高数第七章word版

第七章 向量代数与空间解析几何
一 、考纲要求（数学二、三、四不要求）：
1. *1
理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示．
2. *1掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积),了解两个向量垂直、平行的条件.
3. *1理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用坐标表达式进行向量运算的方法.
4. *1掌握平面方程和直线方程及其求法．
5. *1会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系(平行、垂直、相交等)解决有关问题．
6. *1会求点到直线以及点到平面的距离．
7. *1了解曲面方程和空间曲线方程的概念．
8. *1了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程．
9. *1了解空间曲线的参数方程和一般方程,了解空间曲线在坐标平面上的投影,并会求其方程．
10. *1解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程.
二 、考点概述与解读：
（一）向量代数
1、几个概念： （1）向量（矢量）：既有大小，又有方向的量。

注1：两向量不能比较大小（长度能比较，方向不行）
注2：向量的表示法有三：
○
1 有向线段AB ； ○
2 基本表示：k a j a i a a 321++=，其中,,为与z y x ,,轴同向的单位向量，321,,a a a 为在z y x ,,轴上的投影。

○
3 坐标表示：},,{321a a a =
（2）向量的模（长度）：a 的大小，即2
32221a a a ++=
（3）单位向量：长度为1的向量
结论：a a a =
特例：基本单位向量：}0,0,1{=，}0,1,0{=，}1,0,0{=
（4）零向量0：长度为0的向量 （注：0没有确定的方向） （5）向量的相等：方向相同，大小相等
结论：设},,{321a a a =，},,{321b b b =，则 b a =⇔11b a =，22b a =，33b a = （6）向量的平行：方向相同或相反
结论：b a ||⇔0=⨯b a ⇔对应分量成比例 （7）向量的垂直：方向垂直
结论：⊥⇔0=⋅⇔0332211=++b a b a b a （8）向量的方向余弦：向量与x 轴，y 轴，z 轴的夹角的余弦。

结论：○1
2
cos =
α，cos =
βr cos =
；○21cos cos cos 2
22=++γβα
○
3}cos ,cos ,{cos γβα=a （9）方向数：与方向余弦比例的三个数 2、向量的运算
（1）加法：平行四边形法则
结论：},,{332211b a b a b a b a +++=+
（2）数乘a λ：大小：=λλ
方向：当0>λ时，λ与同向；当0<λ时，λ与反向； 当0=λ时，a λ与a 方向任意
（3）数量积（点积）：),cos(b a b a =⋅
结论：332211b a b a b a ++=⋅
（4）向量积（叉积）：3
2132
1b b b a a a k j i b a =⨯
结论：b a ⨯的方向：右手法则；b a ⨯)sin(b a ⋅= 注：⨯≠⨯（⨯-=⨯） （5）混合积：c
b a
c b a ⋅⨯=)(],,[
结论：○13
2
1
321
3
21
)(c c c b b b a a a =⋅⨯；○2c b a c b a ,,0)(⇔=⋅⨯共面
○3 以,,
为邻边的六面体的体积V ⋅⨯=)(注：○1运算规律与数类似（叉乘积例外）；○2混合积的性质：轮换 （二）空间解析几何： 1、空间直角坐标系（右手法则） 2、两点间距离公式：22122122121)()()(z z y y x x P P -+-+-=
3、平面方程：
（1）向量式：0)(0=⋅-r ，其中为π的法矢，0r 为平面上的已知点矢。

（2）点法式：0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A ，
其中π∈),,(000z y x ，π⊥=},,{C B A
（3）截距式：
1=++c
z
b y a x ，其中
c b a ,,为π在z y x ,,轴上的截距 （4）一般式：0=++Cz By Ax
注：○1此平面的法向量为},,{C B A n =；
○2 点(000,,z y x )
到此平面的距离为：d =
4、直线方程： （1）一般式：⎩⎨
⎧=+++=+++0
22221111D z C y B x A D z C y B x A
（2）向量式：0)(0=-⨯r r s
（3）标准式（对称式）：
n
z z m y y l x x 0
00-=
-=- 其中},,{n m l 为L 的方向向量，L z y x ∈),,(000 （4）两点式：1
20
120120z z z z y y y y x x x x --=--=--
（5）参数式：⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+=+=nt
z z mt y y lt
x x 000（其中t 为参数，},,{n m l =为法矢，L z y x ∈),,(000）
5、直线平面向量关系：
（1）平面与平面：21
212121||C C B B A A ==⇔
ππ；021212121=++⇔⊥C C B B A A ππ （2）直线与直线：21212121||n n
k k l l L L ==⇔；021212121=++⇔⊥n n k k l l L L
（3）直线与平面：n
C
k B l A L ==⇔π||；0=++⇔⊥Cn Bk Al L π
（4）夹角的问题：（平面与平面，直线与直线，平面与直线的夹角） 6、常见的二次曲面的图形 —— 要掌握截痕法
（1）2
202020)()()(R z z y y x x =-+-+- —— 以),,(000z y x 为球心，R 为半径的球面
（2）1222222=++c z b y a x —— 椭球面； （3）2
22R y x =+ —— 圆柱面
（4）12222=+b y a x —— 椭圆柱面； （5）122
22=-b
y a x —— 双曲柱面
（6）122
=-py x —— 抛物柱面 （注：当曲面方程中z y x ,,缺一个时，为柱面）
（7）2222b y a x z +=——椭圆抛物面(开口向上)；22
22b y a x z +=-——椭圆抛物面(开口向下)
（8）22
22b
y a x z -= ——双曲抛物面，（马鞍面）
7、旋转曲面：
结论：曲线⎩⎨⎧==0
0),(z y x f 绕x 轴旋转成的曲面为0),(2
2=+±z y x f
特例：（1）旋转椭圆面：12
2
222=++c z b y x （由⎪⎩
⎪⎨⎧==+0
1
2222x c z b y 绕z 轴旋转得到） （2）旋转双曲面：12
2
22
2
=-+c z b y x （由⎪⎩
⎪⎨⎧==-01
22
22x c z b y 绕z 轴旋转得到） （3）旋转抛物面：pz y x 22
2=+（由⎩⎨⎧==0
22x pz y 绕z 轴旋转得到）
8、空间曲面的切平面与法线：
结论：0),,(=z y x F 在M 点的切平面方程为0
000()()()0
x
M y
M z
M F x x F y y F z z -+-+-=
0),,(=z y x F 在M 点的法线方程为：
)
,,(),,(),,(0000
00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-
9、空间曲线及其投影曲线： （1）空间曲线的一般方程：⎩⎨
⎧==0
),,(0
),,(z y x G z y x F
（2）空间曲线的参数方程：⎪⎩
⎪
⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x （其中t 为参数）
注：一般式化参数方程的方法：令)(t z ϕ=，代入⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ，解出 ⎪⎩
⎪
⎨⎧===)
()()
(t z z t y y t x x
结论：该曲线的切线的方向为：)}('),('),('{t z t y t x ±
（3）空间曲线在坐标平面上的投影曲线的求法：
○
1 由 ⎩
⎨⎧==0),,(0
),,(z y x G z y x F 消去z 得：0),(=y x H （称为曲线的投影柱面）；
○2 曲线 ⎩⎨
⎧==0
),(z y x H 即为所求曲线在Y X 0平面上的投影曲线。

10、空间曲线的切线和法平面：
结论：○1 曲线 ⎩⎨
⎧==0),,(0
),,(z y x G z y x F 在其上点 ),,(0000z y x P 处的切线方程为：
00),()
,(),(),(),(),(0
00P
P P y x G F z z x z G F y y y z G F x x ∂∂-=∂∂-=∂∂-
○2 曲线⎩⎨
⎧==0),,(0
),,(z y x G z y x F 在其上点 ),,(0000z y x P 处的法平面方程为： )
(),()
,()(),(),()(),(),(0000
00z z y x G F y y x z G F x x z y G F P P P -∂∂+-∂∂+-∂∂
（ 其中：
y
G x
G y
F x
F
y x G F ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂)
,(),( ） 三 、实用题型及例题归类：
一、填空题
1. [95-1、2] 设 2)(=⋅⨯, 则 )()]()[(+⋅+⨯+ = 4
2. [01-1 ] 点（2,1,0）到平面3x + 4y + 5z = 0的距离d =2
.
3. [96-1、2]设一平面经过原点及点(6,-3,2)，且与平面4x -y +2z =8垂直，则
此平面方程为 2x +2y –3z = 0 ．
4. [94-1、2] 曲面z -e z
+2x y = 3在点(1,2,0)处的切平面方程为 2x +y-4=0 5. [03-1 ] 曲面 2
2
y x z +=与平面 042=-+z y x 平行的切平面的方程是
542=-+z y x
6. [00-1 ] 曲面21322
2
2
=++z y x 在点(1,-2,2)的法线方程为
6
2
4211-=-+=-z y x 7. [90-1、2] 过点M (1,2,-1)且与直线⎪⎩⎪
⎨⎧-=-=+-=1432
t z t y t x 垂直的平面方程是 x -3y -z +4=0
8. [87-1、2] 与两直线 ⎪⎩
⎪
⎨⎧+=+-==t
z t y x 211
及 112211-=
+=+z b x 都平行，且过原点的平面方 程是 x - y + 5 = 0
9. [91-1、2] 已知直线L 1和L 2的方程 1
3
0211:
1--=-=-z y x L 和
1
1122:
2z
y x L =-=- ，则过L 1且平行于L 2的平面方程是 x -3 y ＋z + 2 = 0 10. [93-1、2] 由曲线012
2322==+⎩
⎨⎧z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点（0,2,3）
处的指向外侧的单位法向量为 二、单选题
1. [93-1、2] 设直线18
2511:
1+=
-
-=-z y x l 与⎩⎨⎧=+=-3
26:2z y y x l ，则1l 与2l 的夹角为 (C) (A) 6π (B) 4π (C) 3π (D) 2
π
2. [ 98-1] 设矩阵 ⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡33
3
222
111
c b a c b a c b a 是满秩的，则直线 2
13
a a a x -- = 213
b b b y --= 213
c c c z --与直线
3
21
a a a x -- = 321
b b b y --= 321
c c c z -- ． (A)
(A) 相交于一点 (B) 重合 (D) 平行但不重合 (D) 异面
3. [ 95-1、2] 设有直线L ：⎩⎨⎧=+--=+++0
31020
123z y x z y x 及平面 π：4x – 2y + z – 2 = 0 ,
则直线L (C)
(A) 平行于π. ( B ) 在π上 (C) 垂直于π. ( D ) 与π斜交 4. [02-1] 设有三张不同平面的方程a i 1x+a i 2y+a i 3z=b i , i=1,2,3，它们所组成的线性方
程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2，则这三张平面可能的位置关系为 (B)
5. [92-1、 2] 在曲线x = t , y = -t 2
, z = t 3
的所有切线中，与平面x + 2y + z = 4平行的切线 (B)
(A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在
6. [89-1] 已知曲面z = 4 - x 2
- y 2
上点P 处的切平面平行于平面2x + 2y + z – 1 = 0， 则点P 的坐标是 (C) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)
7. [01-1] 设函数f (x ,y )在点(0,0)附近有定义，且1)0,0(,3)0,0(='
='y x f f ，则 (C)
5. (A) d z | ( 0 , 0 ) =3d x +d y ；
6. (B) 曲 面z =f (x ,y )在点(0,0,f (0,0))的法向量为{3,1,1}；
(C) 曲线⎩⎨⎧==0)
,(y y x f z 在点(0,0,f (0,0))的切向量为{1,0,3}；
(D) 曲线⎩⎨⎧==0
)
,(y y x f z 在点(0,0,f (0,0))的切向量为{3,0,1}．
三、 解答题
1. 求直线⎩
⎨⎧=-+=-++04320
632z y x z y x 的对称式方程和参数方程 .
【 对称式为：1010111716--=
-=-+z y x ；参数方程为：⎪⎩
⎪
⎨⎧-=+=--=,
,1011,
1716t z t y t x （为参数t ） 】 2. [95-2] 求曲面 22
2
y x z += 平行于平面2x + 2y – z = 0的切平面方程 【 0322=--+z y x 】
3. [88-2] 求椭球面 21322
2
2
=++z y x 上某点M 处的切平面π的方程，使平面π过已
知直线 2
1
21326:
--=
-=-z y x l ． 【 216472=++=+z y x z x 和 】 4. [97-1] 设直线 ⎩⎨⎧=--+=++0
30:z ay x b y x l 在平面π上，而平面π与曲面 2
2y x z += 相
切于点()5,2,1-, 求 b a , 之值． 【 5-=a ，2-=b 】
5. [94-1、2] 已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1)，线段AB 绕Z 轴旋转一
周所成的旋转曲面为S ，求由S 及两平面Z =0, Z =1所围成的立体体积。

【 2/3π 】 6. [98-1] 求直线 1
1
111:
--=
=-z y x l 在平面 012:=-+-z y x π上的投影直线0l 的方程，并0l 绕y 轴旋转一周所成的曲面的方程 。

【 01241742
22=-++-y z y x 】
7.
（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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