第7章 空间问题的有限单元法

位移决定.将4个结点的坐标值代入式(7-5)的u式中。 i、j、
m、n共4个结点，分别有
ui 1 2 xi 3 yi 4 zi
uj um
1 2x j 1 2 xm
3 y j 3 ym
4z j 4zm
un 1 2 xn 3 yn 4 zn
(7-7)
第7章 空间问题的有限单元法
移一阶导数组成的应变也为常量。
第7章 空间问题的有限单元法
同样，用虚功原理建立结点力和结点位移间的关系式， 从而得出简单四面体单元的刚度矩阵。
ke BTDBdxdydz Ve BTDBdv (7-12)
ke BTDBV e
(7-13)
按结点分块表示，此单元刚度矩阵可表示为
kii kij kim kin
第7章 空间问题的有限单元法
7.1 三维应力状态 7.2 空间结构的离散化 7.3 简单四面体单元 7.4 20结点等参元 7.5 ANSYS空间问题计算示例
工程实际中的很多问题难于简化为平面问题，如受任意空间载荷作用的任意形状几何体.
第77章 空间问题的有限单元法
7.1 三维应力状态
工程结构一般都是立体的弹性体。受力作用后，其
使右手旋转按着由i- j- m的转向转动时，是向法向n方向
前进。
用求位移u的同样方法，可求得
vNv Nv N v Nv
ii
jj
mm
nn
N i
v i
i, j,m,n
wNw N w
ii
jj
N w N w
mm
nn
N i
w i
将位移的3个线性方程形成的线性方程组i, j用,m,n矩阵
表示为
u
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v
N
e
(7-8)
由式(7-7)求出 a1、a2 、a3和 a4，再代回式(7-5)
中，整理后得
u Niui N ju j Nmum Nnun
其中
Ni
1 6V
ai
bi x
ci
y
di z
1 xi yi zi
式中，V为四面体的体积，且有 V 1 1 x j y j z j
6 1 xm ym zm 1 xn yn zn
7.3 简单四面体单元
7.3.1 形状函数
图7-2(a)表示任一简单四面体单元，其中四个结点编
号设为 i、j、m、n (或1、2、3、4)。单元变形时，各结 点沿x、y、z方向上的位移，以列向量表示为
第7章 空间问题的有限单元法
e ui vi wi u j v j wj um vm wm un vn wn T
第7章 空间问题的有限单元法
其中，最简单的空间单元是四面体单元。采用四面 体单元和线性位移函数处理空间问题，可以看作是平面 三角形单元的推广。
如图7-2(f)所示，一个平行6面体可由5个四面体组成， 其基本单元仍是四面体。它们分别由如下结点组成： 2→3→4→7，1→2→4→5，2→4→7→5，2→7→6→5， 4→7→5→8。
k
e
k
ji
k jj
k jm
k
jn
kkmnii
kmj k nj
kmm k nm
kmn k nn
其中任一子矩阵为
k rs
B r
T
DB s
V
e
361
E1 1
2
V
(7-14)
brbs A2 crcs dr ds A1br cs A2cr bs
0
1 2
21
(7-4)
第7章 空间问题的有限单元法
7.2 空间结构的离散化
空间问题所选用的单元形状如图7-2所示。
(a) 四结点四面体单元 (b) 八结点平行6面体单元 (c) 八结点任意6 面体单元
(d) 二十结点任意6面体单元 (e) 八结点板壳单元 (f) 四面体组合体 图7-2 空间结构单元类型
x
u x
y
v y
xy
u y
v x
yz
v z
w y
(7-1)
z
w z
zx
w x
u z
三维弹性体的应
变分量，用矩阵表示
x
为
x
y
xzy
0
0
yz
zx
y 0
0
y
0
x z
0
0
z
uv
0 w
y
z
0
x
(7-2)
第7章 空间问题的有限单元法
弹性体受力作用，内部任意一点的应力状态也是三
N i z 0
1 6V
bi
0
0
ci
0 ci 0 bi
0
0
di 0
y x
0
N i
N i
z y
0
di
ci
di 0 bi
Ni z
0
Ni x
(7-11)
简单四面体单元内，各点的应变都是一样的，这是
一种常应变单元。这一点与平面问题的简单三角形单元
相似，由于单元内位移都假定为线性变化的，因而由位
单元变形时，单元内各点也有沿x、y、z方向的位移
u、v、w，一般应为坐标x、y、z的函数。对于这种简单
的四面体单元，其内部位移可假设为坐标的线性函数，
为满足变形协调条件，取为
u 1 2x 3 y 4z v 5 6x 7 y 8z
w 9 10 x 11 y 12 z
(7-5)
式(7-5)含有12个待定系数a，可由单元的12项结点
xj yj zj ai xm ym zm
xn yn zn
1 xj zj ci 1 xm zm
1 xn zn
1 yj zj
bi 1 ym zm
1 yn zn
1 xj yj
di 1 xm ym
1 xn yn
(7-7)
第7章 空间问题的有限单元法
为使四面体的体积V不为负值，在右手坐标系中，
维的，用列向量表示为
x
y
z
xy
yz
T zx
在线弹性范围内，应力与应变间的物理关系矩阵表达式为
D
(7-3)
对于各向同性弹性体，在三维应力状态下，弹性
矩阵 D的形式为
1
1
D
1
E 1 1
2
1
0
1
1
0
1 0
对
1 2
21
称
0
0
00 00
0 0
1 2
21
内部各点将沿x、y、z坐标轴方向产生位移，是三维空
间问题，其应力状态如图7-1所示。
各点沿x、y、z方向的位移 以u、v、w表示，这些位移
为各点坐标的函数，即：
图7-1 空间结构应力状态
u=u( x、y、z) v=v( x、y、z) w=w( x、y、z)
第7章 空间问题的有限单元法
由弹性力学知，应变与位移间的几何关系是
w
式中 N Ni I N j I NmI NnI
(7-9)
第7章 空间问题的有限单元法
7.3.2 单元刚度矩阵
将式(7-8)代入几何方程式(7-2)，经过微分运算，可
得单元内应变为 Be Bi Bj Bm Bn e (7-10)
式中
Ni
x
0
0
Bi
N
i
0 N i y
0 N i
0
0