高数第七章word版

第七章 向量代数与空间解析几何

一 、考纲要求（数学二、三、四不要求）：

1. *1

理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示．

2. *1掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),了解两个向量垂直、平行的条件.

3. *1理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.

4. *1掌握平面方程和直线方程及其求法．

5. *1会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题．

6. *1会求点到直线以及点到平面的距离．

7. *1了解曲面方程和空间曲线方程的概念．

8. *1了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程．

9. *1了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程．

10. *1解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.

二 、考点概述与解读：

（一）向量代数

1、几个概念： （1）向量（矢量）：既有大小，又有方向的量。

注1：两向量不能比较大小（长度能比较，方向不行）

注2：向量的表示法有三：

○

1 有向线段AB ； ○

2 基本表示：k a j a i a a 321++=，其中,,为与z y x ,,轴同向的单位向量，321,,a a a 为在z y x ,,轴上的投影。

○

3 坐标表示：},,{321a a a =

（2）向量的模（长度）：a 的大小，即2

32221a a a ++=

（3）单位向量：长度为1的向量

结论：a a a =

特例：基本单位向量：}0,0,1{=，}0,1,0{=，}1,0,0{=

（4）零向量0：长度为0的向量 （注：0没有确定的方向） （5）向量的相等：方向相同，大小相等

结论：设},,{321a a a =，},,{321b b b =，则 b a =⇔11b a =，22b a =，33b a = （6）向量的平行：方向相同或相反

结论：b a ||⇔0=⨯b a ⇔对应分量成比例 （7）向量的垂直：方向垂直

结论：⊥⇔0=⋅⇔0332211=++b a b a b a （8）向量的方向余弦：向量与x 轴，y 轴，z 轴的夹角的余弦。

结论：○1

2

cos =

α，cos =

βr cos =

；○21cos cos cos 2

22=++γβα

○

3}cos ,cos ,{cos γβα=a （9）方向数：与方向余弦比例的三个数 2、向量的运算

（1）加法：平行四边形法则

结论：},,{332211b a b a b a b a +++=+

（2）数乘a λ：大小：=λλ

方向：当0>λ时，λ与同向；当0<λ时，λ与反向； 当0=λ时，a λ与a 方向任意

（3）数量积（点积）：),cos(b a b a =⋅

结论：332211b a b a b a ++=⋅

（4）向量积（叉积）：3

2132

1b b b a a a k j i b a =⨯

结论：b a ⨯的方向：右手法则；b a ⨯)sin(b a ⋅= 注：⨯≠⨯（⨯-=⨯） （5）混合积：c

b a

c b a ⋅⨯=)(],,[

结论：○13

2

1

321

3

21

)(c c c b b b a a a =⋅⨯；○2c b a c b a ,,0)(⇔=⋅⨯共面

○3 以,,

为邻边的六面体的体积V ⋅⨯=)(注：○1运算规律与数类似（叉乘积例外）；○2混合积的性质：轮换 （二）空间解析几何： 1、空间直角坐标系（右手法则） 2、两点间距离公式：22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=

3、平面方程：

（1）向量式：0)(0=⋅-r ，其中为π的法矢，0r 为平面上的已知点矢。 （2）点法式：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，

其中π∈),,(000z y x ，π⊥=},,{C B A

（3）截距式：

1=++c

z

b y a x ，其中

c b a ,,为π在z y x ,,轴上的截距 （4）一般式：0=++Cz By Ax

注：○1此平面的法向量为},,{C B A n =；

○2 点(000,,z y x )

到此平面的距离为：d =

4、直线方程： （1）一般式：⎩⎨

⎧=+++=+++0

22221111D z C y B x A D z C y B x A

（2）向量式：0)(0=-⨯r r s

（3）标准式（对称式）：

n

z z m y y l x x 0

00-=

-=- 其中},,{n m l 为L 的方向向量，L z y x ∈),,(000 （4）两点式：1

20

120120z z z z y y y y x x x x --=--=--

（5）参数式：⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+=+=nt

z z mt y y lt

x x 000（其中t 为参数，},,{n m l =为法矢，L z y x ∈),,(000）

5、直线平面向量关系：