2018届中考数学专项复习几何证明与计算训练题
2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案
2018届初三数学中考复习 几何证明与计算 专题复习训练题C1. 如图，在△ ABC 中，ADL BC 于点 D, BD= AD, DG= DC 点 E , F 分别是 BQ AC 的中点.(1)求证：DE= DF, DEL DF;⑵连接EF ,若AC= 10，求EF 的长.2. 如图，在？ABCD 中 DE= CE 连接AE 并延长交BC 的延长线于点F.(1)求证：△ ADE^A FCE⑵若AB= 2BC / F = 36° .求/B 的度数.D t -------AC D3. 如图，在菱形ABCD K G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点 F ,交AD 于点E.(1)求证：AG= CG⑵求证：AG = GE- GF.4. 如图，在厶 ABC 中, / C = 90°, / B = 30°, AD >^ ABC 的角平分线，DE// BA 交AC 于点E , DF / CA 交AB 于点F ,已知CD= 3.(1) 求AD 的长;(2) 求四边形AEDF 的周长.(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E, Q F分别为AB, AC AD的中点，连接CE CF,OE QF.(1)求证：△ BCE^A DCF⑵当AB与BC满足什么关系时，四边形AEQF是正方形？请说明理由.6. 如图，点E是正方形ABCD勺边BC延长线上一点，连接DE过顶点B作BF丄DE 垂足为F, BF分别交AC于点H,交CD于点G.(1)求证：BG= DE⑵若点G为CD的中点，求号的值.7. 如图，在正方形 ABCD 中，点G 在对角线BD 上(不与点B, D 重合)，GEL DC 于点E , GF L BC 于点F ,连接AG.(1) 写出线段AG GE GF 长度之间的数量关系，并说明理由;⑵ 若正方形ABCD 的边长为1,Z AGF= 105°，求线段BG 的长.8. 如图，在厶ABC 中，AD L BC BE! AC 垂足分别为 D, E , AD 与BE 相交于点 F.(1)求证：△ AC BABFDE⑵当tan / ABD= 1, AO 3时，求BF的长.9. 如图，在菱形ABCD中G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F,交AD于点E.(1)求证：AG= CG ⑵求证：AG= GE- GF.10. 如图，在△ ABC和厶BCD中，/ BAC=Z BCD= 90°, AB= AC CB= CD延长CA至点E,使AE= AC延长CB至点F,使BF= BC•连接AD AF, DF, EF,延长DB交EF于点N.(1)求证：AD= AF;⑵求证：BD= EF;⑶ 试判断四边形ABNE 勺形状，并说明理由.11. 在厶ABC 中, Z ABMk 45°, AM L BM ,垂足为 M 点C 是BM 延长线上一点, 连接AC.(1)如图①，若AB= 3 2, BC= 5,求AC 的长;⑵ 如图②，点D 是线段AM 上一点，M O MC 点E 是厶ABC 外一点，EC= AC 连BD — CEF.12. 如图，正方形ABC［中, M为BC上一点，F是AM的中点，EF丄AM垂足为F, 交AD的延长线于点E,交DC于点N.(1)求证：△ ABMT A EFA⑵若AB= 12，BM= 5,求DE的长.参考答案：1. 解：（1）证明：T ADL BC •••/ADB=Z ADC= 90° .在厶BDG^ ADC中,『BD= AD彳/ BDG=Z ADC •△ BDG^A ADC.DG= DC•BG=AC, / BGD=Z C. v/ ADB=Z AD G 90° ,1E, F分别是BG AC的中点，二DE= 2BG= EG1DF= 2AC G AF. • DE= DF，/ EDG=Z EGD/ FDA=Z FAD.•/ EDG-Z FDA= 90°,二DEI DF.⑵v AC G 10,二DE= DF= 5,由勾股定理，得EF=pDE+ D F = 5寸2.2. 解：（1）证明：v四边形ABCD是平行四边形，• AD// BC, AD= BC.•Z D-Z ECF 在厶ADE^A FCE 中，Z D=Z ECFDE= CEZ AED=Z FEC•△ADE^A FCE ASA.（2）•••△ ADE^A FCE • AD= FC.v AD= BC AB= 2BC••• AB= FB.A Z BAF=Z F= 36°.B= 180°—2X36°= 108° .3. 证明：（1）T 四边形ABCD是菱形，• AB// CD AD= CD/ ADB=Z CDB 又GD为公共边，：.△CDG$A$ ,• AG= CG. （2）•••△ADG2A CDG^Z EAG=Z DCG^AB// CD•/ DCG=Z F. EAG=Z F. v/ AG=Z AGEAG EG 丄•△FGA.「. FG= AG • AG = GE- GF.4. 解：（1）v/ C= 90°,/ B= 30°，AZ CAB= 60°.1v AD平分/ CAB •/CAD=㊁/CAB= 30° .在Rt A ACD中, v/ ACD= 90°,/ CAD= 30°,二AD= 2CD= 6.（2）v DE// BA交AC于点E, DF// CA交AB于点F,•四边形AEDF是平行四边形，/ EAD=/ AD=/ DAF.•AF= DF.A四边形AEDF是菱形.• AE= DE= DF= AF.在Rt A CED中, v DE// AB, •/ CD=/ B= 30° .C D•DE=COS30。
重庆市2018年中考数学题型复习 题型七 几何图形的相关证明及计算 类型五 构造直角三角形练习
类型五构造直角三角形1. (2017重庆南开一模)如图，四边形ABCD为矩形，连接AC，AD＝2CD，点E在AD边上．(1)如图①，若∠ECD＝30°，CE＝4，求△AEC的面积；(2)如图②，延长BA至点F使得AF＝2CD，连接FE并延长交CD于点G，过点D作DH⊥EG 于点H，连接AH，求证：FH＝2AH＋DH.第1题图2. 已知△ABC和△ADE都是等边三角形，点B，D，E在同一条直线上．(1)如图①，当AC⊥DE，且AD＝2时，求线段BC的长度；(2)如图②，当CD⊥BE时，取线段BC的中点F，线段DC的中点G，连接DF，EG，求证：DF＝EG.第2题图3. 如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD.过点C作CE⊥AB于点E.(1)若AB＝10，BD＝2，求CE的长；(2)如图②，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝30°，求证：CF＝AE＋3 2DF；第3题图4. (2017重庆八中模拟)如图，△ABD是等腰直角三角形，点C是BD延长线上一点，F在AC上，AD＝AF，E为△ADC内一点，连接AE、BE，AE平分∠CAD，AE⊥BE.(1)若∠EBD＝15°，求∠ADF；(2)求证：BE－AE＝DF.5. (2017重庆巴蜀一模)如图，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为AC 上一点，连接BD，过C点作BD的垂线交BD的延长线于点E，连接AE，过点A作AF⊥AE交BD 于点F ，连接CF .(1)若CE ＝2，AE ＝322，求BC 的长；(2)若点D 为AC 的中点，求证：CF ＝2CD .第5题图6. 如图，在△ABC 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，点D 在BC 的延长线上，连接AD ，过点B 作BE ⊥AD ，垂足为E ，交AC 于点F ，连接CE .(1)求证：△BCF≌△ACD；(2)猜想∠BEC的度数，并说明理由；(3)探究线段AE，BE，CE之间满足的等量关系，并说明理由．第6题图答案1. (1)解：在Rt△EDC中，∵∠ECD ＝30°， ∴ED ＝12EC ＝12×4＝2，∴DC ＝EC ·cos 30°＝4×32＝23， ∴AE ＝2DC －ED ＝43－2，∴S △AEC ＝12×AE ×DC ＝12(43－2)×23＝12－23；(2)证明：如解图，过A 作AM ⊥AH ，交FG 于点M ， ∴∠MAH ＝∠MAD ＋∠DAH ＝90°，又∵∠FAD ＝∠MAD ＋∠FAM ＝90°，∴∠FAM ＝∠DAH ， ∵AF ∥CD ， ∴∠F ＝∠EGD ， ∵DH ⊥EG ，∴∠DHE ＝∠HDG ＋∠EGD ＝90°，∠EDG ＝∠EDH ＋∠HDG ＝90°， ∴∠EGD ＝∠EDH ， ∴∠F ＝∠EDH ， 又∵AF ＝2CD ，AD ＝2CD ， ∴AF ＝AD ，∴△AFM ≌△ADH (ASA )， ∴AM ＝AH ，FM ＝DH ， ∴△MAH 是等腰直角三角形， ∴MH ＝2AH ， ∵FH ＝MH ＋FM ， ∴FH ＝2AH ＋DH .第1题解图2. (1)解：设AC 与DE 交于点F ，如解图①所示： ∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，AC ⊥DE ，AD ＝2， ∴BC ＝AC ，DE ＝AD ＝2，DF ＝12DE ＝1，AF ＝CF ，∴AF ＝AD 2－DF 2＝3， ∴AC ＝2AF ＝23， ∴BC ＝23；(2)证明：连接CE 、GF ，如解图②所示：∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，点B ，D ，E 在同一条直线上． ∴AB ＝AC ，AD ＝AE ，∠BAC ＝∠DAE ＝∠AED ＝60°， ∴∠ADB ＝120°，∠BAD ＝∠CAE ， 在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠BAD＝∠CAE AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE (SAS )，∴BD ＝CE ，∠AEC ＝∠ADB ＝120°， ∴∠CED ＝∠AEC －∠AED ＝60°， ∵CD ⊥BE ， ∴∠DCE ＝30°， ∴DE ＝12CE ，∵点F 为线段BC 的中点，点G 为线段DC 的中点， ∴FG ∥BD ，FG ＝12BD ，∴FG ∥DE ，FG ＝DE ，∴四边形DFGE 是平行四边形， ∴DF ＝EG .第2题解图3. (1)解：设AC ＝CD ＝x .在Rt △ACB 中，AB ＝10，AC ＝x ，BC ＝CD ＋BD ＝x ＋2， ∵AB 2＝AC 2＋BC 2， ∴102＝x 2＋(x ＋2)2， 解得x ＝6或－8(舍)， ∴AC ＝6，BC ＝8.∵12·AC ·BC ＝12·AB ·CE ， ∴CE ＝6×810＝245.(2)证明：如解图，过点D 作DH ⊥CF 于点H .第3题解图∵∠ACD ＝∠AEC ＝∠DHC ＝90°，∴∠ACE ＋∠CAE ＝90°，∵∠ACE ＋∠BCE ＝90°， ∴∠CAE ＝∠DCH ，在△ACE 和△CDH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAE ＝∠DCH ∠AEC＝∠DHC，AC ＝CD∴△ACE ≌△CDH (AAS )， ∴AE ＝CH ， 在Rt △DHF 中，∵∠DHF ＝90°，∠F ＝30°，∴HF ＝DF ·cos 30°＝32DF ， ∴CF ＝CH ＋HF ＝AE ＋32DF . 4. (1)解：在△BGD 和△AGE 中， ∵∠BDG ＝∠AEG ＝90°， ∠BGD ＝∠AGE ， ∴∠DBG ＝∠EAG ，∵∠DBG ＝15°，AE 平分∠CAD ， ∴∠DAC ＝30°， ∵AD ＝AF ∴∠ADF ＝75°，(2)证明：如解图，过D 作DH ⊥DE ，交BE 于点H ，第4题解图∵∠BDA ＝∠EDH ＝90°， ∴∠BDH ＝∠ADE ，在△AED 和△BHD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BDH ＝∠ADE AD ＝BD ∠DBE＝∠DAE ，∴△AED ≌△BHD (ASA )， ∴DE ＝DH ，∴△DHE 为等腰直角三角形， ∴∠DEH ＝45°， ∴∠DEA ＝135°，在△DAE 和△FAE 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠DAE＝∠FAE AD ＝AF ，∴△DAE ≌△FAE (SAS )，∴∠AED ＝∠AEF ＝135°，DE ＝EF ， ∴DH ＝EF ，∴△DEF 为等腰直角三角形， ∴四边形HDFE 为平行四边形， ∴HE ＝DF ，∵BE －BH ＝HE ，BH ＝AE ， ∴BE －AE ＝DF .5. (1)解：∵AB ＝AC ，AB ⊥AC ，BE ⊥CE ， ∴∠BEC ＝∠BAC ＝90°， ∵∠ADB ＝∠CDE ， ∴∠ABF ＝∠ACE ， ∵∠BAC ＝∠FAE ＝90°，∴∠BAF ＝∠CAE ，∴△AFB ≌△AEC (ASA )，∴BF ＝CE ，AE ＝AF ，又∵在Rt △FAE 中，AE ＝322， ∴EF ＝3，在Rt △BEC 中，BE ＝BF ＋EF ＝2＋3＝5，CE ＝2， ∴BC ＝52＋22＝29，(2)证明：如解图，过点A 作AM ⊥BE 于点M ，连接CM .∴在Rt △ADM 和Rt △CDE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AMD＝∠CED＝90°AD ＝CD ∠ADM＝∠CDE，∴△ADM ≌△CDE (AAS )，∴CE ＝AM ，在Rt △AMF 中，∠AFD ＝45°，∠FAM ＝45°， ∴CE ＝AM ＝FM ＝ME ，∴∠EMC ＝45°，∴∠FMC ＝∠AMC ＝135°，CM ＝CM ，∴△FMC ≌△AMC (SAS )，∴CF ＝AC ＝2CD .第5题解图6. (1)证明：∵BE ⊥AD ，∠ACB ＝90°，∴∠CBE ＝∠CAD ＝90°－∠D ，在△BCF 和△ACD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CBE ＝∠CAD BC ＝AC ∠BCF＝∠ACD＝90°，∴△BCF ≌△ACD (ASA )；(2)解：∠BEC ＝45°，理由：如解图，取AB 的中点M ，连接CM ，EM ， ∵AC ＝BC ，∠ACB ＝90°，BE ⊥AD ，∴CM ＝EM ＝AM ＝BM ＝12AB ， ∴点A ，B ，C ，E 在同一个圆(⊙M )上， ∴∠BEC ＝∠BAC ＝45°；(3)解：BE ＝AE ＋2CE ，理由：作CG ⊥CE 交BE 于点G ，∵∠BEC ＝45°，则∠CGE ＝45°＝∠BEC ，CG ＝CE ，∴∠BGC ＝135°＝∠AEC ，EG ＝2CE ，在△BCG 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BGC ＝∠AEC ∠CBE＝∠CAD，BC ＝AC∴△BCG ≌△ACE (AAS )，∴BG ＝AE ，∴BE ＝BG ＋EG ＝AE ＋2CE .第6题解图。
2018年中考数学-----几何综合题汇总1
2018年中考数学-----几何综合题汇总11、在△ABC 中，AB =BC ，BD ⊥AC 于点D ．（1）如图1，当∠ABC =90°时，若CE 平分∠ACB ，交AB 于点E ，交BD 于点F . ①求证：△BEF 是等腰三角形；②求证：()BF BC BD +=21；（2）点E 在AB 边上，连接CE . 若()BF BC BD +=21，在图2.中补全图形，判断∠ACE 与∠ABC 之间的数量关系，写出你的结论，并写出求解∠ACE 与∠ABC 关系的思路图1 图22、在△ABC 中，∠ACB =90°，AC ＜BC ，点D 在AC 的延长线上，点E 在BC 边上，且BE =AD ， (1) 如图1，连接AE ，DE ，当∠AEB =110°时，求∠DAE 的度数；(2) 在图2中，点D 是AC 延长线上的一个动点，点E 在BC 边上（不与点C 重合），且BE =AD ，连接AE ，DE ，将线段AE 绕点E 顺时针旋转90°得到线段EF ，连接BF ,DE . ①依题意补全图形；②求证：BF =DE .图1图23、在等腰△ABC中，（1）如图1，若△ABC为等边三角形，D为线段BC中点，线段AD关于直线AB 的对称线段为线段AE，连接DE，则∠BDE的度数为___________；（2）若△ABC为等边三角形，点D为线段BC上一动点（不与B，C重合），连接AD并将线段AD绕点D逆时针旋转60°得到线段DE，连接BE。
①根据题意在图2中补全图形；②小玉通过观察、验证，提出猜测：在点D运动的过程中，恒有CD=BE.经过与同学们的充分讨论，形成了几种证明的思路：思路1：要证明CD=BE，只需要连接AE，并证明△ADC≌△AEB；思路2：要证明CD=BE，只需要过点D作DF∥AB，交AC于F，证明△ADF≌△DEB；思路3：要证明CD=BE，只需要延长CB至点G，使得BG=CD，证明△ADC≌△DEG；……请参考以上思路，帮助小玉证明CD=BE.（只需要用一种方法证明即可）（3）小玉的发现启发了小明：如图3，若AB=AC=kBC，AD=kDE，且∠ADE=∠C，此时小明发现BE，BD，AC三者之间满足一定的的数量关系，这个数量关系是______________________.（直接给出结论无须证明）图1 图2 图3CCB CB ABDC图1图24、在△ABC 中，AB=BC ，∠B=90°，点D 为直线BC 上一个动点（不与B 、C 重合），连结AD ，将线段AD 绕点D 按顺时针方向旋转90°，使点A 旋转到点E ，连结EC .（1）如果点D 在线段BC 上运动，如图1：①依题意补全图1；②求证：∠BAD=∠EDC③通过观察、实验，小明得出结论：在点D 运动的过程中，总有∠DCE=135°.小明与同学讨论后，形成了证明这个结论的几种想法：想法一：在AB 上取一点F ，使得BF=BD ，要证∠DCE =135°，只需证△ADF ≌△DEC .想法二：以点D 为圆心，DC 为半径画弧交AC 于点F. 要证∠DCE=135°，只需证△AFD ≌△ECD . 想法三：过点E 作BC 所在直线的垂线段EF ，要证∠DCE=135°，只需证EF=CF .…… 请你参考上面的想法，证明∠DCE=135°.（2）如果点D 在线段CB 的延长线上运动，利用图2画图分析，∠DCE 的度数还是确定的值吗？如果是，直接写出∠DCE 的度数；如果不是，说明你的理由.5、在等边三角形ABC 中，E 为直线AB 上一点，连接EC .ED 与直线BC 交于点D ，ED =EC . （1）如图1，AB =1，点E 是AB 的中点，求BD 的长；（2）点E 是AB 边上任意一点（不与AB 边的中点和端点重合），依题意，将图2补全，判断AE 与BD 间的数量关系并证明；（3）点E 不在线段AB 上，请在图3中画出符合条件的一个图形.6、在△ABC 中，AB =AC ，∠A =60°，点D 是BC 边的中点，作射线DE ，与边AB 交于点E ，射线DE 绕点D 顺时针旋转120°，与直线AC 交于点F ．（1）依题意将图1补全；（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E 运动的过程中，始终有DE=DF ．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：由点D 是BC 边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE =DF ； 想法2：利用等边三角形的对称性，作点E 关于线段AD 的对称点P ，由∠BAC 与∠EDF 互补，可得∠AED 与∠AFD 互补，由等角对等边，可证DE =DF ；想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD 是∠BAC 的角平分线，由角平分线定理，构造点D 到AB ，AC 的高，利用全等三角形，可证DE =DF …….请你参考上面的想法，帮助小华证明DE =DF （选一种方法即可）； （3）在点E 运动的过程中，直接写出BE ，CF ，AB 之间的数量关系．7、已知△ABC ，AB AC =, BAC α∠=,在BA 的延长线上任取一点D ,过点D 作BC 的平行线交CA 的延长线于点E 。
2018年苏州中考《第三讲：几何证明与计算题》专题复习含答案
D∥ B C ， A B∥ D E ， A F∥ D C ， 3．（2009 年江苏•本题满分 10 分）如图，在梯形 ABCD 中， A E、F 两点在边 BC 上，且四边形 AEFD 是平行四边形． （1） AD 与 BC 有何等量关系？请说明理由； D A （2）当 AB DC 时，求证： ABCD 是矩形．
2．(2008 年苏州•本题 8 分) 如图，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=DC=5，AD=6，BC=12．动点 P 从 D 点出发沿 DC 以每秒 1 个单位的速度向终点 C 运动，动点 Q 从 C 点出发沿 CB 以每秒 2 个单位的速 度向 B 点运动．两点同时出发，当 P 点到达 C 点时，Q 点随之停止运动． (1)梯形 ABCD 的面积等于 (2)当 PQ//AB 时，P 点离开 D 点的时间等于 (3)当 P、Q、C 三点构成直角三角形时，P 点离开 D 点多少时间? ； 秒；
2018 年苏州中考《第三讲：几何证明与计算题》专题复习含答案 2018 年苏州中考数学专题辅导
第三讲 几何证明与计算题选讲
真题再现： 1．（2008 年苏州•本题 6 分)如图，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，∠1=∠2，∠3=∠4． 求证：(1)△ABC≌△ADC； (2)BO=DO．
11．（7 分）（2013•苏州）如图，在一笔直的海岸线 l 上有 A，B 两个观测站，A 在 B 的正东方向，AB ＝2（单位：km）．有一艘小船在点 P 处，从 A 测得小船在北偏西 60°的方向，从 B 测得小船在北偏东 45°的方向． (1)求点 P 到海岸线 l 的距离； (2)小船从点 P 处沿射线 AP 的方向航行一段时间后，到达点 C 处．此时，从 B 测得小船在北偏西 15°的 方向．求点 C 与点 B 之间的距离．（上述 2 小题的结果都保留根号）
北京市2018届中考《简单的几何证明与计算》练习含答案
2018届初三数学中考复习简单的几何证明与计算专项复习练习1. 如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，且BD＝CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F.(1)求证：AB＝AC；(2)若AD＝23，∠DAC＝30°，求AC的长．解析：(1)先证△DEB≌△DFC得∠B＝∠C，由此即可证明；(2)先证AD⊥BC，再在Rt△ADC中，利用30°角性质设CD＝a，AC＝2a，根据勾股定理列出方程即可求解．解：(1)∵AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，∴DE＝DF，∠DEB＝∠DFC ＝90°，又∵BD＝CD，∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL)，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC (2)∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝23，∠DAC＝30°，∴AC＝2CD，设CD＝a，则AC＝2a，∵AC2＝AD2＋CD2，∴4a2＝a2＋(23)2，∵a＞0，∴a＝2，∴AC＝2a＝42. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为点F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．解析：(1)由两角相等即可证明；(2)由勾股定理求出AM ，得出AF ，由△ABM∽△EFA 得出比例式，求出AE ，即可求解．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠B ＝90°，AD ∥BC ，∴∠AMB ＝∠EAF，又∵EF⊥AM，∴∠AFE ＝90°，∴∠B ＝∠AFE，∴△ABM ∽△EFA(2)∵∠B＝90°，AB ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13，AD ＝12，∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5，∵△ABM ∽△EFA ，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE，∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.93. 如图，AC 是矩形ABCD 的对角线，过AC 的中点O 作EF⊥AC，交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE ，CF.(1)求证：四边形AECF 是菱形；(2)若AB ＝3，∠DCF ＝30°，求四边形AECF 的面积．(结果保留根号)解析：(1)过AC 的中点O 作EF⊥AC，根据线段垂直平分线的性质，可得AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC ，由AAS 可证△AOF≌△COE，可得AF ＝CE ，由此即可证明；(2)由四边形ABCD 是矩形，易求得CD 的长，利用三角函数求得CF 的长，即可求解． 解：(1)∵O 是AC 的中点，且EF⊥AC，∴AF ＝CF ，AE ＝CE ，OA ＝OC ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AFO ＝∠CEO，可证△AOF≌△COE(AAS )，∴AF ＝CE ，∴AF ＝CF ＝CE ＝AE ，∴四边形AECF 是菱形(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB ＝3，在Rt △CDF 中，cos ∠DCF ＝CD CF，∠DCF＝30°，∴CF＝CDcos30°＝2，∵四边形AECF是菱形，∴CE＝CF＝2，∴四边形AECF是的面积为EC·AB＝2 34．如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB 边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.解：(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∴AC＝BC，CD＝CE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACE＋∠ACD＝∠BCD＋∠ACD，∴∠ACE＝∠BCD，可证△ACE≌△BCD(SAS)(2)∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠B＝∠BA C＝45°.∵△ACE≌△BCD，∴∠B ＝∠CAE＝45°，∴∠DAE＝∠CAE＋∠BAC＝45°＋45°＝90°，∴AD2＋AE2＝DE2.由(1)知AE＝DB，∴AD2＋DB2＝DE2，即2CD2＝AD2＋DB25．如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．解：(1)∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠BDF＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C＋∠DBF＝90°，∠C＋∠DAC＝90°，∴∠DBF＝∠DAC，∴△ACD∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝AD BD＝1，∴BF ＝AC ＝36．如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO.(1)已知EO ＝2，求正方形ABCD 的边长；(2)猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形，∴CA ＝2BC 2＝2BC.∵CF＝CA ，CE 是∠ACF 的角平分线，∴E 是AF 的中点．∵E，O 分别是AF ，AC 的中点，∴EO ∥BC ，且EO ＝12CF ，∴CA ＝CF ＝2EO ＝22，∴BC ＝2，∴正方形ABCD 的边长为2 (2)EM ＝12CN.证明：∵CE 平分∠ACB，∴∠OCM ＝∠BCN，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，∠ABC ＝90°，∴∠COM ＝∠CBN＝90°，∴△OCM ∽△BCN ，∴CM CN ＝OC BC ＝22.∵EO∥BC，∴△OEM ∽△BCM ，∴EM CM ＝OE BC ＝22，CM CN ·EM CM ＝22×22＝12，∴EM CN ＝12，即EM ＝12CN7．如图，在菱形ABCD 中，G 是BD 上一点，连接CG 并延长交BA 的延长线于点F ，交AD 于点E.(1)求证：AG ＝CG ；(2)求证：AG 2＝GE·GF.解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF8．如图，△ABC 中，D 是BC 边上一点，E 是AD 的中点，过点A 作BC 的平行线交CE 的延长线于F ，且AF ＝BD ，连接BF.(1)求证：D 是BC 的中点；(2)若AB ＝AC ，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．解：(1)∵AF∥BC，∴∠AFE ＝∠DCE，∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，可证△AEF≌△DEC(AAS )，∴AF ＝CD ，∵AF ＝BD ，∴BD ＝CD ，∴D 是BC 的中点(2)若AB ＝AC ，则四边形AFBD 是矩形．证明：∵AF ∥BD ，AF ＝BD ，∴四边形AFBD 是平行四边形，∵AB ＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴平行四边形AFBD 是矩形9．如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.(1)求证：BM ＝MN ；(2)若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC ＝2，求BN 的长．解：(1)在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD ，MN ＝12AD ，在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM ＝12AC ，∵AC ＝AD ，∴MN ＝BM (2)∵∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，∴∠BAC ＝∠DAC＝30°，由(1)可知BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，∴∠BMC ＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°，∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC ＝30°，∴∠BMN ＝∠BMC＋∠NMC＝90°，∴BN 2＝BM 2＋MN 2，由(1)可知MN ＝BM ＝12AC ＝1，∴BN ＝ 210．如图，在△ABC 和△BCD 中，∠BAC ＝∠BCD＝90°，AB ＝AC ，CB ＝CD.延长CA 至点E ，使AE ＝AC ；延长CB 至点F ，使BF ＝BC.连接AD ，AF ，DF ，EF ，延长DB 交EF 于点N.(1)求证：AD ＝AF ；(2)求证：BD ＝EF ；(3)试判断四边形ABNE 的形状，并说明理由．解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS )，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS )，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形11．如图，在四边形ABCD 中，AC 平分∠BCD，AC ⊥AB ，E 是BC 的中点，AD ⊥AE.(1)求证：AC 2＝CD·BC；(2)过E 作EG⊥AB，并延长EG 至点K ，使EK ＝EB.①若点H 是点D 关于AC 的对称点，点F 为AC 的中点，求证：FH⊥GH； ②若∠B＝30°，求证：四边形AKEC 是菱形．解：(1)∵AC 平分∠BCD，∴∠DCA ＝∠ACB.又∵AC⊥AB，AD ⊥AE ，∴∠DAC ＋∠CAE ＝90°，∠CAE ＋∠EAB＝90°，∴∠DAC ＝∠EAB.又∵E 是BC 的中点，∴AE ＝BE ，∴∠EAB ＝∠ABC，∴∠DAC ＝∠ABC，∴△ACD ∽△BCA ，∴AC BC ＝CD AC，∴AC 2＝CD·BC (2)①连接AH.∵∠ADC＝∠BAC＝90°，点H ，D 关于AC 对称，∴AH ⊥BC.∵EG ⊥AB ，AE ＝BE ，∴点G 是AB 的中点，∴HG ＝AG ，∴∠GAH ＝∠GHA.∵点F 为AC 的中点，∴AF ＝FH ，∴∠HAF ＝∠FHA，∴∠FHG ＝∠AHF＋∠AHG＝∠FAH＋∠HAG ＝∠CAB＝90°，∴FH ⊥GH②∵EK ⊥AB ，AC ⊥AB ，∴EK ∥AC ，又∵∠B＝30°，∴AC ＝12BC ＝EB ＝EC.又EK ＝EB ，∴EK ＝AC ，∴四边形AKEC 是平行四边形，又∵AC＝EC ，∴四边形AKEC 是菱形12. △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与B ，C 重合)，以AD 为边在AD 右侧作正方形ADEF ，连接CF.(1)观察猜想如图1，当点D 在线段BC 上时，①BC 与CF 的位置关系为__垂直__；②BC，CD ，CF 之间的数量关系为__BC ＝CD ＋CF__；(2)数学思考如图2，当点D 在线段CB 的延长线上时，结论①，②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明．(3)拓展延伸如图3，当点D 在线段BC 的延长线上时，延长BA 交CF 于点G ，连接GE.若已知AB ＝22，CD ＝14BC ，请求出GE 的长．解析：(2)根据正方形的性质得到∠BAC＝∠DAF ＝90°，推出△DAB≌△FAC，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论；(3)过A 作AH⊥BC 于点H ，过E 作EM⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ，先求出AH ，DH ，证△ADH≌△DEM(AAS )得到EM ＝DH ，DM ＝AH ，由等量代换得到CN ＝EM ，EN ＝CM ，根据等腰直角三角形的性质得到CG ＝BC ＝4，根据勾股定理即可得到结论． 解：(2)CF⊥BC 成立；BC ＝CD ＋CF 不成立，CD ＝CF ＋BC.证明：∵正方形ADEF ，∴AD ＝AF ，∵∠BAC ＝∠DAF＝90°，∴∠BAD ＝∠CAF，可证△DAB≌△FAC(SAS )，∴∠ABD ＝∠ACF，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴∠ACB ＝∠ABC＝45°.∴∠ABD ＝180°－45°＝135°，∴∠BCF ＝∠ACF－∠ACB＝135°－45°＝90°，∴CF ⊥BC.∵CD ＝DB ＋BC ，DB ＝CF ，∴CD ＝CF ＋BC(3)过A 作AH⊥BC 于点H ，过E 作EM⊥BD 于点M ，EN ⊥CF 于点N ，∵∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，∴BC ＝2AB ＝4，AH ＝12BC ＝2，∴CD ＝14BC ＝1，CH ＝12BC ＝2，∴DH ＝3，由(2)证得BC⊥CF，CF ＝BD ＝5，∵四边形ADEF 是正方形，∴AD ＝DE ，∠ADE ＝90°，∵BC ⊥CF ，EM ⊥BD ，EN ⊥CF ，∴四边形CMEN 是矩形，∴NE ＝CM ，EM ＝CN ，∵∠AHD ＝∠ADC＝∠EMD＝90°，∴∠ADH ＋∠EDM＝∠EDM＋∠DEM＝90°，∴∠ADH ＝∠DEM，可证△ADH≌△DEM(AAS )，∴EM ＝DH ＝3，DM ＝AH ＝2，∴CN ＝EM ＝3，EN ＝CM ＝3，∵∠ABC ＝45°，∴∠BGC ＝45°，∴△BCG 是等腰直角三角形，∴CG ＝BC ＝4，∴GN ＝1，∴EG ＝GN 2＋EN 2＝10。
河北省2018年中考数学总复习 几何证明专题
河北中考复习之几何证明1、如图1，E是边长为1的正方形ABCD的对角线BD上一点，且BE＝BC，P为CE上任意一点，PQ⊥BC于点Q，PR⊥BE于点R，则PQ＋PR的值是【】A．22B．21 C．23 D．322、如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC⊥BD，且AC=12，BD=9，则此梯形的中位线长是A．10 B．212C．152D．123、小明爸爸的风筝厂准备购进甲、乙两种规格相同但颜色不同的布料生产一批形状如图3所示的风筝，点E，F，G，H分别是四边形ABCD各边的中点．其中阴影部分用甲布料，其余部分用乙布料（裁剪两种布料时，均不计余料）．若生产这批风筝需要甲布料30匹，那么需要乙布料A．15匹B．20匹C．30匹D．60匹4、如图4，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则这个平行四边形的一个最小内角的值等于．5、一个正方形和两个等边三角形的位置如图5所示，若∠3=50°，则∠1+∠2=（）A．90° B．100° C．130° D．180°6、把三张大小相同的正方形卡片A，B，C叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图6-1摆放时，阴影部分的面积为S1；若按图6-2摆放时，阴影部分的面积为S2，则S1 S2（填“＞”、“＜”或“=”）．7、如图7-1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A’B’D’的位置，得到图7-2，则阴影部分的周长为．8、用4个全等的正八边形进行拼接，使相邻的两个正八边形有一条公共边，围成一圈后中间形成一个正方形，如图8-1，用n个全等的正六边形按这种方式拼接，如图8-2，若围成一圈后中间也形成一个正多边形，则n的值为．9、如图10，两个正六边形的边长均为1，其中一个正六边形的一边恰在另一个正六边形的对角线上，则这个图形（阴影部分）外轮廓线的周长是（）A．7 B．8 C．9 D．10、平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图10，则∠3+∠1-∠2= ．BCDEF GHA图3AB CD图4图2AB CDABDCERPQ图1图5 图6-1 图7-1 图8-2图6-2 图7-2 图8-1图14 图10 图11 图12 图1312、如图12，边长为a 的正六边形内有两个三角形（数据如图），则空白阴影s s A ． 3 B．4 C ．5 D ． 613、如图13，M 是铁丝AD 的中点，将该铁丝首尾相接折成△ABC ，且∠B=30°，∠C=100°，如图13．则下列说法正确的是（ ）A ．点M 在AB 上 B ．点M 在BC 的中点处 C ．点M 在BC 上，且距点B 较近，距点C 较远D ．点M 在BC 上，且距点C 较近，距点B 较远14、如图14，将长为8cm 的铁丝首尾相接围成半径为2cm 的扇形．则扇形s =15、小宇同学在一次手工制作活动中，先把一张矩形纸片按图9—1的方式进行折叠，使折痕的左侧部分比右侧部分短1cm ；展开后按图9—2的方式再折叠一次，使第二次折痕的左侧部分比右侧部分长1cm ，再展开后，在纸上形成的两条折痕之间的距离是A ．0.5cmB ．1cmC ．1.5cmD ．2cm16、如图15，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ADE 沿直线DE 折叠，点A 落在点A ′处，且点A ′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为 cm ．17、如图16，△ABC 中，D ，E 分别是边AB ，AC 的中点．若DE=2，则BC=（ ）A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 18、如图17，将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n 个三角形后，拼成面积为2的正方形，则n ≠（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．519、如图1是边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2的正方体，则图1中小正方形顶点A ，B 围成的正方体上的距离是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ． 320、如图14，已知△ABC （AC ＜BC ），用尺规在BC 上确定一点P ，使PA+PC=BC ，则符合要求的作图痕迹是（ ）A ．B ．C ．D ．20、嘉淇同学要证明命题“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”是正确的，她先用尺规作出了如图1的四边形ABCD ，并写出了如下不完整的已知和求证． 已知：如图1，在四边形ABCD 中，BC=AD ，AB= 求证：四边形ABCD 是 四边形． （1）在方框中填空，以补全已知和求证； （2）按嘉淇的想法写出证明；（3）用文字叙述所证命题的逆命题为 ． 21、如图，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=40°，将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转100°．得到△ADE ，连接BD ，CE 交于点F ．左 右左 右 第二次折叠 第一次折叠 图9－1 图9－2 图15 图16 图17 图14（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）求∠ACE的度数；（3）求证：四边形ABFE是菱形．22、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，又知∠EFD=∠BCD，请问你能推出什么结论？（直接写出一个结论，要求结论中含有字母E）23、如图，在▱ABCD中，点E，F分别在AB，DC上，且ED⊥DB，FB⊥BD．（1）求证：△AED≌△CFB；（2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求证：DA=DF．22．在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F 在边CD上，DF=BE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）若CF=3，BF=4，DF=5，求证：AF平分∠DAB．23、在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3 km和2 km，AB= a km（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图13-1是方案一的示意图，设该方案中 管道长度为d 1，且d 1=PB+BA （km ）（其中BP ⊥ l 于点P ）；图13-2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d 2 ，且d 2=PA +PB （km ）（其中点A '与点A 关于l 对称，A 'B 与l 交于点P ）．观察计算（1）在方案一中，d 1= km （用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d 2的长，作了如图13-3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d 2=km （用含a 的式子表示）． 探索归纳（1）①当a = 4时，比较大小： d 1 d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a = 6时，比较大小： d 1 d 2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a （当a ＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？24、在正方形ABCD 中，点E 是AD 上一动点，MN ⊥AB 分别交AB ，CD 于M ，N ，连接BE 交MN 于点O ，过O 作OP ⊥BE 分别交AB ，CD 于P ，Q ．探究：（1）如图①，当点E 在边AD 上时，请你动手测量三条线段AE ，MP ，NQ 的长度，猜测AE 与MP+NQ 之间的数量关系，并证明你所猜测的结论；探究：（2）如图②，若点E 在DA 的延长线上时，AE ，MP ，NQ 之间的数量关系又是怎样请直接写出结论； 再探究：（3）如图③，连接并延长BN 交AD 的延长线DG 于H ，若点E 分别在线段DH 和射线HG 上时，请在图③中完成符合题意的图形，并判断AE ，MP ，NQ 之间的数量关系又分别怎样？请直接写出结论．25、在图14-1至图14-3中，点B 是线段AC 的中点，点D 是线段CE 的中点．四边形BCGF 和CDHN 都是正方形．AE 的中点是M ．（1）如图14-1，点E 在AC 的延长线上，点N 与点G 重合时，点M 与点C 重合，求证：FM = MH ，FM ⊥MH ；∵22()()m n m n m n -=+-，m +n ＞0， ∴（22m n -）与（m n -）的符号相同． 当22m n -＞0时，m n -＞0，即m ＞n ； 当22m n -= 0时， m n -= 0，即m =n 当22m n -＜0时，m n -＜0，即m ＜n ． 方法指导 当不易直接比较两个正数m 与n 的 大小时，可以对它们的平方进行比较：A l 图13 -1 A B l A ' 图13 -2 A B P C 图13 -3 K l A ' BPC（2）将图14-1中的CE 绕点C 顺时针旋转一个锐角，得到图14-2，求证：△FMH 是等腰直角三角形； （3）将图14-2中的CE 缩短到图14-3的情况，△FMH 还是等腰直角三角形吗？（不必说明理由）26、操作示例 对于边长均为a 的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11—1所示的方式摆放，再沿虚线BD ，EG 剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图11—1中的四边形BNED ．从拼接的过程容易得到结论：①四边形BNED 是正方形； ②S 正方形ABCD +S 正方形EFGH =S 正方形BNED ．实践与探究（1）对于边长分别为a ，b （a ＞b ）的两个正方形ABCD 和EFGH ，按图11—2所示的方式摆放，连结DE ，过点D 作DM ⊥DE ，交AB 于点M ，过点M 作MN ⊥DM ，过点E 作EN ⊥DE ，MN 与EN 相交于点N ．①证明四边形MNED 是正方形，并用含a ，b 的代数式表 示正方形MNED 的面积；②在图11—2中，将正方形ABCD 和正方形EFGH 沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED ．请简略说明你的拼接方法（类比图11—1，用数字表示对应的图形）．（2）对于n （n 是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由．27、如图14—1，14—2，四边形ABCD 是正方形，M 是AB 延长线上一点．直角三角尺的一条直角边经过点D ，且直角顶点E 在AB 边上滑动（点E 不与点A ，B 重合），另一条直角边与∠CBM 的平分线BF 相交于点F ．（1）如图14—1，当点E 在AB 边的中点位置时： ①通过测量DE ，EF 的长度，猜想DE 与EF 满足的数量关系是 ；②连接点E 与AD 边的中点N ，猜想NE 与BF 满足的数量关系是 ；③请证明你的上述两个猜想．（2）如图14—2，当点E 在AB 边上的任意位置时，请你在AD 边上找到一点N ，使得NE =BF ，进而猜想此时DE 与EF 有怎样的数量关系．28、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转． （1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；A B C D E F GM图11—2（H ） A CDF图14—1 N A B C D E M F 图14—2 43 2 1 A B C D E F （H ） 图11—1 （G ） 5 6图14（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．29、在图14-1—14-5中，正方形ABCD 的边长为a ，等腰直角三角形FAE 的斜边AE ＝2b ，且边AD 和AE 在同一直线上．操作示例 当2b ＜a 时，如图14-1，在BA 上选取点G ，使BG ＝b ，连结FG 和CG ，裁掉△FAG 和△CGB 并分别拼接到△FEH 和△CHD 的位置构成四边形FGCH ．思考发现小明在操作后发现：该剪拼方法就是先将△FAG 绕点F 逆时针旋转90°到△FEH 的位置，易知EH 与AD 在同一直线上．连结CH ，由剪拼方法可得DH =BG ，故△CHD ≌△CGB ，从而又可将△CGB 绕点C 顺时针旋转90°到△CHD 的位置．这样，对于剪拼得到的四边形FGCH （如图14-1），过点F 作FM ⊥AE 于点M （图略），利用SAS 公理可判断△HFM ≌△CHD ，易得FH =HC =GC =FG ，∠FHC =90°．进而根据正方形的判定方法，可以判断出四边形FGCH 是正方形．实践探究（1）正方形FGCH 的面积是 ；（用含a ，b 的式子表示）（2）类比图14-1的剪拼方法，请你就图14-2—图14-4的三种情形分别画出剪拼成一个新正方形的示意图．联想拓展小明通过探究后发现：当b ≤a 时，此类图形都能剪拼成正方形，且所选取的点G 的位置在BA 方向上随着b 的增大不断上移．当b ＞a 时，如图14-5的图形能否剪拼成一个正方形？若能，请你在图中画出剪拼的示意图；若不能，简要说明理由．图E 图图（2b ＝a ） （a ＜2b ＜2a ） （b图14-1 （2b ＜a ）图（b ＞a ） 图13－2 G图13－3图13－1 A ( E )D。
2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案
2018届中考数学复习《几何证明与计算》专题训练含答案1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．3. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA 交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD 中，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，连接CE ，CF ，OE ，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB 与BC 满足什么关系时，四边形AEOF 是正方形？请说明理由．6. 如图，点E 是正方形ABCD 的边BC 延长线上一点，连接DE ，过顶点B 作BF⊥DE，垂足为F ，BF 分别交AC 于点H ，交CD 于点G. (1)求证：BG ＝DE ；(2)若点G 为CD 的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC 于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在△BDG 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.(2)∵AC＝10，∴DE ＝DF ＝5，由勾股定理，得EF ＝DE 2＋DF 2＝5 2. 2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC， ∴△ADE ≌△FCE(ASA )．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°.3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE， ∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EGAG .∴AG 2＝GE·GF.4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos 30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点， ∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS )． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形，理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ， ∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC， ∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE. 在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA )，∴BG ＝DE.(2)设CG ＝x ，∵G 为CD 的中点，∴GD ＝CG ＝x ， 由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA )，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21.∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG. ∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠EC F ＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形． ∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°，∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠M AB ＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos 30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF ＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝AD BD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF 10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS )，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS )，∴BD ＝EF(3)四边形ABNE 是正方形．理由如下：∵CD＝CB ，∠BCD ＝90°，∴∠CBD ＝45°，又∵∠ABC＝45°，∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE ＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ，∴AM ＝BM ＝AB cos 45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM＝MC ，∠BMD＝∠AMC，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS )．∴AC＝BD.又CE ＝AC ，∴BD＝CE.∵BF＝FC ，∠BFG ＝∠EFC，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG ＝∠G＝∠E.12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EAF.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA.(2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA， ∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.。
人教版2018年数学中考《代数几何综合问题》复习题含答案
2018年数学中考代数几何综合问题（1）专项练习1. 如图⑴，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线2+8+16+6y ax ax a =经过点B （0，4）。
⑴求抛物线的解析式；⑵设抛物线的顶点为D ，过点D 、B 作直线交x 轴于点A ，点C 在抛物线的对称轴上，且C 点的纵坐标为4-，连接BC 、AC 。
求证：△ABC 是等腰直角三角形；⑶在⑵的条件下，将直线DB 沿y 轴向下平移，平移后的直线记为l ，直线l 与x 轴、y 轴分别交于点A ′、B ′，是否存在直线l ，使△A ′B ′C 是直角三角形，若存在，求出直线l 的解析式，若不存在，请说明理由。
2. 二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分如图所示。
已知它的顶点M 在第二象限，且经过点A （1，0）和点B （0，1）。
（1）试求a ，b 所满足的关系式；所满足的关系式；（2）设此二次函数的图象与x 轴的另一个交点为C ，当△AMC 的面积为△ABC 面积的54倍时，求a 的值； （3）是否存在实数a ，使得△ABC 为直角三角形。
若存在，请求出a 的值；若不存在，请说明理由。
请说明理由。
3. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数26y ax x c =++的图象经过点A （4，0）、B （-1，0），与y 轴交于点C ，点D 在线段OC 上，OD =t ，点E 在第二象限，∠ADE =90°，12tan DAE Ð=，EF ⊥OD ，垂足为F 。
（1）求这个二次函数的解析式；）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF 、OF 的长（用含t 的代数式表示）；的值。
（3）当△ECA为直角三角形时，求t的值。
代数几何综合问题（1）专项练习参考答案1. （1）解：由题意知：16a+6=4解得：a=81-故抛物线的解析式为：4812+--=x x y 。
⑵证明：由抛物线的解析式知：顶点D 坐标为（－4，6）∵点C 的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上，∴C 点坐标为（－4，－4） 设直线BD 解析式为：()40y kx k =+¹，有：644k =-+，∴12k =-∴直线BD 解析式为142y x =-+ ∴直线BD 与x 轴的交点A 的坐标为（8，0） 过点C 作CE ⊥y 轴于点E ，则CE =4，BE =8 又∵OB =4，OA =8，∴CE =OB ，BE =OA ，∠CEB =∠BOA =90° ∴△CEB ≌△BOA （SAS ） ∴CB =AB ，∠CBE =∠BAO∵∠BAO +∠ABO =90°，∴∠CBE +∠ABO =90° 即∠ABC =90° ∴△ABC 是等腰直角三角形。
2018年中考数学真题分类汇编专题复习(七)几何综合题(答案不全)
（ 2018 长春）
（ 2018 陕西）
4
（ 2018 齐齐哈尔）
5
6
（ 2018 河南）
7
（ 2018 仙桃）
问题： 如图①，在 Rt△ ABC中， AB AC， D为 BC边上一点（不与点 B， C重合），将线段 AD绕点 A 逆时针旋转
90°得到 AE，连接 EC，则线段 BC， DC， EC之间满足的等量关系式为
（ 2）求证： EBD DCF .
【思考】若将图①中的三角板的顶点 D 在 BC 边上移动，保持三角板与 AB 、 AC 的两个交点 E 、 F 都存在，连
接 EF ，如图②所示 . 问点 D 是否存在某一位置，使
若不存在，请说明理由 .
ED 平分
BEF 且 FD 平分
CFE ？若存在，求出 BD 的值； BC
．
（ 2）请参考以上解决思路，解决问题：
3
如图 3，在四边形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 O， AC⊥AD，
AO= 3 3 ，∠ ABC=∠ ACB=75°， BO： OD=1:3 ，求 DC的长．
A
A
A
D
O
B
O
B
O
C
D
CB C
( 第 24 题图 1)
( 第 24 题图 2)
( 第 24 题图 3)
（ 2018 绍兴）
14
15
（ 2018 达州）
16
（ 2018 菏泽）
17
Hale Waihona Puke （ 2018 扬州） 问题呈现
如图 1，在边长为 1 的正方形网格中，连接格点 D 、 N 和 E 、 C ， DN 与 EC 相交于点 P ，求 tan CPN 的值 .
2018年中考压轴题汇编《几何证明及通过几何计算进行说理》含答案.doc
3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题例1 2017年杭州市中考第22题如图1,在厶ABC中，BC> AC,/ ACB = 90°,点D在AB边上，DE丄AC于点E.(1)若AD =- , AE = 2,求EC 的长；DB 3(2)设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△ EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P •问：线段CP可能是△ CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由.例2 2017年安徽省中考第23题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a, P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF 于M，作PN//CD交DE于N.(1)①/ MPN =②求PM + PN = 3a;(2)如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON.求证：0M = ON.(3)如图3,点O是AD的中点,四边形，并说明理由.OG平分/ MON，判断四边形OMGN是否为特殊的图1 图3例3 2018 年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y=—x2+ bx+ c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, —3).( 1 )求此二次函数的解析式；(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形．①求正方形的ABCD 的面积；②联结PA、PD, PD交AB于点E，求证：△ PADPEA.3.2几何证明及通过几何计算进行说理问题答案例1 2017年杭州市中考第22题如图1,在厶ABC中，BC> AC,/ ACB = 90°,点D在AB边上，DE丄AC于点E.(1)若AD =- , AE = 2,求EC 的长；DB 3(2)设点F在线段EC上，点G在射线CB上，以F、C、G为顶点的三角形与△ EDC 有一个锐角相等，FG交CD于点P •问：线段CP可能是△ CFG的高还是中线？或两者都有可能？请说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 15杭州22”，拖动点D在AB上运动，可以体验到，CP既可以是△ CFG的高，也可以是△ CFG的中线.思路点拨CFG与厶EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况.2. 高和中线是直角三角形的两条典型线，各自联系着典型的定理，一个是直角三角形的两锐角互余，一个是直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3. 根据等角的余角相等，把图形中相等的角都标记出来.满分解答(1)由/ ACB = 90°, DE丄AC,得DE//BC .所以些=AD =1 •所以_L =!•解得EC= 6.EC DB 3 EC 3(2)^ CFG与厶EDC都是直角三角形，有一个锐角相等，分两种情况：①如图2，当/ 1 = / 2时，由于/ 2与/ 3互余，所以/ 2与/ 3也互余.因此/ CPF = 90°.所以CP是厶CFG的高.②如图3，当/ 1 = / 3时，PF = PC.又因为/ 1与/ 4互余，/ 3与/ 2互余，所以/ 4=/ 2.所以PC= PG .所以PF = PC = PG .所以CP是厶CFG的中线.综合①、②，当CD是/ ACB的平分线时，CP既是△ CFG的高，也是中线(如图4).图2 图3 图4考点伸展这道条件变换的题目，不由得勾起了我们的记忆：如图5,在厶ABC中，点D是AB边上的一个动点，DE//BC交AC于E, DF//AC交BC于F，那么四边形CEDF是平行四边形.如图6,当CD平分/ ACB时，四边形CEDF是菱形.如图7,当/ACB=90°，四边形CEDF是矩形.如图8,当/ ACB= 90° , CD平分/ ACB时，四边形CEDF是正方形.图6图7 图8例2 2017年安徽省中考第23题如图1,正六边形ABCDEF的边长为a, P是BC边上的一动点，过P作PM//AB交AF于M，作PN//CD交DE于N.(1)①/ MPN =②求PM + PN = 3a;（2）如图2，点O是AD的中点，联结OM、ON.求证：0M = ON.（3）如图3,点O是AD的中点,四边形，并说明理由.动感体验请打开几何画板文件名“ 14安徽23”，拖动点P运动，可以体验到，PM + PN等于正六边形的3条边长.△ AOM ◎△ BOP , △ COP^A DON ,所以OM = OP = ON.还可以体验到，△ MOG与厶NOG是两个全等的等边三角形，四边形OMGN是菱形.思路点拨1. 第（1）题的思路是，把PM + PN转化到同一条直线上.2•第（2）题的思路是，以O为圆心，OM为半径画圆，这个圆经过点N、P •于是想到联结OP，这样就出现了两对全等三角形.3.第（3）题直觉告诉我们，四边形OMGN是菱形.如果你直觉△ MOG与厶NOG是等边三角形，那么矛盾就是如何证明/ MON = 120 ° .满分解答(1)①/ MPN = 60°②如图4，延长FA、ED交直线BC与M'、N ；那么△ ABM'、△ MPM '、△ DCN'、△ EPN都是等边三角形.所以PM + PN= M N = M B + BC+ CN = 3a.(2)如图5，联结OP .由(1)知，AM = BP, DN = CP.由AM = BP,/ OAM = Z OBP = 60°, OA = OB, 得厶AOM ◎△ BOP .所以OM = OP .同理△ COP也厶DON，得ON = OP .所以OM = ON .（3）四边形OMGN是菱形.说理如下：由（2）知，/ AOM =Z BOP,/ DON =Z COP （如图5）.OG平分/ MON，判断四边形OMGN是否为特殊的图4 图5图1 图3图6所以/ AOM + / DON = / BOP+Z COP= 60° .所以/ MON = 120° . 如图6,当OG 平分Z MON 时，Z MOG =/ NOG = 60° .又因为Z AOF = Z FOE = Z EOD = 60°,于是可得Z AOM = Z FOG = Z EON . 于是可得厶AOM ◎△ FOG ◎△ EON .所以OM = OG = ON.所以△ MOG与厶NOG是两个全等的等边三角形.所以四边形OMGN的四条边都相等，四边形OMGN是菱形.考点伸展在本题情景下，菱形OMGN的面积的最大值和最小值各是多少？因为△ MOG与厶NOG是全等的等边三角形，所以OG最大时菱形的面积最大，OG最小时菱形的面积最小.OG的最大值等于OA,此时正三角形的边长为a，菱形的最大面积为-^a2.2OG与EF垂直时最小，此时正三角形的边长为3a ,菱形的最小面积为色』a2.2 8例3 2018年上海市黄浦区中考模拟第24题已知二次函数y=—x2+ bx+ c的图像经过点P(0, 1)与Q(2, —3).(1)求此二次函数的解析式；(2)若点A是第一象限内该二次函数图像上一点，过点A作x轴的平行线交二次函数图像于点B，分别过点B、A作x轴的垂线，垂足分别为C、D，且所得四边形ABCD恰为正方形.①求正方形的ABCD的面积；②联结PA、PD, PD交AB于点E，求证：△ PADPEA.动感体验请打开几何画板文件名“ 13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，/ PAE与/ PDA总保持相等，△ PAD与厶PEA保持相似.请打开超级画板文件名“ 13黄浦24”，拖动点A在第一象限内的抛物线上运动，可以体验到，/ PAE与/ PDA总保持相等，△ PAD与厶PEA保持相似.思路点拨1•数形结合，用抛物线的解析式表示点A的坐标，用点A的坐标表示AD、AB的长，当四边形ABCD是正方形时，AD = AB.2. 通过计算/ PAE与/ DPO的正切值，得到/ PAE = Z DPO =Z PDA ,从而证明厶PADPEA.满分解答(1)将点c =1,P(0, 1)、Q(2, —3)分别代入y=—x2+ bx+ c,得解得b=0,以2b 1 二-3. C=1.所以该二次函数的解析式为y= —x2+ 1.(2)①如图1,设点A的坐标为(x, —x2+ 1),当四边形ABCD恰为正方形时，AD = AB.此时y A= 2x A.解方程—x2+ 1 = 2x,得x - -1 _ 2 .所以点A的横坐标为••.2-1.因此正方形ABCD的面积等于[2( 2 -1)]2 =12 _8 2 .②设OP 与AB 交于点F，那么PF =OP -OF =1 - 2( & -1) =3-= ( "2 - 1)2.所以tan N PAE = 〔)=近_1 .AF 血―1又因为tan • PDA 二tan • DPO = = 2 -1 ,OP所以/ PAE=Z PDA.考点伸展事实上，对于矩形ABCD，总有结论△ PAD s\ PEA•证明如下：如图2,设点A 的坐标为(x, —x2+ 1)，那么PF = OP —OF = 1 —( —x2+ 1) = x2.2所以tan ZPA^PF =- x .AF x又因为tan . PDA =tan. DPO =x , OP所以/ PAE=Z PDA .因此△ PADPEA .。
河北省2018年中考数学总复习第二编专题突破篇专题8三角形四边形中的相关证明及计算精讲试题20171207136
专题八 三角形、四边形中的相关证明及计算10此专题是初中几何的重要部分，在历年中考中均有命题，且难易度伸缩性年选择、填空、解答均会出解题策略1．熟练掌握定义、定理，规范推理过程，能够准确运用各种性质、判定定理．2．由已知提供的信息能够快速找到辅助线的做法是突破此类题难点的关键．,重难点突破)三角形的有关计算和证明【例1】(重庆中考B 卷)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，E 为AC 边的中点，过点A 作AD⊥AB 交BE 的延长线于点D.CG 平分∠ACB 交BD 于点G ，F 为AB 边上一点，连接CF ，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【解析】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF＝BG，则只要证明BG＝2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG＝2DE，再证明DG＝BG 即可．【答案】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA)，∴CF＝BG，AF＝CG；(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点．又∵AD⊥AB，∴CH∥AD，∠D＝∠EGC.又∵H为AB中点，∴G为BD中点，∴BG＝DG.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS)，∴DE＝EG，∴DG＝2DE，∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.1．(2017湖南中考)如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为点D，E，F为BC中点，BE与DF，DC分别交于点G，H，∠ABE＝∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2－GE2＝EA2.解：(1)BH＝AC.证明：∵∠BDC＝∠BEC＝∠CDA＝90°，∠ABC＝45°，∴∠BCD＝45°＝∠ABC，∴DB＝DC.又∵∠BHD＝∠CHE，∴∠DBH＝∠DCA.∴△DBH≌△DCA，∴BH＝AC；(2)连接GC.则GC2－GE2＝EC2.∵F为BC中点，DB＝DC，∴DF垂直平分BC，∴BG＝GC.∴BG2－GE2＝EC2.∵∠ABE＝∠CBE，∠CEB＝∠AEB，BE＝BE，∴△BCE≌△BAE，∴EC＝EA，∴BG2－GE2＝EA2.【方法指导】熟练应用三角形全等的性质和判定方法，准确判断用哪种方法判定．四边形的有关计算和证明【例2】(邵阳中考)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．【解析】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE 是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE＝∠DBE＝∠DBC＝30°，利用锐角三角函数可求出AE ，BE ，进而求出AD ，DE ，即可求出菱形BFDE 的面积．【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝∠C＝90°，AB ＝CD.由翻折得：BM ＝AB ，DN ＝DC ，∠A ＝∠EMB，∠C ＝∠DNF，∴BM ＝DN ，∠EMB ＝∠DNF＝90°，∴BN ＝DM ，∠EMD ＝∠FNB＝90°.∵AD ∥BC ，∴∠EDM ＝∠FBN，∴△EDM ≌△FBN(ASA )，∴ED ＝BF ，∴四边形BFDE 是平行四边形； (2)∵四边形BFDE 是菱形，∴∠EBD ＝∠FBD.∵∠ABE ＝∠EBD，∠ABC ＝90°，∴∠ABE ＝13×90°＝30°. 在Rt △ABE 中，∵AB ＝2，∴AE ＝233，BE ＝433， ∴ED ＝433，∴AD ＝2 3. ∴S 菱形BFDE ＝ED·AB＝433×2＝833.2．(襄阳中考)如图，将矩形ABCD 沿AF 折叠，使点D 落在BC 边的点E 处，过点E 作EG∥CD 交AF 于点G ，连接DG.(1)求证：四边形EFDG 是菱形； (2)探究线段EG ，GF ，AF 之间的数量关系，并说明理由；(3)若AG ＝6，EG ＝25，求BE 的长．解：(1)由折叠的性质可得，∠AFD ＝∠AFE，FD ＝FE.∵EG ∥CD ，∴∠EGF ＝∠AFD，∴∠EGF ＝∠AFE，∴EG ＝EF ＝FD ，∴EG 綊FD ，∴四边形EFDG 是平行四边形．又∵FD＝FE ，∴▱EFDG 是菱形；(2)连接ED 交AF 于点H.∵四边形EFDG 是菱形，∴DE ⊥AF ，FH ＝GH ＝12GF ，EH ＝D H ＝12DE. ∵∠FEH ＝∠FAE＝90°－∠EFA，∴Rt △FEH ∽Rt △FAE ，∴EF FH ＝AF EF. 即EF 2＝FH·AF，∴EG 2＝12AF ·GF ； (3)∵AG＝6，EG ＝25，EG 2＝12AF ·GF ， ∴(25)2＝12(6＋GF)GF. ∵GF>0，∴GF ＝4，∴AF ＝10.∵DF ＝EG ＝25，∴AD ＝BC ＝AF 2－DF 2＝45，DE ＝2EH ＝2EG 2－（12GF ）2＝8. ∵∠CDE ＋∠DFA＝90°，∠DAF ＋∠DFA＝90°，∴∠CDE ＝∠DAF，∴Rt △ADF ∽Rt △DCE ，∴EC DF ＝DE AF ，即EC 25＝810，∴EC ＝855， ∴BE ＝BC －EC ＝1255. 【方法指导】熟练掌握特殊四边形的性质和判定，注意三种变换在题中穿插考查．。
2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明（本站推荐）
2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明（本站推荐）第一篇：2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明（本站推荐）Ainy晴2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明【备考策略】此题型为近六年来の热点题型，通常以三角形或四边形为背景进行考查，通过AAS,SSS,ASA,SAS,HL证明三角形全等，通过全等，求出所问问题.1.熟练掌握全等三角形の性质和判定；2.熟练掌握特殊四边形の性质和判定.（一）以三角形为背景の证明1.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BCの延长线于点D,作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE.2.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABCの两边向三角形外作等边△BCE，等边△ACF，过点A作AM∥FC交BC于点M，连接EM.求证：AB=ME.3.已知如图，D是△ABC中AB边上の中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边の等腰直角三角形，连接DE、DF.Ainy晴Ainy晴求证：DE=DF.（二）以四边形为背景の证明4.如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF.求证：（1）△AEH≌△CGF；（2）四边形EFGH是菱形.5.如图，AC为矩形ABCDの对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上の点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上の点N处。
(1)求证：四边形AECF是平行四边形；(2)若AB=3，AC=5，求四边形AECFの面积。
6..如图，在菱形ABCD中，AC为对角线，点E、F分别是边BC、ADの中点．(1)求证：△ABE≌△CDF；Ainy晴Ainy晴(2)若∠B＝60°，AB＝4，求线段AEの长．7.如图，点P是菱形ABCD对角线BD上一点，连接PA、PB.点为上一点，且∠1=∠2.求证：PC=PEA1P2BCD【作业】1.在△ABC中，∠ACB＝90°，过点C作CD⊥AB，垂足为D，以CD为边作如图所示の正方形CDEF，交AC于点G.(1)求证：GF＝BD；(2)若FG＝3，BC＝5，求四边形GEBCの面积．2.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F 分别在边AD、Ainy晴Ainy晴BC上，且DE＝CF，连接OE、OF.求证：OE＝OF.3.如图，在AB 上取一点C，以AC、BC为正方形の一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG，连接AF、BF，延长BD交AF于H.求证：(1)BH⊥AF；(2)若AC＝4，CB＝6，求DHの长．4.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E是ABの中点，连接DE 并延长交CBの延长线于点F，点G在BC边上，且∠GDF＝∠ADF.(1)求证：△ADE≌△BFE；(2)连接EG，判断EG与DFの位置关系，并说明理由．附：2017年中考典型试题1．（2017年湖北省十堰市第16题）如图，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N．下列结论：①AF⊥BG；②BN=形ANGD4MN31 ；④S四边形CGNF=S四边NF；③3MG82．其中正确の结论の序号是．Ainy晴Ainy晴2．（2017年贵州省黔东南州第12题）如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知FB=CE，AC∥DF，请你添加一个适当の条件使得△ABC≌△DEF．3.（2017年山东省威海市第18题）如图，∆ABC为等边三角形，AB=2，若P为∆ABC内一动点，且满足∠PAB=∠ACP，则线段PB长度の最小值为.4.（2017年山东省潍坊市第15题）如图，在∆ABC中，AB≠AC，D、E分别为边AB、AC上の点，AC=3AD，AB=3AE,点F为BC边上一点，添加一个条件:，可以使得∆FDB与∆ADE相似.（只需写出一个）5.（2017年贵州省六盘水市第18题）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC、BD相BC=8，交于点O，在BAの延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD=5，AE=2，则AF=.6.（2017年浙江省杭州市第15题）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，点D在边AC上，AD=5，DE⊥BC 于点E，连结AE，则△ABEの面积等于．Ainy晴Ainy晴7.（2017年山东省东营市第24题）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，点D是BC边上の一个动点（不与B、C 重合），在AC上取一点E，使∠ADE=30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD=x，AE=y，求y关于xの函数关系式并写出自变量x の取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AEの长．8.（2017年山东省泰安市第27题）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，AC平分∠BAD，点P是AC延长线上一点，且PD⊥AD．Ainy晴Ainy晴（1）证明：∠BDC=∠PDC；3，求AEの长.（2）若AC与BD相交于点E，AB=1，CE:CP=2：9.（2017年湖南省郴州市第19题）已知∆ABC中，∠ABC=∠ACB，点D,E分别为边AB,ACの中点，求证：BE=CD.Ainy晴Ainy晴10.（2017年湖北省黄冈市第16题）已知：如图，∠BAC=∠DAM,AB=AN,AD=AM.求证：∠B=∠ANM．Ainy晴第二篇：2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明【备考策略】此题型为近六年来的热点题型，通常以三角形或四边形为背景进行考查，通过AAS,SSS,ASA,SAS,HL证明三角形全等，通过全等，求出所问问题.1.熟练掌握全等三角形的性质和判定；2.熟练掌握特殊四边形的性质和判定.（一）以三角形为背景的证明1.如图,在△ABC中,AB=AC,作AD⊥AB交BC的延长线于点D,作AE∥BD，CE⊥AC，且AE，CE相交于点E，求证：AD=CE.2.如图，在△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向三角形外作等边△BCE，等边△ACF，过点A作AM∥FC交BC于点M，连接EM.求证：AB=ME.3.已知如图，D是△ABC中AB边上的中点，△ACE和△BCF分别是以AC、BC为斜边的等腰直角三角形，连接DE、DF.2018年陕西省中考数学考点题对题---19题几何证明求证：DE=DF.（二）以四边形为背景的证明4.如图，已知：在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，AE=CG，AH=CF，且EG平分∠HEF.求证：（1）△AEH≌△CGF；（2）四边形EFGH是菱形.5.如图，AC为矩形ABCD的对角线，将边AB沿AE折叠，使点B落在AC上的点M处，将边CD沿CF折叠，使点D落在AC上的点N处。
2018年中考数学复习试题汇编----几何综合(含答案)
A
A
D
B
图1
C
B
C
备用图
27．解：（ 1）如图 ······················································································································1
第5页
（ 2） BD 和 CE的数量是： BD=CE ； ·······································································2 ∵∠ DAB+∠BAE=∠ CAE+∠ BAE=90°， ∴∠ DAB=∠CAE． ········································································································3 ∵ AD=AE， AB=AC， ∴△ ABD≌△ ACE． ∴ BD=CE． ···················································································································4
图1
图2
第1页
3．如图 1，在 Rt△ AOB 中，∠ AOB=90°，∠ OAB=30°，点 C 在线段 OB 上， OC=2BC， AO 边上的一点 D 满足∠ OCD =30°．将△ OCD 绕点 O 逆时针旋转 α度（ 90°<α<18）0°得到 △ OC D ，C， D 两点的对应点分别为点 C ， D ，连接 AC ， BD ，取 AC 的中点 M ，连 接 OM． （1）如图 2，当 C D ∥ AB 时， α=°，此时 OM 和 BD 之间的位置关系为； （2）画图探究线段 OM 和 BD 之间的位置关系和数量关系，并加以证明．
2018年人教版中考数学《几何证明综合题》专项复习含答案
2018年中考数学几何证明综合题热点聚焦(1)专项练习1. 已知：在△AOB 与△COD 中，OA ＝OB ，OC ＝OD ，︒=∠=∠90COD AOB 。
（1）如图1，点C 、D 分别在边OA 、OB 上，连接AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM ，则线段AD 与OM 之间的数量关系是__________，位置关系是__________。
（2）如图2，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转，旋转角为α（︒<<︒900α）。
连接AD 、BC ，点M 为线段BC 的中点，连接OM 。
请你判断（1）中的两个结论是否仍然成立。
若成立，请证明；若不成立，请说明理由。
（3）如图3，将图1中的△COD 绕点O 逆时针旋转到使△COD 的一边OD 恰好与△AOB 的边OA 在同一条直线上时，点C 落在OB 上，点M 为线段BC 的中点。
请你判断（1）中线段AD 与OM 之间的数量关系是否发生变化，写出你的猜想，并加以证明。
2. 在Rt △ABC 中，AB=BC ，∠B=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点O 放在斜边AC 上，将三角板绕点O 旋转。
（1）当点O 为AC 中点时，①如图1，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，连接EF ，猜想线段AE 、CF 与EF 之间存在的等量关系（无需证明）；②如图2，三角板的两直角边分别交AB ，BC 延长线于E 、F 两点，连接EF ，判断①中的猜想是否成立。
若成立，请证明；若不成立，请说明理由；（2）当点O 不是AC 中点时，如图3，三角板的两直角边分别交AB ，BC 于E 、F 两点，若14 AO AC =，求OE OF的值。
3. 在矩形ABCD 中，点F 在AD 延长线上，且DF =DC ，M 为AB 边上一点，N 为MD 的中点，点E 在直线CF 上（点E 、C 不重合）。
（1）如图1，若AB =BC ，点M 、A 重合，E 为CF 的中点，试探究BN 与NE 的位置关系及BMCE 的值，并证明你的结论；（2）如图2，且若AB =BC ，点M 、A 不重合，BN =NE ，你在（1）中得到的两个结论是否成立，若成立，加以证明；若不成立，请说明理由；（3）如图3，若点M、A不重合，BN=NE，你在（1）中得到的两个结论是否成立，若不成立，请直接写出你的结论。
河南省2018年中考数学总复习课件解答题突破 专题7几何图形的计算与证明(中考17或18题)
(1)证明：如答图 1，连接 OB，则∠AOB＝2∠ACB＝2×45° ＝90° . ∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝45° . ∵∠AOC＝150° ，OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝15° .∴∠OCB＝∠OCA ＋∠ACB＝60° . ∴△OBC 是等边三角形． ∴∠BOC＝∠OBC＝60° . ∴∠CBD＝180° －∠OBA－∠OBC＝75° . ∵CD 是⊙O 的切线，∴OC⊥CD. ∴∠ D ＝ 360° －∠ OBD －∠ BOC －∠ OCD ＝ 360° － (60° ＋ 75° ) － 60° － 90° ＝75° . ∴∠CBD＝∠D.∴CB＝CD.
例 2 如图 2，AB 是半圆 O 的直径，点 P 是半圆上不与点 A，B 重合 的动点，BC∥OP，BC＝OP. (1)求证：四边形 AOCP 是平行四边形； (2)若 AB＝4，填空：
2 时，四边形 AOCP 是菱形； ①当 AP＝___
2 2 时，四边形 OBCP 是正方形． ②当 AP＝_______
解答题突破
2018 河 南
专题七
几何图形的计算与证明(中考17或18 题)
考情分析 12～17 年均在第源自17 或 18 题出现，分值均为 9 分；涉及 三角形的全等、相似、特殊三角形、特殊四边形的判定与性质以及圆的 相关知识等，预计 18 年仍是重点考查内容.
例 1 如图 1， ⊙O 是△ABC 的外接圆， ∠ACB＝45° ， ∠AOC＝150° ， 过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D. (1)求证：CD＝CB； (2)如果⊙O 的半径为 2，求 AC 的长．
(2)解：在 Rt△AOB 中，AB＝ 2OA＝ 2× 2＝2. ∵CD 是⊙O 的切线，∴∠OCD＝90° .∴∠DCB＝30° . ∵∠DAC＝∠OAB－∠OAC＝30° ，∴∠DCB＝∠DAC. CD BD ∵∠D 是公共角，∴△DBC∽△DCA.∴ AD ＝CD.∴CD2＝AD· BD＝ BD· (BD＋AB)． ∵CD＝BC＝OC＝ 2，∴2＝BD· (2＋BD)，解得 BD＝ 3－1. ∵∠ACD＝90° －∠OCA＝75° ，∴∠ACD＝∠D.∴AC＝AD＝AB＋BD ＝ 3＋1.
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几何证明与计算1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.(1)求证：△ADE≌△FCE；(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.(1)求AD的长；(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.(1)求证：BG＝DE；(2)若点G为CD的中点，求HGGF的值．7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.(1)求证：AG＝CG；(2)求证：AG2＝GE·GF.10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.(1)求证：AD＝AF；(2)求证：BD＝EF；(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.(1)求证：△ABM∽△EFA；(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．参考答案：1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.在△BDG 和△ADC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝12BG ＝EG ，DF ＝12AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，∠AED ＝∠FEC，∴△ADE ≌△FCE(ASA )．(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F ＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EG AG .∴AG 2＝GE·GF.4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝12∠CAB＝30°.在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝CDcos 30°＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝12BC ，OE ∥BC.在△BCE 和△DCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，∴△BCE ≌△DCF(SAS )． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形， 理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE.在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，∴△BCG ≌△DCE(ASA )，∴BG ＝DE.由(1)可知△BCG≌△DCE(ASA )，∴CG ＝CE ＝x.由勾股定理可知DE ＝BG ＝5x ，∵sin ∠CDE ＝CE DE ＝GFGD ，∴GF＝55x.∵AB∥CG，∴△ABH ∽△CGH.∴AB CG ＝BH GH ＝21. ∴BH＝253x ，GH ＝53x.∴HG GF ＝53.7. 解：(1)结论：AG 2＝GE 2＋GF 2.理由：连接CG.∵四边形ABCD 是正方形，∴点A ，C 关于对角线BD 对称． ∵点G 在BD 上，∴GA＝GC.∵GE⊥DC 于点E ，GF⊥BC 于点F ， ∴∠GEC＝∠ECF＝∠CFG＝90°.∴四边形EGFC 是矩形．∴CF＝GE.在Rt △GFC 中，∵CG 2＝GF 2＋CF 2，∴AG 2＝GF 2＋GE 2.(2)过点B 作BN⊥AG 于点N ，在BN 上取一点M ，使得AM ＝BM.设AN ＝x.∵∠AGF＝105°，∠FBG ＝∠FGB＝∠ABG＝45°， ∴∠AGB ＝60°，∠GBN ＝30°，∠ABM ＝∠MAB＝15°.∴∠AMN ＝30°.∴AM ＝BM ＝2x ，MN ＝3x.在Rt △ABN 中，∵AB 2＝AN 2＋BN 2，∴1＝x 2＋(2x ＋3x)2，解得x ＝6－24，∴BN ＝6＋24.∴BG＝BN cos 30°＝32＋66. 8. 解：(1)∵AD⊥BC，BE ⊥AC ，∴∠BDF ＝∠ADC＝∠BEC＝90°，∴∠C ＋∠DBF＝90°，∠C ＋∠DAC＝90°，∴∠DBF ＝∠DAC，∴△ACD ∽△BFD(2)∵tan ∠ABD ＝1，∠ADB ＝90°，∴AD BD ＝1，∵△ACD ∽△BFD ，∴AC BF ＝ADBD＝1，∴BF ＝AC ＝39. 解：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB，可证△ADG≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG(2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG，∵AB ∥CD ，∴∠DCG ＝∠F，∴∠EAG ＝∠F，∵∠AGE ＝∠AGE，∴△AGE ∽△FGA ，∴AG FG ＝EG AG，∴AG 2＝GE·GF10. 解：(1)∵AB＝AC ，∠BAC ＝90°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝45°，∴∠ABF ＝135°，∵∠BCD ＝90°，∴∠ACD ＝∠ACB＋∠BCD＝135°，∴∠ABF ＝∠ACD，∵CB ＝CD ，CB ＝BF ，∴BF ＝CD ，可证△ABF≌△ACD(SAS )，∴AD ＝AF(2)由(1)知AF ＝AD ，△ABF ≌△ACD ，∴∠FAB ＝∠DAC，∵∠BAC ＝90°，∴∠EAB ＝∠BAC＝90°，∴∠EAF ＝∠BAD，可证△AEF≌△ABD(SAS )，∴BD ＝EF∴∠ABD ＝∠ABC＋∠CBD＝90°，由(2)知∠EAB＝90°，△AEF ≌△ABD ，∴∠AEF ＝∠ABD＝90°，∴四边形ABNE 是矩形，又∵AE＝AB ，∴四边形ABNE 是正方形 11. 解：(1)∵∠ABM＝45°，AM ⊥BM ， ∴AM ＝BM ＝AB cos 45°＝32×22＝3. 则CM ＝BC －BM ＝5－3＝2，∴AC ＝AM 2＋CM 2＝22＋32＝13.(2)证明：延长EF 到点G ，使得FG ＝EF ，连接BG.∵DM ＝MC ，∠BMD ＝∠AMC ，BM ＝AM ，∴△BMD≌△AMC(SAS )．∴AC ＝BD.又CE ＝AC ，∴BD ＝CE.∵BF ＝FC ，∠BFG ＝∠EFC ，FG ＝FE ，∴△BFG≌△CFE.∴BG＝CE ，∠G＝∠E.∴BD＝CE ＝BG ，∴∠BDG＝∠G＝∠E. 12. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB＝AD ，∠B＝90°，AD∥BC.∴∠AMB＝∠EAF.又∵EF⊥AM，∴∠AFE＝90°.∴∠B ＝∠AFE.∴△ABM∽△EFA. (2)∵∠B＝90°，AB ＝AD ＝12，BM ＝5，∴AM ＝122＋52＝13.∵F 是AM 的中点，∴AF ＝12AM ＝6.5.∵△ABM∽△EFA，∴BM AF ＝AM AE ，即56.5＝13AE.∴AE ＝16.9，∴DE ＝AE －AD ＝4.9.。