第七章傅里叶变换幻灯片资料

第七章 Fourier变换
Fourier变换是一种对连续时间函数的 积分变换,通过特定形式的积分建立函数之 间的对应关系. 它既能简化计算(如解微分 方程或化卷积为乘积等)，又具有明确的物 理意义(从频谱的角度来描述函数的特征), 因而在许多领域被广泛地应用.离散和快速 Fourier变换在计算机时代更是特别重要．
t
l i m g ( t ) f () d f () e i 0 d F ( 0 ) 0 ,
t
所以根据 g(t)f(t)可知
F[g(t)]g(t)eiwtdt
w 1g (t)e iw t 1 f(t)e iw td t1F ().
w w w i
令 xt t0, 代入上式得
F [f(t t0 )] f(x )e iw (xt0 )d x w e iw t0 f(x )e iw x d x e iw t0 F ().
利用
(5) 时移性质 设 F (w ) F [ f ( t )], 则
F w [ f ( t t0 )] e iw t0 F (
(2) f (x)在 (,)上绝对可积, 即 f (x) dx
收敛.
F (w)F[f(t)]
F(w)称为f (t)的像函数.
式（2）称为F(w)的Fourier逆变换, 记为
f(t)=F1[F(w)]
f (t) 称为F(w)的像原函数.
显然，如果f (t)满足Fourier积分定理条件, 那么在f (t) 的连续点处成立Fourier变换的反演公式
o
可知
t
F [g(t)] 1 . iw
所以
F[f(t)] F[tg (t)]
1
1
iiw (iw)2.
(8) 积分性质 设 F (w) F[f(t)],并且 F(0)0.
t
如果 g(t)
f()d,
则
F[g(t)]i1wF(w).
t
证明 因为 lim g (t)limf()d0 ,并且
t
例7.4
求
f
(t)
sin t t
的频谱函数.
解：
由
例7.3 求矩形脉冲函数(E>0)
p
(t )
E
,
0,
t
2 t 2
的频谱.
解
F (w )
2E w
sin w 2
.
F (w ) 2E 1 sin w .
w
2
知, 单位幅度 (即E=1) 的矩形脉冲
函数 p ( t ) 的频谱函数为
F[p(t)]w2sinw2.
f(t)= F 1 F[f(t)].
例7.1 求
et, f(t)
t0(0)
0, t0
的Fourier变换.
解：根据Fourier变换的定义
f (t)
F [f(t)]eteiwtdt 0
1
0e(iw)tdt1iw.
o
t
例7.2 求 f(t)et (0)的Fourier变换，
并证明
0c2 oswwt2dw2et.
a F F [ f 1 ( t ) ] [ f 2 ( t ) ] .
F a w w a Fw Fw 1 [ F 1 ( ) F 2 ( ) ] 1 [ F 1 ( ) ] 1 [ F 2 ( ) ] .
(2) 对称性质 设 F (w) F[f(t)],则
F [F (t) ] 2 f( w ) .
证明 由卷积和Fourier变换的定义, 可得
F [ (f 1 f 2 ) ( t) ] (f 1 f 2 ) ( t) e iw td t
f1 (x )f2 (tx )d x e iw td t f1 (x ) f2 (t x )e iw td t d x
) (其中t0为常数).
证明 由Fourier变换的定义,
F [ f ( t t0 )]
f ( t t0 )e iw t dt .
令 x t t0 , 代入上式得
F [ f ( t t0 )]
f ( x )e iw ( x t0 )dx
w e iw t0
f ( x )e iw x dx e iw t0 F (
0 ).
wF (7) 微分性质 设 F ()[f(t)],并且 f ( n ) ( t ) 在
(,)上存在(n为正整数). 如果当t 时, f ( k ) ( t ) 0 ( k 0 , 1 , 2 ,, n 1 ) ,则
F f(n )(t) (iw)n F (w).
证明：只证明n=1的情形, 类推可得高阶情形.
(6) 频移性质 设 F (w) F[f(t)],则
F ww f(t)e iw 0 t F ( 0 )(其中w0为常数).
证明： 由Fourier变换的定义,
F f(t)e iw 0 t f(t) e iw 0 te iw td t
ww f(t)e i(ww 0 )td t F (
2 0c2oswwt2dw,
于是
0 c 2 o s w w t2d w2 f(t)2 e t.
在无线电技术、声学、振动理论中, Fourier 变换和频谱概念有密切联系. 时间变量的函数 f (t)
的Fourier变换F(w)称为 f (t)的频谱函数, 频谱函数 的模 F (w ) 称为振幅频谱(简称为频谱).
0, t0
解： 令
et , g(t)
0,
t 0 ,
t0
于是由
例7.1 求 et ,
f (t) 0,
t 0 ( 0) t0
的Fourier变换.
解：根据Fourier变换的定义
F [ f (t )] e teiwtdt 0
e( iw )tdt
1.
0
iw
f (t) 1
).
和
(3) 相似性质 设 F (w ) F [ f (t )], 则
F
[ f (at )]
1 a
F
w a
(其中 a 0 为常数).
, 易见
F[f(atb)]a 1eia bwFw a,
其中a, b为常数, 并且 a 0. 事实上，
F[f(atb)]Ffata b eia bwF[f(at)]a 1eia bwFw a.
上存在(n为正整数). 如果当w 时,
w F ( k ) ( ) 0 ( k 0 , 1 , 2 ,, n 1 ) ,
则
F w 1 in F (n )() tnf(t).
从而可知
F w tnf(t) in F (n )( ).
例7.5
设
tet, f(t)
t0(0), 求F [ f(t)].
w w f 1 ( x ) F 2 () e i w x d x F 2 () f 1 ( x ) e i w x d x
F 1(w)F 2(w).
7.1.3 单位脉冲函数及其傅氏变换
在物理和工程技术中, 常常会碰到单位脉冲函 数. 因为有许多物理现象具有脉冲性质, 如在电学 中, 要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后 产生的电流; 在力学中, 要研究机械系统受冲击力 作用后的运动情况等. 研究此类问题就会产生我们 要介绍的单位脉冲函数.
在原来电流为零的电路中, 某一瞬时(设为
t=0)进入一单位电量的脉冲, 现在要确定电路上
的电流i(t). 以q(t)表示上述电路中的电荷函数,
则
0, t 0;
q(t) 1, t 0.
i(t)dd q ( tt) lt i0q m (t tt) q (t)
,
F[f(t)]F
sint t
F (w )
.
2
1 2
p2(w)
.
.
,
0,
w 1;
1 o
1
w
w 1. 宽度为2 幅度为 的矩形脉冲函数
(3) 相似性质 设 F (w) F[f(t)],则
F[f(at)]
1 a
Fwa
(其中
a
0为常数).
证明 由Fourier变换的定义,
F [f(at)] f(at)eiwtd t.
F[f(t)]f(t)eiwtdt
w f(t)e iw t i f(t)e iw td t
w ww i f(t)e iwtd ti F ().
上面是关于时域的微分性质. 类似地也有关于
频域的微分性质:
wF 设 F ()[f(t)],并且 F (n) (w ) 在 (,)
例7.3 求矩形脉冲函数(E>0)
p
(t)
E
,
0
,
t 2
t 2
的频谱.
解： 由频谱函数的定义
p (t )
w F( ) p(t)eiwtdt 2 Eeiwtdt,
2
E.
.
.
o
t
2
2
F(w) Eeiwt 2 2Esinw. iw w 2
2
故频谱为
F(w) 2E1sinw . w2
|F(w)| E
(如图所示)
6 4 2 O
2 4
6 w
7.1.2 Fourier变换的性质
以下假定所讨论的函数满足Fourier积分定理 的条件.
(1) 线性性质 设a, 是常数，F 1 (w) F[f1 (t)],
F 2 (w ) F[f2 (t)],则
F a aw w [ f 1 ( t ) f 2 ( t ) ] F 1 ( ) F 2 ( )
证明 由Fourier逆变换有
f (t )
1 2
F (w )e iw t dw .
于是
f (t )
1 2
F (w )e iw t dw .
将t与w互换, 则
f (w )
1 2
F ( t )e iw t dt ,
所以 F [F (t )] 2 f (w ).
特别地, 若f (t)是偶函数, 则F [F (t )] 2 f (w ).
i
i
（9）卷积与卷积定理
卷积定义：
f(t)g(t) f(s)g(ts)ds
卷积的简单性质：
•交换律：f g g f
•加法分配律：f gh) f g f h
w F w F 卷积定理 设F 1 ( ) [ f 1 ( t ) ] , F 2 ( ) [ f 2 ( t ) ] ,
F ww 则 [ ( f 1 f 2 ) ( t ) ] F 1 () F 2 () .
§7.1 Fourier变换的概念与性质
1 Fourier变换的定义 2 Fourier变换的性质
3 d函数的Fourier变换
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7.1.1 Fourier变换的定义
Fourier积分定理 设f (x)在(,)满足下列 条件:
(1) f (x)在任何有限区间上满足展开为Fourier
级数的条件, 即只存在有限个第一类间断点和有限 个极值点；
证明 由Fourier逆变换有 f(t)21 F(w)eiwtdw. 于是 f(t)21 F(w)eiwtdw. 将t与w互换, 则
f(w)21 F(t)eiwtdt,
F w 所以 [F (t) ] 2f() .
F w 特别地, 若f (t)是偶函数, 则 [F (t)] 2f().
由相似性质可直接得到
(4) 翻转性质 设 F (w) F[f(t)],则
F[f( t)] F w ).
(5) 时移性质 设 F (w) F[f(t)],则
F w [f(t t0 )] e iw t0 F ()(其中t0为常数).
证明： 由Fourier变换的定义,
F [f(t t0 )] f(t t0 )e iw td t.
令 xat, 则 d t
1 dx. a
于是当a>0时,
F w [f(a t)]a 1 f(x )e iw ax d xa 1F a ;
当a<0时,F[f(at)]1f(x)eiw axdx a w a 1 f(x)eiw axdxa 1F a .
综上所证, 即得F[f(at)] a1Fwa.
当 =2时, 根据Fourier
f (t)
变换的线性性质
o
t
F
1 2
p2(t)
siwnw,
1
1
其中 2
p 2 ( t ) 是宽度为2,
幅度为的 2
矩形脉冲函数,
它是偶函数. 由Fourier变换的
(2) 对称性质 设 F (w ) F [ f (t )], 则
F [F (t )] 2 f (w ).
解： 根据Fourier变换的定义
F [f(t)]eteiwtdt
0ete iw td t e te iw td t
0
f (t) 1
2 2 w2
.
O
t
因为f (t)在(,)上连续, 且只有一个极大值
点t=0, 而
etdt2etdt2
0
存在, 所以根据Fourier变换的反演公式
Fw w w f(t) 1 2 2 2 2 1 2 2 2e iw td 1 2 w2(co swtisin wt)d w