工程力学第11章-压杆稳定解析

第二节 细长压杆的临界力
一、两端铰支细长压杆的临界力
取X截面研究弹性范围内的挠曲线方程：
d2y dx2
M (x) EI
Plj EI
y;
令 Plj EI
k 2 ,则有 d 2 y dx2
k2y
0;
其通解为y c1 sin kx c2 cos kx;
由边界条件x 0, y 0; x l, y 0;
二、其他支承情况下细长压杆的临界力 不同支承情况的压杆其边界条件不同，临界力值也不同。
也可由挠曲线比较得出欧拉公式的通式：
Pc r
2 EI m in (l )2
式中： E材料的弹性模量；
Imin压杆横截面对中性轴的最小惯性矩；单位：m4； μl计算长度；
长度系数，与杆端支承有关。
一端固定，一端自由压杆：μ＝2；
Fmax A[ ] 201200 4000N
（实测Fmax= 40N，与计算值相差100倍）
例2、一根长2m的柳条木，直径d=20mm, [σ]=10MPa,
承压时其Fmax=?
解：若按强度计算
Fmax A[ ] 202 10 3140N
（实测Fmax=
4
160N，与计算值相差近20倍）
脚手架倒塌
平衡的稳 定性
•
第一节 压杆稳定的概念
压杆稳定—压杆保持其原有直线平衡状态的能力，称其稳定性。 （指受压杆件其平衡状态的稳定性）
细长压杆在压力逐渐增大至某一数值时，突然变弯直至 弯断的现象称为丧失稳定或失稳。
临界力—压杆在临界平衡状态时所受的轴向压力， 称作临界压力或临界荷载。
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(2)当杆端约束在各个纵向平面内不同时，欧拉公式中所取用的
I应与失稳(或可能失稳)时的弯曲平面相对应。例如杆的两端
均为如图所示柱形铰的情况下：
z
y
轴销 x
对应于杆在xy平面内失稳，杆端约束接近于两端固定，
Fcr
π 2EIz
0.5l 2
对应于杆在xz平面内的失稳，杆端约束相当于两端铰支，
Fcr
π
2 EI y l2
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E
l
2
i
柔Biblioteka Baidu (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全
面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形
状对临界应力的影响。
柔度 (长细比)
l
i
柔度 是压杆稳定问题中的一个重要参数，它全 面反映了压杆长度、约束条件、截面尺寸和形 状对临界应力的影响。
Pcr l 2
32
346 kN
•由此可知，若轴向压力达到346KN时，此压杆便
会丧失稳定。
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• 例10-2：截面为200×120mm2的轴向受压木柱，l=8m，柱的支承
情况是，在最大刚度平面内压弯时为两端铰支（图a）；在最小 刚度平面内压弯时为两端固定（图b），木材的弹性模量 E=10GPa，试求木柱的临界压力。 解：由于柱在最大与最小 刚度平面内压弯时的支承 情况不同， 所以需要分 别计算在两个平面内失稳 的临界压力，以便确定在 哪个平面内失稳。
（1）计算最大刚度平面 内的临界压力（即绕y轴失稳）。
中性轴为y轴： Iy=120×2003/12 =80×106mm4 =80×10-6m4
木柱两端铰支，，则得：
Pcr
2EIy
l 2
3.142 10103 80106
1 80002
123kN
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• （2）计算最小刚度平面内的临界压力（即绕 z 轴失稳）。
•
中性轴为z轴： Iz
200 120 3 12
28.8 10 6 mm 4
28.8 10 6 m4
木柱两端固定，，则得：
Pcr
2EIz
l 2
3.142
10103 28.8106
0.5 80002
178KN
比较计算结果可知：第一种情况临界压
力小，所以木柱将在最大刚度平面内失稳（ 即绕y轴，在xoz平面内失稳）。此例说明，当 最小刚度平面和最大刚度平面内支承情况不 同时，压杆不一定在最小刚度平面内失稳， 必须经过计算才能最后确定。
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第三节 压杆的临界应力 欧拉公式的适用范围
1 临界应力 临界压力
Pcr
2EI ( l)2
临界应力
cr
Pcr A
2EI ( l)2 A
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
cr
2Ei2 A ( l)2 A
2E l 2
i
将惯性矩写为
I i2A
i 惯性半径
两端铰支细长压杆：
μ＝1；
一端固定，一端铰支压杆：μ＝0.7；
两端固定细长压杆：
μ＝0.5；
不同支承情况的临界力公式可查表确定。
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压杆的长度因数和相当长度
运用欧拉公式计算临界力时需要注意：
(1)当杆端约束情况在各个纵向平面内相同时(例如球形铰)，欧 拉公式中的 I 应是杆的横截面的最小形心主惯性矩 Imin。
第十章 压杆稳定
本章内容: 1 压杆稳定的概念 2 两端铰支细长压杆的临界压力 3 其他支座条件下细长压杆的临界压力 4 欧拉公式的适用范围 经验公式 5 压杆的稳定校核 6 提高压杆稳定性的措施
例1、20x1x300mm的钢直尺，E=200GPa，[σ]=200MPa,
承压时其Fmax=? 解：若按强度计算
造成计算结果与实测值不符的原因是较长的压杆存
在稳定问题，因而强度计算方法对这类杆件的设计
不适用。
工程中有些构件具有足够的强度、刚度，却不一定能安全可靠地工作
桁架稳定性
平衡形式突然改变
丧失稳定性
失稳
构件的失稳通常突然发生，所以，其危害很大。
1907年加拿大劳伦斯河上，跨度为548米的魁北 克大桥，因压杆失稳，导致整座大桥倒塌。
得c2 0;c1 sin kl 0;
因为c1 0,所以sin kl 0;得kl n (n 0、1、2、n)；
则
Pcr
n2 2EI
l2
(n
0、1、2、n);
n取不为零的最小值，即 取n 1,所以
P cr
2EI
l2
—两端铰支细长压杆的临界力计算公式（欧拉公式）
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而取用的临界力值应是上列两种计算值中的较小者。
z
y
轴销 x
• 例10-1 一根两端铰支的20a号工字钢压杆，
长L=3m，钢的弹性模量E=200GPa，试确定 其临界压力。
•解：查表得20a号工字钢:
Iz=2370cm4,Iy=158cm4,
2EI
•临界压力按公式 pcr l 2
计算
2EI 2 200 106 158 10 8