2018届中考数学专项复习几何证明与计算训练题

几何证明与计算

1．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝AD，DG＝DC，点E，F分别是BG，AC的中点．

(1)求证：DE＝DF，DE⊥DF；

(2)连接EF，若AC＝10，求EF的长．

2. 如图，在▱ABCD中，DE＝CE，连接AE并延长交BC的延长线于点F.

(1)求证：△ADE≌△FCE；

(2)若AB＝2BC，∠F＝36°.求∠B的度数．

(1)求证：AG＝CG；

(2)求证：AG2＝GE·GF.

4. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是△ABC的角平分线，DE∥BA交AC于点E，DF∥CA交AB于点F，已知CD＝3.

(1)求AD的长；

(2)求四边形AEDF的周长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)

5. 如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.

(1)求证：△BCE≌△DCF；

(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．

6. 如图，点E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，连接DE，过顶点B作BF⊥DE，垂足为F，BF分别交AC于点H，交CD于点G.

(1)求证：BG＝DE；

(2)若点G为CD的中点，求HG

GF

的值．

7. 如图，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上(不与点B，D重合)，GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，连接AG.

(1)写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

(2)若正方形ABCD的边长为1，∠AGF＝105°，求线段BG的长．

8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.

(1)求证：△ACD∽△BFD；

(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．

9. 如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点F，交AD于点E.

(1)求证：AG＝CG；

(2)求证：AG2＝GE·GF.

10. 如图，在△ABC和△BCD中，∠BAC＝∠BCD＝90°，AB＝AC，CB＝CD.延长CA至点E，使AE＝AC；延长CB至点F，使BF＝BC.连接AD，AF，DF，EF，延长DB交EF于点N.

(1)求证：AD＝AF；

(2)求证：BD＝EF；

(3)试判断四边形ABNE的形状，并说明理由．

11. 在△ABC中，∠ABM＝45°，AM⊥BM，垂足为M，点C是BM延长线上一点，连接AC.

(1)如图①，若AB＝32，BC＝5，求AC的长；

(2)如图②，点D是线段AM上一点，MD＝MC，点E是△ABC外一点，EC＝AC，连接ED并延长交BC于点F，且点F是线段BC的中点，求证：∠BDF＝∠CEF.

12. 如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，F是AM的中点，EF⊥AM，垂足为F，交AD的延长线于点E，交DC于点N.

(1)求证：△ABM∽△EFA；

(2)若AB＝12，BM＝5，求DE的长．

参考答案：

1. 解：(1)证明：∵AD⊥BC，∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.

在△BDG 和△ADC 中，

⎩⎪⎨⎪

⎧BD ＝AD ，∠BDG ＝∠ADC DG ＝DC ，

，∴△BDG ≌△ADC. ∴BG ＝AC ，∠BGD ＝∠C.∵∠ADB＝∠ADC＝90°， E ，F 分别是BG ，AC 的中点，∴DE ＝1

2

BG ＝EG ，

DF ＝1

2AC ＝AF.∴DE＝DF ，∠EDG ＝∠EGD，∠FDA ＝∠FAD.

∴∠EDG＋∠FDA＝90°，∴DE ⊥DF.

2. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD ＝BC.

∴∠D＝∠ECF.在△ADE 和△FCE 中，

⎩⎪⎨⎪

⎧∠D＝∠ECF，DE ＝CE ，

∠AED ＝∠FEC，

∴△ADE ≌△FCE(ASA )．

(2)∵△ADE≌△FCE，∴AD＝FC.∵AD＝BC ，AB ＝2BC ，

∴AB＝FB.∴∠BAF＝∠F ＝36°.∴∠B＝180°－2×36°＝108°. 3. 证明：(1)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AD ＝CD ，

∠ADB ＝∠CDB.又GD 为公共边，∴△ADG ≌△CDG(SAS )，∴AG ＝CG. (2)∵△ADG≌△CDG，∴∠EAG ＝∠DCG.∵AB∥CD，

∴∠DCG ＝∠F.∴∠EAG＝∠F.∵∠AGE＝∠AGE，

∴△AGE ∽△FGA.∴AG FG ＝EG AG .∴AG 2

＝GE·GF.

4. 解：(1)∵∠C＝90°，∠B ＝30°，∴∠CAB ＝60°.

∵AD 平分∠CAB ，∴∠CAD ＝1

2

∠CAB＝30°.

在Rt △ACD 中，∵∠ACD ＝90°，∠CAD ＝30°，∴AD ＝2CD ＝6. (2)∵DE∥BA 交AC 于点E ，DF ∥CA 交AB 于点F ， ∴四边形AEDF 是平行四边形，∠EAD ＝∠ADF＝∠DAF. ∴AF＝DF.∴四边形AEDF 是菱形．∴AE＝DE ＝DF ＝AF. 在Rt △CED 中，∵DE ∥AB ，∴∠CDE ＝∠B＝30°. ∴DE ＝

CD

cos 30°

＝2 3.∴四边形AEDF 的周长为8 3.

5. 解：(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴∠B ＝∠D，

AB ＝BC ＝DC ＝AD.∵点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点，

∴AE ＝BE ＝DF ＝AF ，OF ＝12DC ，OE ＝1

2BC ，OE ∥BC.

在△BCE 和△DCF 中，

⎩⎪⎨⎪

⎧BE ＝DF ，∠B ＝∠D，BC ＝DC ，

∴△BCE ≌△DCF(SAS )． (2)当AB⊥BC 时，四边形AEOF 是正方形， 理由如下：由(1)得AE ＝OE ＝OF ＝AF ，

∴四边形AEOF 是菱形．∵AB⊥BC，OE∥BC，

∴OE⊥AB.∴∠AEO＝90°.∴四边形AEOF 是正方形．

6. 解：(1)证明：∵BF⊥DE，∴∠GFD ＝90°.∵∠BCG ＝90°，

∠BGC ＝∠DGF，∴∠CBG ＝∠CDE.

在△BCG 与△DCE 中.⎩⎪⎨⎪

⎧∠CBG＝∠CDE，BC ＝CD ，∠BCG ＝∠DCE，

∴△BCG ≌△DCE(ASA )，∴BG ＝DE.