离散数学 第五章 格与布尔代数

由于这里的*和⊕就是上面格中的*运算和⊕运算，故有
a*b=glb{a,b}= GLB{a,b} a⊕b=lub{a,b}= LUB{a,b}
下面证明半序关系≤等于半序关系≤’。 1）若a≤b，则有GLB{a,b}=a ，又因为a*b=GLB{a,b}， 故有a*b=a，即a≤’b，由(a,b) 的任意性知≤ ≤’。 2）若a≤’b，则有a*b=a ，又因为a*b=GLB{a,b}，故有 a=GLB{a,b}，由下确界的定义知有a≤b，由(a,b)的任意性知 ≤’ ≤。
例2. 设I是整数集合， a,b∈I， 定义运算*和⊕如下： a*b=min{a,b} a⊕b=max{a,b} 则<I, *,⊕>是代数系统。 1）由于 a∈I, a*a=min{a,a}=a a⊕a=max{a,a}=a
故由定义1知，*和⊕运算均满足幂等律。 2）任取a,b∈I，由于有
a*(a⊕b)=min{a,max{a,b}}=a
由集合相等的定义知≤’=≤，即≤和≤’是同一个半序关 系。
由此可知，格与任意两个元素有上、下确界的半序集 是等价的，即格就是格。于是得到 格的另一种等价的定义。
定义3’ 设<L, ≤>是半序集，若L中的任意两个元素有上、 下确界存在，则称<L, ≤>是格。 由于定义3和定义3’的等价性，以后关于格，既可以用 <L,*,⊕>表示，也可以用 表示。当用<L,*,⊕>表示时，半序 关系是用a*b=a或a⊕b=b定义的。当用<L, ≤>表示时，两个运 算是用
故*运算和⊕运算满足结合律。
2）由于 a,b∈I，有 a*b=min{a,b}=min{b,a}=b*a a⊕b=max{a,b}=max{b,a}=b⊕a 故*运算和⊕运算满足交换律。
3）由前面的例2知*运算和⊕运算满足幂等律。 4）由前面的例2知*运算和⊕运算满足吸收律。 由格的定义知<I, *,⊕>是格。 下面介绍格中的一些性质，从这些性质出发，可以产生 格的另一种等价的定义。 定理1 设<L, *,⊕>是格，a,b∈L，a*b=a的充分必要条 件是a⊕b=b.
(a⊕b)⊕c= LCM{a,b,c} = a⊕(b⊕c)
故 *运算和⊕运算满足结合律。 2）
a,b∈N，由于有
a*b = GCD{a,b } = GCD{b,a } = b*a a⊕b = LCM {a,b } = LCM {b,a } = b⊕a
故 *运算和⊕运算满足交换律。
3）
a∈N，由于有
定理3 设<L, *,⊕>是格，≤={(a,b)| a,b∈L且a*b=a}，则有 GLB{a,b}=a*b，其中， GLB{a,b}是a,b 的下确界。
GLB是Greatest Lower Bound的缩写。 定理4 设<L, *,⊕>是格，≤={(a,b)| a,b∈L且a⊕b = b }且 ， 则有LUB{a,b}=a⊕b，其中，LUB{a,b}是a,b的上确界。 LUB是Least Upper Bound的缩写。
从格的定义可知，格是一个代数系统，这个代数系统有 两个二元运算。这两个二元运算满足4条性质。从格的定义 可以看到格这种代数系统和环、域这些代数系统有着很大的 不同。格中的两个运算满足幂等律和吸收律，这在环和域中 是没有的，而环中的么元和逆元的概念在格中也是没有的， 因此环和格是两种不同的代数系统。
从格的定义还看到，格中的两个二元运算的性质具有对称 性，即一个运算所具有的性质，另一个也有，反之亦然，这 正是格这种代数系统的特点。格中的许多性质均与此特点有 关。 例3. 已知<2Z ,∩,∪>是代数系统，由集合一章和前面的例 子知∩和∪运算分别满足结合律、交换律、幂等律和吸收律， 由格的定义知<2Z ,∩,∪>是格。 例4. 设I是整数集合,a,b∈I a*b=min{a,b}
由定理1知，在格中，a*b=a和a⊕b=b这两个式子是等价 的，当一个式子成立时，另一个式子也成立，反之亦然。在 以后的使用中，哪个方便就用哪个。
定理2 设<L, *,⊕>是格，那么在L中存在半序关系R。 由定理2知，可以通过格中*运算构造出格上的一个半序 关系，那么是否也可以由格中的⊕运算构造出格上的一个半 序关系呢？由于*运算和运算⊕的对称性，不但可以用⊕运算 构造出一个半序关系，而且还可以构造出同一个半序关系， 由定义1知，a*b=a和a⊕b=b两式是等价的，因此定理2中的R 可用⊕运算定义为： R={(a,b)|a,b∈L且a⊕b=b} 同理可以证明R也是L上的半序关系，而且由定理1知这个 半序关系与定理2中的半序关系是同一个半序关系，今后将这 样定义的半序关系R记为 ≤， 即 a,b∈L a≤b a*b=a a⊕b=b
a⊕b=max{a,b}
则<I, *,⊕>是代数系统。
1）由于 a,b,c∈I，有
(a*b)*c=min{min{a,b},c}=min{a,b,c} a*(b*c)=min{a,min{b,c}}=min{a,b,c} (a⊕b)⊕c=max{max{a,b},c}=max{a,b,c} a⊕(b⊕c)=max{a,max{b,c}}=max{a,b,c}
a*b=GLB{a,b} a⊕b=LUB{a,b}
定义的，更多的时候则用<L, ≤,*,⊕>表示，即将格中的代数 性质和序性质都表示出来，这样就将格的性质描述的比较全 面了。 例如 <2Z ,∩,∪>是格，<2Z , >也是格，且是同一个格，因 此通常用<2Z ，，∩，∪>表示这个格。
下面给出两个例子，这两个例子建立了同一个格，一个 是从定义3的角度建立的，一个是从定义3’的角度建立的。 例5 设N为自然数集，*和⊕定义如下
第五章 格与布尔代数
在上一章中介绍了几种代数系统，如半群，群，环， 域等。在本章中将再介绍两种代数系统 — 格和布尔代数， 关于格和布尔代数在计算机科学中的应用是众所周知的。
第一节 格
1.1 格的定义 1.2 格中的性质 1.3 分配格 1.4 有界格和有补格 第二节 布尔代数
§1 格
1.1 格的定义 在介绍格之前，先介绍两个代数系统中关于运算的性质。
3) 若有(a,b)∈R且(b,c)∈R，则有a|b且b|c，由整除的 性质知有a|c，即R是传递的。
由半序关系的定义知R是N上的半序关系。
下证N中任意两元素在R的作用下都有上、下确界存在。 ∈N，设α是a，b的最大公约数，即α=GCD{a,b}，于 是有α|a 且α|b，即α是a，b的下界。若另有下界β，则有β|a，且 β|b ，故 β是a，b的公约数。由最大公约数的定义知有β|α，即 α是a，b的最大下界，即有:
例6. 设N是自然数集合，R={(a,b)|a,b∈N 且 a|b}，则 <N,R>是格。
要证<N,R>是格，必须证两点，一是证明R为N上的半序 关系，二是证明在R的作用下N中任意两元素都有上、下确界。
证：先证R是N上的半序关系。 1 ） a∈N ， 由 整 除 的 性 质 知 有 a|a ， 故 a∈N 有 (a,a)∈R，即R是自反的。 2）若有(a,b)∈R且(b,a)∈R，则有a|b且b|a，由整除的 性质知有a=b，即R是反对称的。
= {(a,b)|a,b∈N 且 a⊕b=b}
由 于 a*b=a 等 价 于 GCD{a,b}=a ， a⊕b=b 等 价 于 LCM {a,b }=b，故当且仅当a整除b时，a，b有关系R。因此，半序 关系R就是N上的整除关系，且在此半序关系的作用下,有 GLB{a,b} = a*b = GCD{a,b} LUB{a,b} = a⊕b =LCM{a,b}
a*a = GCD{a,a} = a a⊕a = LCM {a,a} = a 故 *运算和⊕运算满足幂等律。
4） a,b∈N，由于有 a*(a⊕b) = GCD{a,LCM{a,b}} = a
a⊕(a*b) =LCM{a,GCD{a,b}} = a
故 *运算和⊕运算满足吸收律。 由格的定义知 <N, *,⊕>是格。 由定理2可知，在此格上有半序关系R如下。 R = {(a,b)|a,b∈N 且 a*b=a}
a,b∈N,
a*b = GLD{a,b}
a⊕b= LCM{a,b}
由于两个自然数的最大公约数和最小公倍数是唯一的， 且为自然数，故*和⊕是N上的两个二元运算。
下证这两个二元运算分别满足结合律、交换律、幂等 律、吸收律。 1）a,b,c∈N，由于有 (a*b)*c = GCD{a,b,c} = a*(b*c)
由定理1、定理2、定理3、定理4知，如果<L, *,⊕>是格， 那么就可以在L上利用*和⊕定义出一个半序关系，在这个半 序关系的作用下，L为半序集，且L中的任意两个元素都有上、 下确界，并且任意两个元素的上、下确界可以用*或⊕运算 来表示。格中的这种性质是格这种代数系统所独有的。现在 反过来问，如果有一个半序集，这个半序集上的任意两个元 素都有上、下确界存在，那么这个半序集是否有可能构成一 个格呢？下面的定理回答了这个问题。
反之，若在N上定义一个整除关系，则此关系是一个半 序关系，且任两元素的上确界就是它们的最小公倍数，任两 个元素的下确界就是它们的最大公约数。由此而引出的两个 二元 运算就是求最大公约数和求最小公倍数，且这两个二元 运算满足结合律、交换律、幂等律、吸收律。 这两个例子验证了定义3和定义3’的等价性。 通常将此格记为<N,1,GCD,GCM> 。
例1．设 Z是非零集合，2Z是Z的幂集，∩和∪是2Z上的交和 运算，已知<2Z ,∩,∪>是代数系统。 1）任取A∈2Z，由集合一章知有 A∩A=A A∪A=A 故由定义1知，∩和∪运算均满足幂等律。
2）任取A,B∈2Z，由集合一章知有
A∩(A∪B)=A A∪(A∩B)=A 故由定义2知，∩和∪运算均满足吸收律。
设有半序集<L, ≤>，且在半序关系≤的作用下，L中的任 意两元素都有上确界和下确界，由定理5知可得一格 <L,*,⊕>，其中 :
a*b=GLB{a,b} a⊕b=LUB{a,b} 在此格上根据定理2的方式定义一个半序关系≤’ ≤’={(a,b)|a,b∈L 且a*b=a} 由定理2、定理3和定理4知在≤’的作用下，有 a*b=glb{a,b} a⊕b=lub{a,b}
定理5 设<L, ≤>是半序集，≤是L上的半序关系，若L中 的任意两个元素在≤的作用下都有上、下确界存在，则<L, ≤> 是格。
由此定理可知，一个半序集，若其中任两元素都有上、 下确界存在，就可以根据此定理给出的方法构成一格。若在 此格中再根据定理2的方法定义一个半序关系，则这个半序 关系就是半序集上原来的那个半序关系，理由如下。
由定理5的证明知，在此格上可产生两个二元运算， *和 ⊕，其中
a,b
∈N, a*b = GLB{a,b} = GCD{a,b} a⊕b = LUB{a,b} = LCM{a,b}
且*运算和⊕运算满足结合律、交换律、幂等律、吸收律。
由例3和例4可知，如果将求最大公约数和求最小公倍数 作为N上的两个二元运算，则半序关系就是N上的整除关系， 且任两元素的上确界就是它们的最小公倍数，任两个元素的 下确界就是它们的最大公约数。
a⊕(a*b)=max{a,min{a,b}}=a 故由定义2知，*和⊕运算均满足吸收律。
定义3. 设<L, *,⊕>是代数系统，*和⊕是 L上的二元运算，若 1）*运算和⊕运算满足结合律 2）*运算和⊕运算满足交换律 3）*运算和⊕运算满足幂等律 4）*运算和⊕运算满足吸收律
则称<L, *,⊕>是格。
定义1. 设<Z ,*>是代数系统， 是 上的二元运算，
1) 任取x∈Z，若有x*x=x，则称x是幂等元。 2) 若 x∈Z，x是幂等元，则称运算x满足幂等律。 定义2. 设<Z，*，Δ>是代数系统，*和Δ是Z上的两个二元运 算，若x,y∈Z，有
x*(xΔy)=x
xΔ(x*y)=x 则称运算*和运算Δ满足吸收律。
a,b
GLB{a,b} = GCD{a,b}
∈N，设γ是a，b的最小公倍数，即γ=LCM{a,b}，于 是有a|γ且b|γ ，即γ是a，b的上界。若另有上界δ ，则有 a|δ， 且b|δ，故δ是a，b的公倍数。由最小公倍数的定义知有γ|δ，即 γ是a，b的最小上界，即有
a,b
LUB{a,b} = LCM{a,b} 由格的定义知<N,R>是格。