亭的小房间，近几年投放在各大城市商场中，受到年轻人的欢迎．如图是某间迷你KTV 的横截面示意图，其中32AB AE ==，90A B E ∠=∠=∠=︒，曲线段CD 是圆心角为90︒的圆弧，设该迷你KTV 横截面的面积为S ，周长为L ，则SL的最大值为（ ）．（本题中取π=3进行计算）A ．6B ．12315-C ．3D ．9【答案】B 【解析】 【分析】根据面积和周长的计算,可得SL,根据基本不等式即可求解最大值. 【详解】圆弧的半径为3(0)2r r <<，则32BC ED r ==-，π322CD rl r ==．所以周长162CD L AB BC l DE EA r =++++=-，面积2223139[()]22244r r S r r =-+⨯⨯=-． 所以22191(12)24(12)135********12[(12)]122(12)12315212212212212S r r r r r L r r r r---+--=⋅=⋅=-⋅-+-⋅-⋅-----．当且仅当1351212r r-=-，12315r =- 故选：B【典例12】（2017·江苏·高考真题）某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________． 【答案】30 【解析】 【详解】 总费用为600900464()42900240x x x x +⨯=+≥⨯，当且仅当900x x=，即30x =时等号成立．故答案为30. 【总结提升】利用基本不等式解决实际问题的三个注意点(1)设变量时，一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (2)解题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(3)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解，如利用()a f x x x＝＋(a ＞0)的单调性．热点五 利用均值不等式连续放缩求最值【典例13】（2022·江苏·南京市第一中学高三开学考试）已知0a b >>，且1,ab =则不正确的是（ ） A ．20a b +> B ．22log log 1a b +> C ．2222a b +>D ．22log log 0a b ⋅<【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式的性质和基本不等式的应用，结合指数函数与对数函数的单调性，对选项逐一分析判断. 【详解】对A ，根据指数函数的性质20a b +>，故A 正确； 对B ，2222log log log log 10a b ab +===，故B 错误；对C ，因为22a b ab +≥=，当且仅当a b =取等号，所以22222242a b a b +≥≥>+，故C 正确；对D ，因为1ab =，且0a b >>，故10>>>a b ，22log 0,log 0a b ><，所以22log log 0a b ⋅<；故D 正确. 故选：B【典例14】（2021·天津·高考真题）若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________． 【答案】22【解析】 【分析】两次利用基本不等式即可求出. 【详解】0 , 0a b >>，2211222222a a b b a b a b b b b b∴++≥⋅=+≥⋅ 当且仅当21a a b =且2b b=，即2a b ==所以21ab ab ++的最小值为2 故答案为：22 【总结提升】第一次使用基本不等式是对原不等式的一次放缩，并为第二次使用基本不等式创造了条件，因此要使结果为原不等式的最值，两次使用基本不等式等号成立的条件应该是一致的．【精选精练】一、单选题 1．（2023·全国·高三专题练习）已知02x <<，则24y x x =- ） A ．2 B ．4C ．5D ．6【答案】A 【解析】 【分析】由基本不等式求解即可 【详解】 因为02x <<，所以可得240x ->， 则()()2222244422x x y x x x x+-=-⋅-=，当且仅当224x x =-，即2x24y x x =-的最大值为2．故选：A ．2．（2023·全国·高三专题练习）已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，则ab 的最小值是（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案. 【详解】∵已知a ＞0，b ＞0，且a +2b ＝ab ，∴ab 2a b ⋅ 化简可得ab ≥2∴ab ≥8，当且仅当a ＝2b 时等号成立， 故ab 的最小值是8， 故选：B ．3．（2022·江西·高三阶段练习（理））已知双曲线22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>的一个焦点坐标为(1,0)-，当m n +取最小值时，C 的离心率为（ ） A 5B 3C ．2D 2【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的标准方程可得22214,,1a b c m n===，根据,,a b c 的关系可得141m n +=，由基本不等式的求解即可得26n m ==，进而2311a m ==，即可求离心率. 【详解】由22:1(0,0)4n C mx y m n -=>>可得22114x y m n-=，所以22214,,1a b c m n===， 故可得141m n +=，所以(4144)5529n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫+=++=+++⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当4n m m n =，即26n m ==时等号成立，所以2311a m ==，3a =1c =， 所以3==ce a故选：B ．4．（2021·浙江·高考真题）已知,,αβγ是互不相同的锐角，则在sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα三个值中，大于12的个数的最大值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式或排序不等式得3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤，从而可判断三个代数式不可能均大于12，再结合特例可得三式中大于12的个数的最大值. 【详解】法1：由基本不等式有22sin cos sin cos 2αβαβ+≤，同理22sin cos sin cos 2βγβγ+≤，22sin cos sin cos 2γαγα+≤，故3sin cos sin cos sin cos 2αββγγα++≤， 故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12. 取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.法2：不妨设αβγ<<，则cos cos cos ,sin sin sin αβγαβγ>><<， 由排列不等式可得：sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos αββγγααγββγα++≤++，而()13sin cos sin cos sin cos sin sin 222αγββγαγαβ++=++≤，故sin cos ,sin cos ,sin cos αββγγα不可能均大于12.取6πα=，3πβ=，4πγ=，则116161sin cos ,sin cos ,sin cos 4222αββγγα=<=>=>， 故三式中大于12的个数的最大值为2， 故选：C.5．（2020·全国·高考真题（理））设O 为坐标原点，直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于,D E 两点，若ODE 的面积为8，则C 的焦距的最小值为（ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32【答案】B 【解析】 【分析】因为2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>，可得双曲线的渐近线方程是b y x a=±，与直线x a =联立方程求得D ，E 两点坐标，即可求得||ED ，根据ODE 的面积为8，可得ab 值，根据2222c a b =+结合均值不等式，即可求得答案. 【详解】2222:1(0,0)x y C a b a b-=>> ∴双曲线的渐近线方程是by x a=±直线x a =与双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两条渐近线分别交于D ，E 两点不妨设D 为在第一象限，E 在第四象限 联立x ab y x a =⎧⎪⎨=⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=⎩ 故(,)D a b联立x ab y x a =⎧⎪⎨=-⎪⎩，解得x a y b =⎧⎨=-⎩ 故(,)E a b - ∴||2ED b =∴ODE 面积为：1282ODE S a b ab =⨯==△双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>∴其焦距为2222222168c a b ab =+≥=当且仅当22a b == ∴C 的焦距的最小值：8故选：B.6．（2023·全国·高三专题练习）已知0a >，0b >，且2ab a b =+，若228a b m m +-恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．426426m -+ B ．426m +或426m - C ．19m - D ．9m 或1m -【答案】C 【解析】 【分析】由题意化2ab a b =+为211b a=+，利用基本不等式求出2+a b 的最小值，再解关于m 的一元二次不等式即可． 【详解】解：0a >，0b >，且2ab a b =+，211b a∴=+， 1222222(2)()14529b a b aa b a b a b a b a b∴+=++=++++=，当且仅当3a b ==时取“=”； 若228a b m m +-恒成立， 则298m m -， 即2890m m --， 解得19m -，∴实数m 的取值范围是[1-，9]．故选：C ．7．（2023·全国·高三专题练习）已知ln ln 222+≥+-aa b b ，则a b +=（ ） A ．52B ．4C ．92D ．6【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式可得22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，从而可到ln()2≥ab ab ，再构造函数分析可得ln()220-≤ab ab ，从而得到ln()220-=ab ab ，再根据基本不等式取得最值时的关系求解即可 【详解】 由题意得ln()222≥+-a ab b ，因为0a >，0b >，所以22222+-≥ab ab ，当且仅当4a b =时取等号，所以ln()2≥ab ab ，令()ln 22=-f x x x ，则11()-='=xf x x x，当(0,1)x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；当(1,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<单调递减，所以()(1)0f x f ≤=，当且仅当1ab =时取等号，即ln()20-≤ab ab ，所以ln()220-=ab ab ，所以1ab =，所以12,2a b ==，所以52a b +=． 故选：A8.（2017·天津·高考真题（理））已知函数23,1,()2, 1.x x x f x x x x ⎧-+≤⎪=⎨+>⎪⎩设a R ∈，若关于x 的不等式()||2xf x a ≥+在R 上恒成立，则a 的取值范围是（ ） A ．47[,2]16-B ．4739[,]1616-C ．[3,2]-D ．39[23,]16- 【答案】A 【解析】 【详解】 不等式()2x f x a ≥+为()()2xf x a f x -≤+≤(*)， 当1x ≤时，(*)式即为22332xx x a x x -+-≤+≤-+，2233322x x a x x -+-≤≤-+，又22147473()241616x x x -+-=---≤-（14x =时取等号），223339393()241616x x x -+=-+≥（34x =时取等号），所以47391616a -≤≤， 当1x >时，(*)式为222x x a x x x --≤+≤+，32222x x a x x--≤≤+， 又3232()2322x x x x --=-+≤-23x =，22222x x x x+≥⨯=（当2x =时取等号）， 所以32a -≤≤， 综上47216a -≤≤．故选A ． 【考点】不等式、恒成立问题 【名师点睛】首先满足()2x f x a ≥+转化为()()22x xf x a f x --≤≤-去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原则，分别对x 的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据x 的范围，利用极端原理，求出对应的a 的范围. 二、多选题9．（2022·全国·高考真题）（多选）若x ，y 满足221+-=x y xy ，则（ ） A ．1x y +≤ B ．2x y +≥- C ．222x y +≤ D ．221x y +≥【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为22222a b a bab ++⎛⎫≤≤⎪⎝⎭（,a b R ），由221+-=x y xy 可变形为，()221332x y x y xy +⎛⎫+-=≤ ⎪⎝⎭，解得22x y -≤+≤，当且仅当1x y ==-时，2x y +=-，当且仅当1x y ==时，2x y +=，所以A 错误，B 正确；由221+-=x y xy 可变形为()222212x y x y xy ++-=≤，解得222x y +≤，当且仅当1x y ==±时取等号，所以C 正确；因为221+-=x y xy 变形可得223124y x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，设3cos sin 2y x y θθ-==，所以cos ,33x y θθθ==，因此2222511cos sin cos 12cos 233333x y θθθθ=θ-θ+=++42π2sin 2,23363θ⎛⎫⎡⎤=+-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以当33x y ==221x y +≥不成立，所以D 错误．故选：BC ．10．（2020·海南·高考真题）（多选）已知a >0，b >0，且a +b =1，则（ ） A ．2212a b +≥B ．122a b -> C ．22log log 2a b +≥- D 2a b ≤【答案】ABD 【解析】 【分析】根据1a b +=，结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于A ，()222221221a b a a a a +=+-=-+21211222a ⎛⎫⎪⎭+ ⎝≥-=，当且仅当12a b ==时，等号成立，故A 正确； 对于B ，211a b a -=->-，所以11222a b-->=，故B 正确；对于C ，2222221log log log log log 224a b a b ab +⎛⎫+=≤==- ⎪⎝⎭， 当且仅当12a b ==时，等号成立，故C 不正确； 对于D ，因为(21212a bab a b =+++=，2a b ≤12a b ==时，等号成立，故D 正确； 故选：ABD11．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知a ＜b ＜0，则下列不等式正确的是（ ） A ．a 2＞ab B ．ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ） C ．2a b ab+＞ D ．a +cos b ＞b +cos a【答案】ABC 【解析】 【分析】利用不等式的性质判断A ，利用对数函数的单调性判断B ，利用基本不等式判断C ，利用构造函数判断D. 【详解】A:∵a ＜b ＜0，∴a 2＞ab ，∴A 正确，B:∵a ＜b ＜0，1﹣a ＞1﹣b ，∴ln （1﹣a ）＞ln （1﹣b ），∴B 正确， C:∵a ＜b ＜0，∴2a bab --＞2a b ab -+＞C 正确， D:设f （x ）＝x ﹣cos x ，则()f x '＝1+sin x ≥0，∴f （x ）在R 上为增函数，∵a ＜b ＜0，∴a ﹣cos a ＜b ﹣cos b ，a +cos b ＜b +cos a ，∴D 错误． 故选：ABC ．12．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）（多选）若实数x ，y 满足1221x y ++=，m x y =+，111()()22-=+x y n ，则（ ）A ．0x <且1y <-B ．m 的最大值为3-C ．n 的最小值为7D ．22m n ⋅<【答案】ABD 【解析】 【分析】根据指数函数的性质判断A ，利用基本不等式判断B 、C ，根据指数幂的运算判断D ； 【详解】解：因为1221x y ++=，若0x ≥，则21x ≥，又120y +>，显然不成立，即0x <， 同理可得10y +<，所以1y <-，即0x <且1y <-，故A 正确； 又1111222222x y x y x y ++++=+≥⋅=1222x y ++-≤，所以3x y +≤-，当且仅当11222x y +==，即1x =-，2y =-时取等号，即m 的最大值为3-，故B 正确； 又()111111112222222244x y x y x y x y n +-++⎛⎫=+=+=+⋅+ ⎪⎝⎭ 111144552922222222y x y xx y xy ++++⋅⋅=⋅+≥+=+， 当且仅当1142222y xx y ++⋅=，即2log 3x =-，22log 13y =-时取等号，故C 错误；对于D ：()111112()()22222222m x y x y x y x y y x n -+--+++⎡⎤⋅=+⋅=+⋅=+⎢⎥⎣⎦，因为1221x y ++=，所以()12222x y ++=，即12222x y +++=，即12422x y ++⨯=，即122322x y y ++⨯=+，因为302y ⨯>，所以1222x y +<+，即22m n ⋅<，故D 正确； 故选：ABD 三、填空题13．（2020·江苏·高考真题）已知22451(,)x y y x y R +=∈，则22x y +的最小值是_______．【答案】45【解析】 【分析】根据题设条件可得42215y x y -=，可得4222222114+555y y x y y y y-+=+=，利用基本不等式即可求解.【详解】 ∵22451x y y +=∴0y ≠且42215y x y -=∴422222222114144+2555555y y y x y y y y y -+=+=≥⋅，当且仅当221455y y =，即2231,102x y ==时取等号. ∴22xy +的最小值为45.故答案为：45.14．（2019·天津·高考真题（文）） 设0x >，0y >，24x y +=，则(1)(21)x y xy++的最小值为__________. 【答案】92.【解析】 【分析】 把分子展开化为(1)(21)2212552x y xy x y xy xy xy xy xy++++++===+，再利用基本不等式求最值．【详解】由24x y +=，得2422x y xy +=≥2xy ≤(1)(21)221255592222x y xy x y xy xy xy xy xy ++++++===+≥+=，等号当且仅当2x y =，即2,1x y ==时成立． 故所求的最小值为92．15．（2018·江苏·高考真题）在ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为________．【答案】9 【解析】 【详解】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，ABC ABD BCD S S S =+△△△,由角平分线性质和三角形面积公式得111sin1201sin 601sin 60222ac a c ︒=⨯⨯︒+⨯⨯︒，化简得11,1ac a c a c =++=，因此11444(4)()5529,c a c aa c a c a c a c a c+=++=++≥+⋅当且仅当23c a ==时取等号，则4a c +的最小值为9.16．（2018·天津·高考真题（理））已知,R a b ∈，且360a b -+=，则128ab+的最小值为_____________.【答案】14【解析】 【分析】由题意首先求得3a b -的值，然后结合均值不等式的结论整理计算即可求得最终结果，注意等号成立的条件. 【详解】由360a b -+=可知36a b -=-，且：312228aa b b -+=+，因为对于任意x ，20x >恒成立， 结合均值不等式的结论可得：336122222224a b a b ---+≥⨯=.当且仅当32236a b a b -⎧=⎨-=-⎩，即31a b =-⎧⎨=⎩时等号成立.综上可得128ab +的最小值为14. 17．（2022·全国·高考真题（理））已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当ACAB取得最小值时，BD =________． 31##3-【解析】 【分析】设220CD BD m ==>，利用余弦定理表示出22AC AB 后，结合基本不等式即可得解.【详解】设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD △中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m m m m ++-++-===-+++++++ ()4433211m m ≥=-+⋅+当且仅当311m m +=+即31m =时，等号成立， 所以当AC AB取最小值时，31m =. 31.四、解答题18．（2023·全国·高三专题练习）设函数2()(2)3(0)f x ax b x a =+-+≠．(1)若不等式()0f x >的解集(1,1)-，求a ，b 的值；(2)若(1)3f =，0a >，0b >，求11a b +的最小值，并指出取最小值时a ，b 的值． 【答案】(1)3,2a b =-=(2)1a =，1b =时，11a b+的最小值是2 【解析】【分析】（1）由根与系数的关系可得答案；（2）由(1)3f =得2a b +=，再利用基本不等式可得答案.(1)由()0f x >的解集是(1,1)-知1,1-是方程()0f x =的两根，由根与系数的关系可得311211a b a ⎧-⨯=⎪⎪⎨-⎪-+=-⎪⎩ 解得32=-⎧⎨=⎩a b ，即32a b =-=，.(2)由(1)3f =得2a b +=，0a >，0b >，11111()2a b a b a b ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭12222b a a b ⎛⎫≥⋅= ⎪ ⎪⎝⎭， 当且仅当b a a b =，即1a =，1b =时取等号，11a b∴+的最小值是2．。
均值不等式及其在数学证明中的应用
均值不等式及其在数学证明中的应用均值不等式是数学中一种重要的不等式关系，它在不同领域的数学证明中发挥着重要的作用。
本文将介绍均值不等式的概念和常见形式，并探讨其在数学证明中的应用。
一、均值不等式的概念和常见形式均值不等式是指对于一组数的平均值，其大小关系与这组数的取值有关。
常见的均值不等式有算术平均值不小于几何平均值、几何平均值不小于调和平均值等。
以算术平均值不小于几何平均值为例，对于正实数$a_1,a_2,\dots,a_n$，它们的算术平均值和几何平均值分别为$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}$和$(a_1a_2\dotsa_n)^{\frac{1}{n}}$，则有不等式关系：$$\frac{a_1+a_2+\dots+a_n}{n}\geq(a_1a_2\dots a_n)^{\frac{1}{n}}$$二、均值不等式在数学证明中的应用1. 不等式证明均值不等式在不等式证明中经常被使用。
通过运用均值不等式，可以将一个复杂的不等式问题转化为一个简单的均值不等式问题，从而简化证明过程。
例如，对于正实数$a,b$，要证明$a^2+b^2\geq2ab$，可以通过应用均值不等式来证明。
首先，我们将$a^2$和$b^2$分别表示为$a^2=b\cdot a$和$b^2=a\cdot b$，然后应用几何平均值不小于算术平均值的均值不等式，得到：$$\sqrt{a^2\cdot b^2}\geq\frac{a+b}{2}$$进一步化简得到$a^2+b^2\geq2ab$，即所要证明的不等式。
2. 极值问题均值不等式在极值问题中也有广泛的应用。
通过运用均值不等式，可以确定一个函数的最大值或最小值。
例如，对于正实数$a,b$，要求函数$f(x)=ax^2+bx$的最小值。
我们可以通过应用均值不等式来解决这个问题。
首先，我们将$f(x)$表示为$f(x)=ax^2+bx=ax^2+\frac{b}{2}x+\frac{b}{2}x$，然后应用算术平均值不小于几何平均值的均值不等式，得到：$$\frac{ax^2+\frac{b}{2}x+\frac{b}{2}x}{3}\geq\sqrt[3]{a\left(\frac{b}{2}\right)^ 2x^3}$$进一步化简得到$f(x)\geq3\sqrt[3]{\frac{ab^2}{4}}$，即函数$f(x)$的最小值为$3\sqrt[3]{\frac{ab^2}{4}}$。
伯努利不等式直观证明
伯努利不等式直观证明伯努利不等式是数学中的一个重要定理，它可以用来描述指数函数在一定条件下的增长速度。
伯努利不等式的直观证明可以基于增长率的分析，下面我将用简体中文为您解释。
首先，我们来回顾一下指数函数的性质。
指数函数是一个以底数为正实数的函数，它的特点是随着自变量的增加，函数值呈现出指数级的增长。
例如，指数函数f(x) = a^x （a > 1）具有随着x的增加，f(x)的值也会呈指数级增长。
现在，我们来想象一个简化的情景，假设我们有两个正实数a和b，并且a > 1，我们想要比较a^b和a的b次方之间的大小关系。
根据指数函数的性质，我们知道a^b的值在a^0（即1）和a的b次方之间。
利用这个性质，我们可以考虑将b分解成整数部分和小数部分，即b = n + r，其中n是b的整数部分，r是b的小数部分。
现在，我们来看看a^b和a的b次方之间的关系。
首先，我们可以写出a和a^r之间的关系：a^r = a^(n + r) /a^n。
我们知道a^r的值在1和a之间，所以可以将不等式a^r ≥ 1变形为a^(n + r) / a^n ≥ 1，即a^(n + r) ≥ a^n。
接下来，我们来看看a^(n + r)和a的b次方之间的关系。
根据指数函数的性质，我们知道a^(n + r)的值在a^n和a^(n + 1)之间。
因此，我们可以得到不等式a^n ≤ a^(n + r) ≤ a^(n + 1)。
将这个不等式代入之前的a^(n + r) ≥ a^n不等式中，得到a^n ≤ a^(n + r) ≥ a^n。
现在，我们来把a^b和a的b次方之间的关系放在一起。
我们知道a^n ≤ a^(n + r) ≥ a^n，所以可以得到不等式a^n ≤ a^b ≤a^(n + 1)。
同时，由于a > 1，我们可以得到不等式a^(n + 1) >a^n，即a^(n + 1) / a^n > 1。
将这个不等式代入之前的a^n ≤ a^b ≤ a^(n + 1)不等式中，得到a^n ≤ a^b ≤ a^(n + 1) < a^(n + 1) / a^n。
均值不等式的应用
均值不等式的应用发布时间：2023-01-11T05:28:28.797Z 来源：《中小学教育》2022年第16期8月作者：杨琳琳[导读] “均值不等式”是基本不等式之一，杨琳琳3 山东省诸城第一中学 262200摘要：“均值不等式”是基本不等式之一，在解决高等数学问题中发挥着重要作用。
它不仅是高中数学课的重要内容，而且近年来在大学入学考试中也引起了人们的注意。
它是证明不等式及其各种最大值的重要依据和方法，利用变异灵活和条件约束的特点，可以在许多领域得到广泛应用并发挥积极作用。
正确应用“均值不等式”是数学教师的一个重要研究课题。
关键词：均值不等式；高中数学；应用说明引言：“均值不等式”作为不等式的一种类型，在整个中等教育中得到了应用，并在高等教育中确立了自己的地位。
为以前无法解决的问题找到了新的解决方案，证明了“均值不等式”的价值。
数学教师可以在理论和教育实践中进行探索和研究，并在数学教学过程中合理运用，帮助高中生探索、认识和理解知识，感悟学习，培养良好的思维能力。
目前，一些数学教师在教学工作中没有很好地利用均值不等式的知识。
因此，教师需要进行综合分析，制定合理的教学方案，总结教学经验，最大限度地发挥利用“均值不等式”的作用和价值。
1.应用均值不等式的技巧1.1 拆分方法已知的结构被分割，在等号成立的条件下，总和（乘积）被凑成定值。
在解决问题的过程中，需要注意的是，使用第n个均值不等式的前提是有n个和或积项（注意：在高级阶段只需要n=2或n=3）。
有时一个问题中可能没有n个项，因此可以把一个或多个项被拆开，形成n 个项，以便为使用均值不等式创造背景。
1.2 匹配方法另一种常见的使用不等式的方法是巧妙地添加不具备使用均值不等式条件的关系式，同样用来创造使用均值不等式的环境。
例如，如果方程的形式是a+b，而ab不是固定的，可以考虑只增加类似项，使之成为a+c-c+b。
请注意，增加项与“积为定值”情况相一致。
高中数学均值不等式的十一大方法与八大应用(解析版)
均值不等式的“十一大方法与八大应用”目录一、重难点题型方法11.方法一：“定和”与“拼凑定和”方法二：“定积”与“拼凑定积”方法三：“和积化归”方法四：“化1”与“拼凑化1”方法五：“不等式链”方法六：“复杂分式构造”方法七：“换元法”方法八：“消元法”方法九：“平方法”方法十：“连续均值”方法十一：“三元均值”应用一：在常用逻辑用语中的应用应用二：在函数中的应用应用三：在解三角形中的应用应用四：在平面向量中的应用应用五：在数列中的应用应用六：在立体几何中的应用应用七：在直线与圆中的应用应用八：在圆锥曲线中的应用二、针对性巩固练习重难点题型方法方法一：“定和”与“拼凑定和”【典例分析】典例1-1．(2021·陕西省神木中学高二阶段练习)若x>0，y>0，且2x+3y=6，则xy最大值为( )A.9B.6C.3D.32【答案】D【分析】由x>0，y>0，且2x+3y为定值，利用基本不等式求积的最大值.【详解】因为x>0，y>0，且2x+3y=6，所以xy=16×2x⋅3y≤162x+3y22=32，当且仅当2x=3y，即x=32，y=1时，等号成立，即xy的最大值为3 2.故选：D.典例1-2．(2022·湖南·雅礼中学高三阶段练习)已知x>0,y>0，且x+y=7，则1+x2+y的最大值为( )A.36B.25C.16D.9【答案】B【分析】由x+y=7，得x+1+y+2=10，再利用基本不等式即可得解.【详解】解：由x+y=7，得x+1+y+2=10，则1+x2+y≤1+x+2+y22=25，当且仅当1+x=2+y，即x=4,y=3时，取等号，所以1+x2+y的最大值为25.故选：B.【方法技巧总结】1.公式：若a,b∈R*，则a+b≥2ab(当且仅当a=b时取“=”)推论：(1)若a,b∈R，则a2+b2≥2ab(2)a+1a≥2(a>0)(3)ba+ab≥2(a,b>0)2.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正二定三相等”(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.3.技巧：观察积与和哪个是定值，根据“和定积动，积定和动”来求解，不满足形式的可以进行拼凑补形。
均值不等式的应用_数学教育
均值不等式的应用_数学教育
均值不等式是数学中常用的一种不等式关系，通常用于证明其
他数学问题或优化问题的解。
以下是一些常见的均值不等式的应用：
1. 在证明两个数不等式关系时，可以使用均值不等式。
例如，
证明$ (a + b)^2 \\geq 4ab$，可以应用均值不等式得到
$\\frac{(a+b)}{2} \\geq \\sqrt{ab}$，然后平方得到结果。
2. 在优化问题中，可以使用均值不等式来求解最优解。
例如，
求点到平面距离最小值时，可以使用均值不等式得到最优解。
3. 在概率论中，均值不等式是刻画随机变量几何平均值和数学
期望之间的不等关系的工具。
4. 在矩阵理论中，依据谁的均方根较小来确定矩阵的谱半径时，可以使用均值不等式。
总体上讲，均值不等式可以应用于各种数学问题，特别是那些
涉及到优化和不等式的问题。
伯努利不等式的应用
伯努利不等式的应用
伯努利不等式是数学中的一种重要不等式，可以用来处理不等式问题。
它的应用非常广泛，尤其在概率论、统计学等领域中有着重要的作用。
在概率论中，伯努利不等式被用来估计一组随机事件的概率。
例如，如果一个硬币被抛掷五次，每次都有50%的几率出现正面朝上，那么至少出现3次正面朝上的概率可以通过伯努利不等式计算出来。
在统计学中，伯努利不等式可用于分析样本数量和样本容错率之间的关系。
例如，在一个样本容错率为5%的情况下，为了使样本准确率达到90%，至少需要收集多少个样本数据，这个问题可以通过伯努利不等式求解。
除此之外，伯努利不等式还有很多其他的应用，如在经济学、物理学、工程学等领域中。
因此，了解并熟练掌握伯努利不等式的应用，对于解决实际问题具有重要意义。
- 1 -。
均值不等式在数学中的应用——伯努利不等式与指数函数不等式
均值不等式在数学中的应用——伯努利不等式与指数函数不
等式
宫丽
【期刊名称】《中国校外教育（基教版）》
【年(卷),期】2011(000)006
【摘要】均值不等式是不等式中的重要内容,它的应用范围几乎涉及初等数学的所有章节,同时伯努利不等式在<数学分析>的极限论中占有重要地位,指数函数不等式同样起着不可低估的作用.由均值不等式出发推导出高等数学中的伯努利不等式,进而导出指数函数不等式.
【总页数】2页(P44,48)
【作者】宫丽
【作者单位】吉林省吉林信息工程学校
【正文语种】中文
【相关文献】
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2.从贝努利不等式到H(o)lder不等式的演变过程及应用
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4.均值不等式在竞赛数学中的应用——均值不等式等号成立的构造
5.高中课标课程选修4-5《不等式选讲》教学参考(六) 贝努利不等式的几个推论及应用
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针 对 初 四 年 级 学 生的 学 习压 力 和 即 将 面 对 的 中考 选 择 给 予 积 极 的 疏 导 和 来 我 在 学 习心 理 学 知 识 学 到 的 日本 心 理 学 界 的 著 名 大 师 ． 田 先 生 的观 森 指 导 。 初 中 四年 的 学 习 ， 生们 承 受 了来 自 家 长 ， 师 和 自己 的 压 力 ， 临 点 ： 所 当 为是 顺 其 自然最 好 的补 充 与充 实 。 学 老 面 为
幸福 … … 结 合 教 材 ， 生对 幸福 的 理 解 是 对 的 ， 惜 拥 有 的 ， 的感 恩 就 是 更 好 完善 。那 什 么 是 为所 当为 ？ 学 珍 懂
幸福的人。于是 我又把书上那些不快乐不幸福的人的表现让学生 们分析 ，
森 田先生把 与人相关的事物划分 为可控制 的事 物和不 可控 制的事物
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下日本心理大 师森田先生的观点 ， 也许能让我们一起领 悟到更多的成长
个 馒头 就 好 ， 的 说 我 傲对 了 一 道 数 学 难 题 很 幸 福 、 得 到 老 师 的 表 扬 很 道 理 。如 果 说 顺 其 自然是 “ 任 自流 ”的话 ， 么 “为所 当 为 ” 是 对 它 的 有 我 放 那 则
极 的 疏 导和 指 导 。 通 过 这 节课 的教 学 ， 学生 明 白 了幸福 的 真谛 ， 让 获得 了幸福 的心 情 。 【 关键词】课堂辅 导 教 学体会 中考指导
《 幸福在我心》 是黑龙江省 初 中四年级《 生命 教育》 方教材 ， 地 主要 是 老师你 的观点不是让我们不 求进取 ， 甘于 落后吗？面对学生 的提 问 。 想起
等式。 【 键 词】均值 不等 式 几 何 平 均 值 关
算术 平 均 值
伯努利不等式
指 数 函数 不等 式
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我 们 在 实 际 生 活 中 ， 常 能 遇 到 一 些 数 学 问 题 ， 如 曾 经 有 一 个 商 场 常 比
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说说他们 为什 么不 幸福昵？ 身居高位 ， 万贯 家财 的人是很 多人所不 具备 这 样 两 大 类 别 。所 谓 可 控 制 的 事 物 是 个 人 通 过 自 己 的 主 观 意 志 可 以 调 控 的． 而他们却感觉没有成功的喜悦 和幸福感 ， 原因是他 们不懂 的珍惜 自己 和 改 变 的 事物 ； 不 可 控 制 的事 物 是 个 人主 观 意 志 不 能决 定 的 事物 。 而
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， 即当 ｘ ｅ 函数 ｆ ｘ ＝ 有 最犬值 ｅ ： 时， （） ｘ 。
ａ： ａ ｒ ：
： １ － ． －＂ ｍ－ ＋ ａ １旦 （ 卜１ｒａ １ ￣ ． １－ａ ＜ ｎ ｎ ： ＂ １ －１ ａ】 （～ ）
方案 （ ） 两次对商 品都进 行 ３： 者， 会选择哪一种打 折形式呢？
折销售 ｉ 如果 你是 一个聪 明的消 费
则 ｒ±ｚ ｏ１， 么 ＝ ａ １ ａ ．√ ＝ ａ ∈（ ）那 ａ ．： ， ｒ ｒ ｒ． 蛹
． 】 性 ａ 例 ： 口
＜
｝
一
‘ ． ．
底 宽为 ｘ米，则 ￣
１０ 米 ６０
，
函数 （ ｊ在 （ ， ｂｏ 二 ｘ ０ ｏ ）』 严格 单调递增
件
（
）
池底造 价为 １ ０ ｘ １ ０ ２ ０ ０ ６ ０ 元： ４ ０ ０元，侧肇 是两 ５
ｌＲ ｆ ￣ ＿ － ， ａ 令 十
．
ｘ
两 相 等 的 跃方 形 ， 用 商 积 乘 以 ｌ０元 印 ， 列 式 ！ ２ ［ ＂Ｆ： ｙ ２ ０ ０ ｛ ２ ｘ ６０） ： ， ０ ０ ７ ０（ ＋１０ １ ２ ０ ０ ４ ０ ０ ２× ７ ０ ２
１
＞Ｉ： ｏｒ
＋ １ ０
）
【 ＜ ＜） ｏｒ １
４ Ｊ －
Ｖ
／ ＝００７０９０ ． ２０。６：７０ ４０５０２６
ｘ
ｌ的 ＋ 由 （ 埔 （ 一 一 ） 簧＜ Ａ）有 卜
１
） ＋ Ｈ ＋ 一 ｌ：卜— ｌ 嚣１者 十 ＋ ｌ一 。 十１ Ｄ
此题就 衙臻利 ｝均 值不等式 来解 决， 们来 看均 值不等式 的内容：两个 正数 １ ］ 我
一 ！± ： ｒ ＋ ｔ ： —＊— － ａＺａ：
２ ２
ｒ
，
的算术乎 均值大ｊ ： 等于它们的 几何 Ｆ 均值，即—＝ ≥√ 当 且 仅 当 ｂ 时 取 ａ一 ＋ ｂ ：
，
着黑板上每天更新的倒计时记 录， 他们 的心情是 何等的压抑 ， 有谁知道呢？
因此 ， 对 这 个 学 生 的想 法 给 予及 时 的 肯定 和 表扬 ， 对 他 的质 疑 ， 我 针 我
而我能做的就是在我的课 堂上适 当的辅导或 引领 他们正确 面对 目前及将 做了如下 的解释。确实刚才这个学生 的问题提到 了一个高度上 ， 本来我们
吁
讨 硷
函
等 号。我们把 扣折方案 分析 一Ｆ：设商 品价 格是 Ｍ元 ，打 ７折 就是 ０ ７ ， Ｍ元，８ 折就 是 ０ ８ ． Ｍ元 ，前两种方 案就是 ０ ７ ｘ０ ８ ０ ８ ×０ ７元，而利刚均低 不等式 ． Ｍ ． ＝ Ｍ ．
ｒｆ ． （ ｌ １ 数
爵 证 明 ａ ｔ ｒ ａ １ Ｉ １当 １ １ ≤０时 ，ａ Ｏ ｌ ｒ ａ １ ＞ ＋ （一 ） ＞ ｒ（ ） ＞ ≥ ＋ （一 ）
一
．
．
瀚数 （ ）在 （ ．＋ｏ） 卜 ｘ ０ ｃ 严格 递减 。
二 、 数 函数 不 等 式 指
设 ｒ ，则 ｅ ∈Ｒ ≥ｌ 当且仅 当 ｒ Ｏ 圩（ ＝ 时取 等 号）
例 ２ 求 函 数 ｆ（） ｘ （ ＞ ） 母 丈 值 ？ ． ｘ： ｘ０ 的
、
伯 努利 不 等 式
‘ ” （ ａ－１； ’ （ Ａ）
域 此 不 等 式 部有 应 用 。比 如 ，在 求 黼 数 最 小 值 万 面 ，再 来 看 一问 题 ： 某 体 馆
翦 式
＋
＜一 ＜一
＋ ＋
的
凋
盘： ｉ
ｑ （
要建造 …个 长方 体无盖游 泳池 ， 总容积 为 ４０ ｍ ， ８０ 商艇 ３ ， ｍ池底造 价为 １０ 学 中 的 应 用
伯 努 利 不 等 式与 指数 函数 不 等 式
◆宫 丽
（ 占林 省 吉 林信 息 工 程 学校 ）
【 摘要 】均 值 不 等 式 是 不等 式 中的 重要 内容 ， 的 应 用 范 围几 乎 涉及 初 等 数 学的 所 有 章 节 ， 时伯 努利 不 等 式在 《 学分 析 》 它 同 数 的极 限论 中 占有 重要 地 位 ， 指数 函数 不 等 式 同样 起 着 不可 低 估 的 作 用 。 由均值 不等 式 出发 推 导 出 高等数 学 中的 伯 努利 不 等 式 ， 而 导 出指 数 函数 不 进