创意平板折叠桌问题的模型设计与优化

创意平板折叠桌问题的模型设计与优化

一、摘要

本文在充分考虑实际设计需求的基础上，讨论了某公司生产的创意平板折叠桌的动态变化过程和一定条件下最优加工参数的设计问题。通过建立空间直角坐标系进行几何分析，构造非线性规划模型，并利用Matlab和Lingo软件编程求解，得出各种条件下的设计参数结果。

在问题一中，本文从桌子的稳固性出发，从物理学的角度，根据受力分析，寻找稳固性条件下的约束条件，构建非线性规划模型，并利用Lingo求得单侧

20根桌腿情况下的开槽长度、桌腿边缘线等参数，在此基础上描述了折叠桌折

叠运动的动态过程。

由于问题一采用了构建非线性规划的方法，因此在求解第二题的过程中，本文依然通过寻找约束条件和修改目标函数来优化模型，根据给出的桌面直径和桌子的高度，可以用Matlab求出各个需求的加工参数，所以此模型能够很好地满足设计者及生产者的需求。根据题目中给定的桌面高度70cm和桌面直径80cm

的条件，用Matlab编程求解得出从外侧第2根木条到第10根槽长分别为 cm， cm，cm， cm， cm， cm， cm，。

针对问题三，根据客户要求的折叠桌高度，桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，结合实际情况，发现现实生活中主要的桌面形状是分偶数边正多边形和椭圆形两种情况考虑，通过几何图形分析，分别建立非线性规划模型，根据题意寻找约束条件，优化模型，用Matlab编程求解。

关键词：非线性规划几何分析受力分析空间直角坐标系

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二、问题重述

某公司生产一种可折叠的桌子，桌面呈圆形，桌腿随着铰链的活动可以平摊成一张平板。桌腿由若干根木条组成，分成两组，每组各用一根钢筋将木条连接，钢筋两端分别固定在桌腿各组最外侧的两根木条上，并且沿木条有空槽以保证滑动的自由度。

本文根据给定的各种数据研究以下几个问题：

1. 给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽

2.5 cm，连接桌腿木条的钢筋固定在桌腿最外侧木条的中心位置，折叠后桌子的高度为53 cm。试建立模型描述此折叠桌的动态变化过程，在此基础上给出此折叠桌的设计加工参数（例如，桌腿木条开槽的长度等）和桌脚边缘线（图4中红色曲线）的数学描述。

2. 折叠桌的设计应做到产品稳固性好、加工方便、用材最少。对于任意给定的折叠桌高度和圆形桌面直径的设计要求，讨论长方形平板材料和折叠桌的最优设计加工参数，例如，平板尺寸、钢筋位置、开槽长度等。对于桌高70 cm，桌面直径80 cm的情形，确定最优设计加工参数。

3. 公司计划开发一种折叠桌设计软件，根据客户任意设定的折叠桌高度、桌面边缘线的形状大小和桌脚边缘线的大致形状，给出所需平板材料的形状尺寸和切实可行的最优设计加工参数，使得生产的折叠桌尽可能接近客户所期望的形状。你们团队的任务是帮助给出这一软件设计的数学模型，并根据所建立的模型给出几个你们自己设计的创意平板折叠桌。要求给出相应的设计加工参数，画出至少8张动态变化过程的示意图。

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三、问题分析

针对问题一，题目给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条宽2.5 cm，折叠后桌子的高度为53cm，在此问中为简便计算，我们暂不考

虑桌面平板的厚度和桌腿之间的缝隙，按照最大20根桌腿的情况进行计算。同时对桌腿进行受力分析得知当R b h b =+-1221)-60(时，桌子的稳固性最强，此时可以以n θ的补角的余弦值n

d h 2cos 最大为目标，建立非线性规划模型，在求解最外侧桌腿的参数的基础上，利用递推公式编程逐步得出20条桌腿的设计参数和折叠桌整体变化趋势。

针对问题二，我们从问题中的用材最省、稳固性高、加工方便三方面来考虑，建立非线性规划模型。首先，从用材最省的角度出发，我们以平板体积最小为目标函数，其次，要满足桌子的稳定性，由问题一的分析，我们可以知道，在折叠情况下，当最外侧桌腿桌脚到桌面直径的平面距离要和桌面半径的距离保持一致，此时桌子的稳固性最高。然后，我们从加工方便的角度考虑，开槽长度越短，加工就相对方便一点，开槽长度最短也是我们的目标。最后，综合上面三个角度的考虑，建立非线性规划的数学模型，任意给出，桌子的高度和桌面的直径，都能够求得理想的加工参数。

针对问题三，结合实际生活，我们只考虑桌面边缘形状为正多边形和椭圆形的两种情况，然后在问题二的基础上，对模型进行延伸和扩展，根据设计者的目的及要求，得到理想的桌子的加工参数。

四、模型假设

1.假设木条之间没有缝隙且木条表面足够光滑。

2.假设桌子折叠展开的时候受力均衡。

3.桌子一直处于水平状态。

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五、符号说明

c b a ,,：分别为平板木块的长宽高

n d ：每条桌腿钢筋到相应桌腿顶点的距离

n θ：每条桌腿与圆形桌面下底面夹角（左侧）

n ：桌腿编号

R ：圆形桌面半径

n b ：各桌腿顶点处到过桌面中心垂直于桌腿的直径的距离

h ：折叠桌的高度

…

n f ：桌腿长度 n b a -2

n E ：桌子平铺时各桌腿中钢筋到铰链的距离

n Q ：折叠后各桌腿中钢筋到铰链距离

d ：桌腿宽度

m ：桌腿条数（单侧）

k ：钢筋到相应桌腿的长度占整条桌腿的长度比例

i ：偶数正多边形条数

L ：偶数正多边形边长

"

n α：桌面圆心与第n 条桌腿所对应的铰链的连线与桌面半径的夹角

n s :第n 条桌腿的开槽长度 B A ,：分别为椭圆形桌面长半轴和短半轴长

六、模型的建立与求解

1.问题一

在第一题中，给定长方形平板尺寸为120 cm × 50 cm × 3 cm，每根木条