正弦定理余弦定理应用举例ppt课件
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17
【解析】在 ABC 中，
CAB 30 ,ACB 75 30 45 , 根据正弦定理知，
BC AB , sin BAC sin ACB
BC AB sin BAC 600 1 300 （2 m）,
即
sin ACB
22
2
所以 CD BC tan DBC 300
2
3 100 3
AC BC sin ABC sin BAC
B
得到
AC
BC sin ABC sin BAC
BC sin 300 sin150
C
30 1
2 15 6 2
6- 2
4 在RtACD中,得
D
A
CD AC sin ACD 15 6 2 2 2 15 3 1 16
例 4，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处 时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上， 仰角为 30°，则此山的高度 CD.
（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。
（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点）
视线
仰角 俯角
水平线
视线
5
2.方向角、方位角。
（1）方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线 所成的小于90°的水平角。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（2）方位角：指从正北方向顺时针旋转到目标方向
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cosC a2 b2 c2 。 2ab
1、A B C 180
2、 大角对大边，小角对小边 。
2
余弦定理的应用条件： （1）已知三边，求三个角。 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角。 （3）已知两边及对角，求第三边和其它两角。
40 2.
sin 45
12
60
60
45 30
这样在三角形ABD中,∠BDA=60°, AD 20 2 ,
BD 40 2 . 由余弦定理得：
AB AD2 BD2 2 AD BD cos
(20 2 )2 (40 2 )2 2 20 2 40 2 cos 60 20 6. 答：A,B两点间的距离为 20 6米.
（6 m）.
18
19
【例5】 缉私艇在A点发现在北偏东45°方向，距离12 n mile的海面上有一走私船位于C点正以10 n mile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为 14 n mile/h.若要在最短的时间内追上该走私船， 缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追．求追及所 需的时间和角α的正弦值．
线的最小正角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
6
B
75o C 51o 55m A
7
一点不可达
例1：如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要 测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得 AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A， B两点间的距离．
11
6045 30 60 40m
解：CD=40m,
并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,
∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中，应用
正弦定理得
40 sin 30
40 sin 30
AD
sin[180
(30
45
60)]
sin 45
20 2,
40
BD
9
60 45
3060
40m
解：CD=40m,
并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,
∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中，应用
正弦定理得
AC
40 sin(45 60) sin[180 (30 45
60)]
40 sin105 sin 45
20(
20
【解析】如图，设A、C分别表示 缉私艇、走私船的位置，设经过 x小时后在B处追上． 则有 AB＝14x，BC＝10x，ACB＝120.
3 1),
BC
sin[180
40 sin 45 (60 30
45)]
40 sin 45 sin 45
40.
10
60
60
45 30
这样在三角形ABC中,∠BCA=60°, AC 20( 3 1),
BC 40. 由余弦定理得：
AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
202 ( 3 1)2 402 2 20( 3 1) 40 cos 60 20 6 . 答：A,B两点间的距离为 20 6米.
6.4.3 正弦定理，余弦定理 应用举例
1
复习
正弦定理： a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
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14
底部不可达
例3.如 图,在 山 顶 铁 塔 上B处 测 得 地 面 上 一 点A的 俯 角
600 ,在 塔 底
C处 测 得A处 的 俯
角 450.已 知 铁
塔BC部 分 的 高 为 30米,求 出 山 高CD.
B
C
D
A 15
解：在三角形ABC中, ∠ABC= 90° -α=30°, ∠BAC=α-β=15°, ∠ACD=45°.根据正弦定理，
解：在△ABC 中，AC＝120，A＝45°，C＝75°， 则 B＝180°－(A＋C)＝60°， 由正弦定理，得 AB＝ACsin C＝120sin 75°＝20(3 2＋ 6)．
sin B sin 60°
河的宽度呢？
8
两点不可达
例2：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
正弦定理的应用条件： （1）两角和一边，先求第三角，再用正弦定理。 （2）已知两边及对角，求第三边和其它两角。
3
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用：
（1）测量距离 （2） 测 量 高 度 （3）测量角度
4
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。
【解析】在 ABC 中，
CAB 30 ,ACB 75 30 45 , 根据正弦定理知，
BC AB , sin BAC sin ACB
BC AB sin BAC 600 1 300 （2 m）,
即
sin ACB
22
2
所以 CD BC tan DBC 300
2
3 100 3
AC BC sin ABC sin BAC
B
得到
AC
BC sin ABC sin BAC
BC sin 300 sin150
C
30 1
2 15 6 2
6- 2
4 在RtACD中,得
D
A
CD AC sin ACD 15 6 2 2 2 15 3 1 16
例 4，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处 时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30 的方向上，行驶 600m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75°的方向上， 仰角为 30°，则此山的高度 CD.
（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫 俯角。
（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般 这两条视线过被观察物的两端点）
视线
仰角 俯角
水平线
视线
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2.方向角、方位角。
（1）方向角：指正北或指正南方向线与目标方向线 所成的小于90°的水平角。
ຫໍສະໝຸດ Baidu
（2）方位角：指从正北方向顺时针旋转到目标方向
c2 a2 b2 2abcosC
三角形边与角的关系：
cosC a2 b2 c2 。 2ab
1、A B C 180
2、 大角对大边，小角对小边 。
2
余弦定理的应用条件： （1）已知三边，求三个角。 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其它两角。 （3）已知两边及对角，求第三边和其它两角。
40 2.
sin 45
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60
60
45 30
这样在三角形ABD中,∠BDA=60°, AD 20 2 ,
BD 40 2 . 由余弦定理得：
AB AD2 BD2 2 AD BD cos
(20 2 )2 (40 2 )2 2 20 2 40 2 cos 60 20 6. 答：A,B两点间的距离为 20 6米.
（6 m）.
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【例5】 缉私艇在A点发现在北偏东45°方向，距离12 n mile的海面上有一走私船位于C点正以10 n mile/h 的速度沿东偏南15°方向逃窜．缉私艇的速度为 14 n mile/h.若要在最短的时间内追上该走私船， 缉私艇应沿北偏东45°＋α的方向去追．求追及所 需的时间和角α的正弦值．
线的最小正角。
B 30°北
点A在北偏东60°,方位角60°.
A 60°
点B在北偏西30°,方位角330°. 西
东
点C在南偏西45°,方位角225°. C 点D在南偏东20°,方位角160°.
45°20° 南D
6
B
75o C 51o 55m A
7
一点不可达
例1：如图，在河岸边有一点A，河对岸有一点B，要 测量A，B两点的距离，先在岸边取基线AC，测得 AC＝120 m，∠BAC＝45°，∠BCA＝75°，求A， B两点间的距离．
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6045 30 60 40m
解：CD=40m,
并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,
∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中，应用
正弦定理得
40 sin 30
40 sin 30
AD
sin[180
(30
45
60)]
sin 45
20 2,
40
BD
9
60 45
3060
40m
解：CD=40m,
并且在C、D两点分别测得∠BCA=60°, ∠ACD=30°,
∠CDB=45°, ∠BDA=60°. 在⊿ADC和⊿BDC中，应用
正弦定理得
AC
40 sin(45 60) sin[180 (30 45
60)]
40 sin105 sin 45
20(
20
【解析】如图，设A、C分别表示 缉私艇、走私船的位置，设经过 x小时后在B处追上． 则有 AB＝14x，BC＝10x，ACB＝120.
3 1),
BC
sin[180
40 sin 45 (60 30
45)]
40 sin 45 sin 45
40.
10
60
60
45 30
这样在三角形ABC中,∠BCA=60°, AC 20( 3 1),
BC 40. 由余弦定理得：
AB AC 2 BC 2 2 AC BC cos
202 ( 3 1)2 402 2 20( 3 1) 40 cos 60 20 6 . 答：A,B两点间的距离为 20 6米.
6.4.3 正弦定理，余弦定理 应用举例
1
复习
正弦定理： a b c 2R sin A sinB sinC
余弦定理：
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cos B
cos A b2 c2 a2 ， 2bc
cos B c2 a2 b2 ， 2ca
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底部不可达
例3.如 图,在 山 顶 铁 塔 上B处 测 得 地 面 上 一 点A的 俯 角
600 ,在 塔 底
C处 测 得A处 的 俯
角 450.已 知 铁
塔BC部 分 的 高 为 30米,求 出 山 高CD.
B
C
D
A 15
解：在三角形ABC中, ∠ABC= 90° -α=30°, ∠BAC=α-β=15°, ∠ACD=45°.根据正弦定理，
解：在△ABC 中，AC＝120，A＝45°，C＝75°， 则 B＝180°－(A＋C)＝60°， 由正弦定理，得 AB＝ACsin C＝120sin 75°＝20(3 2＋ 6)．
sin B sin 60°
河的宽度呢？
8
两点不可达
例2：若在河岸选取相距40米的C、D两
点，测得 BCA= 60， ACD=30，CDB= 45， BDA= 60 求A、B两点间距离 .
正弦定理的应用条件： （1）两角和一边，先求第三角，再用正弦定理。 （2）已知两边及对角，求第三边和其它两角。
3
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用：
（1）测量距离 （2） 测 量 高 度 （3）测量角度
4
实际应用问题中有关的名称、术语
1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫 仰角。