二次函数与abc关系

对称轴在y轴左侧
a、b同号
对称轴在y轴右侧
a、b异号
对称轴是y轴
b=0
（4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定
与x轴有两个交点 与x轴有一个交点 与x轴无交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点
为A(x1,0),B(x2,0);
y
a<0,
b<0,
c>0,
o
x
△>0.
练习
4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a>0,
b=0,
c>0,
o
x
△=0.
练习
5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a>0,
b=0,
c=0,
o
x
△=0.
练习
6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
练习
10、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③ 4a+2b+c ＞ 0；④（a+c）2＜b2，其中正确的个 数是 （ B ）
y
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
o
x
x=1 因为a+b+c>0所以b>-a-c两边同时平方
练习
11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中下不正确的是 （ D ）
(D )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
a <0,b >0,c >0
3.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c 和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( B )
4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值 y＜0时，对应的x取值范围 是 -3＜x＜1 .
A、abc＞0
B、b2-4ac＞0
y
C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x
二、典型例题分析
1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c，
且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( A )
A.b2-4ac＞0
B. b2-4ac=0
-1
C.b2-4ac＜0
D. b2-4ac≤0
2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示，则点M（b,c/a)在
(3) 3
2、已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总 有交点,并指出m为何值时,只有一个交点； (2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时 函数图像与x轴的另一个交点；
(1)( 3)若函数(m图像1)的2顶4点2在(m第四1)象(限m,求3)m2,的取值
外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面
与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点M
离墙1米，离地面40/3米，则水流落地点B离墙
的距离OB是 A.2米
( B)
B.3米
C.4米
D.5米
①抛物线顶点M（1,40/3) 与y轴交点A(0.10)
O
②求得抛物线解析式;
③求出抛物线与x轴的交点;
三、综合应用 能力提升
y
a<0,
b>0,
c<0,
o
x
△<0.
练习
7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所
示，则点M（ b ，a）在
c
（D ）
A、第一象限 B、第二象限 y
C、第三象限 D、第四象限
a<0,
b>0,
o
x
c>0,
练习
8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数
y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图
知识点三：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （5）a+b+c的符号：
由x=1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方
来自百度文库
a+b+c>0
点在x轴下方
a+b+c<0
点在x轴上
a+b+c=0
（6）a-b+c的符号：
由x=-1时抛物线上的点的位置确定
点在x轴上方 点在x轴下方 点在x轴上
a-b+c>0 a-b+c<0 a-b+c=0
象是图中y的（ C ）
y
o
x
（A） y
o
x
（B） y
o
x
（C）
o
x
（D）
练习
9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所 示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；
③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的
个数是 （ C ）
A、2个 B、3个
y
C、4个 D、5个
-1 o 1 x
例：根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式
（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3) 已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k ∵顶点是（1，2） ∴设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3） ∴a(2-1)2+2=3，∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3 （2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3） 已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2) 由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴设y=a(x-1)(x-3),过 （0，-3），∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3
C.2a+b＞0
D.4a-2b+c＜0
X= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b＞0
当x=-2时, y=4a-2b+c ＞0
10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两
个交点，则a的取值范围是 (D )
A.a＞0
B.a＞- 4/9
C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0
11.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向
8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的
图像如图，则不等式bx+a>0的
解为
(D )
A.x > a/b B.x > -a/b
C.x < a/b D.x < -a/b
a <0,b <0
9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，
那么下列判断不正确的有( D )
A.abc＞0
B. b2-4ac＞0
范无 围.论 m为何值时 0， .
抛物线 x轴与总有交点， ＝0时 且， 当m即 ＝3时
抛物线 x轴与只有一个 . 交点 (2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限
用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件 的特点选择合适的方法来求解
一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点 式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与x轴 两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称 轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条 件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后 组成三元一次方程组来求解。
6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 (C ) A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)
7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c
的图像如图，则下列a、b、
c间的关系判断正确的是D( )
A.ab < 0
B.bc < 0
C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 a <0,b <0,c <0
(3)已知二次函数的图像过（-1，2），（0，1），（2， -7）
已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c, 设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7）三点
a-b+c=0
∴
c=1
4a+2b+c=-7
a=-1 b=-2 c=1
y=-x2-2x+1
例：已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经 过点C（2，8）
二次函数 y=ax²+bx+c 的符
号问题
知识点一：
抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号： 由抛物线的开口方向确定
开口向上
a>0
开口向下
a<0
（2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定
与y轴的正半轴相交
c>0
与y轴的负半轴相交
c<0
经过坐标原点
c=0
（3）b的符号： 由对称轴的位置确定
练一练：
1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象 如图所示，下列结论中：①abc＞0； ②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ C ）
y
A、2个 B、3个
C、4个 D、5个
-1 o 1 x 4错
练一练：
2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如 图所示，下列结论中下正确的是（ D）
所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2）
例：如图，已知二次函数 yax24xc的图像经过点
A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其 中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称， 求m的值及点Q 到x轴的距离． y
（1）求该抛物线的解析式 （2）求该抛物线的顶点坐标
由已知，抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点，
得 解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c a=2
4a-2b+c=0
a+b+c=0
解这个方程组得，
b=2 C=-4
4a+2b+c=8
所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4 (2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2
-3
１
.-3
5、已知二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图所示，下列结论：
① a+b+c＜0，②a-b+c＞0；
③ abc＞0；④b=2a
中正确个数为
A.4个
B.3个
(A )
C.2个
D.1个
当x= 1时,y=a+b+c a <0,b <0,c>0
当x=-1时,y=a-b+c x=- b/2a=-1
A、abc＞0
y
B、b2-4ac＞0
C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0
-1 o 1 x
-b\2a<1,b>-2a,2a+b>0
1、抛物线y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则 m= 16 .
2、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上 则b= __0______
3、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线 x=2则b= __-_4_____
1、(青海省)如图所示，已知抛物线 y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0)，
B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作 直线，求此直线的解析式； (3)求△ABC的面积.
(1)y= -x2+4x-3
(2) y= x-3
那么AB=|x1-x2|=
Cy
|a |
x1
x2
o
x
知识点二：
1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴
上方的条件是什么？
a＞0
b2-4ac＜0
x
变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的值永远是正值的条件是什么？
你知道吗？不论x取何值时，函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非
负数的条件是什么？
例:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为
10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这
个二次函数的解析试.
解：设所求的为 二 ya次x2函 bx数 c,由题意得：
｛a b c 10 abc 4 4a 2b c 7
待定系数法
解得 a2 ,b ， 3 ,c5
所求的二次函 y数 2x2是 3x5
解得 去．
m11, m26
．∵m＞0，∴ m1 不1 合题意，舍
∴ m=6．
∵点P与点Q关于对称轴 x 2对称，
∴点Q到x轴的距离为6．
小结 抛物线y=ax2+bx+c的符号问题： （1）a的符号：由抛物线的开口方向确定 （2）C的符号：由抛物线与y轴的交点位置确定 （3）b的符号： 由对称轴的位置确定 （4）b2-4ac的符号：由抛物线与x轴的交点个数确定 （5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定
－1 O
3
A －1
x
－9
B
图13
解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 yax24xc
得 1a(1)24(1)c, 解得 9a3243c.
a c
1, 6.
∴二次函数的表达式为． yx2 4x6
x 2 （2）对称轴为
；顶点坐标为（2，-10）．
（3）将（m，m）代入 yx2 4x6，得 mm24m6，
a>0,b2-4ac≤0
知识点二：
2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条
件是什么？
a ＜ 0
x
b 2 4 ac ＜ 0
变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）
的值永远是负值的条件是什么？
你知道吗？不论x取何值时，函数
y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是 非正数的条件是什么？
练习
1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a>0,
b<0,
c>0,
o
x
△>0.
练习
2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：
y
a>0,
b>0,
c=0,
o
x
△>0.
练习
3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、 b、c、△的符号：