历年天津理工大学高数期末考试试卷及答案
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2015-2016年第二学期《高等数学AII 》期末考试试卷
一、单项选择题（从4个备选答案中选择最适合的一项，每小题2分共20分） 1、三重积分⎰⎰⎰Ω
=dV z y x f I ),,(，其中Ω由平面1=++z y x ，1=+y x ，0=x ，0=y ，1
=z 所围，化为三次积分是（ B ） A 、 ⎰⎰⎰
---=2
110
10),,(y x x dz z y x f dy dx I ； B 、 ⎰
⎰⎰
---=1
11010
),,(y x x dz z y x f dy dx I ；
C 、 ⎰
⎰⎰
--=
1
11
10
),,(y
x dz z y x f dy dx I ； D 、 ⎰
⎰⎰
--=1
10
10
),,(y
x x dz z y x f dy dx I .
2、设y e x u 2=，则=du （ A ）
A. dy e x dx xe y y 22+；
B. dy e xdx y +2；
C. dy xe dx e x y y 22+；
D. dy e x dx e x y y 22+. 3、微分方程y dx
dy
x
= 的通解为（ C ）. A. C x y +-=； B. C x y +=； C. Cx y =； D. x y =.
4、设1∑是222y x R z --=上侧，2∑是222y x R z ---=下侧，3∑是xoy 平面上圆
222R y x ≤+的上侧，R Q P ,,在3R 空间上有一阶连续偏导数，且
0=∂∂+∂∂+∂∂z
R y Q x P ，则与曲面积分⎰⎰∑++1
Rdxdy Qdzdx Pdydz 相等的积分是（ B ）
(A) ⎰⎰∑++2
Rdxdy Qdzdx Pdydz ；
(B) ⎰⎰∑++3
Rdxdy Qdzdx Pdydz ；
(C)
Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑2
1 ；
(D)
Rdxdy Qdzdx pdydz ++⎰⎰∑∑3
1 .
5、微分方程x xe y y y 396-=+'-''的特解形式为（ B ）
A 、x axe 3-；
B 、x e b ax 3)(-+；
C 、x e b ax x 3)(-+；
D 、x e b ax x 32)(-+ 解：特征方程0)3(9622=-=+-r r r ，321==r r ，特解形式为x e b ax y 3)(-*+=.选（B ）. 6、当)0,0(),(→y x 时， 2
2y
x xy
u +=
的极限为（ A ） A 、不存在； B 、1； C 、2； D 、0. 7、下列级数收敛的是（ B ） A 、∑
+∞
=+121n n ； B 、∑+∞=131sin n n ； C 、∑+∞=+1441n n n ； D 、∑+∞
=-1
21)1(n n n . 8、微分方程02=-'+''y y y 的通解为（ C ）
A. x x e C e C y --=21；
B. 2
21x x
e C e C y -
-=； C. 2
21x x
e C e
C y -=-； D. x x e C e C y 221+=-.
解：特征方程0)1)(12(122
=+-=-+r r r r ，11-=r ，21
2=r ，通解为221x
x e C e C y -=-.选（C ）.
9、设⎰⎰+=D
dxdy y x I 21)(，⎰⎰+=D
dxdy y x I 32)(，D 由直线1=x ，1=y 与1=+y x 围成，
则1I 与2I 的大小关系是（ A ）
A 、21I I <；
B 、21I I =；
C 、21I I >；
D 、21I I ≥. 10
、积分 0 0
a
dx ⎰⎰
的极坐标形式的二次积分为（ B ）
A 、⎰⎰
40
csc 0
2
π
θθa dr r d ；
B 、⎰⎰
40
sec 0
2π
θθa dr r d ；
C 、⎰⎰
20
tan 0
2
π
θθa dr r d ；
D 、⎰⎰
40
sec 0
π
θθa rdr d .
二、填空题（每空3分，共30分）
1、微分方程0))(,,(4='''y x y y x F 的通解含有(独立的)任意常数的个数是 2 个.
2、设)(x f 是周期为π2的周期函数，且⎩⎨⎧<≤<≤--=ππx x x x f 000
)(，它的傅立叶级数的和
函数为)(x S ，则=
)5(πS 2
π
. 3、已知函数)ln(22y x z +=，则=∂∂-∂∂x
z
y y z x
0 . 4、设平面曲线L 为1||||=+y x ，则曲线积分=⎰+ds e L
y x ||||e 24.
5、若曲线积分⎰---=L
dy y ax xy dx y xy I )(3)6(2232与路径无关,则=a 2 。
6、设幂级数 ++++++n n x n x x x 1210252222
3322，其收敛半径R =2
1
. 7、设方程06333=-+++xyz z y x 确定函数),(y x z z =，则
=∂∂-)
1,2,1(x z
51-
8、极限=→→x xy
y x sin lim
1
01。