直线的点斜式方程课件.ppt
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高中数学《直线的点斜式方程》课件(共16张PPT)
直线的点斜式、斜截式方程
1．直线的点斜式方程和斜截式方程
名称
点斜式
斜截式
已知条件 点 P(x0，y0)和斜率 k 斜率 k 和直线在 y 轴上的截距 b
图示
方程 ___y－___y0_＝__k_(_x_－__x_0_) __
_y_＝__k_x_＋__b____
适用范围
斜率存在
2.直线 l 在 y 轴上的截距 定义：直线 l 与 y 轴交点(0，b)的__纵__坐__标__b__叫作直线 l 在 y 轴上的截距． [化解疑难] 解读直线的点斜式方程 直线的点斜式方程的前提条件是：(1)已知一点 P(x0，y0)和斜率 k；(2)斜率 必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程.
二、特点
斜率：直线的斜率是直线在某一点上的变化率，反映了直线在该点上的陡峭程度。斜率越大， 直线越陡峭；斜率越小，直线越平缓。
截距：直线的截距是直线与y轴的交点坐标，反映了直线在y轴上的位置。截距越大，直线离y 轴越远；截距越小，直线离y轴越近。
方程的适用范围：直线的点斜式方程适用于已知一点和斜率的直线，不适用于斜率不存在的直 线。
1．过点 P(－2,0)，斜率是 3 的直线的方程是( )
A．y＝3x－2
B．y＝3x＋2
C．y＝3(x－2)
D．y＝3(x＋2)
答案： D
自主练习
2．直线方程为 y＋2＝2x－2，则( )
自主练习
A．直线过点(2，－2)，斜率为 2
B．直线过点(－2,2)，斜率为 2
C．直线过点(1，－2)，斜率为12
精准例题
直线的点斜式方程 课后总结 直线的点斜式方程是描述直线的一种重要方式，它表达了直线在某一点上的斜率和截距，是解
3.2.1 直线的点斜式方程(共26张PPT)
栏目 导引
第三章
直线与方程
跟踪训练
1．写出下列直线的方程
(1)经过点A(2,5)，斜率是4； (2)经过点B(2,3)，倾斜角是45°；
(3)经过点C(－1,1)，与x轴平行；
(4)经过点D(1,1)，与x轴垂直． 解：(1)y－5＝4(x－2)； (2)k＝tan 45°＝1，所以y－3＝x－2； (3)y＝1； (4)x＝1.
栏目 导引
第三章
直线与方程
(3)∵直线的倾斜角为 60° ， ∴其斜率 k＝tan 60° ＝ 3. ∵直线与 y 轴的交点到原点的距离为 3， ∴直线在 y 轴上的截距 b＝ 3 或 b＝－ 3. ∴所求直线方程为 y＝ 3x＋ 3 或 y＝ 3x－ 3.
【名师点评】 利用斜截式写直线方程时， 首先要考虑斜率 是否存在，其次要注意截距与距离的区别与联系．
栏目 导引
第三章
直线与方程
题型四
例4
直线在平面直角坐标系中位置的确定
)
1 方程 y＝ ax＋ 表示的直线可能是 ( a
栏目 导引
第三章
直线与方程
1 1 【解析】 直线 y＝ ax＋ 的斜率是 a， 在 y 轴上的截距是 ， a a 1 当 a>0 时，斜率 a>0，在 y 轴上的截距是 >0，则直线 y＝ a 1 ax＋ 过第一、 二、 三象限， 四个选项都不符合； 当 a<0 时， a 1 1 斜率 a<0， 在 y 轴上的截距是 <0， 则直线 y＝ ax＋ 过第二、 a a 三、四象限，仅有选项 B 符合．
第三章
直线与方程
3．2
直线的方程
3．2.1 直线的点斜式方程
第三章
直线与方程
2.2.1 直线的点斜式方程课件高二选择性必修第一册(共28页PPT)
（4）方程 y y0
k x x0 与方程 k
y y0 不是等价的，前者表示整条直线， x x0
后者表示去掉点 P x0, y0 的一条直线.
（5）当 k 取任意实数时，方程 y y0 k x x0 表示恒过定点 x0, y0 的无数条 直线.
思考一下
（1）当直线 l 的倾斜角为 0°时，直线 l 的方程是什么？ （2）当直线 l 的倾斜角为 90°时，直线 l 的方程是什么？
y 2x 1表示斜率为 2，在 y 轴上的截距为-1 的直线； y 3x 表示斜率为 3，在 y 轴上的截距为 0 的直线； y x 3 表示斜率为-1，在 y 轴上的截距为 3 的直线.
例 2 已知直线 l1 : y k1x b1 ，l2 : y k2x b2 ，试讨论： （1） l1 l2 的条件是什么？ （2） l1 l2 的条件是什么？
思考一下
方程 y kx b 与我们学过的一次函数表达式类似.我们知道，一次函数的图象是 一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数 y kx b ？你能说出一次函数 y 2x 1， y 3x 及 y x 3 图象的特点吗？
结论
对于 y kx b ，当 k 0 时，y kx b 表示 y 是 x 的一次函数；当 k 0 时，y b 是 一个常数函数.k 表示直线的斜率，b 表示直线在 y 轴上的截距.
分析：回顾前面用斜率判断两条直线平行、垂直的结论，可以发现l1 //l2 或l1 l2 时， k1,k2 与 b1，b2 应满足的关系.
解：
（1）若 l1 l2 ，则 k1 k2 ，此时l1 ，l2 与 y 轴的交点不同，即b1 b2 ； 反之，若 k1 k2 ，且 b1 b2 ，则l1 l2 . （2）若 l1 l2 ，则 k1k2 1；反之，若 k1k2 1 ，则l1 l2 . 由例 2 可得，对于直线 l1 : y k1x b1 ，l2 : y k2x b2 ， l1 l2 k1 k2 ，且 b1 b2 ； l1 l2 k1k2 1 .
直线点斜式方程ppt课件
课后作业， 分层练习
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
1．创设情境，提出问题
引入：坐标中直线有哪些情况
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
设计意图：
设计这个情境目的是在引入课题的同时 引领学生的思考，调动学习的积极性．并且 引入向量及斜角和亮点坐标等数学知识，内 容紧扣本节课的主题与重点．
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
一、教材分析
2．学情分析
学生已经点向式方程有所了解。通过引入向量构图，对 角a进行分析，引入斜率这一概念。并且通过移项得出点 斜式方程。这一推理能承接之前所学，并且容易使学生接 受新知并运用。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
10.板书设计
大标题
1.小标题 例题：（1）.。。
（2）.。。。 2.小标题 3.小标题 。。。。。。
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
人教A版选修一2.2.1直线的点斜式方程课件
y y0
k
追问1.1：
x x0 能否直接表示直线？为什么要变形？
x x0
y y0
除点 P0 ( x0 , y0 ) 外
k
x x0
y y0 k ( x x0 )
直线l上的其他点
直线l上的任意点
直线上任意点的坐标都满足直线的方程.
知识点一 直线的点斜式方程
问题1
一、空间向量的有关概念
的图象是一条直线，你如何从直线方程的角度认识一次函数 = + ？
你能说出一次函数 = − ， = 及 = − + 图象的特点吗？
分析：一次函数的解析式与直线的斜截式方程的形式一致，对于
y=kx+b，从函数的角度看，表示的是自变量x与因变量y之间的对应
关系；从直线方程的角度看，表示的是平面直角坐标系中一条直线
解:直线l经过点0 (-2，3)，斜率k=tan 45°=1，代
入点斜式方程得：
y
P1 4
P0
− 3 = + 2.
3
2
1
-2 -1 O
画图时，只需再找出直线l上的另一点 1 1 , 1 ，
-1
1
x
例如，取1 = −1，则1 = 4，得点1 的坐标为 −1,4 ，
过0 ，1 两点的直线即为所求，如图所示.
(4)经过点D −4, −2
2
，倾斜角是 .
3
解析：(1) − −1 = 2 − 3
(2)∵ = tan 30° =
3
，∴
3
−2=
3
3
− − 2
(3)∵ = tan 0° = 0， ∴ − 3 = 0 − 0 .
直线的点斜式方程ppt课件
解析：由已知可得直线的点斜式方程为 故选C.
整理得2x-3y=0.
2.已知直线的倾斜角为60°,在y 轴上的截距为-2,则此直线的方程为(
A.y=√3x+2
B.y=-√3x+2
C.y=-√3x-2
D.y=√3x-2
解析：直线的倾斜角为60°,则其斜率为 √3,利用斜截式得直线的方程为y= √3x-2.
方程y=kx+b 叫做直线的斜截式方程，简称斜截式. 其 中 ，k 是直线的斜率，b 是直线在y 轴上的截距.
例2已知直线 l:y=k₁x+b₁,l₂:y=k₂x+
(1)l₁ 1/l₂ 的条件是什么?
b₂ ,试讨论：
(2)l⊥l₂ 的条件是什么?
解：(1) 若l//l₂, 则k=k₂ ,此时l,l₂ 与y 轴的交点不同，即b₁ ≠b₂; 反之，若k₁=k₂, 且b₁≠b₂, 则₁// l₂.
解：直线1经过点P(-2,3),斜率k=tan45°=1, 代入点斜式方程得y-3=x+2.
画图时，只需再找出直线1上的另一点P(x,y₁),
例如，取x =-1, 则y₁=4, 得点P 的坐标为(-1,4), 过P₀,P 两点的直线即为所求，如图所示.
直线的斜截式方程
直线l与 y 轴的交点(0,b)的纵坐标b 叫做直线l在 y 轴上的截距. 这样，方程y=kx+b 由直线的斜率k 与它在y 轴上的截距b 确定，
第二章直线和圆的方程
2.2.1直线的点斜式方程
学
01 掌握直线方程的点斜式与斜截式方程.
习
目
标
02 了解斜截式方程与一次函数的关系.
直线的点斜式方程
方程y-yo=k(xx₀)
《直线的点斜式方程》课件
y2)是已知的两点。
截距式方程
a * x + b * y = c，其中a、b 、c是已知的常数，且a和b不
同时为零。
直线点斜式方程的拓展应用
解决实际问题的应用
在数学竞赛中的应用
直线点斜式方程可以用于解决许多实 际问题，如物理中的运动轨迹问题、 工程中的线路规划问题等。
直线点斜式方程是数学竞赛中常见的 考点，常用于解决平面几何、代数等 题目。
需要用到该公式。
对其他学科的影响
直线点斜式方程不仅在数学学科 中有重要影响，还对物理学、工 程学、经济学等其他学科产生了 一定的影响，推动了这些学科的
发展。
THANK YOU
《直线的点斜式方程》课件
contents
目录
• 直线的点斜式方程的定义 • 直线点斜式方程的应用 • 直线点斜式方程的推导与证明 • 直线点斜式方程的变种与拓展
01
直线的点斜式方程的 定义
公式表达
01
总结：直线的点斜式方程是用来 描述直线在平面上的一个点及其 斜率的一种方程形式。
02
给定一个点P(x0, y0)和斜率m， 直线的点斜式方程可以表示为 y y0 = m(x - x0)。
几何意义
总结：点斜式方程反映了直线在平面上的一个点及其斜率，通过这个方程可以确 定一条唯一的直线。
在二维坐标系中，给定点P(x0, y0)和斜率m，通过点斜式方程可以确定一条经过 该点的直线，其方向与x轴正方向形成的夹角为α，其中tanα = m。
适用范围
总结：点斜式方程适用于已知直线上 的一个点和该直线的斜率的情况，可 以用来求解直线的方程。
在数学其他领域的应用
直线点斜式方程在解析几何、线性代 数等领域也有广泛的应用，如用于求 解线性方程组、判断线性相关性等。
截距式方程
a * x + b * y = c，其中a、b 、c是已知的常数，且a和b不
同时为零。
直线点斜式方程的拓展应用
解决实际问题的应用
在数学竞赛中的应用
直线点斜式方程可以用于解决许多实 际问题，如物理中的运动轨迹问题、 工程中的线路规划问题等。
直线点斜式方程是数学竞赛中常见的 考点，常用于解决平面几何、代数等 题目。
需要用到该公式。
对其他学科的影响
直线点斜式方程不仅在数学学科 中有重要影响，还对物理学、工 程学、经济学等其他学科产生了 一定的影响，推动了这些学科的
发展。
THANK YOU
《直线的点斜式方程》课件
contents
目录
• 直线的点斜式方程的定义 • 直线点斜式方程的应用 • 直线点斜式方程的推导与证明 • 直线点斜式方程的变种与拓展
01
直线的点斜式方程的 定义
公式表达
01
总结：直线的点斜式方程是用来 描述直线在平面上的一个点及其 斜率的一种方程形式。
02
给定一个点P(x0, y0)和斜率m， 直线的点斜式方程可以表示为 y y0 = m(x - x0)。
几何意义
总结：点斜式方程反映了直线在平面上的一个点及其斜率，通过这个方程可以确 定一条唯一的直线。
在二维坐标系中，给定点P(x0, y0)和斜率m，通过点斜式方程可以确定一条经过 该点的直线，其方向与x轴正方向形成的夹角为α，其中tanα = m。
适用范围
总结：点斜式方程适用于已知直线上 的一个点和该直线的斜率的情况，可 以用来求解直线的方程。
在数学其他领域的应用
直线点斜式方程在解析几何、线性代 数等领域也有广泛的应用，如用于求 解线性方程组、判断线性相关性等。
第一课时直线的点斜式方程ppt课件
当直线l的倾斜角为90°时，斜率k不存在
此时直线与y轴平行或重合
方程为x-x0=0，即x=x0
直线的点斜式方程
直线l经过点P0（-2，3），且倾斜角α＝45°，求直线l 的点斜式方程，并画出直线.
直线l的斜率k=tan45°=1 由直线的点斜式方程得y-3=x+2
y A
P
0
令x=-1，得y=4
O
x
直线的点斜式方程
2.判断A（1，3），B（5，7），C（10，12）三点是否共线， 并说明理由. 3.已知点A（7，-4），B（-5，6），求线段AB的垂直平分线 的方程. 4.一条直线经过点A（2，-3），并且它的斜率是直线y= 1 x
3
的斜率的2倍，求这条直线的方程.
直线的点斜式方程
5.求满足下列条件的直线的方程： （1）经过点A（3，2），且与直线4x+y-2=0平行； （2）经过点C（2，-3），且平行于过点M（1，2）和N（-1，-5） 的直线； （3）经过点B（3，0），且与直线2x+y-5=0垂直.
x 显然，过点P0（x0,y0），斜率为k的直线 上的每一点的坐标都满足该方程
反之，坐标满足该方程的点都在直线l上
直线的点斜式方程
经过点P0（x0,y0）,且斜率为k的直线l的方程为y-y0=k(x-x0)
y
A
当直线l的倾斜角为0°时，k＝0
P
此时直线与x轴平行或重合
0
O
x 方程为y-y0=0，即y=y0
直线的斜截式方程
如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)，直线l如何表示？
y
将点的坐标代入直线的点斜式方程，得
y-b=kx 即 y=kx+b
2.2.1直线的点斜式方程(课件(人教版))
)
课堂小结
情势
条件
点斜式
直线过点(x0, y0),
且斜率为k
斜截式
在y轴上的截距为b,
且斜率为k
直线方程
应用范围
y y0 k ( x x 0 )
不含与x轴
垂直的直线
y kx b
不含与x轴
垂直的直线
注：在使用这两种情势求解直线方程时，若斜率存在与否难以确定，
应分“斜率存在”和“斜率不存在”这两种情况分别考虑，以免丢解.
道, 一次函数的图象是一条直线, 你如何从直线方程的角度认识
一次函数y=kx+b?
一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数. 对于斜截式,
直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0(否则就不是一次函数).
例如: 对于直线方程y= kx+ b(斜截式), 当k≠0(即斜率不为0)时, 这个直线方程
例2
已知直线l1的方程为y＝－2x＋3，l2的方程为y＝4x－2，
（1）直线l与l1平行且与l2在y轴上的截距相同，求直线l的方程.
（2）直线l与l1 垂直且与l2在y轴上的截距互为相反数，求直线l
的方程，求本例中直线l与两坐标轴围成的三角形的面积.
（3）直线l与l1垂直，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，
类型三 根据直线的斜截式方程判断直线平行与垂直
例5
10－3m
3m
已知直线l1：y＝ － x＋
和l2：6my＝－x＋4，1与l2平行或垂直？
类型三 求直线方程
9.
ABC 的三个顶点是 A 4,0 ， B 6,7 ， C 0,3 ，求：
（1）边 BC 上的高所在直线的方程；
直线的点斜式方程课件ppt
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经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
第三章 直线与方程
探究点 2 直线的斜截式方程 根据条件写出下列直线的斜截式方程．
(1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5； (2)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距是－2； (3)倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3．
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第三章 直线与方程
【解】 (1)由直线方程的斜截式可知，所求直线方程为 y＝
2x＋5．
(2)由于倾斜角为
150°，所以斜率
k＝tan
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探究点 3
第三章 直线与方程
利用直线方程求解平行与垂直问题
已知直线 l1：y＝－x＋2a 与直线 l2：y＝(a2－2)x＋2．
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第三章 直线与方程
直线 y＝kx＋b 过原点的条件是( A．k＝0 C．k≠0 且 b＝0 答案：B
) B．b＝0 D．k＝0 且 b＝0
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直线的方程直线的点斜式方程 课件(共47页) 2024-2025学年人教A版高中数学选择性必修一
课前预习
知识点二 直线的斜截式方程
纵坐标
1.我们把直线与轴的交点 0, 的_________叫作直线在轴上的截距.
2.直线的斜截式方程：如果斜率为的直线过点0 0, ,这时0是直线与轴的
= +
交点，代入直线的点斜式方程，得 − = − 0 ，即___________②.
直线经过点0 0 , 0 ,且斜率为.设 , 是直线上不同于点0 的任意一点，
因为直线的斜率为,由斜率公式得 =
−0
− 0 = − 0
，即__________________①.
−0
（1）方程①由直线上一个定点 0 , 0 及该直线的斜率确定，我们把它叫作直
课中探究
π
（3） −5, −1 ， = ．
6
π
解： 直线的倾斜角 = ，则直线的斜率
6
3
故直线的点斜式方程为 + 1 = ( + 5).
3
=
3
，又直线经过点
3
−5, −1 ，
课中探究
变式（1）
过点 0,1 ，且以 = −1,2 为方向向量的直线方程为(
A. = −2 + 1
[解析] 已知直线的斜截式方程，则两条直线的斜率都存在，因此
1 ⊥ 2 ⇔ 1 2 = −1.
（4）直线 = 在轴上的截距为，在轴上的截距为0.( × )
[解析] 直线 = 在轴上的截距为,在轴上的截距不存在.
课中探究
探究点一 直线的点斜式方程
例1
已知直线经过点且倾斜角为 ，斜率为，求直线的点斜式方程．
1 = tan 2 =
2tan
1−tan2
《直线的点斜式方程》PPT课件
l2 : y k2 x b2
l1 ∥ l2 k1 k2,且b1 b2
l1 l2 k1 k2 1
练习
1、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
kl
5 5 2
23
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
y0
l
x O
直线上任意点 纵坐标都等于y0
l与x轴平行或重合 倾斜角为0° 斜率k=0
y y0 0 (x x0 )
y y0 0
y y0
点斜式方程
y
l
l与x轴垂直
P0(x0,y0)
倾斜角为90°
x
O
x0
直线上任意点 横坐标都等于x0
斜率k 不存在 不能用点斜式求方程
x x0 0 x x0
代入点斜式得
y
y－3 = x + 2
P1 °°5
°
-5 O
斜截式方程
y
a
设直线经过点P0( 0, b )，其斜
率为k，求直线方程。
P0(0,b)
解：y b k(x 0)
y kx b
x
斜截式
斜率
截距
当知道斜率和截距时用斜截式
斜截式方程的应用：
斜截式方程:y = k x + b 几何意义：k 是直线的斜率，b是直线 在y轴上的截距
当90 180时，k 0
0时，k 0
90时，k不存在
复习回顾
平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其
斜率分别为k1、k2，有
l1 ∥ l2 k1 k2,且b1 b2
l1 l2 k1 k2 1
练习
1、已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5）， 求直线l的方程
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
kl
5 5 2
23
将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
y－(－5) =－2 ( x－3 ) 即 2x + y －1 = 0
y0
l
x O
直线上任意点 纵坐标都等于y0
l与x轴平行或重合 倾斜角为0° 斜率k=0
y y0 0 (x x0 )
y y0 0
y y0
点斜式方程
y
l
l与x轴垂直
P0(x0,y0)
倾斜角为90°
x
O
x0
直线上任意点 横坐标都等于x0
斜率k 不存在 不能用点斜式求方程
x x0 0 x x0
代入点斜式得
y
y－3 = x + 2
P1 °°5
°
-5 O
斜截式方程
y
a
设直线经过点P0( 0, b )，其斜
率为k，求直线方程。
P0(0,b)
解：y b k(x 0)
y kx b
x
斜截式
斜率
截距
当知道斜率和截距时用斜截式
斜截式方程的应用：
斜截式方程:y = k x + b 几何意义：k 是直线的斜率，b是直线 在y轴上的截距
当90 180时，k 0
0时，k 0
90时，k不存在
复习回顾
平行：对于两条不重合的直线l1、l2，其
斜率分别为k1、k2，有
2-2-1直线的点斜式方程课件(人教版)
解析 ∵kBC＝23－ －04＝－2，∴k＝12.而 BC 边上的高所在的直线 必过 A 点，
∴BC 边上的高所在的直线方程为 y－1＝12(x－1)，即 x－2y＋1 ＝0.
②直线 l 过点(2，－3)，且与 y 轴平行，故直线的方程为 x ＝2.
(2)①若 l1∥l2，则a22a－≠22＝，－1，得 a＝－1. ②若 l1⊥l2，则 4(2a－1)＝－1，得 a＝38.
题型四 直线的平移
例 4 已知直线 l1：y＝2x－3，将直线 l1 向上平移 2 个单位 长度，再向左平移 4 个单位长度得到直线 l2，则直线 l2 的方程为 _y_＝_2_x_＋__7_．
【解析】 (1)直线 y＝x＋1 的斜率 k＝1，∴倾斜角为 45°. 由题意知，直线 l 的倾斜角为 135°，∴直线 l 的斜率 k′＝ tan135°＝－1. 又点 P(3，4)在直线 l 上，由点斜式方程知，直线 l 的方程为 y－4＝－(x－3)． (2)由 A(－1，2)，B(m，3)，可得 当 m＝－1 时，直线 AB 的方程为 x＝－1，没有点斜式方程； 当 m≠－1 时，直线 AB 的斜率 k＝m＋1 1， 直线 AB 的点斜式方程为 y－2＝m＋1 1(x＋1)．
①若直线与 x 轴平行，求其方程； ②若直线与 y 轴平行，求其方程． (2)①当 a 为何值时，直线 l1：y＝－x＋2a 与直线 l2：y＝(a2 －2)x＋2 平行？ ②当 a 为何值时，直线 l1：y＝(2a－1)x＋3 与直线 l2：y＝4x －3 垂直？
【解析】 (1)①由已知可得直线 l 过点(2，－3)，且与 x 轴 平行，故直线的方程为 y＝－3.
思考题 2 (1)直线方程 y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)表示的直 线可能是( B )
∴BC 边上的高所在的直线方程为 y－1＝12(x－1)，即 x－2y＋1 ＝0.
②直线 l 过点(2，－3)，且与 y 轴平行，故直线的方程为 x ＝2.
(2)①若 l1∥l2，则a22a－≠22＝，－1，得 a＝－1. ②若 l1⊥l2，则 4(2a－1)＝－1，得 a＝38.
题型四 直线的平移
例 4 已知直线 l1：y＝2x－3，将直线 l1 向上平移 2 个单位 长度，再向左平移 4 个单位长度得到直线 l2，则直线 l2 的方程为 _y_＝_2_x_＋__7_．
【解析】 (1)直线 y＝x＋1 的斜率 k＝1，∴倾斜角为 45°. 由题意知，直线 l 的倾斜角为 135°，∴直线 l 的斜率 k′＝ tan135°＝－1. 又点 P(3，4)在直线 l 上，由点斜式方程知，直线 l 的方程为 y－4＝－(x－3)． (2)由 A(－1，2)，B(m，3)，可得 当 m＝－1 时，直线 AB 的方程为 x＝－1，没有点斜式方程； 当 m≠－1 时，直线 AB 的斜率 k＝m＋1 1， 直线 AB 的点斜式方程为 y－2＝m＋1 1(x＋1)．
①若直线与 x 轴平行，求其方程； ②若直线与 y 轴平行，求其方程． (2)①当 a 为何值时，直线 l1：y＝－x＋2a 与直线 l2：y＝(a2 －2)x＋2 平行？ ②当 a 为何值时，直线 l1：y＝(2a－1)x＋3 与直线 l2：y＝4x －3 垂直？
【解析】 (1)①由已知可得直线 l 过点(2，－3)，且与 x 轴 平行，故直线的方程为 y＝－3.
思考题 2 (1)直线方程 y＝kx＋b(k＋b＝0，k≠0)表示的直 线可能是( B )
2.2.1 直线的点斜式方程(课件)高二数学选择性必修第一册(人教A版2019)
建立直线的方程，就是利用确定直线位置的几何要素，
建立直线上任意一点的横坐标x，纵坐标y所满足的关系式．
探究新知
点斜式方程辨析
点斜式方程 y y0 k ( x x0 )
① 点斜式方程由直线的斜率k 与直线上定点P x0 , y0 确定 ；
② 斜截式特点：左边y y0 ，右边 x x0 外为斜率；
x0 2, 则y1 3, 得点P0的坐标为( 2, 3), 画过P0 , P1两点的直
线即可得到直线 l 的图, 如右图所示.
应用新知
变式训练：
求下列直线的点斜式方程：
解析
(1)经过点 D(－1，1)，倾斜角为 0°；
（1）y 1
(2)经过点 B(4，2)，倾斜角为 90°；
（2）x 4
当 k 0 时，直线 l 不经过第三象限， k 0, b 0 ， kb 0 ．
当 k 0, b 0 时，直线 l 也不经过第三象限，
( 2) 若l1 l2 , 则k1 k2 1;
反之, 若k1 k2 1, 则l1 l2 .
应用新知
总结：如何利用直线的斜截式判断两条直线平行或垂直？
对于直线
l1 : y k1 x b1 ,
l2 : y k2 x b2
平行
l1 / / l2 k1 k2 , 且b1 b2
一次函数是直线斜截式方程. 但是直线方程不一定是一次函数.
对于斜截式, 直线方程里斜率可以是0, 但一次函数斜率不能为0.
例如: 对于直线斜截式方程y=kx+b, 当k≠0时, 这个直线方程就是一次函数,
当k=0(即斜率为0)时，y=b就不能称一次函数了，是常函数了.
《直线的点斜式方程》课件资料
x 1
(6)经过F(2,3),且与过点M (1,2)，N(5,2)的直线 平行的直线。
y 3
2024/8/27
17 17
练习
2.填空题： (1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，那么，直线
的斜率为 __1__,倾斜角为_____45________.
(2)已知直线的点斜式方程是 y 2 3 (x 1) 那么，直 3
2024/8/27
32 32
例题分析：
例6（1）当a为何值时，直线l1 : y -x 2a与
直线l2 : y (a2 2)x 2平行？
（2）当a为何值时，直线l1 : y 2a 1x 3与
直线l2 : y 4x 3垂直？
2024/8/27
33 33
例题分析：
变式：已知直线l1 :
直线的点斜式方程
2024/8/27
11
复习引入
1.倾斜角
• x轴正方向与直线向上方向之间所成的角α.
y
l
倾斜角
α
O
x
倾斜角的范围： 0 180
2024/8/27
22
复习引入
2.斜率
• (1).表示直线倾斜程度的量
• ①倾斜角: 0°≤α<180°
• ②斜率: k=tanα(α≠900)
• (2).斜率的计算方法:
解：设所求直线方程为：y 3 k(x - 2)(k 0)
可知令y 0,则x 3 2；令x 0,则y -2k - 3 k
3 2 -2k - 3 k 解得k 3 或k 1
2 故所求直线方程为
y 3 3 (x - 2)或y 3 -(x - 2) 2
即方程为：3x 2 y 0或x y 1 0
(6)经过F(2,3),且与过点M (1,2)，N(5,2)的直线 平行的直线。
y 3
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练习
2.填空题： (1)已知直线的点斜式方程是y-2=x-1，那么，直线
的斜率为 __1__,倾斜角为_____45________.
(2)已知直线的点斜式方程是 y 2 3 (x 1) 那么，直 3
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例题分析：
例6（1）当a为何值时，直线l1 : y -x 2a与
直线l2 : y (a2 2)x 2平行？
（2）当a为何值时，直线l1 : y 2a 1x 3与
直线l2 : y 4x 3垂直？
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例题分析：
变式：已知直线l1 :
直线的点斜式方程
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复习引入
1.倾斜角
• x轴正方向与直线向上方向之间所成的角α.
y
l
倾斜角
α
O
x
倾斜角的范围： 0 180
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复习引入
2.斜率
• (1).表示直线倾斜程度的量
• ①倾斜角: 0°≤α<180°
• ②斜率: k=tanα(α≠900)
• (2).斜率的计算方法:
解：设所求直线方程为：y 3 k(x - 2)(k 0)
可知令y 0,则x 3 2；令x 0,则y -2k - 3 k
3 2 -2k - 3 k 解得k 3 或k 1
2 故所求直线方程为
y 3 3 (x - 2)或y 3 -(x - 2) 2
即方程为：3x 2 y 0或x y 1 0
【全文】直线的点斜式方程-完整PPT课件
(1)过点A(－4，3)，斜率k＝3； (2)经过点B(－1，4)，倾斜角为135°； (3)过点C(－1，2)，且与y轴平行； (4)过点D(2，1)和E(3，－4). 解 (1)由点斜式方程可知，所求直线方程为：y－3＝3[x－(－4)]. (2)由题意知，直线的斜率k＝tan 135°＝－1，故所求直线的点斜式方程为y －4＝－[x－(－1)].
2.经过点(－1，1)，且斜率是直线 y＝ 22x－2 的斜率的 2 倍的直线方程是( )
A.x＝－1
B.y＝1
C.y－1＝ 2(x＋1) D.y－1＝2 2(x＋1)
解析 由题意知所求直线斜率为 2，故由点斜式知所求直线方程为 y－1＝ 2(x＋1).
答案 C
3.(多填题)已知直线l的点斜式方程为y－1＝x－1，那么直线l的斜率为________， 倾斜角为________，在y轴上的截距为________. 答案 1 45° 0
(2)由 4(2a－1)＝－1，解得 a＝38.故当 a＝38时，l1⊥l2.
角度2 直线过定点问题 【例3－2】 求证：不论m为何值，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.
证明 法一 直线l的方程可化为y－3＝(m－1)(x＋2)， ∴直线l过定点(－2，3). 由于点(－2，3)在第二象限，故直线l总过第二象限. 法二 直线l的方程可化为m(x＋2)－(x＋y－1)＝0.
【训练2】 写出下列直线的斜截式方程： (1)直线斜率是3，在y轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y轴上的截距是5； (3)直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2.
解 (1)由直线方程的斜截式可知，所求方程为y＝3x－3. (2)∵k＝tan 60°＝ 3，∴所求直线的斜截式方程为 y＝ 3x＋5. (3)∵直线在x轴上的截距为4，在y轴上的截距为－2， ∴直线过点(4，0)和(0，－2). ∴k＝－02－－40＝12，∴所求直线的斜截式方程为 y＝12x－2.
直线的点斜式方程PPT课件
y
y
3.与轴平行 =
4.与轴垂直 =
l
P0
O
P0
l
x
O
x
5.直线的平行与垂直：
对于直线 : = + ， : = + ；
（1） ‖ ⇔ = ，且 ≠ ;
（2） ⊥ ⇔ = −.
课本P62练习
反之，若1 =2 ，且1 ≠2 ，则1 ‖2 .
(2)若1 ⊥ 2 ,则1 2 = −1;反之，若1 2 = −1，则1 ⊥ 2 .
概念4：
对于直线 : = + ， : = + ；
（1） ‖ ⇔ = ，且 ≠ ;和斜率k之间的关系是完全确定的。
下面，我们一起来探究点 , 与斜率(或倾斜角)和直线之间的关
系
2.直线的点斜式方程
情景一：
如图，直线经过点0 0 , 0 ，且斜率为．设(，)是直线
上不同于点0 的任意一点，因为直线的斜率为。
问题1 那直线的斜率与0 0 , 0 ，(，)两个点的坐标有什么关系？
回顾1 什么是直线的倾斜角？
倾斜角：当直线与轴相交是，我们以轴为基准，轴正向与直线向上
的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．
因此，直线的倾斜角的取值范围为0° ≤ < 180°
回顾2 什么是直线的斜率？如何求直线的斜率？
直线的倾斜角α与直线上点1 1 , 1 , 2 2 , 2
对于 = + ，从函数的角度看，它表示的是自变量α与因变量y之
间的对应关系，
而从直线方程的角度看，它表示的是平面直角坐标系中一条直线上点
y
3.与轴平行 =
4.与轴垂直 =
l
P0
O
P0
l
x
O
x
5.直线的平行与垂直：
对于直线 : = + ， : = + ；
（1） ‖ ⇔ = ，且 ≠ ;
（2） ⊥ ⇔ = −.
课本P62练习
反之，若1 =2 ，且1 ≠2 ，则1 ‖2 .
(2)若1 ⊥ 2 ,则1 2 = −1;反之，若1 2 = −1，则1 ⊥ 2 .
概念4：
对于直线 : = + ， : = + ；
（1） ‖ ⇔ = ，且 ≠ ;和斜率k之间的关系是完全确定的。
下面，我们一起来探究点 , 与斜率(或倾斜角)和直线之间的关
系
2.直线的点斜式方程
情景一：
如图，直线经过点0 0 , 0 ，且斜率为．设(，)是直线
上不同于点0 的任意一点，因为直线的斜率为。
问题1 那直线的斜率与0 0 , 0 ，(，)两个点的坐标有什么关系？
回顾1 什么是直线的倾斜角？
倾斜角：当直线与轴相交是，我们以轴为基准，轴正向与直线向上
的方向之间所成的角叫做直线的倾斜角。
当直线与轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为0°．
因此，直线的倾斜角的取值范围为0° ≤ < 180°
回顾2 什么是直线的斜率？如何求直线的斜率？
直线的倾斜角α与直线上点1 1 , 1 , 2 2 , 2
对于 = + ，从函数的角度看，它表示的是自变量α与因变量y之
间的对应关系，
而从直线方程的角度看，它表示的是平面直角坐标系中一条直线上点
2.2.1直线的点斜式方程课件ppt
答案
1
2
1
a=- .
2
.
课堂篇 探究学习
探究一
直线的点斜式方程
例1求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=
3
3
x倾斜角的2倍;
(2)经过点P(5,-2),且与y轴平行;
(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
思路分析先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.
解 (1)∵直线
1－3
且过点A，
所以BC边上的高所在直线的点斜式方程为y＝x.
(3)由(2)知过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其点斜式方程为y＝
－x.
5．在y轴上的截距为－2，且与直线y＝－3x＋4平行的直线的斜截
式方程为________．
【答案】y＝－3x－2
【解析】因为直线y＝－3x＋4的斜率为－3，所求直线与此直线平
由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.
由直线方程的斜截式,得y=-2x-2.
反思感悟 求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率
存在,只要已知直线的斜率、与y轴的交点,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需
.
答案 3
微思考1
一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?
提示 一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b
中的k可以为0.
微思考2
截距是距离吗?为什么?
提示 不是,直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标,截距是实数而不是
1
2
1
a=- .
2
.
课堂篇 探究学习
探究一
直线的点斜式方程
例1求满足下列条件的直线方程:
(1)经过点(2,-3),倾斜角是直线y=
3
3
x倾斜角的2倍;
(2)经过点P(5,-2),且与y轴平行;
(3)过P(-2,3),Q(5,-4)两点.
思路分析先求出直线的斜率,然后由点斜式写出方程.
解 (1)∵直线
1－3
且过点A，
所以BC边上的高所在直线的点斜式方程为y＝x.
(3)由(2)知过点A与BC平行的直线的斜率为－1，其点斜式方程为y＝
－x.
5．在y轴上的截距为－2，且与直线y＝－3x＋4平行的直线的斜截
式方程为________．
【答案】y＝－3x－2
【解析】因为直线y＝－3x＋4的斜率为－3，所求直线与此直线平
由题意知,所求直线的斜率为-2,在y轴上的截距也为-2.
由直线方程的斜截式,得y=-2x-2.
反思感悟 求直线的斜截式方程的策略
(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式,其适用前提是直线的斜率
存在,只要已知直线的斜率、与y轴的交点,就可以直接用斜截式表示.
(2)直线的斜截式方程y=kx+b中只有两个参数,因此要确定直线方程,只需
.
答案 3
微思考1
一次函数的解析式y=kx+b与直线的斜截式方程y=kx+b有什么不同?
提示 一次函数的x的系数k≠0,否则就不是一次函数了;直线的斜截式方程y=kx+b
中的k可以为0.
微思考2
截距是距离吗?为什么?
提示 不是,直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标,截距是实数而不是
直线的点斜式方程ppt(共34张PPT)
（4）经过点D(-4，-2），倾斜角是120°
(1)y 1 2 (x 3) (2)y 2 3 (x 2 )
3 (3)y 3 (4)y 2 3 (x 4)
(5)斜率为
3 2
，在y轴上的截距是-2。
(6)倾斜角是135°，在y轴上的截距是3。
(7)斜率为3，与y轴交点的纵坐标为-1。
l
O
x
此时，tan 0°=0 即k=0，这时直线与 x轴平行或重 合，直线的方程就是y-y0=0或y=y0。
倾斜角为90°的直线的方程是什么？ y l
P0
O
x
此时，直线没有斜率，直线与y轴平行或重合 ，它的方程不能用点斜式表示。直线的方程为yy0=0或y=y0。
例一
直线l经过点P(1,2)，且倾斜角α=135°，求直线l的 点斜式方程，并画出直线l。
（1）若x1=x0，则y1=y0，说明点P1与点P0重合，可得点P1在直线l上.
➢ 直线的点斜式方程和斜截式方程。 （1）若x1=x0，则y1=y0，说明点P1与点P0重合，可得点P1在直线l上.
解：设直线的方程为y-4=k(x-1)。
变形得到y+1=5(x+1)——点斜式
理解直线方程的点斜式,斜截式的形式特点和适用范围。
(8)过点（3，1），①垂直于x轴;②垂直于y轴。
(5 )y
3 2
x
2
(6 )y x 3
(7 )y = 3 x - 1
(8 )x - 3 = 0
y -1 = 0
4.已知直线l过A（3，-5）和B（-2，5），求直 线l的方程。
解：∵直线l过点A（3，-5）和B（-2，5）
55
kL 23 2 将A（3，-5），k=-2代入点斜式，得
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三、例题分析，推广应用
◆ 例2．已知直线l1：y = k1 x+ b1，l2：y2 = k2 x + b2 . 试讨论：
◆ （1）l1∥l2的条件是什么？ ◆ （2）l1⊥l2的条件是什么？ ◆ 例3 求下列直线的斜截式方程: ◆ （1）经过点A(-1，2)，且与直线 y=3x+1垂直； ◆ （2）斜率为-2，且在x轴上的截距为5.
循序渐进:
思考2.（1）过点p｡(பைடு நூலகம்｡,y｡)，斜率k是的 直线l上的点，其坐标都满足方程（1） 吗？
(1)坐标满足方程（1）的点都在经过p｡ (x｡,y｡)，斜率为k的直线l上吗？
(2)直线点斜式方程定义：方程y-y｡ =k(x-x｡)是由直线上一点及其斜率确 定的，所以把此方程叫做直线的点斜 式方程，简称点斜式（point slope form）.如果直线l上一点B的横坐标为 2,你能求出它的纵坐标吗?
学会自己探究
思考5. 观察方程y=kx+b，它的 形式具有什么特点？
直线y=kx+b在y轴上的截距 是什么？使学生理解“截距” 与“距离”两个概念的区别。
学会自己探究
思考6.你如何从直线方程的角度 认识一次函数y=kx+b？直线方程 中k和b的几何意义是什么？你能 说出一次函数 y=2x-1,y =3x ,y=-x+3截距吗？
问题的深入
思考3.直线的点斜式方程能否表示坐标平面上的所 有直线呢？
引导学生分组讨论，然后说明理由。使学生掌握直 线的点斜式方程的适用范围。
y
y
P0
P0
O
x
O
x
点斜式方程应用举例
例1．直线经过p(-2,3)，且倾 斜角α =45°，求直线l的点斜式 方程，并画出直线l。
（三）直线的斜截式方程
已知直线l的斜率为k，且与y直线的 斜截式方程轴的交点为(0,b)，求直 线的方程.
四、小结归纳
教师引导学生概括：（1）本节 课我们学过那些知识点；（2）直线 方程的点斜式、斜截式的形式特点和 适用范围是什么？（3）求一条直线 的方程，要知道多少个条件？
答案：
1、写出下列直线的点斜式方程：
（1）经过点A(3,-1),斜率是 2；
（2）经过点B（ 2，2），倾斜
角是 300
（3）经过点C（0，3），倾斜角是 00
那么此直线的斜率是_____3_____，倾斜 角是______6_0_0____。
点斜式方程：y-y1=k(x-x1) 斜截式方程:y = k x + b
几何意义：k 是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距
①直线的点斜式，斜截式方程在直线斜率存在时才可以应用。 ②直线方程的最后形式应表示成二元一次方程的一般形式。
麻城市南湖中心学校 秦义文
温故而知新 引导学生复习旧知，创设情境，提出问 题。 请同学们思考：在直角坐标系内确定 一条直线，需要几个条件？2.求直线 斜率的方法有哪些？ 已知直线的斜率且直线经过点，如何
求直线的方程
探究直线的点斜式方程
思考1.给定一个定点A(-1,3)和斜率为-2就可以决 定一条直线 . （1）如果直线上一点B的横坐标为2,你能求出它的纵 坐标吗? （2）如果直线上不同于A的点B的横坐标为x,你能求 出它的纵坐标吗? 设点为直线上的一定点,那么直线上不同于的任意一点 与直线的斜率有什么关系？
（4）经过点D(-4，-2），倾斜角是 1200
y 1 2(x 3)
y 2 3 (x 2) 3
y3
y 2 3(x 4)
2、填空题
（1）已知直线的点斜式方程是 y 2 x 1
那么此直线的斜率是____1___，倾斜角是
_____4_5_0___。
（2）已知直线的点斜式方是 y 2 3(x 1)