2020届山东省菏泽一中高三上学期第一次月考试题(解析版)
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A．已知 a ， b 均为非零向量，则 a / /b 存在唯-的实数 ，使得 b a
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B．若向量 AB ， CD 共线，则点 A ， B ， C ， D 必在同一直线上
C．若 a c b c 且 c 0 ，则 a b
D．若点 G 为 ABC 的重心，则 GA GB GC 0
7．一元二次函数 y ax2 bx c 的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（ ）
A． b 0,c 0
B． a b c 0 C． b c 0
D． bc 0
【答案】D
【解析】一元二次函数 y ax2 bx c 的图像的顶点在原点的充要条件为 b 0,c 0,
再利用定义法解决.
【详解】
若一元二次函数 y ax2 bx c 的图像的顶点在原点，则 b 0 ，且 c 2a
点在
0 ，所以顶
原点的充要条件是 b 0,c 0, 故 A 是充要条件，B、C 既不充分也不必要，D 是必要
条件，非充分条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查充分必要条件的应用，解决此类问题，通常有定义法、等价法、集合间的包含
A． 2
B． 2
C．0
【答案】D
【解析】直接利用共线向量的坐标运算求解即可．
【详解】
D． 2 或 2
向量 a =（1，m）， b =（m，2），若 a ∥ b ，
则 m2=2，
解得 m= 2 或 2 ．
故选 D． 【点睛】 本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查． 5．下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
22 2
2
【答案】（1， 2 1 ] 2
【解析】利用二倍角和辅助角化简，结合三角函数的性质即可求解 x∈（0， ）时，f 2
（x）的值域．
【详解】
函数 f（x）= 2 sin（x+ ）+ 1 ，
2
42
当 x∈（0， ）时，（x+ ）∈（ ， 3 ），∴sin（x+ ）∈（ 2 ，1]
2
4
12．函数 y f (x) 的导函数 y f (x) 的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A． 3 是函数 y f (x) 的极值点； B． 1是函数 y f (x) 的最小值点； C． y f (x) 在区间 (3,1) 上单调递增； D． y f (x) 在 x 0 处切线的斜率小于零.
A．
B．y=
C．
D．
【答案】A 【解析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】
函数
，
在区间
上单调递减，
函数
在区间
上单调递增，故选 A.
【点睛】 本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的 考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
第 2 页 共 14 页
6．已知 sin cos 2 ，则 sin 2 （ ） 3
m0 当 m 0 时，应满足： m2 8m 0 ，解得： 8 m 0，
综上，实数 m 的取值范围是 8,0 ，
本题选择 B 选项. 【点睛】 本题主要考查不等式恒成立的条件，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力.
二、多选题 10．下列关于平面向量的说法中不．正．确．的是（ ）
11．在 ABC 中，给出下列 4 个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 A B ，则 sin A sin B C．若 A B ，则 1 1
sin 2A sin 2B
【答案】ABD
B．若 sin A sin B 则 A B D．若 A B 则 cos2 A cos2 B
【解析】利用 A B a b ，再结合正弦定理即可判断 A、B 选项，C 选项举反例，
D 选项可由 A 选项和 cos2 sin2 1判断.
【详解】
由大角对大边知，若 A B ，则 a b ，由正弦定理得 2Rsin A 2Rsin B ，所以
sin A sin B ，
故 A 正确；同理 B 正确；当 A 120 ， B 30 时， 1 0 ， 1 0 ，故 C
2020 届山东省菏泽一中高三上学期第一次月考试题
一、单选题 1．已知集合 A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则 A∪B=
A．（–1，1）
B．（1，2）
C．（–1，+∞）
【答案】C
【解析】根据并集的求法直接求出结果.
【详解】
∵ A {x | 1 x 2}, B {x |1} ，
D．（1，+∞）
移 ( 0) 个单位后函数的解析式，根据题意，利用余弦型函数的性质求解即可.
【详解】
f (x) sin 2x cos 2x f (x) 2 cos(2x ) ，该函数求出向右平移 ( 0) 个 4
单位后得到新函数的解析式为：g(x) 2 cos[(2(x ) ] 2 cos(2x 2 ) ，
函数 y f (x) 在 (3，1) 上单调递增，则 1不是函数 y f (x) 的最小值点， 函数 y f (x) 在 x 0 处的导数大于 0，则 y f (x) 在 x 0 处切线的斜率大于零；
所以命题错误的选项为 BD, 故答案选 BD 【点睛】 本题主要考查导函数的图像与原函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值和切线的 斜率等有关知识，属于中档题。
A． 7 9
【答案】A
B． 2 9
C． 2 9
D． 7 9
【解析】将已知式平方后，再结合 sin 2 2sin cos 即可解决.
【详解】
由已知， (sin + cos )2 2 ，即1+2sin cos 2 ，解得 sin 2 7 .
9
9
9
故选：A.
【点睛】
本题考查已知三角函数式求三角函数值的问题，解这类题的关键是找到已知式与待求式 之间的联系与差异，本题是一道基础题.
【解析】试题分析：因为函数 f (x) 的定义域为 (1, 0) ，故函数 f (2x 1) 有意义只需
-1 2x 1 0 即可，解得 -1 x - 1 ，选 B． 2
【考点】1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．
4．已知向量 a =（1，m）， b =（m，2），若 a ∥ b ， 则实数 m 等于（ ）
4
4
由题意可知：函数 g(x) 2 cos(2x 2 ) 的图象关于 y 轴对称，所以有 4
2 k (k Z) k (k Z) 0当 k 1时， 有最小值，
4
28
最小值为 min
(1) 2
8
3 8
.
故选：B
【点睛】
本题考查了余弦型函数的图象平移，考查了余弦型函数的性质，考查了数学运算能力.
关系来判断，本题是一道基础题.
8．若将函数 f (x) sin 2x cos 2x 的图象向右平移 ( 0) 个单位，所得图象关于 y
轴对称，则 的最小值是（ ）
A． 8
B． 3 8
C． 4
D． 3 4
第 3 页 共 14 页
【答案】B 【解析】把函数的解析式利用辅助角公式化成余弦型函数解析式形式，然后求出向右平
通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单
问题出错，造成不必要的失分.
3．已知 f (x) 的定义域为 (1, 0) ，则函数 f (2x 1) 的定义域为 （ ）
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A． (1,1)
【答案】B
B． (1, 1 ) 2
C． (1, 0)
D． (1 ,1) 2
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三、填空题
13．设向量 a (1, t) ， b (1, 2) ，且| a b |2 | a |2 | b |2 ，则实数 t =_________.
【答案】 1 2
【解析】由已知可得 a b 0 ，根据向量数量积的定义和公式进行求解即可．
【详解】
由已知
2
ab
2
正确；
y
(1) 3
x
在在
R
上单调递减，所以当
a
b
时，有
1 3a
1 3b
，故④正确.
故答案为：③④.
【点睛】
本题考查不等式的性质及其应用，在判断与不等式有关的命题真假时，首先要与不等式
的性质联系起来，当然判断可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质，
本题是一道容易题.
【答案】BD 【解析】根据导函数图像可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点， 以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数值即为在该点处的斜率。 【详解】
根据导函数的图像可知当 x (, 3) 时， f (x) 0 ，在 x (3，1) 时， f (x) 0 ， 函数 y f (x) 在 (, 3) 上单调递减，函数 y f (x) 在 (3，1) 上单调递增，则 3 是 函数 y f (x) 的极值点，
b
2
a
2a b
a
2
2
b
ab
0
则由 a 1,t ， b 1, 2 ，可得 a b 1 2t 0,t 1 .
2 即答案为 1 .
2
【点睛】
本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的公式是解决本题的关键．比较基础．
14．函数 f（x）=sin x cos x +cos2 x ，当 x∈（0， π ）时，f（x）的值域为______．
对于选项 C， a c b c a b c 0 ，则 a b c ，不一定推出 a b ，故 C
错误；
对于选项 D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.
故选 BC
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的定义，考查了平行向量垂直的数量积关系，还
考查了平面向量中三角形重心的推论，属于中档题．
∴ A B (1, ) ，
故选 C.
【点睛】
考查并集的求法，属于基础题.
2．已知 a 2i b i ， a,b R ，其中 i 为虚数单位，则 a+b =（ ） i
A．-1
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】利用复数除法运算法则化简原式可得 2 ai b i ，再利用复数相等列方程求
44
4
2
那么 f（x）的值域为（1， 2 1 ]． 2
故答案：（1， 2 1 ]． 2
【点睛】 本题考查了二倍角和辅助角化简能力和值域的求法．属于基础题．
15．若非零实数 a, b 满足条件 a b ，则下列不等式一定成立的是__________① a2 b2 ；
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② ab b2 ；③ a3
sin 2A
sin 2B
错误；若 A B ，
则 sin A sin B ，sin2 A sin2 B ，即1 cos2 A 1 cos2 B ，所以 cos2 A cos2 B ，
第 5 页 共 14 页
故 D 正确. 故选：ABD. 【点睛】 本题考查正弦定理在比较大小中的应用，涉及到了大角对大边这一结论，在否定一个命 题是假命题时，只需举出反例即可，本题是一道基础题.
【答案】BC 【解析】利用向量共线的概念即可判断 A 正确，B 错误；利用向量垂直的数量积关系即 可判断 C 错误，利用三角形重心的结论即可判断 D 正确，问题得解. 【详解】 对于选项 A，由平面向量平行的推论可得其正确；
对于选项 B，向量 AB ， CD 共线，只需两向量方向相同或相反即可，点 A ， B ， C ， D 不必在同一直线上，故 B 错误；
出 a,b 的值，从而可得结果.
【详解】
因为
a 2i i
ai 2i2 i2
2 ai
bi
， a,b R ，
2 b b 2
所以
a
1
a
，则
1
a+b
1，故选
B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的
理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，
9．对任意的实数 x，不等式 mx2 mx 2 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． (8,0)
B． (8,0]
C．[8, 0]
D． [8, 0)
【答案】B
【解析】由题意分类讨论 m=0 和 m 0 两种情况即可求得实数 m 的取值范围.
【详解】
当 m 0时，不等式 mx2 mx 2 2 0 恒成立；
b3
；④
1 3a
1 3b
【答案】③④
【解析】①②可举特例 a 1,b 5判断；③④可利用函数单调性判断.
【详解】
当 a 1,b 5时，a b ，但 a2 b2 ，故①不正确；ab 5 ，b2 25，故②不正确；
由于 f (x) x3 在 R 上单调递增，所以当 a b 时，有 f (a) f (b) ，即 a3 b3 ，故③
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B．若向量 AB ， CD 共线，则点 A ， B ， C ， D 必在同一直线上
C．若 a c b c 且 c 0 ，则 a b
D．若点 G 为 ABC 的重心，则 GA GB GC 0
7．一元二次函数 y ax2 bx c 的图像的顶点在原点的必要不充分条件是（ ）
A． b 0,c 0
B． a b c 0 C． b c 0
D． bc 0
【答案】D
【解析】一元二次函数 y ax2 bx c 的图像的顶点在原点的充要条件为 b 0,c 0,
再利用定义法解决.
【详解】
若一元二次函数 y ax2 bx c 的图像的顶点在原点，则 b 0 ，且 c 2a
点在
0 ，所以顶
原点的充要条件是 b 0,c 0, 故 A 是充要条件，B、C 既不充分也不必要，D 是必要
条件，非充分条件.
故选：D.
【点睛】
本题考查充分必要条件的应用，解决此类问题，通常有定义法、等价法、集合间的包含
A． 2
B． 2
C．0
【答案】D
【解析】直接利用共线向量的坐标运算求解即可．
【详解】
D． 2 或 2
向量 a =（1，m）， b =（m，2），若 a ∥ b ，
则 m2=2，
解得 m= 2 或 2 ．
故选 D． 【点睛】 本题考查向量的坐标运算，共线向量的应用，基本知识的考查． 5．下列函数中，在区间（0，+ ）上单调递增的是
22 2
2
【答案】（1， 2 1 ] 2
【解析】利用二倍角和辅助角化简，结合三角函数的性质即可求解 x∈（0， ）时，f 2
（x）的值域．
【详解】
函数 f（x）= 2 sin（x+ ）+ 1 ，
2
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当 x∈（0， ）时，（x+ ）∈（ ， 3 ），∴sin（x+ ）∈（ 2 ，1]
2
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12．函数 y f (x) 的导函数 y f (x) 的图象如图所示，以下命题错误的是（ ）
A． 3 是函数 y f (x) 的极值点； B． 1是函数 y f (x) 的最小值点； C． y f (x) 在区间 (3,1) 上单调递增； D． y f (x) 在 x 0 处切线的斜率小于零.
A．
B．y=
C．
D．
【答案】A 【解析】由题意结合函数的解析式考查函数的单调性即可. 【详解】
函数
，
在区间
上单调递减，
函数
在区间
上单调递增，故选 A.
【点睛】 本题考查简单的指数函数、对数函数、幂函数的单调性，注重对重要知识、基础知识的 考查，蕴含数形结合思想，属于容易题.
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6．已知 sin cos 2 ，则 sin 2 （ ） 3
m0 当 m 0 时，应满足： m2 8m 0 ，解得： 8 m 0，
综上，实数 m 的取值范围是 8,0 ，
本题选择 B 选项. 【点睛】 本题主要考查不等式恒成立的条件，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化 能力和计算求解能力.
二、多选题 10．下列关于平面向量的说法中不．正．确．的是（ ）
11．在 ABC 中，给出下列 4 个命题，其中正确的命题是（ ）
A．若 A B ，则 sin A sin B C．若 A B ，则 1 1
sin 2A sin 2B
【答案】ABD
B．若 sin A sin B 则 A B D．若 A B 则 cos2 A cos2 B
【解析】利用 A B a b ，再结合正弦定理即可判断 A、B 选项，C 选项举反例，
D 选项可由 A 选项和 cos2 sin2 1判断.
【详解】
由大角对大边知，若 A B ，则 a b ，由正弦定理得 2Rsin A 2Rsin B ，所以
sin A sin B ，
故 A 正确；同理 B 正确；当 A 120 ， B 30 时， 1 0 ， 1 0 ，故 C
2020 届山东省菏泽一中高三上学期第一次月考试题
一、单选题 1．已知集合 A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则 A∪B=
A．（–1，1）
B．（1，2）
C．（–1，+∞）
【答案】C
【解析】根据并集的求法直接求出结果.
【详解】
∵ A {x | 1 x 2}, B {x |1} ，
D．（1，+∞）
移 ( 0) 个单位后函数的解析式，根据题意，利用余弦型函数的性质求解即可.
【详解】
f (x) sin 2x cos 2x f (x) 2 cos(2x ) ，该函数求出向右平移 ( 0) 个 4
单位后得到新函数的解析式为：g(x) 2 cos[(2(x ) ] 2 cos(2x 2 ) ，
函数 y f (x) 在 (3，1) 上单调递增，则 1不是函数 y f (x) 的最小值点， 函数 y f (x) 在 x 0 处的导数大于 0，则 y f (x) 在 x 0 处切线的斜率大于零；
所以命题错误的选项为 BD, 故答案选 BD 【点睛】 本题主要考查导函数的图像与原函数的性质的关系，以及函数的单调性、极值和切线的 斜率等有关知识，属于中档题。
A． 7 9
【答案】A
B． 2 9
C． 2 9
D． 7 9
【解析】将已知式平方后，再结合 sin 2 2sin cos 即可解决.
【详解】
由已知， (sin + cos )2 2 ，即1+2sin cos 2 ，解得 sin 2 7 .
9
9
9
故选：A.
【点睛】
本题考查已知三角函数式求三角函数值的问题，解这类题的关键是找到已知式与待求式 之间的联系与差异，本题是一道基础题.
【解析】试题分析：因为函数 f (x) 的定义域为 (1, 0) ，故函数 f (2x 1) 有意义只需
-1 2x 1 0 即可，解得 -1 x - 1 ，选 B． 2
【考点】1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．
4．已知向量 a =（1，m）， b =（m，2），若 a ∥ b ， 则实数 m 等于（ ）
4
4
由题意可知：函数 g(x) 2 cos(2x 2 ) 的图象关于 y 轴对称，所以有 4
2 k (k Z) k (k Z) 0当 k 1时， 有最小值，
4
28
最小值为 min
(1) 2
8
3 8
.
故选：B
【点睛】
本题考查了余弦型函数的图象平移，考查了余弦型函数的性质，考查了数学运算能力.
关系来判断，本题是一道基础题.
8．若将函数 f (x) sin 2x cos 2x 的图象向右平移 ( 0) 个单位，所得图象关于 y
轴对称，则 的最小值是（ ）
A． 8
B． 3 8
C． 4
D． 3 4
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【答案】B 【解析】把函数的解析式利用辅助角公式化成余弦型函数解析式形式，然后求出向右平
通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单
问题出错，造成不必要的失分.
3．已知 f (x) 的定义域为 (1, 0) ，则函数 f (2x 1) 的定义域为 （ ）
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A． (1,1)
【答案】B
B． (1, 1 ) 2
C． (1, 0)
D． (1 ,1) 2
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三、填空题
13．设向量 a (1, t) ， b (1, 2) ，且| a b |2 | a |2 | b |2 ，则实数 t =_________.
【答案】 1 2
【解析】由已知可得 a b 0 ，根据向量数量积的定义和公式进行求解即可．
【详解】
由已知
2
ab
2
正确；
y
(1) 3
x
在在
R
上单调递减，所以当
a
b
时，有
1 3a
1 3b
，故④正确.
故答案为：③④.
【点睛】
本题考查不等式的性质及其应用，在判断与不等式有关的命题真假时，首先要与不等式
的性质联系起来，当然判断可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质，
本题是一道容易题.
【答案】BD 【解析】根据导函数图像可判定导函数的符号，从而确定函数的单调性，得到极值点， 以及根据导数的几何意义可知在某点处的导数值即为在该点处的斜率。 【详解】
根据导函数的图像可知当 x (, 3) 时， f (x) 0 ，在 x (3，1) 时， f (x) 0 ， 函数 y f (x) 在 (, 3) 上单调递减，函数 y f (x) 在 (3，1) 上单调递增，则 3 是 函数 y f (x) 的极值点，
b
2
a
2a b
a
2
2
b
ab
0
则由 a 1,t ， b 1, 2 ，可得 a b 1 2t 0,t 1 .
2 即答案为 1 .
2
【点睛】
本题主要考查向量数量积的应用，根据向量数量积的公式是解决本题的关键．比较基础．
14．函数 f（x）=sin x cos x +cos2 x ，当 x∈（0， π ）时，f（x）的值域为______．
对于选项 C， a c b c a b c 0 ，则 a b c ，不一定推出 a b ，故 C
错误；
对于选项 D，由平面向量中三角形重心的推论可得其正确.
故选 BC
【点睛】
本题主要考查了平面向量共线（平行）的定义，考查了平行向量垂直的数量积关系，还
考查了平面向量中三角形重心的推论，属于中档题．
∴ A B (1, ) ，
故选 C.
【点睛】
考查并集的求法，属于基础题.
2．已知 a 2i b i ， a,b R ，其中 i 为虚数单位，则 a+b =（ ） i
A．-1
B．1
C．2
D．3
【答案】B
【解析】利用复数除法运算法则化简原式可得 2 ai b i ，再利用复数相等列方程求
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2
那么 f（x）的值域为（1， 2 1 ]． 2
故答案：（1， 2 1 ]． 2
【点睛】 本题考查了二倍角和辅助角化简能力和值域的求法．属于基础题．
15．若非零实数 a, b 满足条件 a b ，则下列不等式一定成立的是__________① a2 b2 ；
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② ab b2 ；③ a3
sin 2A
sin 2B
错误；若 A B ，
则 sin A sin B ，sin2 A sin2 B ，即1 cos2 A 1 cos2 B ，所以 cos2 A cos2 B ，
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故 D 正确. 故选：ABD. 【点睛】 本题考查正弦定理在比较大小中的应用，涉及到了大角对大边这一结论，在否定一个命 题是假命题时，只需举出反例即可，本题是一道基础题.
【答案】BC 【解析】利用向量共线的概念即可判断 A 正确，B 错误；利用向量垂直的数量积关系即 可判断 C 错误，利用三角形重心的结论即可判断 D 正确，问题得解. 【详解】 对于选项 A，由平面向量平行的推论可得其正确；
对于选项 B，向量 AB ， CD 共线，只需两向量方向相同或相反即可，点 A ， B ， C ， D 不必在同一直线上，故 B 错误；
出 a,b 的值，从而可得结果.
【详解】
因为
a 2i i
ai 2i2 i2
2 ai
bi
， a,b R ，
2 b b 2
所以
a
1
a
，则
1
a+b
1，故选
B.
【点睛】
复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的
理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，
9．对任意的实数 x，不等式 mx2 mx 2 0 恒成立，则实数 m 的取值范围是（ ）
A． (8,0)
B． (8,0]
C．[8, 0]
D． [8, 0)
【答案】B
【解析】由题意分类讨论 m=0 和 m 0 两种情况即可求得实数 m 的取值范围.
【详解】
当 m 0时，不等式 mx2 mx 2 2 0 恒成立；
b3
；④
1 3a
1 3b
【答案】③④
【解析】①②可举特例 a 1,b 5判断；③④可利用函数单调性判断.
【详解】
当 a 1,b 5时，a b ，但 a2 b2 ，故①不正确；ab 5 ，b2 25，故②不正确；
由于 f (x) x3 在 R 上单调递增，所以当 a b 时，有 f (a) f (b) ，即 a3 b3 ，故③