复数的乘除法 (讲)

求证: (1)1 0, (2) 1
2 3
B．32 D．－32
原式＝(1－x)10＝(－1＋i)10＝(－2i)5＝－32i.
【答案】 A
(4)已知 z2＋z＋1＝0，则 1＋z＋z2＋…＋z2 012＝________.
【答案】 0
1.知识
（1）复数的乘法； （2）复数的除法； （3）共轭获？
思考题 3 A．－2 2i C．2 2i
【解析】
4 (1)( )3 等于( － 6＋ 2i B．2i D．－2i
)
4－ 6－ 2i 4 ( )3＝[ ]3 8 － 6＋ 2i
2 ＝－ ( 3＋i)3 4 2 ＝－ [( 3)3＋3× ( 3)2i＋3 3i2＋i3] 4 ＝－2 2i.
【答案】 A
引例 复数 z 满足(3-4i)×z = 1+2i，求z 。
二、复数代数形式的除法
a bi ac bd bc ad a bi c di 2 2 i c di 0 2 2 c di c d c d 5 练习：3 4i 的共轭复数为
2.思想方法
转化与化归 (复数问题实数化）
3.能力
归纳 类比 创新
自 主 学 习
1 3 设 i, 求证： 2 2 （ 1 ） 1 2 0；（ 2 ） 3 1.
自我反思：
x3=1在复数集范围内的解是不是只有x=1，
如果不是，你能求出其他的解吗？
1 3 例 4:设 i, 2 2
(3)(2＋3i)(1－i)(2－i)÷(3＋i)．
2－2i＋3i－3i22－i (3)原式＝ 3＋i 5＋i2－i 10－5i＋2i－i2 ＝ ＝ 3＋i 3＋i 11－3i 11－3i3－i ＝ ＝ 3＋i 3＋i3－i 33－11i－9i＋3i2 ＝ 10 30－20i ＝ ＝3－2i. 10
数系扩充原则：
数系扩充后，在复数系中规定的加法运算、乘法运算，与原
来的实数系中规定的加法运算、乘法运算协调一致：加法和乘法 都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律。


即 对任何z1,z2,z3有：
z1﹒z2=z2﹒z1; (z1﹒z2)﹒z3=z1﹒(z2﹒z3); z1﹒(z2+z3)=z1﹒z2+z1﹒z3.
2.若z为实数，则z与其共轭复数z什么关系？
3.在复平面内，互为共轭复数的两个复数对应的点
有怎样的位置关系？
共轭复数有哪些主要性质？
答：(1)|z|＝| z |；(2)z· z ＝|z|2＝| z |2； (3)z＝ z ⇔z∈R， z ＝－z(z≠0)⇔z 为纯虚数； (4) z1＋z2 ＝ z 1＋ z 2；(5) z1· z2 ＝ z 1 · z 2； z1 z 1 (6)( )＝ (z2≠0). z2 z2
13 4i3 4i 3 4i 9 16 25. 2 21 i 1 2i i2 1 2i 1 2i.
解
2 2
结论1
实数集R中的完全平方公式、平方差公式、立方和
（差）公式在复数集C中仍然成立
引申2
实数集R中的整数指数幂的运算律在复数集C中也成立
回顾计算 (5 6i) (2 i) (3 4i)
(5 2 3) (6 1 4)i 11i
复数加减法的运算法则：
1.运算法则:设复数 z1=a+bi,z2=c+di, 那么：z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
复数运算转化为 实数的运算
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
4
＝－7＋8 3i.
探究 3
对于复数运算，除了应用四则运算法则之外，对于
一些简单算式要知道其结果，这样起点高，方便计算，达到迅速 1＋ i 1－i 1 简捷、少出错的效果．比如(1± i) ＝± 2i， ＝－i， ＝ i， ＝ i 1－i 1＋i
2
a＋bi 1 3 3 1 3 3 － i， ＝b－ai，(－ ± i) ＝1，( ± i) ＝－1，等等． i 2 2 2 2
【证明】
设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则|z|＝1⇔x2＋y2＝1. 1 z＝ ⇔ z· z ＝1⇔(x＋yi)(x－yi)＝1⇔x2＋y2＝1， z 1 ∴|z|＝1⇔z＝ . z
题型三
例3 计算下列各题：
复数的乘方
1＋i7 1－i7 3－4i2＋2i3 (1) ＋ － ； 1－i 1＋i 4＋3i 2＋2i 8. 3 1 12 (2)(－ － i) ＋( ) 2 2 1－ 3i
2.复数乘法的运算律
复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.
即对任何z1,z2,z3有 z1﹒z2=z2﹒z1; (z1﹒z2)﹒z3=z1﹒(z2﹒z3);
z1﹒(z2+z3)=z1﹒z2+z1﹒z3.
例1 计算 1 2i 3 4i 2 i .
(2)i＋i3＋i5＋…＋i33＝( A．i C．1 【解析】
3 5
)
B．－i D．－1 i1－i34 i＋i ＋i ＋…＋i ＝ ＝i. 1－i2
33
【答案】 A
(3)当 x＝2－i 时，1－C110x＋C210x2－…－C910x9＋x10 等于 ( ) A．－32i C．32i
【解析】
A．第一象限 C．第三象限
【解析】
i1－i 1＋ i 1 1 i 因为 z＝ ＝ ＝ ＝ ＋ i，所以 1＋i 1＋i1－i 1＋1 2 2
1 1 对应点( ， )在第一象限．故选 A. 2 2
题型二
例2 ( ) A．i C．± 1
【解析】 方法一
共轭复数
z 设 z 的共轭复数是 z ，若 z＋ z ＝4，z· z ＝8，则 z 等于
复数代数形式的加减运算法则: 设复数 z1=a+bi,z2=c+di,那么： z1+z2=(a+c)+(b+d)i;
类比多项式 加减运算
z1-z2=(a-c)+(b-d)i.
一、复数代数形式的的乘法
1.复数乘法的运算法则： (a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2 =(ac-bd)+(bc+ad)i. A.复数的乘法类比多项式的乘法； B.所得的结果中把i2换成-1； C.把实部与虚部分别合并（两个复数的乘积仍为复数）.
。
例1
计算下列各式．
(2)(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)； (3)(2＋3i)(1－i)(2－i)÷ (3＋i)．
(2)原式＝(4－i)(6－2i)＋(7－i)(4－3i) ＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2) ＝2(11－7i)＋25(1－i) ＝47－39i.
2＋2i 8 3 1 12 (2)(－ － i) ＋( ) 2 2 1－ 3i 1＋i 1 3 12 12 3 8 ＝i · (－ ＋ i) ＋1 2 2 － i 2 2 1 3 [1＋i2]4 － i 2 2 1 3 34 ＝[(－ ＋ i) ] ＋ 2 2 1 3 [ － i3]3 2 2 1 3 ＝1－(2i) ( － i)＝1－8＋8 3i 2 2
zm﹒zn=zm+n; （z1﹒z2)m =z1m﹒z2m; (zm)n=zm n
本例1中的两个复数3 4i,3 4i称为共轭复数.
一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数
时，这两个数叫做互为共轭复数。（通常记z的共轭复
数为z）虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。
探究2：
1.zz与|z|、|z|有什么关系？
B．－i D．± i
设 z＝x＋yi(x，y∈R)，
则 z ＝x－yi.由 z＋ z ＝4，z· z ＝8，得
x＋yi＋x－yi＝4， x＋yix－yi＝8 x＝2， ⇒ 2 2 x ＋ y ＝ 8 x＝2， ⇒ 2. y＝±
z x－yi x2－y2－2xyi ∴z＝ ＝ ＝± i. x＋yi x2＋y2
即:两个复数相加(减)就是实部与实部,
虚部与虚部分别相加(减).
2.复数的加法满足交换律、结合律,即对任何z1,z2,z3∈C,有 z1+z2=z2+z1, (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).
问题一

你能根据数系扩充过程的基本原则及复数代数形 式的加减运算法则，解决下面这个问题吗？
(1 2i) (3 4i) (2 i) ?
探究 1
复数的运算顺序与实数的运算顺序是相同的，先进
行高级运算(乘方、开方)，再进行次级运算(乘、除)，最后进行低 级运算(加、减)．如有 i 的幂运算，先利用 i 的幂的周期性将其次 数降低，然后再进行四则运算．
i 思考 1.(2)(2010· 陕西卷，文)复数 z＝ 在复平面上对应的 1＋ i 点位于( ) B．第二象限 D．第四象限
方法二
∵z＋ z ＝4，设 z＝2＋bi(b∈R)，
又 z· z ＝|z|2＝8，∴4＋b2＝8. ∴b2＝4，∴b＝± 2.∴z＝2± 2i， z ＝2∓2i. z ∴ z ＝± i.
探究 2
涉及共轭复数的题目， 要充分利用共轭复数的性质：
如 z＋ z 等于 z 的实部的两倍，z· z ＝|z|2 等，另外注意复数问题实 数化及方程思想的应用． 思考题 2 1 证明：|z|＝1⇔z＝ . z
解
1 2i3 4i 2 i 11 2i 2 i 20 15i.
2 1 i
2
例 2 计算 : 1 3 4i 3 4i ;