东南大学2006年高等数学竞赛曁江苏省第八届高等数学竞赛选拔赛试卷答案及评分标准

东南大学2006年高等数学竞赛曁江苏省第八届高等数学竞赛选拔赛
试卷答案及评分标准
一. 计算或证明极限（本题共4小题，每小题10分，满分40分）
1．计算极限 0tan(sin )sin(tan )
lim
tan sin x x x x x →--
解:0tan(sin )sin(tan )lim tan sin x x x x x →--00tan(sin )tan(tan )tan(tan )sin(tan )
lim lim
tan sin tan sin x x x x x x x x x x
→→--=+--（3分） 32
003
1tan 2
limsec lim 12
x x x
x ξ→→=-+（5分）110=-+=（2分）（ξ介于sin x 与tan x 之间） 2．设 2
113,21(2)n n a a a n -==-≥，求 12
1lim
2n
n n n a a a a →∞-。

解:131,a =>设11n a ->，则2
1211n n a a -=->（2分） 222242222(1)22
221112212
111(1)(1)2(1)2(1)2(1)
n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a ---------=+-=-=-=
=-21
22
22
12
1
12
12
2(2)n n
n n n a a
a a a a +---==，故有22
1211
2(2)n n n a a a a --=，
（4分） 由于12
1
1lim
02n n n a a a →∞
-=，（1分）
故22
222
12
11211
2111
lim
lim lim 2(2)(2)(2)n
n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a →∞
→∞→∞----=+=，得 121
lim
2n
n n n a a a a →∞-=3分）
3．设()[]f x x x =-（[]x 表示不超过x 的最大整数），求0
1lim ()d x
x f t t x →+∞⎰。

解:当1,n x n ≤<+
120001111()d ()d ()d d ()2x n x n f t t f t t t n t n t t x n x x x ⎡⎤⎡⎤=+-=+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰21[()]2n x n x
=+-（5分） 由于
211[()]2(1)22n n n x n n x n +≤+-≤+且 11
lim
lim 2(1)22
n n n n n n →∞→∞+==+（4分） 故 011
lim ()d 2
x x f t t x →+∞=⎰（1分）
4．设[,],()f C a b f x ∈在区间[,]a b 上不恒为零，且()d b
n
n a
a f x x =
⎰
，试证数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭
收敛。

解:由于[,],()f C a b f x ∈在区间[,]a b 上不恒为零，故0n a >。

（1分）
2
11112
2211()()d ()d ()d n n b b b n n n
n n a a a a f x f x x f x x f x x a a +-+-+-⎛⎫=≤= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰，11n n n n a a a a +-≤，
故1n n a a +⎧⎫
⎨
⎬⎩⎭
单调增加。

（5分）由于[,],()f C a b f x ∈在区间[,]a b 上有界，故()f x M ≤， 1
1
()
d ()d b n n a
b
n
n
a
f x x
a M a f x x ++=≤⎰⎰
，1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭有上界，（3分）所以1n n a a +⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
收敛。

（1分） 二．（本题共5小题，满分60分）
5．（本题满分10分）设()f x 在[0,1]上有二阶连续导数，则对120,
,,133ξη⎛
⎫⎛⎫∀∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，有 1
()3()()()d [0,1]f x f f f x x
x ξη'''≤-+∀∈⎰
解:由Lagrange 中值定理,(,)θξη∃∈使()()()()f f f ξηθξη'-=-，（3分） 故 1
()()()()()d ()d x
f x f f x f f t t f x x θ
θθ''''''''-≤-=≤⎰⎰，
（4分） 因此1
110
00()()
()()()d ()d 3()()()d f f f x f f x x f x x f f f x x ξηθξηξη
-''''''''≤+
=
+≤-+-⎰
⎰⎰（3分） 6．（本题满分12分） 设12n a a a <<<为n 个不同的实数，函数()f x 在1[,]n a a 上有n 阶导数，并满
足 12()()()0n f a f a f a ==
==，则对[]1,n c a a ∀∈，存在()1,n a a ξ∈，满足等式
()12()()
()
()()!
n n c a c a c a f c f n ξ---=
解:令12()()()
()n g x x a x a x a =---，当(1,2,
,)i c a i n ==，
由题意()0f c =，又()0g c =，故1(,)n a a 中任一点都可以取作ξ，使()
()()()!
n g c f c f n ξ=（2分） 当(1,2,
,)i c a i n ≠=，令()()()()()F x f x g c f c g x =-，（4分）
则12()()()()0n F a F a F a F c =====，故在1(,)n a a 内存在n 个不同的点12,,,n ξξξ，使
12()()()0n F F F ξξξ'''==
==，（2分）
又存在1n -个不同的点121,,,n ηηη-，使121()()()0n F F F ηηη-''''''====，
如此下去，1(,)n a a ξ∃∈使()
()0n F ξ=，（2分）
即()
()()()()()()0,()()()!0n n
n
f
g c f c g f g c f c n ξξξ-=-=，
故()
()12()()()
()()()()!!
n n n
c a c a
c a g c f c f f n n ξξ---=
=（2分）
7．（本题满分12分）试计算由曲线22
2,x y x y x y -=
+=
+=y x =
围成的图形绕直线y x
=旋转而成的立体的体积。

解:将坐标系逆时针旋转4
πθ=
使y x =变成u 轴，即令
cos sin )44sin cos )44x u v u v y u v u v ππππ⎧=-=-⎪⎪⎨
⎪=+=+⎪⎩，（5分）
则已知曲线分别变成1,1,3,0uv u u v =-===，（3分）
故 2
3
3
2
1112d d 3V v u u u πππ⎛⎫
==-= ⎪⎝⎭
⎰⎰（4分）
8．（本题满分12分）如图，A 、B 、C 、D 四个动点开始分别位于一个边长为2a 的正方形的四个顶点，然后
A 点向着
B 点，B 点向着
C 点，C 点向着
D 点，D 点向着A 点同时以相同的速率运动，求点A 的运动轨迹。

解:建立坐标系，其中原点是正方形的中心，设(,)M x y 是A 点的运动轨迹上的任一点，此时B 点的位置应为(,)N y x -，（2分）
由题意，点A 的运动轨迹在M 处的切线经过点N ，故有
d (),d x a
y y x x y
y a x x y x y
=--+===--，（4分）
令y u x =，即,y xu =d d d d y u
u x x x
=+，方程化成22d 11d ,d ,d 11u u u x x u
x u u x +-==-+ 21arctan ln(1)ln 2u u x C -
+=+，即 arctan y
C x
=+（4分） 由x a y a ==，得2
1ln(2)42
C a π
=-，故A 点的运动轨迹为222
1arctan ln 422y x y x a π+=+（2分） 9．（本题满分14分）设[0,2]θπ∈ （1）求2
sin
sin 2θθ的最大值；
（2）求()()233
31sin sin 2sin 4sin 2sin 2n n θθθ
θθ-的最大值；
（3）证明()2223sin sin 2sin 24n
n θθ
θ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
解:（1）令21()sin sin 2f θθθ=，由22
1()2sin (4cos 1)0f θθθ'=-=，
得2450,
,,,
,,233
33
ππ
ππ
θππ=，在0,,2θππ=处，1()0f θ=，
在其它几点处，1()f θ=
，故2sin sin 2θθ
（3分） （2）设233
31()sin sin 2sin 4sin (2)sin(2)n n n f θθθθ
θθ-=，
由（1）可知1()f θ在3
π
θ=。

设()n f θ在3π
θ=
处有最大值8n
⎛ ⎝⎭
，由于211()()sin (2)sin(2)n n n n f f θθθθ++=， 设21
()sin (2)sin(2)n n ϕθθθ+=，令122()2sin (2)(4cos (2)1)0n n n ϕθθθ+'=-=，
得1,2
23n
n k π
πθ⎛
⎫=
± ⎪⎝⎭
，11()0,2
233n n k f π
ππϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=±== ⎪ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，
因此1max ()3f πϕθ⎛⎫
==
⎪⎝⎭1()n f θ+也在3πθ=
处取得最大值1
8n +⎛ ⎝⎭
（7分）
（3）由（2
）有332
3()34n n
n n f f πθ⎛⎫⎛⎫≤==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭， 故
2242
23
2223
3
3
3
233
2
sin sin 2sin (2)()sin sin (2)()33344n n n n n n n f f f πθθ
θθθθθ⎛⎫
=≤≤ ⎪
⎝⎭
⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦
（4分）。