一,对面积的曲面积分的概念与性质.

Si上任意取定的一点，作乘积 f(xi, hi, zi )Si (i =1, 2, ···, n)，并作
和 f(xi, hi, zi )Si． 如果当各小块曲面的直径的最大值0时，
i 1 n
这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x, y, z)在曲面S上对面积
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的曲面积分或第一类曲面积分，记作 f ( x, y, z )dS ，即
§10．4 对面积的曲面积分
一、对面积的曲面积分的概念与性质
对面积的曲面积分
在分片光滑的曲面上的曲面积分 对面积的曲面积分的性质
二、对面积的曲面积分的计算
对面积的曲面积分的计算公式
一、对面积的曲面积分的概念与性质
设f(x, y, z)为非均匀的曲面形金属构件S的面密度，则以下定 义曲面积分的过程可以看成是求曲面形金属构件质量的过程。 定义 设曲面S是光滑的，函数f (x, y, z)在S上有界． 把S任意 分成n小块Si (Si同时也代表第i小块曲面的面积)， 设(xi, hi, zi )是
S1 S 2
( x, y, z)dS ( x, y, z)dS ( x, y, z)dS ．
S1 S2
对面积的曲面积分的性质： 由对面积的曲面积分的定义 可知，它具有与对弧长的曲线积 类似的性质，这里不再赘述．
z
S1
S2
O
x
y
二、对面积的曲面积分的计算
前面已指出，面密度为连续函数f(x, y, z)的光滑曲面S的质量 M，可表示为f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分:
a 2 a ln ． h
例 2 计算 xyzdS ， 其中S是由平面x0，y0，z0及xyz1
S
所围成的四面体的整个边界曲面．
解
整个边界曲面S在平面x0、y0、z0及xyz1上的部分
依次记为S 1，S2，S 3及S4，于是
xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS xyzdS
2 2 于是质量 M f [ x, y, z ( x, y)] 1 z x ( x, y) z y ( x, y)dxdy ． Dxy
对面积的曲面积分的计算公式： 化曲面积分为二重积分：设积分曲面S由方程zz(x, y)给出， S在 xOy面上的投影区域为 Dxy，函数z z(x , y )在 Dxy上具有连续偏 导数，被积函数f(x, y, z)在S上连续，则有
a x y 1 a dxdy 于是 dS 2 2 2 z S Dxy a x y
2 2
1 z z
2 x 2 y
a
2
．
h
Dxy x
y
2
dxdy a 0 d 0
2
a2 h2
rdr a2 r2
a 2 h2
O
y
1 2a ln( a 2 r 2 ) 2 0
Si上任意取定的一点，作乘积 f(xi, hi, zi )Si (i =1, 2, ···, n)，并作 n ( x i, h i, z i ) z 和 f(x , h , z )S ．

i 1
i
i
i
i
S
Si O x
y
一、对面积的曲面积分的概念与性质
设f(x, y, z)为非均匀的曲面形金属构件S的面密度，则以下定 义曲面积分的过程可以看成是求曲面形金属构件质量的过程。 定义 设曲面S是光滑的，函数f (x, y, z)在S上有界． 把S任意 分成n小块Si (Si同时也代表第i小块曲面的面积)， 设(xi, hi, zi )是

S
f ( x, y, z )dS
D xy

2 2 f [ x, y , z ( x, y )] 1 z x ( x, y ) z y ( x, y ) dxdy ．
讨论：
如果积分曲面S由方程yy(z, x)给出或由xx(y, z)给出，那么 f(x, y, z)在S上对面积的曲线面积分如何计算?
1 例 1 计算曲面积分 dS ，其中S是球面 x2y2z2a2 被平面 z S
zh(0<h<a)截出的顶部． z
h
O x
y
1 例 1 计算曲面积分 dS ，其中S是球面 x2y2z2a2 被平面 z S
zh(0<h<a)截出的顶部．
2 2 2 解 S的方程为 z a x y ．S在 xOy 面上的投影区域 z Dxy 为圆形闭区域：x2y2a 2h 2． 又
S
S1 S2 S3 S4
z
000 xyzdS
S4
1 S1 S2 O 1 x S4 S3 1 Dxy

Dxy

3xy(1 x y )dxdy
1 1 x
3 xdx
0
1
0
y(1 x y)dy
y
3 (1 x) 3 3 x dx ． 0 120 6
M f ( x, y, z)dS
S
另一方面，设积分曲面S由方程zz(x, y)给出，S在xOy面上的 投影区域为Dxy，函数zz(x, y)在Dxy上具有连续偏导数，则光滑曲 面S的质量M也可用元素法来求：
2 2 S上任意点(x, y, z)处的面积元素为dS 1 z x ( x, y) z y ( x, y)dxdy ， 2 2 质量元素为 dM f [ x, y, z ( x, y)] 1 z x ( x, y) z y ( x, y)dxdy ，
f ( x, y, z )dS =lim
S
n
S
0
i 1
f(xi, hi, zi )Si，
其中f(x, y, z)叫做被积函数，S叫做积分曲面．
根据上述定义，面密度为连续函数f(x, y, z)的光滑曲面S的质 量M，可表示为f(x, y, z)在S上对面积的曲面积分:
M f ( x, y, z)dS
S
对面积的曲面积分的存在性：
当f(x, y, z)在光滑曲面S上连续时，对面积的曲面积分是存在 的．今后总假定f(x, y, z)在S上连续．
在分片光滑的曲面上的曲面积分： 如果S是分片光滑的，我们规定函数在S上对面积的曲线面积 分等于函数在光滑的各片曲面上对面积的曲面积分之和． 例如， 设S可分成两片光滑曲面S1及S2(记作S ＝S1＋S2)， 就规定