矩阵初等变换的性质及其应用

摘要

本文探讨矩阵初等变换的性质及其在代数中的若干应用，主要从矩阵的逆、矩阵的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求一元多项式的最大公因式、求解指派问题等若干方面进行阐述。

关键词：矩阵的初等变换；矩阵的秩；可逆矩阵；线性方程组；最大公因式

Abstract

This paper is mainly to discuss the application of the elementary transfor mation of matrix in algebra, using matrix elementary transformation to solve th e matrix inverse, matrix rank, solving linear equations and matrix equations, on e yuan polynomial greatest common divisor, solving assignment problem of the se aspects of the application.

Keywords:Elementary transformation of matrix;Matrix rank;Invertible matrix;

System of linear equations;Greatest common factor

目录

1 引言 ............................. 错误!未定义书签。

2 矩阵的初等变换及其性质 (1)

2.1 矩阵初等变换的定义.......................... 错误!未定义书签。

2.2 矩阵初等变换相关性质 (2)

3 矩阵初等变换的若干应用 (2)

3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆 (1)

3.2 利用矩阵的初等变换来求矩阵的秩 (5)

3.3 利用矩阵初等变换求解线性方程组及矩阵方程 (7)

3.4 利用矩阵的初等变换求一元多项式最大公因式 (11)

3.5 利用矩阵初等变换解决指派问题 (13)

参考文献 (16)

矩阵初等变换的性质及其应用

矩阵及其理论在众多领域中都发挥着重要的作用,而矩阵的初等变换是矩阵理论的核心和灵魂。

矩阵的初等变换是矩阵的一种非常重要的运算，它在求矩阵的逆、矩阵的秩、极大无关组和向量组的秩、求解线性方程组及矩阵方程、求解特征值及特征向量、求一元多项式的最大公因式、求解化二次型为标准型、解决指派问题等至始至终都发挥着不可替代及其重要的作用。初等变换的应用几乎贯穿线性代数全部内容，许多概念、性质及计算几乎都涉及到，它就像一根隐形的线，始终穿梭于线性代数的各个部分，应用它使得很多问题得以便捷、有效地解决。

矩阵的初等变换这一工具的应用与初等变换的性质有关，如矩阵的初等变换不会改变矩阵的秩，而矩阵的秩指的是该矩阵非零子式的最大阶数，因此求一个矩阵A的秩，可首先对矩阵A进行若干次行初等变换，将其化为一个相对简单的如行阶梯型矩阵，容易看出其不等于零的子式的最大阶数（即非零行的行数），从而求得矩阵A的秩。在其它方面，如求线性方程组的解等也是如此。许多问题的求解通过矩阵的初等变换可使过程大大简化。

本文对矩阵初等变换的性质及其在若干相关问题中的应用进行了归纳与总结，着重从应用矩阵的初等变换求矩阵的逆、求解矩阵的秩、求线性方程组的解、求一元多项式的最大公因式、解决指派问题等若干方面进行探讨。

2 矩阵的初等变换及其性质

2.1 矩阵初等变换的定义

定义2.1.1 对矩阵施行以下三种变换称为矩阵初等行(列)变换[1]：

①消法变换：把矩阵的某一行(列)乘上一个数加到另外一行上.

②互换变换：互换矩阵中的某两行(列)位置.

③倍法变换：用一个非零数乘矩阵中的某一行(列).

矩阵的行初等变换和列初等变换统称为矩阵初等变换.

定义2.1.2 由单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵，有三种类

型：

①交换某两行(两列)的位置关系得到的初等矩阵；

②用数域中的非零数乘以某行(列)得到的初等矩阵；

③把某行(列)的倍数加到另外一行(列)得到的初等矩阵.

定义2.1.3 对分块矩阵施行下列三种初等变换[2]：

①互换分块矩阵的某两行(列)；

②用一个可逆阵左(右)乘分块矩阵的某一行(列)；

③用一个非零阵左（右）乘分块矩阵的某一行（列）加至另一行（列）上.

分别称上述三种初等行(列)变换为分块矩阵的初等行(列)变换.

定义2.1.4 如果一个矩阵A经过有限次初等变换后变成B，则称A与B相抵，即记为B

A [4].

2.2 矩阵初等变换相关性质

性质2.2.1 ①消法分块初等矩阵左(右)乘分块矩阵,相当于对这一分块矩阵的某行(列)乘上某个矩阵加到另外一行(列).

②互换分块初等矩阵左(右)乘分块矩阵,相当于对这一分块矩阵的某两行(列)互换.

③倍法分块初等矩阵左(右)乘分块矩阵,相当于对这一分块矩阵的某行(列)同乘上某个可逆矩阵[1].

定理2.2.1 用初等矩阵左(右)乘一个矩阵A,就相当于A作了一次相应的初等

行(列)变换.

定理2.2.2 初等变换是不改变矩阵的秩[4].

定理2.2.3行初等变换把一个线性方程组变为一个与它同解的线性方程组[4]. 定理2.2.4 每一个可逆矩阵都是由若干个初等矩阵的乘积[1].

定理2.2.5 n阶矩阵A可逆,当且仅当它的行列式不等于零[4].

3 矩阵初等变换的若干应用

3.1 利用矩阵初等变换求矩阵的逆