54反常积分new

d(x
1 x
)
0
(x
1 x
)2
2
12arctanx 21 x0 12[2(2)]2.
dx x2
0
1x40
1x4dx 22
16
例
1
0 (1xn)(1x2)dx
ta t
tb a
否则，称反常积分 b f (x)dx发散. a
9
如 何 判 别 上 述 定 义 3 、 4 、 5 中 的 点 a ， b ， c 为 f ( x ) 的 瑕 点 ?
方 法 :
证 明 lim f(x ) ， lim f(x ) ， lim f(x ) .
x a
x b
x c
例 a dx (a0).
0 a2x2
解 由于lim 1 ，则xa是 瑕 点 .
xa a2x2
原式lim t ta 0
dx a2 x2
lim
ta
arcsin
x a
t 0
limarcsint 0.
ta
a2
10
例 证 明 ： 0 1 x 1 qd x 当 q 1 时 收 敛 ， 当 q 1 时 发 散 .
54反常积分new
•
•
•
练 习 ： 证 明 e p x d x 当 p 0 时 收 敛 ， 当 p 0 时 发 散 . a
证
epxdxlimbepxdx
a
b a
lim b
e pa p
epb p
e ap p
,
p0
, p 0
因 此 ， e p x d x 当 p 0 时 收 敛 ， 当 p 0 时 发 散 . a 6
即 ，bf(x)dxlimbf(x)dx
a
t a t
当极限存在时，称反常积分收敛；当极限不存在时， 称反常积分发散.
类似地，
8
定义4 设f(x)在[a,b)上连续，点b为f(x)的瑕点.
取t<b. 若limt f(x)dx存在，则称此极限为f(x) tb a
在(a,b]上的反常积分. 仍记作 bf(x)dx a
即 ，bf(x)dxlimtf(x)dx
a
t b a
定义5 设 f (x)在[a,b]上除点c外连续，点c为f (x)的瑕点.
若两个反常积分 c f (x)dx和 b f (x)dx都收敛，则定义
a
c
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dxc f (x)dx
b
t
=lim f (x)dx+lim f (x)dx
dx lim[arctan
x(4x) b
x 2
]1b
b l im a rc ta n2 b a rc ta n 1 2 2 a rc ta n 1 2
原式 =
2
15
例 证 明 0 1 dx x40 1 x2 x4dx22 两 类 反 常 积 分 的 混 合 ！
证
令 x 1，则
1
0sin(lnx)dxtl im 0[1 2t(coslntsinlnt)1 2]
1 2tl im 0[t(coslntsinlnt)]1 21 2
无 穷 小 量 与 有 界 变 量 的 乘 积 仍 是 无 穷 小 量 . 14
例 dx 0 x(4 x)
两 类 反 常 积 分 的 混 合 ！ 瑕点：x0
解 ： 原 式 =1
dx
dx
0 x(4x) பைடு நூலகம் x(4x)
1 0
dx
1
lim
x(4x) t 0 t
dx lim[arctan
x(4x) t0
x 2
]1t
a rc ta n 1 2 t l im 0 a rc ta n 2 t a rc ta n 1 2
1
dx
b
lim
x(4x) b 1
3 dx +1(x1)2 3
t
1 dx
t dx
0
2
(x1)3
lim t1 0
2
(x1)3
lim[ 1 (x1)231 ]3
t1 23 1
0
3
3 dx
1
2
(x1)3
3
lim t1 1
dx
2
(x1)3
lim[ 1 (x1)231 ]332
t1 231
1
3 0
dx
2
(x1)3
3(13 2)
13
例
t
dx 0 1x4
01 1t14
(t12)dt
0 t2 dt 1 t 4
t 2 0 1 t4 dt
x2 0 1 x4 dx
2 d x d x x 2d x 1 x 2 d x 1 x 1 2d x
01 x 4 01 x 4 01 x 4 01 x 4 0x 2 x 1 2
解
2
dx
2
lim
dx
lim
2 d(ln x)
1 xlnx t1 t xlnx t1 t ln x
limln(lnx)2
t1
t
lim ln(ln2)ln(lnt) t 1
故原反常积分发散.
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例 3 dx
0
(x
2
1) 3
瑕点：x1
解
3 dx 0(x1)2 3
01(xd x1)2 3
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二、无界函数的反常积分
瑕 点 ： 若 f(x)在 点 a的 任 一 邻 域 内 无 界 ，
则 称 点 a为 f(x)的 瑕 点 .
定义3设f(x)在(a,b]上连续，点a为f(x)的瑕点 .
取t>a. 若limbf(x)dx存在，则称此极限为f(x) ta t
在(a,b]上的反常积分. 仍记作bf(x)dx a
证
(1) q 1
1 1 dx
0 xq
11dx
0x
lnx1 , 0
(2) q 1
1 1
0 xq
dx
x1q 1 q
1
0
1 1
, q
q ,q
1 1
因 此 ， 0 1 x 1 qd x 当 q 1 时 收 敛 ， 当 q 1 时 发 散 .
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例 2 dx 瑕点：x1 1 x ln x
1
sin(lnx)dx
瑕点：x0
0
解
1
1
sin(lnx)dxlimsin(lnx)dx
0
t 0 t
1 sin (ln x )d x sin ln xx11 c o sln x d x
t
tt
tsin ln t c o slnxx11 sin lnx d x tt 1
ts in (ln x )d x 1 2 t(c o sln t s in ln t) 1 2
例 (1 )
1 1 sind x(2 )
x d x
x 2 2
x
0 (1x)3
(1)原式2sin1xd1xbl im 2bsin1xd1x
lim
b
c
o
s
1 b x 2
bl im cosb1cos21
(2)
原式
x11dx 0 (1x)3
[
1
0 (1x)2
1 ]dx (1x)3
[x112(11x)2]012