1.2.1三角函数的定义

sec 1 r ;cs c 1 r ;cot x ; 正割 cos x 余割 sin y 余切 y
定义中坐标P(x,y)的选取与函数值的关系----
推广前后三角函数定义的联系区别
y
P
r
y

x
O
x
M
联系：终边落在第一象限与锐角三角函数定义
相同.
区别：扩充到任意角，扩充后包含原来的定义.
当角α在第一象限时，由于x>0，y>0，所以
sinα>0，cosα>0，tanα>0，cotα>0， secα>0，cscα>0.
当角α在第二象限时，由于x<0，y>0，所以
sinα>0，cosα<0，tanα<0，cotα<0， secα<0，cscα>0.
当角α在第三象限时，由于x<0，y<0，所以
A
1.2.1三角函数的定义
B
C
正弦
余弦
正切
锐
任
角
意
三 角
推广
角 三
函
角
数
函
数
类比
P(x,y) r
O
定义
正弦 余弦 正切 正割 余割
余切
高中三角函数是在坐标系中定义的
P(x,y) r
O
r OP x2 y2 0
sinα= cosα= tanα=
y，
r
x，
r
y。
x
此六种函 数，统称 为三角函 数.
1. 角α的终边过点P(－b，4)，且cosα=
3 5
则b的值是（ A）
（A）3 （B）－3 （C）±3 （D）5
解：r= b2 16
cosα=
x r
b 3 b2 16 5
解得b=3.
2. 已知角α的终边上一点P(－ 3，y)(其中
y≠0)，且sinα= 2 ，y 求cosα和tanα.
4
解：sinα=
y r
y 3 y2
2y 4
解得y2=5，y= 5
当y=
5 时，cosα=

6 4
,tanα=
15 3
当y=－
5
时，cosα=

6
4 ,tanα=
15 3
（二）三角函数在各象限内的符号
角α是“任意角”， 由三角函数定义可知， 由于P(x, y)点的坐标x, y的正负是随角α所在的 象限的变化而不同，所以三角函数的符号应 由角α所在的象限确定.
sinα<0，cosα<0，tanα>0，cotα>0， secα<0，cscα<0.
当角α在第四象限时，由于x>0，y<0，所以
sinα<0，cosα>0，tanα<0，cotα<0， secα>0，cscα<0.
y
++ x
_O _
_
y
+
x
wk.baidu.com
_O +
_
y
+
x
O
+
_
sinα与cscα的符号 cosα与secα的符号 tanα与cotα的符号
例4. 确定下列三角函数值的符号:
（1）cos250º;
（2）sin(

4
)
（3）tan(－672º)；（4）
tan(11
3
)
(5) cos 9 ;
+4
(6)
tan+(
11
6
)
解： （1）250º在第三象限，所以cos250º<0.
(2)
－

4
在第四象限，所以sin(－

4
)<0.
(3) －672º在第一象限，所以tan(－672º)>0.
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0), 则2sinθ+cosθ的值是 ( )
2 5
3. 设A是第三象限角，且|sin A |= －sin A ,则
2
2
A是
2
象限. 第四象限角
4. sin2·cos3·tan4的值 ( B )
(A)大于0
(B)小于0
(C)等于0
(D)不确定
5.若sinθ·cosθ＞0, 则θ是第 一、象三限的角
(4) 11
3
在第四象限，所以tan(
11
3
)<0.
(7) cos 2 cos3 cos 4 <0
例5.设sinθ<0且tanθ>0，确定θ是第几象限的 角。
解：因为sinθ<0，所以θ可能是第三、四象限 的角，又tanθ>0，θ可能是第一、三象限的角， 综上所述，θ是第三象限的角。
例6.若三角形的两内角，满足sincos<0， 则此三角形必为（B ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能
例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的六 个三角函数值。
解：因为x=2，y=－3，所以
sinα=
y 3 13 r 13
tanα=
y 3 x2
cosα= cotα=
x 2 13 r 13 x 2 y3
secα= r 13
x2
cscα=
r 13 y3
例2. 已知角α的终边落在直线 y 3x上，
2
则2kπ<2<2kπ+π, kπ<<kπ+

2
所以是第一或第三象限角.
练习
1.函数y= | sin x | + cos x + | tan x | 的值域是 ( C ) sin x | cos x | tan x
(A) {－1，1} (B) {－1，1，3} (C) {－1，3} (D) {1，3}
例4.若α是第三象限角，则下列各式中不成 立的是（ B ）
A. sin+cos<0 B. tansin<0 C. coscot<0 D. cotcsc<0
例7.已知 1 sin 2 1 ，则为第几象限角？
解：因为
2
1

sin
2
1，所以sin2 >0,
6. sin(－ 263π)+cos 17π3·tan4π －cos
13
π=3
.
0
7.已知P(－2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= － ,求co5s5θ的值. 解：∵P(－2, y)是角θ终边上一点, r= 4 y2
sin y 5
4 y2
5
解得y=－1.
所以cosθ= － 2 5. 5
求sinα，cosα和tanα.
例3、求下列三角函数值 :
角度
0
6
43
2 3 5 3
2 34 6
2
sinx
0 cosx 1
1 2 3 1 3 2 1 0 -1
2 22
222
3 2
2 2
1 2
0
3 2
2 2
1 2
-1
0
tanx 0 3 1
3
3
无

3 -1
30
3
无
随堂练习