高中数学解析几何大题

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解析几何大量精选

1.在直角坐标系xOy 中，点M

到点()1,0F

，)2,0F 的距离之和是4，点M 的轨迹是C 与x 轴的负半轴交于点A ，不过点A 的直线:l y kx b =+与轨迹C 交于不同的两点P 和Q ．

⑴求轨迹C 的方程；

⑵当0AP AQ ⋅=时，求k 与b 的关系，并证明直线l 过定点．

【解析】 ⑴ 2

214

x y +=．

⑵将y kx b =+代入曲线C 的方程，

整理得222(14)8440k x kbx b +++-=，

因为直线l 与曲线C 交于不同的两点P 和Q ，

所以222222644(14)(44)16(41)0k b k b k b ∆=-+-=-+> ① 设()11,P x y ，()22,Q x y ，则122814kb x x k

+=-+，

2

122

44

14b x x k -=

+ ② 且22

2

2

121212122

4()()()14b k y y kx b kx b k x x kb x x b k -⋅=++=+++=

+，

显然，曲线C 与x 轴的负半轴交于点()2,0A -，

所以()112,AP x y =+，()222,AQ x y =+． 由0AP AQ ⋅=，得1212(2)(2)0x x y y +++=．

将②、③代入上式，整理得22121650k kb b -+=．

所以(2)(65)0k b k b -⋅-=，即2b k =或65

b k =．经检验，都符合条件①

当2b k =时，直线l 的方程为2y kx k =+．显然，此时直线l 经过定点()2,0-点．

即直线l 经过点A ，与题意不符．

当65b k =时，直线l 的方程为665

5y kx k k x ⎛⎫

=+=+ ⎪⎝

⎭

．

显然，此时直线l 经过定点6

,05

⎛⎫- ⎪⎝

⎭

点，满足题意． 综上，k 与b 的关系是65

b k =，且直线l 经过定点6

,05⎛⎫

- ⎪⎝

⎭

2. 已知椭圆22

22:1x y C a b +=(0)a b >>的离心率为1

2

，以原点为圆心，椭圆的

短半轴为半径的圆与直线0x y -+相切．

⑴ 求椭圆C 的方程；

⑵ 设(4,0)P ，A ，B 是椭圆C 上关于x 轴对称的任意两个不同的点，连结PB 交椭圆C 于另一点E ，证明直线AE 与x 轴相交于定点Q ；

⑶ 在⑵的条件下，过点Q 的直线与椭圆C 交于M ，N 两点，求OM ON ⋅的取值范围．

【解析】 ⑴22

143

x y +=．

⑵ 由题意知直线PB 的斜率存在，设直线PB 的方程为(4)y k x =-．

由22

(4),1.4

3y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(43)3264120k x k x k +-+-=． ① 设点11(,

)B x y ，22(,)E x y ，则11(,)A x y -．

直线AE 的方程为212221

()y y

y y x x x x +-=--．

令0y =，得221221

()

y x x x x y y -=-+．

将11(4)y k x =-，22(4)y k x =-代入整理，得12121224()8

x x x x x x x -+=

+-．②

由①得21223243k x x k +=+，21226412

43

k x x k -=+代入②整理，得1x =．

所以直线AE 与x 轴相交于定点(10)Q ，．

⑶ 54,4⎡⎤--⎢⎥⎣

⎦．

３.设椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>

的一个顶点与抛物线2:C x =的焦点重

合，12F F ，分别是椭圆的左、右焦点，且离心率1

2

e =，过椭圆右焦点2F 的

直线l 与椭圆C 交于M N 、两点．

⑴ 求椭圆C 的方程；

⑵ 是否存在直线l ，使得2OM ON ⋅=-．若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

【解析】 ⑴22

143

x y +=．

⑵ 由题意知，直线l 与椭圆必有两个不同交点． ①当直线斜率不存在时，经检验不合题意． ②设存在直线l 为(1)(0)y k x k =-≠，且11()M x y ，，22()N x y ，．

由22

1

4

3(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩

，得2222(34)84120k x k x k +-+-=， 2122834k x x k +=

+，2122

412

34k x x k -=+， 21212121212[()1]OM ON x x y y x x k x x x x ⋅=+=+-++

2222

22

222

4128512(1)2343434k k k k k k k k k ---=+⋅-⋅+==-+++，