2019重庆中考数学A卷解析

2019年重庆市初中毕业、升学考试
数学A 卷
（满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A 、B 、C 、D 的
四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡．．．
上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1．（2019重庆A 卷，1，4）下列各数中，比－1小的数是 （ ）
A ．2
B ．1
C ．0
D ．－2
【答案】D ．
【解析】利用“正数大于负数，0大于负数，两个负数，绝对值大的反而小”的原则来判断，而1、2、0都比－1大，故选D ．
【知识点】实数的大小比较
2．（2019重庆A 卷，2，4）如图是由4个相同的小正方体组成的一个立体图形，其主视图是 （ ）
【答案】A ．
【解析】因为从正面看该几何体，共有2列，第1列有两个小正方形，第2列有一个小正方形，所以选A ． 【知识点】三视图
3．（2019重庆A 卷，3，4）如图，△ABO ∽△CDO ，若BO ＝6，DO ＝3，CD ＝2，则AB 的长是 （ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C ．
【解析】∵△ABO ∽△CDO ，∴
AB BO CD DO =．∵BO ＝6，DO ＝3，CD ＝2，∴6
23
AB =．∴AB ＝4．故选C ． 【知识点】图形的相似；相似三角形的性质
4．（2019重庆A 卷，4，4）如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，A 为切点，BC 与⊙O 交于点D ，连结
OD ．若∠C ＝50°，则∠AOD 的度数为 （ ） A ．40° B ．50° C ．80° D ．100°
第2题图 A ． B ． C ． D ．
从正面看
O
D
C
B A
第3题图
【答案】C
【解析】∵AC是⊙O的切线，∴AC⊥AB．∵∠C＝50°，∴∠B＝90°－∠C＝40°．∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB ＝40°．∴∠AOD＝∠B＋∠ODB＝80°．故选C．
【知识点】等腰三角形的性质；切线的性质
5．（2019重庆A卷，5，4）下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形
C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】A．
【解析】根据矩形的定义，易知选项A正确，另外，对角线互相平分且相等的四边形是矩形；三个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形．
【知识点】四边形；矩形的判定
6．（2019重庆A卷，6，4）估计(1
23+62
3
（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【答案】C．
【解析】∵原式＝3×1
3
2×
1
3
224162425
<<，即424＜5，∴2＋4＜2
24＜5＋2，即6＜(1
23+62
3
7．故选C．
【知识点】实数的运算；二次根式的混合运算；估算
7．（2019重庆A卷，7，4）《九章算术》中有这样一个题：今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而钱亦五十．问甲、乙持钱各几何？其意思为：今有甲乙二人，不如其钱包里有多少钱，若乙把其
一半的钱给甲，则甲的数为50；而甲把其2
3
的钱给乙．则乙的钱数也为50，问甲、乙各有多少钱？设甲的
钱数为x，乙的钱数为y，则可建立方程组为（）
A．
1
50
2
2
50
3
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
B．
1
50
2
2
50
3
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
C．
1
50
2
2
50
3
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
D．
1
50
2
2
50
3
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
【答案】A．
第4题图
O
D
A
【解析】根据“甲的钱＋乙的钱的一半＝50；甲的钱的2
3
＋乙的钱＝50”可得方程组
1
50
2
2
50
3
x y
x y
⎧
+=
⎪⎪
⎨
⎪+=
⎪⎩
，故选A．
【知识点】二元一次方程组；古代问题
8．（2019重庆A卷，8，4）按如图所示的运算程序，能使输出y值为1的是（）A．m＝1，n＝1 B．m＝1，n＝0 C．m＝1，n＝2 D．m＝2，n＝1
【答案】D．
【解析】∵m＝1，n＝1，∴y＝2m＋1＝3；∵m＝1，n＝0，∴y＝2n－1＝－1；∵m＝1，n＝2，∴y＝2m＋1＝3；∵m＝2，n＝1，∴y＝2n－1＝1．故选D．
【知识点】代数式的值；程序求值
9．（2019重庆A卷，9，4）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x轴、y轴上，对角线
BD∥x轴，反比例函数y＝k
x
（k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），
则k的值为（）A．16 B．20 C．32 D．40
【答案】B．
【解析】如答图，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AFB＝∠DOA＝90°．
∵四边形ABCD是矩形，
∴ED＝EB，∠DAB＝90°．
∴∠OAD＋∠BAF＝∠BAF＋∠ABF＝90°．
∴∠OAD＝∠FBA．
∴△AOD∽△BFA．
∴OA OD
BF AF
=．
y
x
O
E
D
C
B
A
输出y的值
y=2n-1
y=2m+1
否
是
m≤n
输入m,n
第8题图
∵BD ∥x 轴，A （2，0），D （0，4）， ∴OA ＝2，OD ＝4＝BF ． ∴
24
4AF
． ∴AF ＝8．
∴OF ＝10，E (5，4)． ∵双曲线y ＝
k
x
过点E ， ∴k ＝5×4＝20． 故选B ．
【知识点】反比例函数；矩形的性质；相似三角形的判定与性质
10．（2019重庆A 卷，10，4）为践行“绿水青山就是金山银山”的重要思想，某森林保护区开展了寻找古树活
动．如图，在一个坡度（或坡比）i ＝1:2.4的山坡AB 上发现有一棵古树CD ．测得古树底端C 到山脚点A 的距离AC ＝26米，在距山脚点A 水平距离6米的点E 处，测得古树顶端D 的仰角∠AED ＝48°（古树CD 与山坡AB 的剖面、点E 在同一平面上，古树CD 与直线AE 垂直），则古树CD 的高度约为 （ ） （参考数据：sin 48°≈0.73，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11）
A ．17.0米
B ．21.9米
C ．23.3米
D ．33.3米
【答案】C ．
【解析】如答图，延长DC 交EA 于点F ，则CF ⊥EA ．∵山坡AC 上坡度i ＝1:2.4，AC ＝26米，∴令CF ＝k ，则AF ＝2.4k ，由勾股定理，得k 2＋(2.4k )2＝262，解得k ＝10，从而AF ＝24，CF ＝10，EF ＝30．在Rt △DEF 中，tan E ＝DF
EF
，故DF ＝EF •tan E ＝30×tan48°＝30×1.11＝33.3，于是，CD ＝DF －CF ＝23.3，故选C ．
E
D
C
第10题图
F y
x
O E
D
C
B
A
【知识点】解直角三角形；坡度问题
11．（2019重庆A 卷，11，4）若关于x 的一元一次不等式组11(42)42
3122
x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的解集是x ≤a ，且关于y 的分式
方程
24
111y a y y y
---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为 （ ） A ．0 B ．1 C ．4 D ．6 【答案】B ．
【解析】原不等式组可化为5
x a
x ≤⎧⎨
<⎩，而它的解集是x ≤a ，从而a ＜5；对于分式方程两边同乘以y －1，得2y －a
＋y －4＝y －1，解得y ＝32a +．而原方程有非负整数解，故3
02
31
2
a a +⎧≥⎪⎪⎨+⎪≠⎪⎩且32a +为整数，从而在a ≥－3且a ≠
－1且a ＜5的整数中，a 的值只能取－3、1，3这三个数，它们的和为1，因此选B ．
【知识点】一元一次不等式组；分式方程
12．（2019重庆A 卷，12，4）如图，在△ABC 中，D 是AC 边上的中点，连结BD ，把△BDC ′沿BD 翻折，得到
△BDC'，DC '与AB 交于点E ，连结AC'，若AD ＝AC '＝2，BD ＝3，则点D 到BC '的距离为（ ） A ．
233 B ．7
21
3 C ．7 D ．13
【答案】B ．
【解析】如答图，过点D 作DM ⊥BC '于点M ，过点B 作BN ⊥DC '于点N ，由翻折可知DC '＝DC ＝AD ＝2，∠BDC ＝∠B DC '．∵AD ＝AC '＝2，∴△ADC'是等边三角形，从而∠ADC '＝∠B DC '＝∠BDC ＝60°．在Rt △BDN
第12题图
第10题答图
E
D
C B
中，DN ＝
12BD ＝32，BN ＝332，从而C N '＝12．于是，BC '＝22
133()()22
+＝7．∵BDC S '∆＝
1122DC BN BC DM ''⋅=⋅，∴DM ＝
DC BN
BC '⋅'
＝33
227
⨯
＝3217．故选B ．
【知识点】翻折；等边三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形；面积桥法．
二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡．．．中对应的横线上． 13．（2019重庆A 卷，13，4）计算：=+1
-0
2
13-）（）（π ． 【答案】3．
【解析】因为原式＝1＋2＝3，所以答案为3．
【知识点】实数的运算；0指数幂；负整数指数幂．
14．（2019重庆A 卷，14，4）今年五一节期间，重庆市旅游持续火爆，全市共接待境内外游客超过25600000
人次，请把数25600000用科学记数法表示为 ．
【答案】2.56×107．
【解析】因为25600000＝2.56×10000000＝2.56×107，故答案为2.56×107． 【知识点】科学记数法．
15．（2019重庆A 卷，15，4）一个不透明的布袋内装有除颜色外，其余完全相同的3个红球，2个白球，1个
黄球，搅匀后，从中随机摸出一个球，记下颜色后放回搅匀，再从中随机摸出一个球，则两次都摸到红球的概率为 ． 【答案】
14
． 【解析】记红球三个分别为a 1、a 2、a 3，白球两个分别为b 1、b 2，黄球为c ，现列表如下：
(b 1,c )(b 1,b 2)(b 1,b 1)(b 1,a 3)(b 1,a 2)(b 1,a 1)(c ,c )(c ,b 2)(c ,b 1)(c ,a 3)(c ,a 2)(c ,a 1)(b 2,a 1)(b 2,a 2)(b 2,a 3)(b 2,b 1)(b 2,b 2)(b 2,c )(a 2,a 2)(a 2,a 1)(a 2,a 3)(a 2,b 1)(a 2,b 2)(a 2,c )(a 1,a 2)(a 1,a 1)(a 1,a 3)(a 1,b 1)(a 1,b 2)(a 1,c )(a 3,c )(a 3,b 2)(a 3,b 1)(a 3,a 3)(a 3,a 1)(a 3,a 2)a 1
a 3a 2
b 1b 2
c c
b 2b 1a 2a 3a 1
第12题答图
由上表可知，共有36种等可能的结果，其中两个球都是红球的有9种情况，故P(两次都摸到红球)＝936＝14
． 【知识点】概率；用列表法或树状图法求等可能条件下的事件的概率．
16．（2019重庆A 卷，16，4）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，∠ABC ＝60°，AB ＝2，分别
以点A 、点C 为圆心，以AO 的长为半径画弧分别与菱形的边相交，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
【答案】2233
π． 【解析】∵在菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，∴△ABC 是正三角形，且∠BAD ＝∠BCD ＝120°．∴S
阴影
＝2S
正三角形
ABC －2S
阴影AEF
＝23×22－2×21201360π⋅⋅＝2233
π．如下图：
【知识点】菱形；等边三角形的面积；扇形的面积．
17．（2019重庆A 卷，17，4）某公司快递员甲匀速骑车前往某小区送物件，出发几分钟后，快递员乙发现甲的
手机落在公司，无法联系，于是乙匀速骑车去追赶甲．乙刚出发2分钟时，甲也发现自己手机落在公司，立刻按原路原速骑车回公司，2分钟后甲遇到乙，乙把手机给甲后立即原路原速返回公司，甲继续原路原速赶往某小区送物件，甲乙两人相距的路程y （米）与甲出发的时间x （分钟）之间的关系如图所示（乙给甲手机的时间忽略不计）．则乙回到公司时，甲距公司的路程是 米．
【答案】6000．
第16题答图
F
E O
C
B
A O
C
B A
第16题图
12
4000
y /米
x /分
O
第17题图
【解析】由图像可知甲8分钟行驶4000米，甲速为500米/分，而甲乙两人2分钟行驶的路程和为甲10分钟行驶的路程，故乙速为(500×10－500×2)÷4＝1000米/分，于是4000＋4×500＝6000米，即为乙回到公司时，甲距公司的路程，因此答案为6000． 【知识点】一次函数；行程问题．
18．（2019重庆A 卷，18，4）在精准扶贫的过程中，某驻村服务队结合当地高山地形，决定在该村种植中药材
川香、贝母、黄连增加经济收人．经过一段时间，该村已种植的川香、贝母、黄连面积之比4:3:5．根据中药材市场对川香、贝母、黄连的需求量，将在该村余下土地上继续种植这三种中药材，经测算需将余下土地面积的
169种植黄连，则黄连种植总面积将达到这三种中药材种植总面积的40
19．为使川香种植总面积与贝母种植总面积之比达到3:4，则该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是 ． 【答案】
320
． 【解析】设该村土地总面积为a 亩，该村已种植的川香、贝母、黄连面积分别为4k 亩、3k 亩、5k 亩，根据题意得5k ＋
9
16
(a －12k )＝1940a ，解得a ＝20k ．再令在余下的土地(20k －9.5k －4k －3k )亩x 亩种植贝母，根据题意，
得(4k ＋3.5k －x )﹕(3k ＋x )＝3﹕4，解得x ＝3k ，故该村还需种植贝母的面积与该村种植这三种中药材的总面积之比是
320k
k ＝320
．因此答案为320．
【知识点】二元一次方程组的应用．
三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，
画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
19．（2019重庆A 卷，19，10）计算：（1）)2(2
y x y y x +-+）（；（2）2
9
2492--÷--+a a a a a ）（．
【思路分析】（1）按完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可；（2）按分式的运算法则进
行计算即可． 【解题过程】（1）原式＝x 2＋2xy ＋y 2－2xy －y 2＝x 2；
（2）原式＝22294229
a a a a a a -+--⋅--＝2(3)22(3)(3)a a a a a --⋅-+-＝3
3a a -+． 【知识点】整式的运算；分式的运算．
20．（2019重庆A 卷，20，10）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分∠ABC 交
AC 于点E ，过点E 作EF ∥BC 交AB 于点F ．
（1）若∠C ＝36°，求∠BAD 的度数；（2）求证：FB ＝FE ．
【思路分析】（1）先利用“等边对等角”求出∠ABC 的度数，然后利用三角形内角和定理，得到∠BAC 的度数，最后利用“三线合一”性质，即可求出∠BAD 的度数；（2）由角平分线定义，得∠ABE ＝∠CBE ，再由平行线性质，得到∠FEB ＝∠CBE ，从而∠ABE ＝∠FEB ，于是FB ＝FE ． 【解题过程】（1）解：∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠C ＝36°．
∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝108°． ∵AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点， ∴AD 平分∠BAC ．
∴∠BAD ＝
1
2
∠BAC ＝54°． （2）证明：∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABE ＝∠CBE ． ∵EF ∥BC ，
∴∠FEB ＝∠CBE ． ∴∠ABE ＝∠FEB ． ∴FB ＝FE ．
【知识点】等腰三角形的性质与判定；角平分线定义；平行线的性质；三角形内角和定理．
21．（2019重庆A 卷，21，10）每年夏季全国各地总有未成年人因溺水而丧失生命，令人痛心疾首．今年某校为
确保学生安全，开展了“远离溺水·珍爱生命”的防溺水安全知识竞赛．现从该校七、八年级中各随机抽取10名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x 表示，共分成四组：A ．80≤x ＜85，B ．85≤x ＜90，C ．90≤x ＜95，D ．95≤x ≤100），下面给出了部分信息： 七年级10名学生的竞赛成绩是：99，80，99，86，99，96，90，100，89，82． 八年级10名学生的竞赛成绩在C 组中的数据是：94，90，94．
八年抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述图表中a ，b ，c 的值；
（2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握防溺水安全知识较好？请说明理由（一条
年级 七年级 八年级 平均数
92 92 中位数 93 b 众数 c 100 方差
52
50.4
a %
D
C 10%
B
20%
A 第21题图
第20题图
F
E
D
C
B
A
理由即可）；
（3）该校七、八年级共720人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是多少？
【思路分析】（1）从统计图上看，八年级样本中A组1人，B组2人，而C组已知有3人，故D组的有10－1－2－3＝4人，占40%，故a＝40；将八年级的成绩按从小到大顺序排序后，处在第5、6两个数据均为94、94，它们的平均数亦为94，从而b＝94；易知七年级10名同学的竞赛成绩为99分的最多，故c＝99．（2）应从中位数上或众数或方差的角度来比较两个年级学生竞赛的成绩好坏．（3）从图表信息中可知样本容量为20的数据中，
x≥90的有13人，用720去乘以13
20
即可．
【解题过程】（1）a＝40，b＝94，c＝99．
（2）从平均数上看，两个年级平均分相等，成绩相当；但从中位数上看，八年级学生成绩高于七年级学生；从众数上看，八年级得满分的多，也好于七年级；从方差上看，八年级方差小，成绩相对整齐些，综上，我认为八年级学生掌握防溺水安全知识较好．
（3）因为在样本中，七八年级共有6＋7＝13人不低于90分，所以估计该校七、八年级共720人参加了此
次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是720×13
20
＝468（人）．
【知识点】统计图表；平均数；中位数；众数；方差；用样本估计总体
22．（2019重庆A卷，22，10）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特珠的自然数—“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算n＋(n＋1)＋(n＋2)时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”，例如：32是”纯数”，因为计算32＋33＋34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23＋24＋25时，个位产生了进位．
（1）判断2019和2020是否是“纯数”？请说明理由；
（2）求出不大于100的“纯数”的个数．
【思路分析】（1）按“纯数”的定义，看2019＋2020＋2021及2020＋2021＋2022在计算时，是否各数位都不产生进位，即可做出判断；（2）寻找“纯数”的构成规律：连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、2、3时，不会产生进位．然后按一位、两位数及三位数（100）分三种情况讨论，即可锁定答案．
【解题过程】（1）2019不是“纯数”，2020是“纯数”，理由如下：
∵在计算2019＋2020＋2021时，个位产生了进位，而计算2020＋2021＋2022时，各数位都不产生进位，
∴2019不是“纯数”，2020是“纯数”．
（2）由题意可知，连续三个自然数的个位不同，其他位都相同，并且连续的三个自然数个位为0、
1、2时，不会产生进位；其他位的数字为0、1、
2、3时，不会产生进位．现分三种情况讨论
如下：
①当这个数为一位自然数时，只能是0、1、2，共3个；
②当这个数为二位自然数时，十位只能为1、2、3，个位只能为0、1、2，即10、11、12、20、
21、22、30、31、32共9个；
③当这个数为100时，易知100是“纯数”．
综上，不大于100的“纯数”的个数为3＋9＋1＝13．
【知识点】阅读理解题；新定义问题；分类思想；纯数．
23．（2019重庆A 卷，23，10）在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式——利用函数图象研
究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的
函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义⎩⎨⎧-≥=)
0()
0(＜a a a a a ．
结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数b kx y +-=3中，当x ＝2时，y ＝－4；当x ＝0时，y ＝－1．
（1）求这个函数的表达式；
（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法面出这个函数的图象并写出这个函数的一条性质； （3）已知函数y ＝
12
x －3的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式321
3-≤+-x b kx 的
解集．
【思路分析】（1）利用待定系数法，将x ＝2时，y ＝－4；x ＝0时，y ＝－1代入函数关系式，得到关于k 、b 的二元一次方程组，解之即可．（2）利用绝对值意义将所求带有绝对值的函数转化为分段函数，即可在所给网格的平面直角系中画出该函数的图像，并结合图像较易从增减性上写出该函数的性质；（3）利用数形结合思想，由两个函数图像的交点的横坐标分别为1和4，分段函数图像在直线y ＝1
2
x －3下方的自变量x 的取值范围即为所求不等式的解集体．
【解题过程】（1）由题意得234
31k b b ⎧-+=-⎪⎨-+=-⎪⎩，解得324k b ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩
，故该函数解析式为y ＝332x -－4．
（2）当x ≥2时，该函数为y ＝
32x －7；当x ≤2时，该函数为y ＝－3
2
x －1，其图像如下图所示： y x
O -1-2-3-4-5-6-7-8-6
-5-4-3-2-112345678654321
第23题图
性质：当x ≥2时，y 随x 的增大而增大；当x ≤2时，y 随x 的增大而减小．
（3）不等式32
1
3-≤+-x b kx 的解集为1≤x ≤4． 【知识点】一次函数的图像与性质；分类函数；绝对值；待定系数法；不等式的解集；数形结合思想．
24．（2019重庆A 卷，24，10）某文明小区50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平
方米住宅套数的2倍．物管公司月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都人住且每户均按时全额缴纳物管费．
（1）该小区每月可收取物管费90 000元，问该小区共有多少套80平方米的住宅？
（2）为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80
平方米的住户分别有40%和20%参加了此次括动．为提高大家的积扱性，6月份准备把活动一升级为活动二：“拉圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调査与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加%2a ，每户物管费将会减少
%10
3
a ；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加%6a ，每户物管费将会减少%4
1
a ．这样，参加活动的这部
分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少%18
5
a ，求a 的值． 【思路分析】（1）根据“50平方米的物管费＋80平方米的物管费＝90000元”，列一元一次方程即可解答；（2）根据5、6两月参加两种活动的户数及减少的每平米的物管费，可列表如下： 户数
每户实缴物管
50m 2 500×40%×(1＋2a %) 100(1－
3
10a %) 80m 2 250×20%×(1＋6a %)
160(1－1
4
a %)
再根据“参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少
%18
5
a ”列一元二次方程即可解答． 第23题答图
y x
O -1-2-3-4-5-6-7-8-6
-5-4-3-2-112345678654321
【解题过程】（1）设80平方米的住宅有x 套，则50平方米的住宅有2x 套，根据题意，得
2x •100＋160x ＝90000，解得x ＝250． 答：80平方米的住宅有250套．
（2）根据题意，得200(1＋2a %)•100(1－
310a %)＋50(1＋6a %)•160(1－1
4
a %)＝ [200(1＋2a %)•100＋50(1＋6a %)•160]•(1－5
18
a %)
令m ＝a %，原方程可化为20000(1＋2m )(1－0.3m )＋8000(1＋6m )(1－1
4
m )＝
[20000(1＋2m )＋8000(1＋6m )]( (1－5
18
m )，
整理，得19m 2－1
18
m ＝0，解得m 1＝0.5，m 2＝0（不合题意，舍去）．
∴a %＝50%，故a 的值为50．
【知识点】一元一次方程的应用；一元二次方程的应用；换元法．
25．（2019重庆A 卷，25，10）如图，在□ABCD 中，点E 在边BC 上，连结AE ，EM ⊥AE ，垂足为E ，交CD 于点
M ，AF ⊥BC ，垂足为F ，BH ⊥AE ，垂足为H ，交AF 于点N ，点P 是AD 上一点，连接CP ． （1）若DP ＝2AP ＝4，CP ＝17，CD ＝5，求△ACD 的面积； （2）若AE ＝BN ，AN ＝CE ，求证：AD ＝2CM ＋2CE ．
【思路分析】（1）过点C 作CQ ⊥AD 于点Q ，利用勾股定理，建立关于PQ 的方程，求出PQ 的值，进而求得AD 边上的高，即可求得△ACD 的面积．（2）连接NE ．首先由EM ⊥AE ，AF ⊥BC ，BG ⊥AE ，得到∠EAF ＝∠NBF ＝∠MEC ，再证明△BFN ≌△AFE ，从而BF ＝AF ，NF ＝EF ．于是∠ABC ＝45°，∠ENF ＝45°，FC ＝AF ＝BF ．然后通过证明△ANE ≌△ECM ，得到CM ＝NE ．最后在等腰Rt △EFN 中，由NF ＝
22NE ＝22
CM ，加上AD ＝2AF ，AF ＝AN ＋NF ，AN ＝EC ，即可锁定答案．
【解题过程】（1）如答图1，过点C 作CQ ⊥AD 于点Q ．
∵DP ＝2AP ＝4， ∴AP ＝2，AD ＝6．
设PQ ＝x ，则DQ ＝4－x ，根据勾股定理，得CP 2－PQ 2＝CD 2－DQ 2，即17－x 2＝52－(4－x )2，
解得x ＝1，从而CQ 2253 4，故S △ACD ＝
12AD •CQ ＝1
2
×6×4＝12． P
H
N
M
F
E
D
C
B
A
第25题图
（2）如答图2，连接NE ．
∵EM ⊥AE ，AF ⊥BC ，BG ⊥AE ，
∴∠AEB ＋∠FBN ＝∠AEB ＋∠EAF ＝∠AEB ＋∠MEC ＝90°． ∴∠EAF ＝∠NBF ＝∠MEC ．
在△BFN 和△AFE 中，BFN AFE FBN FAE BN AE ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△BFN ≌△AFE （AAS ）． ∴BF ＝AF ，NF ＝EF ．
∴∠ABC ＝45°，∠ENF ＝45°，FC ＝AF ＝BF ． ∴∠ANE ＝∠BCD ＝135°，AD ＝BC ＝2AF ．
在△ANE 和△ECM 中，NAE CEM ANE ECM AN EC ∠=∠⎧⎪
∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ANE ≌△ECM （ASA ）．
∴CM ＝NE ． 又∵NF ＝
22NE ＝22
CM ， ∴AF ＝
2
2
CM ＋CE ． ∴AD ＝2CM ＋2CE ．
【知识点】平行四边形的性质；勾股定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的判定与性质．
四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程成或推理步骤，画出必要的图形（包
括辅助线），请将解作过程书写在答题卡中对应的位置上．
26．（2019重庆A 卷，26，8）如图，在平面在角坐标系中，抛物线y ＝x 2－2x －3与x 轴交与点A ，B （点A 在点
B 的左侧）交y 轴于点
C ，点
D 为抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于点
E ．
（1）连结BD ，点M 是线段BD 上一动点（点M 不与端点B ，D 重合），过点M 作MN ⊥BD 交抛物线于点N
（点N 在对称轴的右侧），过点N 作NH ⊥x 轴，垂足为H ，交BD 于点F ，点P 是线段OC 上一动点，当MN 取得最大值时，求HF ＋FP ＋
1
3
PC 的最小值； 第25题答图1
Q
P H
N
M
F
E
D
C
B
A A B
C
D
E
F
M
N
H
P
第25题答图2
（2）在（1）中，当MN 取得最大值，HF ＋FP ＋
1
3
PC 取得小值时，把点P 向上平移个22单位得到点Q ，
连结AQ ，把△AOQ 绕点O 顺时针旋转一定的角度α（0°<α<360°），得到△A OQ ''，其中边A Q ''交坐标轴于点G ，在旋转过程中，是否存在一点G ，使得OG Q Q ''∠=∠？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q '的坐标；若不存在，请说明理由．
【思路分析】（1）①首先由已知条件求出A 、B 、C 、D 的坐标及直线BD 的解析式；②再由S △BDN ＝
1
2
BD •MN ，转化为由MN 的最大值得到S △BDN 取最大值，进而为FN 取最大值；③N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－(m －2)2＋1，求出MN 最大时点N 、F 、H 的坐标；④利用OC 为长直角边，构造一个斜边长为短直角边3倍的直角三角形OCK ，再由点到直线的垂线段最短，找到“MN 取得最大值时，HF ＋FP ＋
13PC 最小值＝HF ＋FR ”；⑤利用相似形的性质及相关数学知识，求出FR 的值，进而求出HF ＋FP ＋13
PC 最小值．（2）如答图2至答图5，分四种情况讨论，先求出Q 点坐标，再按要求利用数学知识即可求出符合条件的点Q '的坐标有4个． 【解题过程】（1）由题意得A (－1，0)，B (3，0)，C (0，－3)，D (1，－4)，直线BD ：y ＝2x －6． 如答图1，连接DN 、BN ，则S △BDN ＝
1
2
BD •MN ，而BD 为定值，故当MN 最大时，S △BDN 取最大值．此时由S △BDN ＝S △DFN ＋S △BFN ＝12EH •FN ＋12BH •FN ＝1
2
BE •FN ＝FN ，从而S △BDN 取最大值时，即为FN 有最大值．令
N (m ，m 2－2m －3)，则F (m ，2m －6)，从而FN ＝(2m －6)－(m 2－2m －3)＝－m 2＋4m －3＝－(m －2)2＋1，此
时，当且仅当m ＝2，FN 有最大值为1，于是N (2，－3)，F (2，－2)，H (2，0)．
在直角三角形中，设最小的直角边为a ，斜边为3a ，较长直角边为3，即可求出a ＝
32
4
，于是在x 轴上取点K (－
32
4
，0)，连接KC ，易求直线KC ：y ＝－22x －3．如答图1，过点F 作FR ⊥CK 于点R ，交OC 于点P ，作FT ⊥OC ，交CK 于点T ，则∠OCK ＝∠TFR ，于是，由△PCR ∽△ACO ∽△TFR ，得
133PR OK a PC KC a ===，从而PR ＝1
3
PC ，因此由FH 为定值，再由定点F 到直线的垂直线最短，可知MN 取y
x
O
E
D
C
B
A
第26题备用图
第26题图
得最大值时，HF ＋FP ＋
1
3
PC 最小值＝HF ＋FR ．在y ＝－22x －3中，当y ＝－2，x ＝－24，于是FT ＝2
＋
24．在Rt △FTR 中，由223FR FT =，得FR ＝223FT ＝223(2＋24)＝14233+，故HF ＋FP ＋1
3
PC 最小值＝2＋
14233+＝742
3
+．
（2）4525(,)55-
-，2545(,)55-，4525(,)55，2545
(,)55
-． 【知识点】一次函数；二次函数；相似三角形；平移；旋转；勾股定理；最值问题；数形结合思想；构造法；待
定系数法；分类思想；压轴题；原创题．
第26题答图4
第26题答图5
第26题答图1 T K
R Q P H
F N
M
y
x
O E
D C
B
A
第26题答图2
第26题答图3。