矩阵初等变换的性质及其应用

摘要
本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。

关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式
Abstract
This paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application.
Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix;
System of linear equations;Greatest common factor
目录
1 引言 ............................. 错误!未定义书签。

2 矩阵的初等变换及其性质 (1)
2.1 矩阵初等变换的定义.......................... 错误!未定义书签。

2.2 矩阵初等变换相关性质 (2)
3 矩阵初等变换的若干应用 (2)
3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1)
3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5)
3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7)
3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11)
3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13)
参考文献 (16)
矩阵初等变换的性质及其应用
矩阵及其理论在众多领域中都发挥着重要的作用,而矩阵的初等变换是矩阵理论的核心和灵魂。

矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在求矩阵的逆、矩阵的秩、极大无关组和向量组的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求解特征值及特征向量、求一元多项式的最大公因式、求解化二次型为标准型、解决指派问题等至始至终都发挥着不可替代及其重要的作用。

初等变换的应用几乎贯穿线性代数全部内容，许多概念、性质及计算几乎都涉及到，它就像一根隐形的线，始终穿梭于线性代数的各个部分，应用它使得很多问题得以便捷、有效地解决。

矩阵的初等变换这一工具的应用与初等变换的性质有关，如矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而矩阵的秩指的是该矩阵非零子式的最大阶数，因此求一个矩阵A的秩，可首先对矩阵A进行若干次行初等变换，将其化为一个相对简单的如行阶梯型矩阵，容易看出其不等于零的子式的最大阶数（即非零行的行数），从而求得矩阵A的秩。

在其它方面，如求线性方程组的解等也是如此。

许多问题的求解通过矩阵的初等变换可使过程大大简化。

本文对矩阵初等变换的性质及其在若干相关问题中的应用进行了归纳与总结，着重从应用矩阵的初等变换求矩阵的逆、求解矩阵的秩、求线性方程组的解、求一元多项式的最大公因式、解决指派问题等若干方面进行探讨。

2 矩阵的初等变换及其性质
2.1 矩阵初等变换的定义
定义2.1.1 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵初等行(列)变换[1]：
①消法变换：把矩阵的某一行(列)乘上一个数加到另外一行上.
②互换变换：互换矩阵中的某两行(列)位置.
③倍法变换：用一个非零数乘矩阵中的某一行(列).
矩阵的行初等变换和列初等变换统称为矩阵初等变换.
定义2.1.2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，有三种类
型：
①交换某两行(两列)的位置关系得到的初等矩阵；
②用数域中的非零数乘以某行(列)得到的初等矩阵；
③把某行(列)的倍数加到另外一行(列)得到的初等矩阵.
定义2.1.3 对分块矩阵施行下列三种初等变换[2]：
①互换分块矩阵的某两行(列)；
②用一个可逆阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)；
③用一个非零阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）加至另一行（列）上.
分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.
定义2.1.4 如果一个矩阵A经过有限次初等变换后变成B，则称A与B相抵，即记为B
A [4].
2.2 矩阵初等变换相关性质
性质2.2.1 ①消法分块初等矩阵左(右)乘分块矩阵,相当于对这一分块矩阵的某行(列)乘上某个矩阵加到另外一行(列).
②互换分块初等矩阵左(右)乘分块矩阵,相当于对这一分块矩阵的某两行(列)互换.
③倍法分块初等矩阵左(右)乘分块矩阵,相当于对这一分块矩阵的某行(列)同乘上某个可逆矩阵[1].
定理2.2.1 用初等矩阵左(右)乘一个矩阵A,就相当于A作了一次相应的初等
行(列)变换.
定理2.2.2 初等变换是不改变矩阵的秩[4].
定理2.2.3行初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组[4]. 定理2.2.4 每一个可逆矩阵都是由若干个初等矩阵的乘积[1].
定理2.2.5 n阶矩阵A可逆,当且仅当它的行列式不等于零[4].
3 矩阵初等变换的若干应用
3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆
定义3.1.1 设A 是数域F 上的一个n 阶方阵,I 是n 阶单位矩阵.如果存在F 上的
一个n 阶方阵B 使得I BA AB ==,则称A 是可逆矩阵，
B 叫做A 的逆矩阵[1]. 倘若矩阵A 可逆那么它的逆就由B 唯一决定.
求解矩阵的逆，对矩阵进行初等变换有以下两种形式：
例1 设⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛-=211012101A .试判断A 是否可逆，如果可逆，试求A 的逆阵.
分析：当A 可逆时，我们可以将()I A ,经过初等变换成()
1,-A I ，即求出1-A ，下面假设A 可逆时，求出1-A 。

解: ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100211010012001101−−−→−++-31212r r r r ⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--101310012210001101−−−→−+-32r r
例
2[5] 设方阵K 具有如下分块：
得到M 可逆，上面的M 、N 、P 、Q 的行和列说明这是个方阵，M 、N 必须要有相同的行数，M 、P 则要求要有相同的列数，以此类推。

对分块矩阵K 进行块初等变换。

证明：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P N M =K Q −−−→−-11r
M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛N M M M --Q P 11−→−⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛N M I -Q P m
1 −−−−→−+-21Pr r ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-N M I --N PM Q m 11
下面求解1-K ：
对分块矩阵进行块初等变换
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n m I Q
P I N M
00−−−→−-1
1r M ⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--n m I Q
P M N M I 0
011−−−−→−+-2
1Pr r
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------n m I PM N PM Q M N
M I 1
11100−−−−−−−→−--⎪⎭
⎫ ⎝⎛-21
1r N PM Q ⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----11
1100G GPM I M N M I n
m {其中()11
---=N PM Q G } −−−−−−→−+--121r Nr M ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--+-----G GPM I NG M NGPM M M I n
m
111110
0. 初等变换到这里，可以得出K 的逆矩阵了，即
=-1
K ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+-----G GPM NG M NGPM M M 11111. 推论1 对于分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P N M =K Q ，当0=P 时，则=-1
K ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-----11110
Q NQ M M . 推论2 对于分块矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛P N M =K Q ，当0=N 时，则=-1
K ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----11110Q PM
Q M .
下面来看下具体的实例：
例3 证明K 可逆并求1-K ,其中⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛---=20111
50100200032K .
看出矩阵的右上角是二阶零阵，我们就从中间分开分成四个二阶矩阵，并且我们
令⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2032M ，N=0，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1101P ，⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=2015Q .
证明:先证明K 可逆：
下面求解1-K ：由分析，我们可以将K 化为⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=Q P
M
K 0， 由于0=N ，所以由推论2得，1
-K =⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-----
11110Q PM
Q M ，
应用上面的公式可以解决比较繁琐的矩阵，对复杂的矩阵进行分块，在求出矩阵的逆。

3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩
定义3.2.1 一个矩阵中不等于0的子式的最大阶数叫作这个矩阵的秩。

若一个
矩阵没有不等于0的子式，就认为这个矩阵的秩为0[4]
.
例4 求矩阵K=⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛502813311的秩r ，并且求可逆矩阵Q 、P 使得QKP=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛I 00
0r
分析：题目要求求k 的秩r ，根据秩的定义，就得对k 进行初等变换，最后得到不等于0的子式的最大阶，就可以得到矩阵K 的秩；而要求可逆矩阵Q 、P ，使
得QKP=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛I 00
0r
，就可以对行和列作初等变换。

解：
⎪
⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛#100
010001100010001502813311
−−−−→−+-213r
r ⎪
⎪⎪
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛---#
100010001100013001502120
311
−−−−→−+-312r
r
3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程
定理3.3.1 (线性方程组可解的判别法)线性方程组有解的充要条件是：它的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩[4].
定理3.3.2 假如线性方程组的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩r ，那么当r 等于方程组所含未知量的个数为n 时，方程组有唯一解；当r ＜n 是，方程组有无穷多个解[4].
例5 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+=+-
=-+=+-6133340533
323213213
21321x x x x x x x x x x x x .
分析：对增广矩阵进行初等变换成行阶梯型。

⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--613311
001201011
00−−−→−),(31r r ⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--613311
10
02010
10
01
.
所以由上面的矩阵可以得到方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+===6
133********
1x x x x x x
解得11=x ,22=x ,13=x .
例6 解下列矩阵方程
①当A 可逆时,求矩阵方程B AX =的解
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=122221212A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=112011132B ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛--11201113212222
1212X . 分析：当我们拿到这个题目时，我们可以往两个方面入手，方法一、就是对()B A ,进行初等变换，使得()B A ,同时进行初等变换成()
B A I 1,-，即B A 1-就是所求的解；方法二、因为A 是可逆的，先求1-A ，所以我们可以在B AX =等式左右两边分别乘以1-A ，即可以得到B A AX A 11--=，因为I A A =-1，所以原来的式子可以写成
B A X 1-=，就可以求解X 。

解:方法一
()B A ,=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112122011221132212−−−→−⎪
⎭⎫ ⎝⎛21,r r ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---11212213221201122
1−−−→−+-+-
312
122r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------110360150630011221−−−−→
−+-322r r ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛----190900150630011221
方法二
()=
I A ,⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛------−−−→−+-+-⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--−−−→−⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1203600216300102212210012200121201022
1),(1001220
1022
1001212312121r r r r r r
在上面的两种解法中，方法一是比较容易的，直接解出X 的矩阵。

②现在我们来看下A 不可逆情况：
求下面B AX =的解：
⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--=031334213A ，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=7577111793B ，⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--031334213=X ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛7577111793
分析：由已知条件可以得到A 是不可逆的，所以我们只能用上面的第一种种方法来求解，也就是对()B A ,同时进行初等变换，使之成为
()B A I 1
,-，即B A
X 1
-=就是所求的解。

解：
()=B A ,⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--7570317111334793213−−−→
−⎪⎭⎫ ⎝⎛
13,r r ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛--79321371113347
57031−−−→−+-+-3
12
134r r r r
于是321,,ββ
β===AY AY AY 的一般解分别为
其中321,,c c c 是任意数.
3.4利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式
求一元多项式最大公因式的方法，现在最常用的方法就是辗转相除法。

下面我们给出矩阵的初等变换来求解一元多项式的最大公因式，这个是比较前面的因式分解和辗转相除法相当方便简洁明了很多。

定理3.4.1 设()()()x K x f x f j i ∈,，并且令()()()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=B 1001
21x f x f x ，则对()x B 实施一系列的初等变换后得到的是()()()()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=21021x v x v x d x C ，这时()()()()()x d x v x f x v x f =+2211，
而且()x d 是()()x f x f 21,的最大公因式。

证明： 若()()x f x f 21,不全为0，则必有一个次数相对于较低的多项式，我们不妨设为()x f 1，并且对()x B 进行初等变换，第一列乘以一个适当的多项式加到第二列上，消去()x f 2的最高项，由于的次数有限，重复上面所说的步骤，则肯定会出现矩阵中第一行只有一个不是0的元，而其他均为0的情况，即所得的()x C 为
()()()()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=21021x x v v x d x C 。

上面对()x B 所实施的变换，就是存在初等矩阵
()()()()()⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=K x k x k x k x k x 43
21，使得()()()()()()()()()⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21010
0121432121x v x v x d x k x k x k x k x f x f 。

所以()()()()()()()()()x v x k x v x k x d x k x f x k x f 23113211,,===+，
就可以求得： ()()()()()x d x v x f x v x f =+2211.
设矩阵()x K 的逆矩阵为()()()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=K -x q x q x q x q x 43211，显然()x 1
-K 也是初等矩阵，由于()()()x x x C K B =，因而()()()x x x C B =K -1，即
()()()()()()()()()⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1001
2102143
2121x f x f x q x q x q x q x v x v x d ，于是可以得出()()()()()()x f x q x d x f x q x d 2211,==，得到()x d 是()()x f x f 21,的公因式，从而可以知
道()x d 是()()x f x f 21,的最大公因式，因此得证。

例7 求()x g 与()x f 的最大公因式.
()()22,242234234---+=---+=x x x x x f x x x x x g
分析：我们可以知道这两个都是一元多项式，所以我们可以利用上面的方式进行解答。

解：
()()()⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛---+---+=⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=B 1001222421001
234234x x x x x x x x x f x g x −−−−→
−+-12
c c ⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----+-11012222343x x x x x x −−−−→−+-21
c xc ⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛+----+-11
1
222233x x x x x x x −−−−→−+-21c c ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+-----2111
2223x x x x x . 因为()()
x x x 2|232--，所以()()()x f x g x ,22=-，而且这个还同时满足了
()()()()x f x x g x x 2122++--=-
上面的方法可以灵活多变地运用，不一定必须用到次数最低的多项式去消去其他的多项式。

也可以用次数比较高的多项式消去更高的多项式，使它可以达到慢慢消去多项式中最高的项，使得第一行剩下一个不是0的元素，这样就可以达
到目的。

上面只是展示了列的形式，其实行的跟列的是一样的。

此时
()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=B 100121x f x f x ，行初等变换的结果就是第一列只剩下一个不是0的元素，
这个元素就是多项式的最大公因式。

对于求解两个多项式的最大公因式，辗转相除法确实是一种比较好的方法，但是对于求多项式的最大公因式，在操作当中是非常复杂比较麻烦，矩阵初等变换只是求解多项式的最大公因式的方法之一，还是存在很多方法的。

3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题
矩阵的初等变换也可以用到数学建模上，比如优化问题、线性归划问题、指派问题[6]
等等。

例8 让甲、乙、丙、丁四个人完成四项任务，而且每人只能做一项，他们所用的时间都互不相同，以下表格是他们对应的所要完成的时间及任务，现在要使时间用的最短，效率最高，应该如何分配？
分析：求指派问题，我们可以将他们所对应的时间和工作用矩阵表示出来，这样就可以直接化成矩阵然后进行初等变换，再由初等的行（列）变换得到一个最优解，即最优指派方案。

将矩阵的每一行减去这一行的最小数，这样可以减少有大数的存在，而且也不改变4个工人做同一个工作的先后时间。

解：现在我们将上面的问题化为矩阵，并对矩阵进行初等变换。

⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=54324645778577910K
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=54324
645778577910K −−→−-71r ⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫
⎝⎛54324
6457785
0023
−−→−-52r ⎪⎪
⎪⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛543246452230
0023
−−→−-4
3r ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛5432020122300023−−→−-24r ⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛321002012230
0023
. 即可得⎪⎪
⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=321002012230
0023
1K ，我们把有“0”的地方当成是这个工人做这个工作的
最优方案，可是从这里可以发现这个矩阵中有一份工作俩人做的，也有第四份工作没人做，也就是经过初等变换还没能够做出最优选择，我们就要进一步化简，
我们先选工人和所对应的工作进行打“#”做记号，如下⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=32
1
002012230
0023
###2K ，因为每个工人不能同时选两份工作，也不能俩人同时选一份，所以我们在对“0”标记“#”号时不能在同一行或者同一列。

现在我们这样定义： (1) 将没有选“0”的行打勾；
(2) 将所勾的行的零元素所在的列也打勾；
(3) 对打勾的列的零元素所在的行打勾； (4) 重复(2)(3)步骤,直到不能打勾为止。

现在我们把未打钩的行和打钩的列都划掉，这样我们就可以剩下两行没有划掉，我们将这两行的数减去这些数当中最小的那个数，并且将划掉的那一列加上那个最小数。

即可以得到：⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=21
002021120
0024
###3K ，这样我们对新的矩阵进行重新分配，也就
是对选取的工人对应的工作打“#”，⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛=21
00020211200024#
###4K ，我们现在得到的就是加“#”的“零”元素分别在不同的行和列，我们这样就算做了最优的分配.
即⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛31424321.这里就是可以解释成第一份工作给乙做，第二份工作是给丁做，第三份工作是给甲做，第四份工作当然是给丙做，这样的安排效率最高。

矩阵是线性代数的重要研究对象，而初等变换是矩阵计算中的重要工具，其应用遍及许多领域，除了本文归纳的利用矩阵初等变换求矩阵逆、矩阵秩、线性方程组的解、求最大公因式，矩阵的初等变换还在求等价标准型、求矩阵的特征值和特征向量、化二次型为标准型等方面有着广泛的应用，由此可知，矩阵初等变换的应用遍及很多方面。

参考文献
[1] 辛林，周德旭等. 高等代数[M]. 浙江：浙江大学出版社,2012:27-67.
[2] 高百俊. 分块矩阵的初等变换及其应用[J]. 伊犁师范学院学报(自然科学
版)，2007，14(4):13-56.
[3] 姚慕生，吴泉水等. 高等代数学(第二版) [M]. 上海：复旦大学出版社,
2008:48-144.
[4] 张禾瑞，郝炳新等. 高等代数(第四版)[M] . 北京：高等教育出版
2005:100-200.
[5] 雷纪刚，唐平等. 矩阵论及其应用[M] . 北京：机械工业出版社, 2005:1-33.
[6] 杨启帆，谈之奕等. 数学建模[M]. 浙江：浙江大学出版社, 2010:130-156.
作者：胡鸿敏。