三角函数的定义 ppt课件

1.2.1任意角的三角函数
复习回顾
在初中我们是如何定义锐角三角函数的？
P c
b
Oa M
b
sin c
a
cos c
b
tan a
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
P
b
Oa M y
x
新课 导入
1.在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
其中 :
OM a
sin MPb
OP r
MP b OP r a 2 b 2
y
r
叫做角α的正弦，
y
记作x si叫nα做，角即α的sin余α=弦，r；
y
记记作r作xy tc叫aons做αα，角,即即αc的otsa正αn=α切= ，rx；xy
P
r
yA
m
xl O
x
它们只依赖于α的大小，与点P在α终边上的位置无关。
终边相同的角，三角函数值分别相等。
角α的其他三种函数：
角α的正割：
反过来请同学们自己证明.
例5.若三角形的两内角，满足sincos<0， 则此三角形必为（ B ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上三种情况都可能
例6.已知 1 sin 2 1 ，则为第几象限角？
解：因为
2
1
sin
2
1，所以sin2
>0,
2
则2kπ<2<2kπ+π, kπ<<kπ+
co s OMa
OP r
y
﹒Pa,b
tan MPb
OM a
o
﹒ Mx
诱思 探究
如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
y
P
﹒ P(a,b)
O
M M
OMP∽ OMP
sin MP
OP
M P OP
cos OM OM
x
OP O P
tan MP M P
OM O M
任意角的三角函数 :
2.函数 ytaxncox的t 定义域是（ ）．
AC．．xx xx R R ， ， x x k 2， ， k x Z DB．． xxxx R R ， ， xxk2k， k2 ， Zk Z
（3）若 sin m3 ，cos 42m 都有意义，则
m5
m5
m________
例1.已知角α的终边过点P（2，－3），求α的 六个三角函数值。
sec 1 cos
r x
角α的余割：
csc
1
sin
r y
角α的余切：
cot 1 x tan y
我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看 成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种 函数统称三角函数．
三角函数的定义
实数 →角（其弧度数等于这个实数） →三角函数值（实数）
下面我们研究这些三角函数的定义域：
2
所以是第一或第三象限角.
练习
1.函数y=
| sin x | sin x
+ cos x
|cos x |
+
|
ta n ta n
x x
| 的值域是
(C
)
(A) {－1，1}
(B) {－1，1，3}
(C) {－1，3}
(D) {1，3}
2.已知角θ的终边上有一点P(－4a, 3a)(a≠0),则
2sinθ+cosθ的值是 ( ) C
2
变式：角的终边在直线 y 2x上，求
的六个三角函数值．
例3. 角α的终边过点P(－b，4)，且cosα=
3 5
则b的值是（ A ）
（A）3 （B）－3 （C）±3 （D）5
解：r= b 2 16
cosα=
x r
b 3 b2 16 5
解得b=3.
探究： 三角函数值在各象限的符号
P(x,y)
sin y cos x tan y
r
r
x
o
x
cot x
y
sec r x
csc r
y
y
y
y
（ ） （ ）（ ） （ ） （ ）
o
x
o
x
o
x
（ ）（ ）
sin
（ c）o （s）
（ t）a（n ）
练习： 确定下列三角函数值的符号：
（1）co2s50（2）tan(672)（3）sin
sin( 4 )
5
3
tan(17 )
8
例4 求证：当且仅当下列不等式组成立时，
角 为第三象限角. sin 0 ①
tan
0
②
证明：
因为①式sin0成立,所以 角的终边可能位于第三
或第四象限，也可能位于y 轴的非正半轴上；
又因为②式tan0 成立，所以角 的终边可能位于
第一或第三象限.
因为①②式都成立，所以角 的终边只能位于第三象限. 于是角 为第三象限角.
(D)不确定
5.若sinθ·cosθ＞0, 则θ是第 一、象三限的角
6.已知P(－2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= － ,求co5s5θ的值. 解：∵P(－2, y)是角θ终边上一点, r= 4 y 2
sin y 5 解得y=－1.
4 y2
5
所以cosθ= － 2 5 . 5
如果两个角的终边相同，那么这两个角的
解：因为x=2，y=－3，所以 r 13
sinα=
y 3 13
r
13
tanα=
y 3 x2
secα= r 1 3
x2
cosα= cotα=
x 2 13 r 13 x 2 y3
cscα=
r y
13 3
变式1：已知角α的终边过点P（2a，－3a）(a<0)， 求α的六个三角函数值。
例2. 求下列各角六个三角函数值： （1）0；（2）π；（3） 3
解：（1）因为
4
250 是第三象限角，所以co2s5 00；
（2）因为 tan(672) = ta 4 n 8 2 ( 3 6 ) t0 a 4 n ，8
而 48是第一象限角，所以 ta n6(7)20；
（3）因为
4
是第四象限角，所以
sin
4
0
.
练习 确定下列三角函数值的符号
cos 16
P(x,y)
sin y
r
o x cot
比值不随P点位置的改变而改变
x y
cos x
r sec r
x
tan y
x
百度文库csc r
y
三角函数
sin
cos tan,sec
cot,csc
定义域
R R
{|k,kZ}
2
{|k,k Z}
三角函数的定义
1.若角终边上有一点P3， 0，则下列函数值不存在
的是（ ）．
A．sin B．cos C．tan D．cot
(A) 2
5
(C) 2
5
或－2
5
(B) － 2
5
(D) 不确定
3. 设A是第三象限角，且|sin A |= －sin A ,则
2
2
A 2
是(D
)
(A)第一象限角
(B) 第二象限角
(C)第三象限角
(D) 第四象限角
4. sin2·cos3·tan4的值 ( B )
(A)大于0
(B)小于0
(C)等于0
？ 同一三角函数值有何关系？
终边相同的角的同一三角函数值相等（公式一）
sin( k 2) sin cos( k 2) cos tan( k 2) tan