重庆市渝中区2021届新高考第三次适应性考试数学试题含解析

重庆市渝中区2021届新高考第三次适应性考试数学试题
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合{2,3,4}A =，集合{},2B m m =+，若{2}A
B =，则m =（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．4 【答案】A
【解析】
【分析】
根据2m =或22m +=，验证交集后求得m 的值.
【详解】
因为{2}A B =，所以2m =或22m +=.当2m =时，{2,4}A B =，不符合题意，当22m +=时，0m =.故选A.
【点睛】
本小题主要考查集合的交集概念及运算，属于基础题.
2．已知实数x ，y 满足约束条件202201x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数21y z x -
=+的最小值为 A ．23
-
B ．54-
C ．43-
D ．12- 【答案】B
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，目标函数21
y z x -=
+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率，利用数形结合即可得到z 的最小值．
【详解】
解：作出不等式组对应的平面区域如图：
目标函数21y z x -=+的几何意义为动点(),M x y 到定点()1,2D -的斜率， 当M 位于11,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭时，此时DA 的斜率最小，此时1252114
min z --==-+． 故选B ．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用以及两点之间的斜率公式的计算，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
3．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和 棱 11B C 上任意一点，则22PM MN +的最小值为（ ）
A ．22
B ．2
C 3
D ．2
【答案】D
【解析】
【分析】
取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM
AEM ∆≅∆，可得PM EM =，当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 22
MF MN =，故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭
，即可求解. 【详解】
取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：
则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，
而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．
此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，22
MF MN =， 故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭
.
故选：D
【点睛】
本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
4．已知非零向量a 、b ，若2b a =且23a b b -=，则向量b 在向量a 方向上的投影为（ ） A 32b B ．12b C ．32b D ．12
b - 【答案】D
【解析】 【分析】
设非零向量a 与b 的夹角为θ，在等式23a b b -=两边平方，求出cos θ的值，进而可求得向量b 在向量a 方向上的投影为cos b θ，即可得解.
【详解】 2b a =，由23a b b -=得2223a b b -=，整理得22220a a b b -⋅-=，
22222cos 40a a a a θ∴-⨯-=，解得1cos 2
θ=-， 因此，向量b 在向量a 方向上的投影为1cos 2b b θ=-. 故选：D.
【点睛】
本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题.
5．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（π0,0,2A >><ωϕ）的部分图象如图所示，且()()0f a x f a x ++-=，则a 的最小值为（ ）
A ．
π12
B ．
π6 C ．π3 D ．5π12 【答案】A
【解析】
【分析】 a 是函数()f x 的零点，根据五点法求出图中零点及y 轴左边第一个零点可得．
【详解】
由题意3114126T ππ=
-，T π=，∴函数()f x 在y 轴右边的第一个零点为56412πππ+=，在y 轴左边第一个零点是6412π
π
π-=-
， ∴a 的最小值是
12π
． 故选：A.
【点睛】
本题考查三角函数的周期性，考查函数的对称性．函数()sin()f x A x ωϕ=+的零点就是其图象对称中心的横坐标．
6．已知棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面中，最大面积为（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．26【答案】B
【解析】
【分析】
由三视图可知，该三棱锥如图, 其中底面ABC 是等腰直角三角形，PC ⊥平面ABC ,结合三视图求出每个面的面积即可.
【详解】
由三视图可知，该三棱锥如图所示：
其中底面ABC 是等腰直角三角形，PC ⊥平面ABC , 由三视图知，2,22,PC AB ==
因为,PC BC PC AC ⊥⊥,,AC BC AC CB =⊥, 所以2,2AC BC PA PB AB =====所以12222PAC PCB ACB S S S ∆∆∆===
⨯⨯=, 因为PAB ∆为等边三角形， 所以(22332223PAB S AB ∆===所以该三棱锥的四个面中，最大面积为23故选：B
【点睛】
本题考查三视图还原几何体并求其面积; 考查空间想象能力和运算求解能力;三视图正确还原几何体是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.
7．正ABC ∆的边长为2，将它沿BC 边上的高AD 翻折，使点B 与点C 3A BCD -的外接球表面积为（ ）
A ．103π
B ．4π
C ．133π
D ．7π
【答案】D
【解析】
【分析】
如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆的外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，
连接12,,OO OO OD ，利用正弦定理可得11DO =，利用球心的性质和线面垂直的性质可得四边形21OO DO 为平行四边形，最后利用勾股定理可求外接球的半径，从而可得外接球的表面积.
【详解】
如图所示，设AD 的中点为2O ，BCD ∆外接圆的圆心为1O ，四面体A BCD -的外接球的球心为O ，连接12,,OO OO OD ，则1OO ⊥平面BCD ，2OO AD ⊥. 因为1,3CD BD BC ===，故231cos 2112BDC -∠=
=-⨯⨯， 因为()0,BDC π∠∈，故23
BDC π∠=. 由正弦定理可得1322sin 3
DO π==，故11DO =，又因为3AD =23DO =. 因为,,AD DB AD CD DB CD D ⊥⊥⋂=，故AD ⊥平面BCD ，所以1//OO AD ，
因为AD ⊥平面BCD ，1DO ⊂平面BCD ，故1AD DO ⊥，故21//OO DO ，
所以四边形21OO DO 为平行四边形，所以1232
OO DO ==， 所以3714OD =
+=774=74ππ⨯. 故选：D.
【点睛】 本题考查平面图形的折叠以及三棱锥外接球表面积的计算，还考查正弦定理和余弦定理，折叠问题注意翻折前后的变量与不变量，外接球问题注意先确定外接球的球心的位置，然后把半径放置在可解的直角三角形中来计算，本题有一定的难度.
8．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A ．113
B ．4
C ．133
D ．5
【答案】B
【解析】
【分析】 还原几何体的直观图，可将此三棱锥1A CD E -放入长方体中, 利用体积分割求解即可.
【详解】
如图，三棱锥的直观图为1A CD E -，体积
11111111BB E A A CD E E AB A F A C E CC D E AD F D ADC C V V V V V V V ------=-----长方体
12121242222422222423232
=⨯⨯-⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=. 故选:B.
【点睛】
本题主要考查了锥体的体积的求解,利用的体积分割的方法,考查了空间想象力及计算能力,属于中档题. 9．已知函数()f x 满足当0x ≤时，2(2)()f x f x -=，且当(2,0]x ∈-时，()|1|1f x x =+-；当0x >时，()log (0a f x x a =>且1a ≠).若函数()f x 的图象上关于原点对称的点恰好有3对，则a 的取值范围是（ ）
A ．(625,)+∞
B ．(4,64)
C ．(9,625)
D ．(9,64)
【答案】C
【解析】
【分析】
先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，分类利用图像列出有3个交点时满足的条件，解之即可.
【详解】
先作出函数()f x 在(,0]-∞上的部分图象，再作出()log a f x x =关于原点对称的图象，
如图所示，当01a <<时，对称后的图象不可能与()f x 在(,0]-∞的图象有3个交点；
当1a >时，要使函数()f x 关于原点对称后的图象与所作的图象有3个交点，
则11log 321log 54a a a ⎧⎪>⎪⎪->-⎨⎪⎪-<-⎪⎩
，解得9625a <<. 故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数图象解决函数的交点个数问题，考查学生数形结合的思想、转化与化归的思想，是一道中档题.
10．若双曲线()222210,0x y a b a b
-=>>的渐近线与圆()2221x y -+=相切，则双曲线的离心率为( ) A ．2
B ．32
C ．33
D 3 【答案】C
【解析】
【分析】
利用圆心(2,0)到渐近线的距离等于半径即可建立,,a b c 间的关系.
【详解】
由已知，双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=，故圆心(2,0)到渐近线的距离等于1221a b =+，
所以2
23a b ，211()13c b e a a ==+=+=233. 故选：C. 【点睛】 本题考查双曲线离心率的求法，求双曲线离心率问题，关键是建立,,a b c 三者间的方程或不等关系，本题是一道基础题. 11．已知12,F F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左右焦点，过1F 的直线与双曲线的两支分别交于,A B 两点（A 在右支，B 在左支）若2ABF ∆为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B ．5
C ．6
D ．7 【答案】D
【解析】
【分析】
根据双曲线的定义可得2ABF ∆的边长为4a ，然后在12AF F ∆中应用余弦定理得,a c 的等式，从而求得离心率．
【详解】
由题意122AF AF a -=，212BF
BF a -=，又22AF BF AB ==， ∴114AF BF AB a -==，∴12BF a =，
在12AF F ∆中22212
12122cos60F F AF AF AF AF =+-︒， 即22214(6)(4)2642
c a a a a =+-⨯⨯⨯
228a =，∴． 故选：D ．
【点睛】 本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线的定义把A 到两焦点距离用a 表示，然后用余弦定理建立关系式．
12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2AE EO =，则ED =（ ）
A ．1233AD A
B - B ．2133AD AB +
C ．2133A
D AB - D ．1233AD AB + 【答案】C
【解析】
【分析】 画出图形，以,?AB AD 为基底将向量ED 进行分解后可得结果．
【详解】
画出图形，如下图．
选取,?AB AD 为基底，则()211333
AE AO AC AB AD ===+， ∴()
121 333ED AD AE AD AB AD AD AB =-=-+=-． 故选C ．
【点睛】
应用平面向量基本定理应注意的问题
（1）只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，基底可以有无穷多组，在解决具体问题时，合理选择基底会给解题带来方便．
（2）利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在平行四边形ABCD 中，2AB =，1AD =,则AC BD ⋅的值为_____.
【答案】-3
【解析】
【分析】
根据ABCD 是平行四边形可得出22AC BD AD AB ⋅=-，然后代入AB ＝2，AD ＝1即可求出AC BD ⋅的
值． 【详解】
∵AB ＝2，AD ＝1，
∴()()
AC BD AB AD BA BC ⋅=+⋅+
()()AB AD AD AB =+⋅-
22
AD AB =-
＝1﹣4 ＝﹣1． 故答案为：﹣1． 【点睛】
本题考查了向量加法的平行四边形法则，相等向量和相反向量的定义，向量数量积的运算，考查了计算能力，属于基础题．
14．已知正项等比数列{}n a 中，247941499,22
a a a a =
=，则13a =__________． 【答案】12
3
2 【解析】 【分析】
利用等比数列的通项公式将已知两式作商，可得2q ，再利用等比数列的性质可得323
2
a =
，再利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】 由247941499,22
a a a a =
=， 所以10
55
792412a a q q a a ⋅⎛⎫=⋅= ⎪⋅⎝⎭，解得12q =.
2
243492a a a =
=，所以3232
a =， 所以10
10
133212313
222
a a q ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭.
故答案为：12
32 【点睛】
本题考查了等比数列的通项公式以及等比中项，需熟记公式，属于基础题.
15．函数()121x
x
f x e e
b x -=---在()0,1内有两个零点，则实数b 的取值范围是________.
【答案】(()
1,,1e e e --
【解析】 【分析】
设12t x =-，11,22t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，设()1122t t g t e e +-=-，函数为奇函数，()1122'0t t
g t e e +-=+>，函数单调递
增，()()'021g e =<-，画出简图，如图所示，根据()221b e <<-，解得答案. 【详解】
()1112122x x x x f x e e b x e e b x --=---=---
，设12t x =-，11,22t ⎛⎫
∈- ⎪⎝⎭
，则12x t =+. 原函数等价于函数11
2
2
2t t y e e
b t +-=--，即112
2
2t t e
e
b t +--=有两个解.
设()112
2
t t g t e
e
+-=-，则()()112
2
t t g t e
e
g t -+-=-=-，函数为奇函数.
()1
12
2
'0t t g t e
e
+-=+>，函数单调递增，()00g =，112g e ⎛⎫=-
⎪
⎝⎭
，112g e ⎛⎫
-=- ⎪⎝⎭. 当0b =时，易知不成立；
当0b >时，根据对称性，考虑0x ≥时的情况，()()'021g e =<-，
画出简图，如图所示，根据图像知：故()221b e <<-1b e <<-，
根据对称性知：(()
1,,1b e e e ∈--.
故答案为：((
)
1,,1e e e --.
【点睛】
本题考查了函数零点问题，意在考查学生的转化能力和计算能力，画出图像是解题的关键.
16．A B C ，，三所学校举行高三联考，三所学校参加联考的人数分别为160，240，400，为调查联考数学学科的成绩，现采用分层抽样的方法在这三所学校中抽取样本，若在B 学校抽取的数学成绩的份数为30，则抽取的样本容量为____________. 【答案】100 【解析】 【分析】
某层抽取的人数等于该层的总人数乘以抽样比. 【详解】
设抽取的样本容量为x ，由已知，30240160240400
x
=⨯++，解得100x =.
故答案为：100 【点睛】
本题考查随机抽样中的分层抽样，考查学生基本的运算能力，是一道容易题. 三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为31212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）.
（1）求曲线C 的直角坐标方程与直线l 的普通方程；
（2）已知点()1,0M ，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求
||MA MB -‖‖. 【答案】 (1) ()2
224x y -+=
.33
y x =-
(2) 【解析】 【分析】
（1）根据极坐标与直角坐标互化公式，以及消去参数，即可求解；
（2）设,A B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l 的参数方程代入曲线方程，结合根与系数的关系，即可求解. 【详解】
（1）对于曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=，可得24cos ρρθ=，
又由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩，可得22
4x y x +=，即()2224x y -+=，
所以曲线C 的普通方程为()2
224x y -+=.
由直线l
的参数方程为112x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，消去参数可得1y x =
-，即 直线l
的方程为1)3
y x =
-
，即33y x =
-. （2）设,A B 两点对应的参数分别为1t ，2t ，将直线l
的参数方程1212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）代入曲线
22:40C x y x +-=
中，可得2
211410242t ⎛⎫⎛⎫
++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭.
化简得：230t -=
，则12t t +
所以1212||||||||||||MA MB t t t t -=-=+=【点睛】
本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，以及直线的参数方程的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
18．某公园有一块边长为3百米的正三角形ABC 空地，拟将它分割成面积相等的三个区域，用来种植三种花卉.方案是：先建造一条直道DE 将ABC ∆分成面积之比为2:1的两部分（点D ，
E 分别在边AB ，AC
上）；再取DE 的中点M ，建造直道AM （如图）.设AD x =，1DE y =，2AM y =（单位：百米）
.
（1）分别求1y ，2y 关于x 的函数关系式；
（2）试确定点D 的位置，使两条直道的长度之和最小，并求出最小值.
【答案】（1）2
12366y x x
=+-，[]2,3x ∈.2229342
x y x =
++，
[]2,3
x ∈. （2）当6AD =百米时，两条直道的长度之和取得最小值3262⎭
百米.
【解析】 【分析】 （1）由2
3
ADE ABC S S ∆∆=
，可解得AE .方法一：再在ADE ∆中，利用余弦定理，可得1y 关于x 的函数关系式；在ADE ∆和AEM ∆中，利用余弦定理，可得2y 关于x 的函数关系式.方法二：在ADE ∆中，可得
DE AE AD =-，则有222
2DE AE AE AD AD =-⋅+，化简整理即得；同理()
12
AM AD AE =+，化
简整理即得.（2）由（1）和基本不等式，计算即得. 【详解】 解：（1）
2
3
ADE ABC S S ∆∆=
，ABC ∆是边长为3的等边三角形，又AD x =， 2121sin 3sin 23323AD AE ππ⎛⎫∴⋅⋅=⨯⨯ ⎪⎝⎭，6AE x
∴=. 由036
03AD x AE x <=≤⎧⎪⎨<=≤⎪⎩
，得23x ≤≤. 法1：在ADE ∆中，由余弦定理，得
22222
36
2cos
63
DE AD AE AD AE x x π
=+-⋅⋅=+
-. 故直道DE 长度1y 关于x 的函数关系式为212
36
6y x x =+
-，[]2,3x ∈. 在ADE ∆和AEM ∆中，由余弦定理，得
2222cos AD DM AM DM AM AMD
=+-⋅⋅∠①
()
2222cos AE EM AM EM AM AMD π=+-⋅⋅-∠②
因为M 为DE 的中点，所以1
2
DM EM DE ==
. 由①+②，得2
2
2
2
2
221
222
AD AE DM EM AM DE AM +=++=
+， 所以2
222
26136622x x AM x x ⎛⎫⎛⎫+=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以2229342x AM x =++.
所以，直道AM 长度2y 关于x 的函数关系式为
2y =
[]2,3
x ∈. 法2：因为在ADE ∆中，DE AE AD =-，
所以2
2
2
2DE AE AE AD AD =-⋅+2
22266362cos 63x x x x x x π⎛⎫=-⋅+=+- ⎪⎝⎭
. 所以，直道DE 长度1y 关于x
的函数关系式为1y =[]2,3x ∈. 在ADE ∆中，因为M 为DE 的中点，所以()
1
2
AM AD AE =+. 所以()
2
222211362644AM AD AE AD AE x x ⎛⎫=
++⋅=++ ⎪⎝⎭
. 所以，直道AM 长度2y 关于x
的函数关系式为2y =[]2,3
x ∈. （2）由（1）得，两条直道的长度之和为
12DE AM y y +=+=
≥
2=（当且仅当2222
36
9
4x x x x ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
即x =“=”）.
故当AD =
⎭
百米.
【点睛】
本题考查了余弦定理和基本不等式，第一问也可以利用三角形中的向量关系进行求解，属于中档题. 19．ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知()cos 4cos a B c b A =-.
（1）求cos A 的值；
（2）若4b =，点M 是线段BC 的中点，10AM =，求ABC 的面积.
【答案】（1）1
cos 4
A =（2）ABC S =△【解析】 【分析】
（1）利用正弦定理的边化角公式，结合两角和的正弦公式，即可得出cos A 的值； （2）由题意得出2AB AC AM ，两边平方，化简得出4c =，根据三角形面积公式，即可得出结论.
【详解】 （1）
cos (4)cos a B c b A =-
由正弦定理得sin cos (4sin sin )cos A B C B A =- 即sin cos cos sin 4sin cos A B A B C A += 即sin 4cos sin C A C =
在ABC 中，sin 0C ≠，所以 1cos 4A = （2）因为点M 是线段BC 的中点，所以2AB AC
AM
两边平方得2
2
2
24AB AC AB AC AM ++⋅=
由14,10,cos ,sin 44
b AM A A ===
=
得22
124104c b c b ++⨯⨯⨯=⨯ 整理得216240c c ++=，解得4c =或6c =-（舍）
所以ABC 的面积1
sin 2
S bc A == 【点睛】
本题主要考查了正弦定理的边化角公式，三角形的面积公式，属于中档题.
20．已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，点()()2,0P n n >在抛物线C 上，3PF
=，直线l 过
点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点． （1）求抛物线C 的方程及点P 的坐标； （2）求PA PB ⋅的最大值．
【答案】（1）2
4y x =，(2,P ；（2）1．
【解析】 【分析】
（1）根据抛物线上的点到焦点和准线的距离相等，可得p 值，即可求抛物线C 的方程从而可得解；
（2）设直线l 的方程为：x+my ﹣1＝0，代入y 2＝4x ，得，y 2+4my ﹣4＝0，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则y 1+y 2＝﹣4m ，y 1y 2＝﹣4，x 1+x 2＝2+4m 2，x 1x 2＝1，PA =（112x y --，，PB =（x 2﹣2，2y -），由此能求出PA PB ⋅的最大值． 【详解】
（1）∵点F 是抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点，P （2，y 0）是抛物线上一点，|PF|＝3， ∴22
p
+
=3， 解得：p ＝2，
∴抛物线C 的方程为y 2＝4x ，
∵点P （2，n ）（n ＞0）在抛物线C 上， ∴n 2＝4×2＝8，
由n ＞0，得n ＝，∴P （2，．
（2）∵F （1，0），∴设直线l 的方程为：x+my ﹣1＝0， 代入y 2＝4x ，整理得，y 2+4my ﹣4＝0 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），
则y 1，y 2是y 2+4my ﹣4＝0的两个不同实根， ∴y 1+y 2＝﹣4m ，y 1y 2＝﹣4，
x 1+x 2＝（1﹣my 1）+（1﹣my 2）＝2﹣m （y 1+y 2）＝2+4m 2，
x 1x 2＝（1﹣my 1）（1﹣my 2）＝1﹣m （y 1+y 2）+m 2y 1y 2＝1+4m 2﹣4m 2＝1，
PA =（112x y --，，PB =（x 2﹣2，2y -，
PA PB ⋅=（x 1﹣2）
（x 2﹣2）+（1y -）（2y -）
＝x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4)12128y y y y +-++
＝1﹣4﹣8m 2+4﹣
＝﹣8m 2
＝﹣8（m -
2
+1．
∴当m 2
=时，PA PB ⋅取最大值1． 【点睛】
本题考查抛物线方程的求法，考查向量的数量积的最大值的求法，考查抛物线、直线方程、韦达定理等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
21．根据国家统计局数据，1978年至2018年我国GDP 总量从0.37万亿元跃升至90万亿元，实际增长了242倍多，综合国力大幅提升
.
将年份1978，1988，1998，2008，2018分别用1，2，3，4，5代替，并表示为t ；y 表示全国GDP 总量，
表中()ln 1,2,3,4,5i i z y i ==，5
1
15i i z z ==∑.
t
y
z
()
5
2
1
i
i t
t
=-∑
()()5
1
i
i
i t
t
y y =--∑ ()()5
1
i
i
i t t z z =--∑
3
26.474 1.903 10
209.76 14.05
（1）根据数据及统计图表，判断ˆy
bt a =+与ˆdt
y ce =（其中e 2.718=为自然对数的底数）哪一个更
适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出y 关于t 的回归方程.
（2）使用参考数据，估计2020年的全国GDP 总量.
线性回归方程ˆˆˆy
bx a =+中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： ()()
()
1
2
1
ˆn
i
i
i n
i i x x y y b
x x ==--=-∑∑，ˆˆa
y bx =-. 参考数据：
n
4 5 6 7 8 n e 的近似值
55
148
403
1097
2981
【答案】（1）dt
y ce =，()1.405 2.312
2.312 1.405ˆt t y
e e e --==；（2）148万亿元.
【解析】 【分析】
（1）由散点图知dt y ce =更适宜，对dt
y ce =两边取自然对数得ln ln y c dt =+，令ln z y =，ln a c =，
b d =，则z a bt =+，再利用线性回归方程的计算公式计算即可；
（2）将 5.2t =代入所求的回归方程中计算即可.
【详解】
（1）根据数据及图表可以判断，
dt y ce =更适宜作为全国GDP 总量y 关于t 的回归方程.
对dt
y ce =两边取自然对数得ln ln y c dt =+，令ln z y =，ln a c =，b d =，得z a bt =+.
因为()()
()
5
1
5
2
1
14.05
ˆ 1.40510
i i
i i
i t t z
z
b
t
t
==--==
=-∑∑， 所以ˆ 1.903 1.4053 2.312a z bt
=-=-⨯=-， 所以z 关于t 的线性回归方程为 1.405 2.312z t =-，
所以y 关于t 的回归方程为()1.405 2.312
2.312 1.405ˆt t y e e e --==.
（2）将 5.2t =代入 1.405 2.312
ˆt y
e -=，其中1.405 5.2 2.312 4.994⨯-=，
于是2020年的全国GDP 总量约为： 4.994
5ˆ148y
e e =≈=万亿元.
【点睛】
本题考查非线性回归方程的应用，在处理非线性回归方程时，先作变换，转化成线性回归直线方程来处理，是一道中档题.
22．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b
+=>>过点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，过坐标原点O 作两条互相垂直的射线与椭圆C 分
别交于M ，N 两点.
（1）证明：当229a b +取得最小值时，椭圆C
. （2）若椭圆C 的焦距为2，是否存在定圆与直线MN 总相切？若存在，求定圆的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在，2
2
12
7
x y += 【解析】 【分析】
（1）将点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭代入椭圆方程得到221914a b
+=，结合基本不等式，求得229a b +取得最小值时222a b =，
. （2）当直线MN 的斜率不存在时，根据椭圆的对称性，求得O 到直线MN 的距离.当直线MN 的斜率存在时，联立直线MN 的方程和椭圆方程，写出韦达定理，利用OM ON ⊥，则12120x x y y +=列方程，求
得,m k 的关系式，进而求得O 到直线MN 的距离.根据上述分析判断出所求的圆存在，进而求得定圆的方程. 【详解】
（1）证明：∵椭圆C 经过点31,2⎛⎫
⎪⎝⎭，∴221914a b
+=，
∴()222
2
22
222219859999444b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝
⎭8512144
≥+=， 当且仅当2222
994b a a b
=，即22
2a b =时，等号成立， 此时椭圆C
的离心率2
e ==. （2）解：∵椭圆C 的焦距为2，∴221a b -=，又
2219
14a b
+=，∴24a =，23b =. 当直线MN 的斜率不存在时，由对称性，设()00,M x x ，()00,N x x -.
∵M ，N 在椭圆C 上，∴22
00143
x x +=，∴2
127x =，∴O 到直线MN
的距离07d x ===. 当直线MN 的斜率存在时，设MN 的方程为y kx m =+.
由2214
3y kx m
x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得()2223484120k x kmx m +++-=，
()()()2
2284344120km k m ∆=-+->.
设()11,M x y ，()22,N x y ，则122834km x x k +=-+，2122
412
34m x x k -=
+. ∵OM ON ⊥，∴12120x x y y +=，
∴()()1212x x kx m kx m +++()
()2
2
121210k x x km x x m =++++=，
∴()2222
2
22
4128103434m k m k m k k
-+⋅-+=++，即()227121m k =+， ∴O 到直线MN
的距离7
d =
=
=. 综上，O 到直线MN 的距离为定值，
且定值为7
，故存在定圆O ：22
127x y +=，使得圆O 与直线MN
总相切. 【点睛】
本小题主要考查点和椭圆的位置关系，考查基本不等式求最值，考查直线和椭圆的位置关系，考查点到直线的距离公式，考查分类讨论的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.
23．已知椭圆22
22:1x y C a b
+=(0)a b >>的左右焦点分别为12,F F ，焦距为4，且椭圆过点5(2,)3，过点2
F 且不平行于坐标轴的直线l 交椭圆与,P Q 两点，点Q 关于x 轴的对称点为R ，直线PR 交x 轴于点M .
（1）求1
PFQ 的周长； （2）求1PF M 面积的最大值. 【答案】（1）12（2）135
4
【解析】 【分析】
（1）根据焦距得焦点坐标，结合椭圆上的点的坐标，根据定义1212412PF PF QF QF a +++==； （2）求出椭圆的标准方程，设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，联立直线和椭圆，结合韦达定理表示出1PF M 面积，即可求解最大值. 【详解】
（1）设椭园C 的焦距为2c ，则24c =，故2c =.则12(2,0),(2,0)F F -椭圆过点52,3A ⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，由椭圆定义知:1226a AF AF =+=，故3a =，
因此，1PFQ 的周长1212412PF PF QF QF a =+++==； （2）由（1）知:2
2
2
5b
a
c
，椭圆方程为:22
195
x y +
=设()()1122:2,,,,l x my P x y Q x y =+，则()22,R x y -，()12
121211
1212:,0y y y x x y PR y x x y M x x y y ⎛⎫++=
-+⇒ ⎪-+⎝⎭
()
2222259202505945
x my m y my x y =+⎧⇒++-=⎨+=⎩(
)21,22
1090010,59m m y m -±=+>=+△，1212222025,5959
m y y y y m m --+=
=++，()12121212
2902259m
y x x y my y y y m -+=++=+
，1121211121132||||24PF M x x y S y y y y y ⎛⎫+=+=≤ ⎪+⎝⎭
△
当且仅当P 在短轴顶点处取等，故1PF M
【点睛】
此题考查根据椭圆的焦点和椭圆上的点的坐标求椭圆的标准方程，根据直线与椭圆的交点关系求三角形面积的最值，涉及韦达定理的使用，综合性强，计算量大.。