非欧几何

非欧几何
罗巴切夫斯基几何的公理系统和欧几里得几何不同的地方仅仅是把欧式几何平行公理用“在平面内，从直线外一点，至少可以做两条直线和这条直线平行”来代替，其他公理基本相同。

由于平行公理不同，经过演绎推理却引出了一连串和欧式几何内容不同的新的几何命题。

我们知道，罗氏几何除了一个平行公理之外采用了欧式几何的一切公理。

因此，凡是不涉及到平行公理的几何命题，在欧式几何中如果是正确的，在罗氏几何中也同样是正确的。

在欧式几何中，凡涉及到平行公理的命题，在罗氏几何中都不成立，他们都相应地含有新的意义。

下面举几个例子加以说明：
欧式几何：
同一直线的垂线和斜线相交。

垂直于同一直线的两条直线互相平行。

存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点可以做且仅能做一个圆。

罗氏几何：
同一直线的垂线和斜线不一定相交。

垂直于同一直线的两条直线，当两端延长的时候，离散到无穷。

不存在相似的多边形。

过不在同一直线上的三点，不一定能做一个圆。

从上面所列举得罗氏几何的一些命题可以看到，这些命题和我们所习惯的直观形象有矛盾。

所以罗氏几何中的一些几何事实没有像欧式几何那样容易被接受。

但是，数学家们经过研究，提出可以用我们习惯的欧式几何中的事实作一个直观“模型”来解释罗氏几何是正确的。

1868年，意大利数学家贝特拉米发表了一篇著名论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面（例如拟球曲面）上实现。

这就是说，非欧几何命题可以“翻译”成相应的欧几里得几何命题，如果欧几里得几何没有矛盾，非欧几何也就自然没有矛盾。

直到这时，长期无人问津的非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，罗巴切夫斯基的独创性研究也就由此得到学术界的高度评价和一致赞美，他本人则被人们赞誉为“几何学中的哥白尼”。

欧氏几何与罗氏几何中关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。

欧式几何讲“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”。

罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。

那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能做直线和已知直线平行”？黎曼几何就回答了这个问题。

黎曼几何是德国数学家黎曼创立的。

他在1851年所作的一篇论文《论几何学作为基础的假设》中明确的提出另一种几何学的存在，开创了几何学的一片新的广阔领域。

黎曼几何中的一条基本规定是：在同一平面内任何两条直线都有公共点(交点)。

在黎曼几何学中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的。

黎曼几何的模型是一个经过适当“改进”的球面。

近代黎曼几何在广义相对论里得到了重要的应用。

在物理学家爱因斯坦的广义相对论中的空间几何就是黎曼几何。

在广义相对论里，爱因斯坦放弃了关于时空均匀性的观念，他认为时空只是在充分小的空间里以一种近似性而均匀的，但是整个时空却是不均匀的。

在物理学中的这种解释，恰恰与黎曼几何的观念是相似的。

此外，黎曼几何在数学中也是一个重要的工具。

它不仅是微分几何的基础，也应用在微分方程、变分法和复变函数论等方面。