2015高中数学 第二章 2.1数列的概念与简单表示法(一)课时作业 新人教A版必修5

第二章 数 列

§2.1 数列的概念与简单表示法(一)

课时目标

1．理解数列及其有关概念；

2．理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3．对于比较简单的数列，会根据其前n 项写出它的通项公式．

1．按照一定顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列中的每一项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项)，排在第二位的数称为这个数列的第2项，…，排在第n 位的数称为这个数列的第n 项．

2．数列的一般形式可以写成a 1，a 2，…，a n ，…，简记为{a n }． 3．项数有限的数列称有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．

4．如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式．

一、选择题

1．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n 答案 B

2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1＋ －1

n ＋1

2

，则该数列的前4项依次为( )

A ．1,0,1,0

B ．0,1,0,1 C.12，0，1

2，0 D ．2,0,2,0 答案 A

3．若数列的前4项为1,0,1,0，则这个数列的通项公式不可能是( )

A ．a n ＝12[1＋(－1)n －1

]

B ．a n ＝1

2

[1－cos(n ·180°)]

C ．a n ＝sin 2

(n ·90°)

D ．a n ＝(n －1)(n －2)＋12

[1＋(－1)n －1

]

答案 D

解析 令n ＝1,2,3,4代入验证即可．

4．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2

－n －50，则－8是该数列的( ) A ．第5项 B ．第6项 C ．第7项 D ．非任何一项 答案 C

解析 n 2

－n －50＝－8，得n ＝7或n ＝－6(舍去)． 5．数列1,3,6,10，…的一个通项公式是( )

A ．a n ＝n 2

－n ＋1 B ．a n ＝n n －1 2

C ．a n ＝

n n ＋1

2

D ．a n ＝n 2

＋1

答案 C

解析 令n ＝1,2,3,4，代入A 、B 、C 、D 检验即可．排除A 、B 、D ，从而选C.

6．设a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n (n ∈N *

)，那么a n ＋1－a n 等于( )

A.12n ＋1

B.12n ＋2

C.12n ＋1＋12n ＋2

D.12n ＋1－12n ＋2 答案 D

解析 ∵a n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋1

2n

∴a n ＋1＝1n ＋2＋1n ＋3＋…＋12n ＋12n ＋1＋1

2n ＋2

，

∴a n ＋1－a n ＝12n ＋1＋12n ＋2－1n ＋1＝12n ＋1－1

2n ＋2

.

二、填空题

7．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩

⎪⎨⎪

⎧

3n ＋1 n 为正奇数 4n －1 n 为正偶数 .则它的前4项依次为

____________．

答案 4,7,10,15

8．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n n ＋2 (n ∈N *

)，那么1120

是这个数列的第______

项．

答案 10

解析 ∵1n n ＋2 ＝1

120

，

∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.

9．用火柴棒按下图的方法搭三角形：

按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是______________．

答案 a n ＝2n ＋1

解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1. 10．传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras ，约公元前570年—公元前500年)学派的数学家经常在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩上画点或用小石子来表示数．比如，他们将石子摆成如图所示的三角形状，就将其所对应石子个数称为三角形数，则第10个三角形数是______．

答案 55

解析 三角形数依次为：1,3,6,10,15，…，第10个三角形数为：1＋2＋3＋4＋…＋10＝55.

三、解答题

11．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，… (2)0.8,0.88,0.888，…

(3)12，14，－58，1316，－2932，61

64，… (4)32，1，710，9

17，… (5)0,1,0,1，…

解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n ＋1

表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面

的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)(n ∈N *

)．

(2)数列变形为89(1－0.1)，8

9

(1－0.01)，

89(1－0.001)，…，∴a n ＝89⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－110n (n ∈N *

)． (3)各项的分母分别为21,22,23,24

，…易看出第2,3,4项的分子分别比分母少3.因此把第

1项变为－2－32，因此原数列可化为－21－321，22－322，－23－323，24

－3

2

4，…，

∴a n ＝(－1)n ·2n

－32

n (n ∈N *

)．

(4)将数列统一为32，55，710，9

17

，…对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分

子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…联想到数列1,4,9,16…即数列{n 2

}，

可得分母的通项公式为c n ＝n 2

＋1，

∴可得它的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1

(n ∈N *

)．

(5)a n ＝⎩⎪⎨

⎪

⎧

0 n 为奇数 1 n 为偶数

或a n ＝1＋ －1 n

2

(n ∈N *

)

或a n ＝1＋cos n π2

(n ∈N *

)．

12．已知数列⎩⎨⎧⎭

⎬⎫

9n 2

－9n ＋29n 2

－1； (1)求这个数列的第10项；

(2)98

101

是不是该数列中的项，为什么？ (3)求证：数列中的各项都在区间(0,1)内；

(4)在区间⎝ ⎛⎭

⎪⎫13，23内有、无数列中的项？若有，有几项？若没有，说明理由． (1)解 设f (n )＝9n 2

－9n ＋2

9n 2

－1

＝ 3n －1 3n －2 3n －1 3n ＋1 ＝3n －23n ＋1

. 令n ＝10，得第10项a 10＝f (10)＝28

31

.

(2)解 令3n －23n ＋1＝98

101

，得9n ＝300.

此方程无正整数解，所以98

101

不是该数列中的项．

(3)证明 ∵a n ＝3n －23n ＋1＝3n ＋1－33n ＋1＝1－3

3n ＋1，

又n ∈N *

，∴0<33n ＋1

<1，∴0

∴数列中的各项都在区间(0,1)内．