“数值计算方法”习题解答

“数值计算方法”习题解答
配套教材：数值分析简明教程，王能超 编著，高等教育出版社，第二版
第二章 数值积分
2.1 机械求积和插值求积
1、（p.94，习题3）确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精度： ⎰-++-≈h
h
h f A f A h f A dx x f )()0()()()1(210；
⎰++≈10210)43
()21()41()()2(f A f A f A dx x f ；
⎰+≈1000)()0(4
1
)()3(x f A f dx x f 。

【解】 （1）令2
,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
=+=+-=++)
3(32)2(0)
1(220
20210h A A A A h A A A
解得：h A h A A 3
4,3120==
=，即：⎰-++-≈h h h f f h f h
dx x f )]()0(4)([3)(，可以验
证，对3
)(x x f =公式亦成立，而对4
)(x x f =不成立，故公式（1）具有3次代数精度。

（2）令2
,,1)(x x x f =时等式精确成立，可列出如下方程组：
⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++)
3(16
27123)2(232)1(1
210
210210A A A A A A A A A
解得：3
1,32120-==
=A A A ，即：])43
(2)21()41(2[31)(10⎰+-≈f f f dx x f ，可以验
证，对3
)(x x f =公式亦成立，而对4
)(x x f =不成立，故公式（2）具有3次代数精度。

（3）令x x f ,1)(=时等式精确成立，可解得：⎪⎩
⎪⎨⎧=
=324
300x A
即：
⎰
+≈
1
)3
2
(43)0(41)(f f dx x f ，可以验证，对2)(x x f =公式亦成立，而对3)(x x f =不成立，故公式（3）具有2次代数精度。

2、（p.95，习题6）给定求积节点,4
3
,4110==
x x 试构造计算积分⎰=10)(dx x f I 的插值型求积公式，并指明该求积公式的代数精度。

【解】依题意，先求插值求积系数：
21)4321(2434143
1
021
0101010=-⨯-=⋅-
-=⋅--=⎰⎰x x dx x dx x x x x A ； 21)4121(24
14341
10210100101=-⨯=⋅-
-=⋅--=⎰⎰x x dx x dx x x x x A ； 插值求积公式：
⎰
∑+=
==1
)4
3
(21)41(21)()(f f x f A dx x f n
k k k
①当1)(=x f ，左边=
⎰
=1
1)(dx x f ；右边=112
1
121=⨯+⨯；左=右；
②当x x f =)(，左边=
⎰
=
=1
1
2
2
12
1
)(x dx x f ；右边=21
43214121=⨯+⨯；左=右；
③当2
)(x x f =，左边=
⎰
==1
1
033
131)(x dx x f ；右边=165
1692116121=⨯+⨯；左≠右；
故该插值求积公式具有一次代数精度。

2.2 梯形公式和Simpson 公式
1、（p.95，习题9）设已给出x e
x f x
4sin 1)(-+=的数据表，
分别用复化梯形法与复化辛普生法求积分dx x f I ⎰
⋅=1
)(的近似值。

【解】 （1）用复化梯形法：
28358
.1]72159.0)06666.155152.165534.1(200000.1[125.0)}00.1()]75.0()50.0()25.0([2)00.0({2
25.0)]
()(2)([2)]()([225.04
1
,5,1,05551
1
1105=+++⨯+⨯=+++⨯+⨯=++=+===-====∑∑-=+-=T T f f f f f T b f x f a f h
x f x f h T n a b h n b a n k k k k n k
（2）用复化辛普生法：
30939
.1]72159.010304.3888.1000000.1[121
)}00.1()50.0(2)]75.0()25.0([4)00.0({65
.0)]
()(2)(4)([6)]()(4)([65.02
1
,2,1,0221
1102
11211
02≈+++⨯=+⨯++⨯+⨯=
+++=++===-=
===∑∑∑-=-=+++-=S f f f f f S b f x f x f a f h
x f x f x f h S n a b h n b a n k k n k k k k k n k
2、（p.95，习题10）设用复化梯形法计算积分⎰=
1
dx e I x ，为使截断误差不超过5
102
1-⨯，问应当划分区间【0,1】为多少等分？如果改用复化辛普生法呢？
【解】（1）用复化梯形法， x
e x
f x f x f b a =====)('')(')(,1,0，设需划分n 等分，则其截断误差表达式为：
e n
f n a b T I R n T 3
3
2312)01()(''max 12)(||||-=-=-=ξ；
依题意，要求5102
1
||-⨯≤
T R ，即 849.212610102
11252
52≈⨯≥⇒⨯≤-e n n e ，可取213=n 。

（2）用复化辛普生法， x
e x
f x f x f b a =====)('''')(')(,1,0，截断误差表达式为：
4
454528802880)01()(''''max )2(180)(||||n
e
e n
f n a b S I R n S =-=-=-=ξ； 依题意，要求5102
1
||-⨯≤
S R ，即 70666.3144010102
1288054
54≈⨯≥⇒⨯≤-e n n e ，可取4=n ，划分8等分。

2.3 数值微分
1、（p.96，习题24）导出三点公式(51)、(52)和(53)的余项表达式
)
53()]
(3)(4)([21
)(')52()]
()([21
)(')51()]()(4)(3[21
)('21022012100x f x f x f h x f x f x f h x f x f x f x f h x f +-≈+-≈-+-≈
【解】如果只求节点上的导数值，利用插值型求导公式得到的余项表达式为
∏≠=+-⨯+=-=n
k
j j j k k n k k k x x n f x p x f x R 0
)1()()!1()()(')(')(ξ
由三点公式(51)、(52)和(53)可知，1201,2x x x x h n -=-==，则
2
02010021
00)12(03)('''))((!3)(''')()!12()()(h f x x x x f x x f x R j j ξξξ=--=-⨯+=∏=+
202101121
11)12(16)('''))((!3)
(''')()!12()()(h f x x x x f x x f x R j j j ξξξ-=--=-⨯+=∏≠=+
2
21202222
22)12(23)('''))((!3)(''')()!12()()(h f x x x x f x x f x R j j j ξξξ-=--=-⨯+=∏≠=+
2、（p.96，习题25）设已给出2
)1(1
)(x x f +=
的数据表，
试用三点公式计算)2.1('),1.1('),0.1('f f f 的值，并估计误差。

【解】已知1.0,2.1,1.1,0.11201210=-=-====x x x x h x x x ，用三点公式计算微商：
1870
.0]2066.032268.042500.0[1.021
)]2.1(3)1.1(4)0.1([21)2.1('2170
.0]2066.02500.0[1.021
)]2.1()0.1([21)1.1('2470.0]2066.02268.042500.03[1.021)]2.1()1.1(4)0.1(3[21)0.1('-=⨯+⨯-⨯=+-≈-=+-⨯=+-≈-=-⨯+⨯-⨯=-+-≈
f f f h f f f h f f f f h f 5
432)1(24
)(''';)1(6)('';)1(2)(';)1(1)(x x f x x f x x f x x f +-=⇒+=⇒+-=⇒+=， 用余项表达式计算误差
0025.0)0.11(31.0243)(''')0.1(5
2
20-≈+⨯-≈=h f R ξ00125
.0)0.11(!31.024!
3)(''')1.1(5
2
21≈+⨯≈
-
=h f R ξ04967.0)
1.11(31.0243)(''')
2.1(5
2
22-≈+⨯-≈=h f R ξ 3、（p.96，习题26）设x x f sin )(=，分别取步长001.0,01.0,1.0=h ，用中点公式（52）计算)8.0('f 的值，令中间数据保留小数点后第6位。

【解】中心差商公式：h h a f h a f a f 2)()()('--+≈
，截断误差：2
!
3)(''')(h a f h R =。

可
见步长h 越小，截断误差亦越小。

(1) 9.08.0,7.08.0,1.020=+==-==h x h x h ,则
695545.0]644218.0783327.0[1
.021
)]7.0sin()9.0[sin(21)8.0('≈-⨯≈-≈
h f ； (2) 81.08.0,79.08.0,01.020=+==-==h x h x h ,则
6967.0]710353.0724287.0[01
.021)]79.0sin()81.0[sin(21)8.0('≈-⨯≈-≈
h f (3) 801.08.0,799.08.0,001.020=+==-==h x h x h ,则
6965.0]716659.0718052.0[01
.021)]799.0sin()801.0[sin(21)8.0('≈-⨯≈-≈
h f 而精确值 6967067.0)8.0cos()8.0('==f ，可见当01.0=h 时得到的误差最小。

在
001.0=h 时反而误差增大的原因是)8.0(h f +与)8.0(h f -很接近，直接相减会造成有效
数字的严重损失。

因此，从舍入误差的角度看，步长不宜太小。