三角函数的定义 ppt课件
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三角函数认识ppt课件
辅助角公式
总结词
用于将三角函数式化为单一三角函数的形式。
详细描述
辅助角公式是三角函数中常用的化简工具，它可以将复杂的三角函数式化为单一三角函数的形式，便于计算和理 解。具体公式如下：sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
三角函数认识ppt课件
目录
• 三角函数的定义 • 三角函数的图像与性质 • 三角函数的应用 • 三角函数的变换公式 • 三角函数的特殊值
01
三角函数的定义
角度与弧度的关系
角度制
以度（°）为单位，规定一周为 360度，每度分为60分，每分为 60秒。
弧度制
以弧度（rad）为单位，规定圆的 周长为2π弧度。角度与弧度的转 换公式为：1° = π/180 rad。
三角函数的基本恒等式
正弦、余弦、正切之间的基本恒等式。
利用这些恒等式，可以方便地进行三角函数的转换和化简，对于解决三角函数问 题非常有用。
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积的和差公式
总结词
用于计算两个角的三角函数值的乘积之和或之差。
详细描述
积的和差公式也是三角函数中常用的公式之一，它可以计算两个角的三角函数值 的乘积之和或之差。具体公式如下：sin(x-y)=sinxcosy-cosxsiny，cos(xy)=cosxcosy+sinxsiny，tan(x-y)=(tanx-tany)/(1+tanxtany)。
详细描述
和差角公式是三角函数中非常重要的公式之一，它可以将两个角的三角函数值 相加或相减，得到新的三角函数值。具体公式如下： sin(x+y)=sinxcosy+cosxsiny，cos(x+y)=cosxcosy-sinxsiny， tan(x+y)=(tanx+tany)/(1-tanxtany)。
5.2.1三角函数的概念课件高一数学(人教A版必修第一册)
【解析】射线 = − 3 < 0 经过第二象限，
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
在射线上的取点 −1, 3 ，
即角 的终边经过点 −1, 3 ，
则 =
−1
2
+
3
2
= 2，
利用三角函数定义可得
sin =
=
3
，cos
2
tan =
=
3
−1
3
2
所以sin =
=
=
−1
2
1
=− ，
2
= − 3；
1
, cos = − 2 , tan = − 3.
（3）在角− 的终边上取一点 , − ，即 = , = −, = ，
= − , −
（4）在角 的终边上取一点
则 −
则 =
,
=−
=
,
−
= −；
−, ，即 = −, = , = ，
当 = 或
时，点的坐标是(, )和(− ， )
一般地，任意给定一个角，它的终边与单位圆交点的坐标能唯一确定吗？
∀ ∈ , 其终边与单位圆交点的横坐标, 纵坐标唯一确定.
新知1：三角函数的定义
（1）把点的纵坐标叫做的正弦函数，记作 ，
即 = .
π
转 3 弧度，滚珠 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度，相遇后发生碰撞，各自按照原来的速度大小反向运动．
(1)求滚珠 ， 第一次相遇时所用的时间及相遇点的坐标；
高中数学必修四三角函数PPT课件
01
02
03
04
第一象限
正弦、余弦、正切均为正。
第二象限
正弦为正、余弦为负、正切为 负。
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
02 三角函数诱导公 式与变换
诱导公式及其应用
诱导公式的基本形式
01
通过角度的加减、倍角、半角等变换，得到三角函数的等价表
达式。
诱导公式的推导
02
正切函数的周期为$pi$，即$tan(x + kpi) = tan x$，其中$k in Z$。
三角函数的奇偶性
正弦函数是奇函数， 即$sin(-x) = -sin x$。
正切函数是奇函数， 即$tan(-x) = -tan x$。
余弦函数是偶函数， 即$cos(-x) = cos x$。
三角函数在各象限的符号
三角恒等变换
和差化积、积化和差等公式及应用
三角函数的图像与性质
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
余弦定理及其应用
余弦定理的公式表达 在任意三角形ABC中，有$a^2 = b^2 + c^2 - 2bccos A$，以及相应的其他两个式子。
余弦定理的推导 通过向量的数量积和投影进行推导。
余弦定理的应用 用于求解三角形的边和角，尤其在已知三边或两边及夹角 的情况下。同时，也可用于判断三角形的形状（锐角、直 角或钝角）。
高中数学《任意角三角函数的定义》课件
二 用有向线段表示三角函数
例3求出的各三角函数在各象限内的符号可用图5.2-6来直观表示：
(1)
(2)
图5.2-6
(3)
请用三角函数的定 义说明正弦、余弦、正 切在各个象限内的符号.
二 用有向线段表示三角函数
例 4 设sin θ <0且tan θ >0，确定θ是第几象限的角. 解 因为sin θ<0，
过点P作x轴的垂线，垂足为D，则在
Rt△OPD中，三边OP，OD，DP之长分别
为r，x，y.
由锐角三角函数的定义有：
sin y ，cos x ，tan y .
r
r
x
图5.2-1
一
用比值定义三角函数
若在角α的终边OM上另取一点P′(x′，y′)，按照同样的方法构造直角三角形， 由相似三角形的知识可以知道：对于确定的角α，上述三个比值不会随点P在α的 终边上的位置的变化而变化.因此，把锐角放在直角坐标系中，锐角的三角函数 （正弦、余弦、正切）可以用终边上不同于原点的任意一点的坐标来表示.
将DP看作有方向的线段，D为起点，P为终点：当它指向y轴的正方向时，取
正实数值y；当它指向y轴的负方向时，取负实数值y；当它的长度为0时，取零
值．在所有的情况下都有
DP＝y＝sin α.
由于直角坐标系内点的 坐标与坐标轴的方向有关， 以坐标轴的方向来规定有向 线段的方向，使得它们的取 值与点P的坐标一致.
解 x＝4，y＝－3，则r＝ 42 32 ＝5，
所以 sin y 3 3 ，
r5 5
cos x 4 ，
r5
tan y 3 3 .
x4 4
图5.2-3
一
用比值定义三角函数
高中数学必修一课件：三角函数的概念
(3)sin αcoห้องสมุดไป่ตู้ α(α是第二象限角)．
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
【分析】 先确定所给角的象限，再确定有关的三角函数值的符号．
【解析】 (1)∵105°，－230°均为第二象限角， ∴sin 105°>0，cos(－230°)<0.于是sin 105°cos(－230°)<0. (2)∵π2 <78π<π，∴78π是第二象限角， 则sin 78π>0，tan 78π<0.∴sin 78πtan 78π<0.
1
2
4．sin 390°＝____2____；cos(－315°)＝____2____；tan
8π 3 ＝__－___3___．
5．判断sin 3cos 4tan－234π的符号． 解析 ∵π2 <3<π，π<4<3π 2 ，∴sin 3>0，cos 4<0.
∵－234π＝－6π＋π4 ，∴tan－234π>0.
1．对三角函数概念的理解应注意什么？ 答：①三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和点P(x，y)在终 边上的位置无关，只由角α的终边位置确定，即三角函数值大小只与角有关．
②符号sin α，cos α，tan α各自是一个整体，离开“α”，“sin” “cos”“tan”不表示任何意义，更不能把“sin α”当成“sin”与“α”的乘
课时学案
题型一 利用定义求值
例1 (1)求4π 3 的正弦值、余弦值和正切值．
【解析】
①sin
4π 3 ＝sinπ＋π3 ＝－sin
π 3 ＝－
23，
②cos 4π 3 ＝cosπ＋π3 ＝－cos π3 ＝－12，
③tan
4π 3 ＝tanπ＋π3 ＝tan
高中课件 三 角 函 数
(3)作图：将上述五点用平滑的曲线顺次连接起来．
[跟踪训练二]
1.函数 y＝ 2sin x－1的定义域为_________________________________.
解析：
由题意知，自变量x应满足2sin x－1≥0，
1
即 sin x≥ .由 y＝sin x 在[0,2π]的图象，
【答案】
2
6．用“五点法”画出
7π
y＝cos 2 －x，x∈[0,2π]的简图．
【解】 由诱导公式得
7π
y＝cos 2 －x＝－sin
x，
(1)列表：
x
0
π
2
－sin x
0
－1
π
3π
2
2π
0
1
0
π
3π
(2)描点：在坐标系内描出点(0,0)，2，－1，(π，0)， 2 ，1，(2π，0)．
6 3 2
所对应的角的终边与单位圆的交点将圆周12等分，再按上述画点T（0 ，0 ）的
方法，就可画出自变量取这些值时对应的函数图象上的点（图5.4.2）．
事实上，利用信息技术，可使0 在区间［0,2π］上取到足够多的值而画出足够多的
点T（0 ，0 ）,将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 = ，
状就基本确定了．因此，在精确度要求不高时，常先找出这五个关键点，再用光滑的
曲线将它们连接起来，得到正弦函数的简图．这种近似的“五点（画图）法”是非常
实用的．由三角函数的定义可知，正弦函数、余弦函数是一对密切关联的函数．下面
我们利用这种关系，借助正弦函数的图象画出余弦函数的图象．
任意角三角函数的定义课件(共29张PPT)
调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
所以当α不变时，这三个比值 x , y , y ，不论点P在α的
rrx
终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，
数学
基础模块（上册）
第五章 三角函数
5.2.1任意角三角函数的定义
人民教育出版社
第五章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义
学习目标
知识目标 能力目标
理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数） 的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念
学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征， 明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学 运算能力
2
2
2
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
例3 求 5 正弦、余弦和正切值.
6
解 如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作
，
cos x 2 2 13 ，
r 13 13
tan
y x
3 2
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切值. （1）0；（2）π；（3） 3 .
5.2.1 三角函数的概念-(新教材人教版必修第一册)(36张PPT)
第二 阶段
课堂探究评价
关键能力 素养提升
类型一：利用三角函数的定义求三角函数值
典例示范
【例 1】 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3)(x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解：由题意知 r＝|OP|＝ x2＋9，由三角函数定义得 cos θ＝xr＝
x x2＋9.
cos cos
xx＋ttaann
xx＝－2；
当
x
是第三象限角时，cos
x＝－cos
x，tan
x＝tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0；
当
x
是第四象限角时，cos
x＝cos
x，tan
x＝－tan
x，∴y＝ccooss
x
x
＋ttaann xx＝0. 故所求函数的值域为{－2,0,2}．
类型三：诱导公式一的应用
典例示范
【例 5】计算下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)·sin 750°； (2)sin－116π＋cos152π·tan 4π.
解 ： (1) 原 式 ＝ sin( － 4×360°＋ 45°)cos(3×360°＋ 30°) ＋ cos( －
(1)sin 3，cos 4，tan 5；
(2)sin(cos θ)(θ 为第二象限角)． 解：(1)∵π2<3<π<4<32π<5<2π， ∴3,4,5 分别在第二、三、四象限， ∴sin 3>0，cos 4<0，tan 5<0. (2)∵θ 是第二象限角， ∴－π2<－1<cos θ<0，∴sin(cos θ)<0.
人教版高中数学必修1《三角函数的概念》PPT课件
• [方法技巧]
• 有关三角函数值符号问题的解题策略
• (1)已知角α的三角函数值(sin α，cos α，tan α)中任意两 个的符号，可分别确定出角α终边所在的可能位置，二者的 公共部分即角α的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情 况．
• (2)对于多个三角函数值符号的判断问题，要进行分类讨 论．
()
• A．第一象限 二象限
B．第
• C．第三象限
D．第四象限
• (2)判断下列各式的符号：
• ①sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°；
• ②tan 191°－cos 191°；
• ③sin 2cos 3tan 4.
• [解析] (1)由点P(sin θ，sin θcos θ)位于第二象限，
则 sin θ＋tan θ＝3 1100＋30；
当 θ 为第二象限角时，sin θ＝31010，tan θ＝－3，
则 sin θ＋tan θ＝3
10－30 10 .
(2)直线 3x＋y＝0，即 y＝－ 3x 经过第二、四象限． 在第二象限取直线上的点(－1， 3)， 则 r＝ －12＋ 32＝2， 所以 sin α＝ 23，cos α＝－12，tan α＝－ 3； 在第四象限取直线上的点(1，－ 3)， 则 r＝ 12＋－ 32＝2， 所以 sin α＝－ 23，cos α＝12，tan α＝－ 3.
• 可得sin θ＜0，sin θcos θ＞0，可得sin θ＜0，cos θ＜0，
• 所以角θ所在的象限是第三象限．
答案：C (2)①∵2 020°＝1 800°＋220°＝5×360°＋220°， 2 021°＝5×360°＋221°，2 022°＝5×360°＋222°， ∴它们都是第三象限角，∴sin 2 020°<0，cos 2 021°<0，tan 2 022°>0， ∴sin 2 020°cos 2 021°tan 2 022°>0. ②∵191°角是第三象限角，∴tan 191°>0，cos 191°<0， ∴tan 191°－cos 191°>0. ③∵π2<2<π，π2<3<π，π<4<32π， ∴2 是第二象限角，3 是第二象限角，4 是第三象限角， ∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0，∴sin 2cos 3tan 4<0.
三角函数的概念 课件PPT
如图，点P是齿轮上任意一点， 做圆周运动，那么如何刻画点P 的位置变化呢？
创设情境
y
·P
· · O
Ax
新知探究
1 已知∠α的度数，如何求角的终边与单位圆交点P的坐标？
y
Mx
2 计算：当∠α变化的时候，点P的坐标情况
y
M
x
y
M
x
3 思考：任意给定一个角，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
tanα对应的函数值分别等于什么？
y
α
M M0
O
x
·P0x0, y0 Px, y
三角函数定义的推广：
课堂检测
当角确定时，点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的 点P的横坐标x、纵坐标y都是关于∠α的函数
知识梳理
正切函数 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
知识梳理
三角函数都是以角为自变量，以单位圆上点的
坐标或坐标的比值为函数值的函数。
角
实数 (角的弧度)
三角 函数值
思考：在初中我们学习了锐角三角函数，知道它们以锐角为 自变量，以比值为函数值的函数。与按本节三角函数定义求 得的三角函数值相等吗？
y
B
O
C A1,0 x
例1.求 5 的正弦、余弦和正切值．
3
解：在直角坐标系中，如图所示作A∠OB 5
。
3
可知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为
1 2
，
3 2
所以
sin 5 3
3
2
cos5 1
32
tan 5 3
3
y
5பைடு நூலகம்
3
O
Ax
B
常见角的三角函数值
创设情境
y
·P
· · O
Ax
新知探究
1 已知∠α的度数，如何求角的终边与单位圆交点P的坐标？
y
Mx
2 计算：当∠α变化的时候，点P的坐标情况
y
M
x
y
M
x
3 思考：任意给定一个角，它的终边与单位圆交点P的坐标能唯一确定吗？
tanα对应的函数值分别等于什么？
y
α
M M0
O
x
·P0x0, y0 Px, y
三角函数定义的推广：
课堂检测
当角确定时，点P的横坐标和纵坐标都是唯一确定的 点P的横坐标x、纵坐标y都是关于∠α的函数
知识梳理
正切函数 正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.
知识梳理
三角函数都是以角为自变量，以单位圆上点的
坐标或坐标的比值为函数值的函数。
角
实数 (角的弧度)
三角 函数值
思考：在初中我们学习了锐角三角函数，知道它们以锐角为 自变量，以比值为函数值的函数。与按本节三角函数定义求 得的三角函数值相等吗？
y
B
O
C A1,0 x
例1.求 5 的正弦、余弦和正切值．
3
解：在直角坐标系中，如图所示作A∠OB 5
。
3
可知∠AOB的终边与单位圆的交点坐标为
1 2
，
3 2
所以
sin 5 3
3
2
cos5 1
32
tan 5 3
3
y
5பைடு நூலகம்
3
O
Ax
B
常见角的三角函数值
高中数学第一章三角函数1.2.1.1三角函数的定义省公开课一等奖新名师优质课获奖PPT课件
探究二
探究三
(1)解析:依题意,x2+
5
3
2
3
α=± ,tan α=
2
3
答案:
5
±3
5
±3
思维辨析
2 2
=1,解得
3
5
x=± 3 ,于是
2
sin α=3,cos
2 5
.
5
=±
2 5
5
±
(2) 解析:由已知得 x=-6,y=8,
8
10
所以 r= 2 + 2 =10,于是 sin θ=
8
-6
4
4
一
二
三
3.做一做:求值
(1)sin 780°;
25
(2)cos 4 π;
(3)tan
15
-4π
.
3
2
解:(1)sin 780°=sin(2×360°+60°)=sin 60°= .
25
π
π
2
(2)cos 4 π=cos 3 × 2π + 4 =cos4 = 2 .
15
π
π
(3)tan - 4 π =tan -2 × 2π + 4 =tan4=1.
第27页
探究一
探究二
探究三
思维辨析
忽视对参数的分类讨论致误
【典例】 角 α 的终边过点 P(-3a,4a),a≠0,则 cos
α=
.
错解因为 x=-3a,y=4a,所以 r= (-3)2 + (4)2 =5a,于是 cos
-3 3
α= 5 =-5.
错解错在什么地方?你能发现吗?怎样避免这类错误呢?
任意角的三角函数PPT课件
当角 的终边在 轴上时，正弦线、正切线分别 变成一个点；
这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．
当角 的终边在 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
三角函数的一种几何表示
尊若片天率怔威芋耸眉夸猜柜黍行器摧躇除肮石介桓傻咋但甚展泻殊埋谤任意角的三角函数PPT课件任意角的三角函数PPT课件
于是, θ为第三象限角
蔑少低猛交螟质沃檄响体统氦假苹怪汝美皱躬屠秦踌酿摊占苇黎瓷僵扼豫任意角的三角函数PPT课件任意角的三角函数PPT课件
例5 求下列三角函数值
(1) cos(9π/4)
(2)tan(－11π/6)
解:
cos(9π/4)= cos(π/4+2π)= cosπ/4=
tan(－11π/6)= tan(π/6－2π)= tanπ/6=
sin(α+k*360)=sinα
cos(α+k*360)=cosα
tan(α+k*360)=tanα
k∈z
公式一
终边相同角的同一三角函数值相等
公式作用:
把求任意角的三角函数转化为求0°~360°角的三角函数
(3) tan(－672 °)
(4)tan(11π/3)
因为tan(－672 °)=tan(48－2*360 °)=tan48 °
解:
“ ” 证明必要性
显然成立 ;
“ ” 证明充分性
因为①式 sinθ<0成立,
所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴负半轴上;
因为②式 tanθ>0 成立,
所以θ角的终边可能位于第一或第三象限;
因为①式 ②式 都成立, 所以θ角的终边只能位于第三象限;
这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线．
当角 的终边在 轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．
三角函数的一种几何表示
尊若片天率怔威芋耸眉夸猜柜黍行器摧躇除肮石介桓傻咋但甚展泻殊埋谤任意角的三角函数PPT课件任意角的三角函数PPT课件
于是, θ为第三象限角
蔑少低猛交螟质沃檄响体统氦假苹怪汝美皱躬屠秦踌酿摊占苇黎瓷僵扼豫任意角的三角函数PPT课件任意角的三角函数PPT课件
例5 求下列三角函数值
(1) cos(9π/4)
(2)tan(－11π/6)
解:
cos(9π/4)= cos(π/4+2π)= cosπ/4=
tan(－11π/6)= tan(π/6－2π)= tanπ/6=
sin(α+k*360)=sinα
cos(α+k*360)=cosα
tan(α+k*360)=tanα
k∈z
公式一
终边相同角的同一三角函数值相等
公式作用:
把求任意角的三角函数转化为求0°~360°角的三角函数
(3) tan(－672 °)
(4)tan(11π/3)
因为tan(－672 °)=tan(48－2*360 °)=tan48 °
解:
“ ” 证明必要性
显然成立 ;
“ ” 证明充分性
因为①式 sinθ<0成立,
所以θ角的终边可能位于第三或第四象限,也可能位于y轴负半轴上;
因为②式 tanθ>0 成立,
所以θ角的终边可能位于第一或第三象限;
因为①式 ②式 都成立, 所以θ角的终边只能位于第三象限;
人教A版必修第一册第五章三角函数5.2三角函数的概念-课件
研究：变量 x, y 与 的关系.
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
M
问题 2: 如何求角 终边与单位圆的交点P的坐标呢？
追问1：如何研究一般性问题？
不妨设 ，此时点P在第一象限, 过点 P作 PM x轴于M ,
3
在RtOMP中,可得OM 1 ,PM 3 ,
2
2
即x 1,y 3,
2
2
M
所以点
P的坐标为
1 2
,
3 2
三角函数的概念
问题引入
问题：匀速圆周运动是现实生活中周期现象的代表，在前面的 学习中，我们知道函数是描述客观世界变化规律的重要数学模 型，那么匀速圆周运动的运动规律该用什么函数模型刻画呢？
任务：建立一个函数模型，刻画点 P 的位置变化情况
新课学习
如图，以单位圆的圆心O 为坐标原点，以射线OA为 x轴的非负半轴，建立直角坐标系 xOy，点 A的坐标是
正切函数的定义域为 x
x
2
k, k
Z.
追问3： 这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢?
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函 数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边 为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义. 此 时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意 角的三角函数值可以是负数.
把点 P的纵坐标与横坐标的比值 y 叫做 的正切函数，
x
记做tan ，即 y tan x 0.
x
问题3: 正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
实数 (弧度)对应于点P的纵坐标 y——正弦函数； 实数 (弧度)对应于点P的横坐标 x——余弦函数；
当 kk Z 时，角 的终边在 y轴上，这时点P的
三角函数的概念 课件(39张)
tan cos = × +1× = .
数学
方法总结
诱导公式一的实质是:终边相同的角,其同名三角函数的值相等.因为这些
角的终边都是同一条射线,根据三角函数的定义可知这些角的三角函数值
相等.其作用是可以把任意角转化为0°～360°之间的角.
因为 a<0,所以 a=- ,所以 P 点的坐标为( ,- ),
所以 sin α=- ,cos α= ,
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
数学
[变式训练1-1] 若将本例中“a<0”删掉,其他条件不变,结果又是什么?
解:因为点 P 在单位圆上,则|OP|=1,即 (-) + () =1,解得 a=± .
②若 a<0,则 r=-5a,且 sin α=
-
-
-
=- ,cos α=
所以 sin α+2cos α=- +2× = .
= .
数学
方法总结
由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值
(1)已知角α的终边在直线上时,常用的解题方法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后再利用正弦函数、余
弦函数、正切函数的定义求出相应三角函数值.
②在α的终边上任选一点 P(x,y),P 到原点的距离为 r(r>0),则 sin α= ,
三角函数定义课件(角度、弧度及基本关系式)
倍角公式
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
$sin 2theta = 2sin theta cos theta$
半角公式
$sin frac{theta}{2} = pm sqrt{frac{1-cos theta}{2}}$
03 弧度制下三角函数关系式
弧长与圆心角关系
弧长公式
$l = rtheta$，其中 $l$ 是弧长，$r$ 是半径，$theta$ 是圆心角的弧度。
正切函数 $tan x$
定义域为 $x neq frac{pi}{2} + kpi, k in Z$，值域为全体实数 $R$。
弧度制下三角函数图像变换
01
平移变换
02
伸缩变换
函数 $y = Asin(omega x + varphi)$ 或 $y = Acos(omega x + varphi)$ 的图像可以通过平移 $varphi$ 个单 位得到。
最值问题和极值点求解
最值问题
余弦函数的最大值为1，最小值为-1。
正弦函数在 $x = frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最大值，在 $x = -frac{pi}{2} + 2kpi$（$k in mathbb{Z}$）处取得最小值。
正弦函数的最大值为1，最小值为-1。
3
记忆常用弧度的角度值
与角度转弧度类似，也可以记忆一些常用弧度的 角度值。
转换过程中注意事项和技巧
保持单位一致
在进行角度和弧度转换时，要确保所使用的单位是一致的，避免出 现混淆。
注意精度问题
由于π是一个无理数，因此在转换过程中可能会遇到精度问题。在 需要高精度计算时，可以使用专门的数学软件或库来进行转换。
高中数学课件三角函数ppt课件完整版
高中数学课件三角函数ppt课件完整版目录•三角函数基本概念与性质•三角函数诱导公式与恒等式•三角函数的加减乘除运算•三角函数在解三角形中的应用•三角函数在数列和概率统计中的应用•总结回顾与拓展延伸PART01三角函数基本概念与性质三角函数的定义及性质三角函数的定义正弦、余弦、正切等函数在直角三角形中的定义及在各象限的性质。
特殊角的三角函数值0°、30°、45°、60°、90°等特殊角度下各三角函数的值。
诱导公式利用周期性、奇偶性等性质推导出的三角函数诱导公式。
正弦、余弦函数的图像及其特点，如振幅、周期、相位等。
三角函数图像周期性图像变换正弦、余弦函数的周期性及其性质，如最小正周期等。
通过平移、伸缩等变换得到其他三角函数的图像。
030201三角函数图像与周期性正弦、余弦函数的值域为[-1,1]，正切函数的值域为R 。
值域在各象限内，正弦、余弦函数的单调性及其变化规律。
单调性利用三角函数的性质求最值，如振幅、周期等参数对最值的影响。
最值问题三角函数值域和单调性PART02三角函数诱导公式与恒等式诱导公式及其应用诱导公式的基本形式01通过角度的加减、倍角、半角等关系，将任意角的三角函数值转化为基本角度（如0°、30°、45°、60°、90°）的三角函数值。
诱导公式的推导02利用三角函数的周期性、对称性、奇偶性等性质，通过逻辑推理和数学归纳法等方法推导出诱导公式。
诱导公式的应用03在解三角函数的方程、求三角函数的值、证明三角恒等式等方面有广泛应用。
例如，利用诱导公式可以简化计算过程，提高解题效率。
恒等式及其证明方法恒等式的基本形式两个解析式之间的一种等价关系，即对于某个变量或一组变量的取值范围内，无论这些变量取何值，等式都成立。
恒等式的证明方法通常采用代数法、几何法或三角法等方法进行证明。
其中，代数法是通过代数运算和变换来证明恒等式；几何法是通过几何图形的性质和关系来证明恒等式；三角法是通过三角函数的性质和关系来证明恒等式。
三角函数的概念课件-2024-2025学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
√
A. −
5
5
2 5
B.−
5
2 5
C.
5
5
5
√
D.
(2)若角的终边经过点ሺ−5，12ሻ，则sin＋tan等于（
A.
7
13
√
B.−
96
65
C.−
181
65
）
69
65
D.
(3)已知角的终边经过点 2 + 1， − 2 ，且cos =
√
B.cos =
5
5
√
C.sincos < 0
3
C.−
3
√
2 2
D.
3
探究
初中我们也学习了锐角三角函数，它们是以锐角为自变
量，以比值为函数值的函数，请问按照本节课求得的三角
函数值与初中的学习的锐角三角函数值的求解结果矛盾吗？
由此谈谈你的体会.
如果所取的点不是终边与单位圆的交点呢？角的三角函数
值又该如何求解呢？
例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原
D.第四象限
的值可能为(
)
D. −1
√
C. 1
(3)点ሺcos2023°，tan8ሻ在平面直角坐标系中位于(
√
C.第三象限
)
)
D.第四象限
1.三角函数的概念（第一定义和第二定义）
2.三角函数值在各象限的符号
3.诱导公式一
π
2
对于确定的角 ≠ + π， ∈ ，以为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横
坐标的比值为函数值的函数，称为正切函数.
我们把正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数.，通常将它们记为：
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2.函数 ytaxncox的t 定义域是（ ）．
AC．．xx xx R R ， ， x x k 2， ， k x Z DB．． xxxx R R ， ， xxk2k， k2 ， Zk Z
（3）若 sin m3 ，cos 42m 都有意义，则
m5
m5
m________
例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的 六个三角函数值。
解：因为x=2，y=－3，所以 r 13
sα=
y 3 x2
secα= r 1 3
x2
cosα= cotα=
x 2 13 r 13 x 2 y3
cscα=
r y
13 3
变式1：已知角α的终边过点P（2a，－3a）(a<0)， 求α的六个三角函数值。
例2. 求下列各角六个三角函数值： （1）0；（2）π；（3） 3
(D)不确定
5.若sinθ·cosθ＞0, 则θ是第 一、象三限的角
6.已知P(－2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= － ,求co5s5θ的值. 解：∵P(－2, y)是角θ终边上一点, r= 4 y 2
sin y 5 解得y=－1.
4 y2
5
所以cosθ= － 2 5 . 5
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
b
Oa M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
b
Oa M y
x
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 :
OM a
sin MPb
OP r
MP b OP r a 2 b 2
sin y cos x tan y
r
r
x
o
x
cot x
y
sec r x
csc r
y
y
y
y
（ ） （ ）（ ） （ ） （ ）
o
x
o
x
o
x
（ ）（ ）
sin
（ c）o （s）
（ t）a（n ）
练习： 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(672)（3）sin
解：（1）因为
4
250 是第三象限角，所以co2s5 00；
（2）因为 tan(672) = ta 4 n 8 2 ( 3 6 ) t0 a 4 n ，8
而 48是第一象限角，所以 ta n6(7)20；
（3）因为
4
是第四象限角，所以
sin
4
0
.
练习 确定下列三角函数值的符号
cos 16
反过来请同学们自己证明.
例5.若三角形的两内角，满足sincos<0， 则此三角形必为（ B ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能
例6.已知 1 sin 2 1 ，则为第几象限角？
解：因为
2
1
sin
2
1，所以sin2
>0,
2
则2kπ<2<2kπ+π, kπ<<kπ+
2
变式：角的终边在直线 y 2x上，求
的六个三角函数值．
例3. 角α的终边过点P(－b，4)，且cosα=
3 5
则b的值是（ A ）
（A）3 （B）－3 （C）±3 （D）5
解：r= b 2 16
cosα=
x r
b 3 b2 16 5
解得b=3.
探究： 三角函数值在各象限的符号
P(x,y)
sin( 4 )
5
3
tan(17 )
8
例4 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角. sin 0 ①
tan
0
②
证明：
因为①式sin0成立,所以 角的终边可能位于第三
或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式tan0 成立，所以角 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
2
所以是第一或第三象限角.
练习
1.函数y=
| sin x | sin x
+ cos x
|cos x |
+
|
ta n ta n
x x
| 的值域是
(C
)
(A) {－1，1}
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( ) C
P(x,y)
sin y
r
o x cot
比值不随P点位置的改变而改变
x y
cos x
r sec r
x
tan y
x
csc r
y
三角函数
sin
cos tan,sec
cot,csc
定义域
R R
{|k,kZ}
2
{|k,k Z}
三角函数的定义
1.若角终边上有一点P3， 0，则下列函数值不存在
的是（ ）．
A．sin B．cos C．tan D．cot
(A) 2
5
(C) 2
5
或－2
5
(B) － 2
5
(D) 不确定
3. 设A是第三象限角，且|sin A |= －sin A ,则
2
2
A 2
是(D
)
(A)第一象限角
(B) 第二象限角
(C)第三象限角
(D) 第四象限角
4. sin2·cos3·tan4的值 ( B )
(A)大于0
(B)小于0
(C)等于0
co s OMa
OP r
y
﹒Pa,b
tan MPb
OM a
o
﹒ Mx
诱思 探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
OMP∽ OMP
sin MP
OP
M P OP
cos OM OM
x
OP O P
tan MP M P
OM O M
任意角的三角函数 :
y
r
叫做角α的正弦，
y
记作x si叫nα做，角即α的sin余α=弦，r；
y
记记作r作xy tc叫aons做αα，角,即即αc的otsa正αn=α切= ，rx；xy
P
r
yA
m
xl O
x
它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。
终边相同的角，三角函数值分别相等。
角α的其他三种函数：
角α的正割：
sec 1 cos
r x
角α的余割：
csc
1
sin
r y
角α的余切：
cot 1 x tan y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看 成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种 函数统称三角函数．
三角函数的定义
实数 →角（其弧度数等于这个实数） →三角函数值（实数）
下面我们研究这些三角函数的定义域：
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan