奥数数论：余数问题要点及解题技巧.doc

奥数数：余数要点及解技巧

一、基本概念：任意自然数a、b、 q、 r，如果使得 a

÷b=q⋯⋯ r，且 0 余数， q 叫做 a 除以 b 的不完全商。二、余数的性：

①余数小于除数。

②若 a、 b 除以 c 的余数相同，

③ a 与 b 的和除以 c 的余数等于

c|a-b 或 c|b-a。

a 除以 c 的余数加上 b

除以 c 的余数的和除以 c 的余数。

除以

④ a 与 b 的除以 c 的余数等于

c 的余数的除以 c 的余数。

a 除以 c 的余数与 b

三、同余的定：

①若两个整数a、b 除以 m 的余数相同，称a、b

于模 m 同余。

②已知三个整数 a、 b、m，如果 m|a-b，就称 a、 b 于模 m 同余，作 a≡ b(modm) ，作 a 同余于 b 模 m。

四、同余的性：

①自身性： a≡ a(modm)；

② 称性：若a≡ b(modm) ， b≡ a(modm) ；

③ 性：若a≡ b(modm) ，b≡ c(modm)， a≡

c(modm) ；

④和差性：若a≡ b(modm) ，c≡ d(modm) ， a+c≡

b+d(modm) ，a-c≡b-d(modm) ；

⑤相乘性：若a≡ b(modm) ，

c≡d(modm) ，则 a×c≡ b ×d(modm) ；

⑥乘方性：若a≡ b(modm) ，则 an≡ bn(modm) ；

⑦同倍性 :若 a≡ b(modm) ，整数 c，则 a× c≡ b×

c(modm× c)；

五、被 3、 9、 11 除后的余数特征：

①一个自然数M ， n 表示 M 的各个数位上数字的和，

则M ≡ n(mod9) 或（ mod3）；

②一个自然数M ， X 表示 M 的各个奇数位上数字的

和，Y 表示 M 的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M ≡11-（ X-Y ） (mod11) ；

六、费尔马小定理：

如果 p 是质数（素数），a 是自然数，且 a 不能被 p 整除，则 ap-1≡ 1(modp) 。