§23椭球面上大地坐标的计算
球面坐标方程公式
球面坐标方程公式球面坐标是空间中一种常见的坐标系，用来描述三维空间中的点。
在球面坐标系中，一个点由距离原点的距离（r）、与正Z轴的夹角（θ）和与正X轴的投影夹角（φ）这三个量来确定。
对于一个给定的三维点P(x, y, z)，我们可以用球面坐标系中的r、θ、φ来表示它。
这种转换关系可以通过球面坐标方程公式来描述。
球面坐标方程公式的基本形式球面坐标方程公式可表示为：$$ \\begin{cases} x = r \\cdot \\sin θ \\cdot \\cos φ \\\\ y = r \\cdot \\sin θ \\cdot \\sin φ \\\\ z = r \\cdot \\cos θ \\end{cases} $$其中r表示点P到原点的距离，θ表示点P与正Z轴之间的夹角，φ表示点P 在XY平面上的投影与正X轴的夹角。
球面坐标系与直角坐标系之间的转换要将球面坐标系中的点转换为直角坐标系中的点，我们可以使用球面坐标方程公式。
假设有一个球面坐标系中的点P(r,θ,φ)，首先我们根据公式计算出直角坐标系中的坐标(x,y,z)：$$ x = r \\cdot \\sin θ \\cdot \\cos φ \\\\ y = r \\cdot \\sin θ \\cdot \\sin φ \\\\ z = r \\cdot \\cos θ $$这样就可以将球面坐标系中的点P转换为直角坐标系中的点。
球面坐标系的应用球面坐标系在物理学、天文学等领域被广泛应用。
例如在天文学中，描述天体位置时通常使用球面坐标系。
在物理学中，电场、磁场等现象也可以通过球面坐标系来描述。
在工程学领域，球面坐标系也有着重要的应用。
例如在声学中描述声波传播方向时，使用球面坐标系可以更方便地进行计算和分析。
总的来说，球面坐标方程公式作为描述空间中点的一种坐标系统，具有广泛的应用领域和实际意义。
通过球面坐标系，我们可以更加便捷地描述和分析三维空间中的问题。
椭球坐标系
cos A sin A kA M N
因此，任意方向的曲率半径为：
2
2
1 MN RA k A N cos2 A M sin 2 A
当A为0，/2，， 3/2时，取得极值。
28
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 5）
(4). 平均曲率半径 定义：所有方向法截线曲率半径的平均值。
2
§2.2 地球椭球面的数学计算和有关计算
2.2.1 地球椭球的几何、物理元素
椭球方程： Z
X 2 Y2 Z2 2 2 1 2 a a b
a
扁率： a b O Y X 第一偏心率：
a 2 b2 E e 2 a a
第二偏心率：
a 2 b2 E e' 2 b b
kn kr cos B
平行圈半径为子午面XOZ 平面内的X坐标，即：
a rB X cos B W
则有，上述两式得卯酉曲率半径N为：
1 1 rB a N kn kr cos B cos B W
27
2.2.3 法截线曲率及曲率半径（续 4）
(3). 任意方向法截线的曲率半径 根据微分几何中的Euler公式，任意方向法截线 的曲率与子午、卯酉曲率半径的关系为：
23
2.2.3 法截线曲率及曲率半径
1、空间曲线的曲率几曲率半径 若以曲线的弧长s为参数，曲线上的点位用向量r(s)表示。 则曲线的曲率为：
k s s
c
d T s dr 2 s ds sc ds2 s
2
c
若以t参数，则曲线的曲率可表示为：
k t t
c
dr t dr t dt dt 2 t
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面P 角，叫做点的大地经度，由起始子午面起算，向东L P 为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o ～180°）。
点的法线与赤道面的夹角，叫做P Pn B 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬P （0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。
大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。
过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。
由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。
过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。
从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。
大地坐标坐标系中，点的位置用,表示。
如果点不在椭球面上，表示P L B 点的位置除,外，还要附加另一参数——大地高，L B H 它同正常高及正高有如下关系正常H 正H ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)()(大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心为原点，起始子午面与赤道面交O 线为轴，在赤道面上与轴正交的方向为轴，X X Y 椭球体的旋转轴为轴，构成右手坐标系-，Z O XYZ 在该坐标系中，点的位置用表示。
P Z Y X ,,地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。
6.2.3子午面直角坐标系 设点的大地经度为，在过点的子午面上，以P L P 子午圈椭圆中心为原点，建立平面直角坐标系。
第7章 椭球面上的测量计算
教材第六章“GPS卫星定位技术 将在另一门专业课中介绍） 卫星定位技术” （教材第六章“GPS卫星定位技术”将在另一门专业课中介绍）
§ 7-1 § 7-2 § 7-3 § 7-4 § 7-5 § 7-6 § 7-7 § 7-8
地球椭球的几何参数及其相互关系 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 椭球面上的几种曲率半径 椭球面上的弧长计算 大地线 将地面观测值归算至椭球面 大地测量主题解算简介（ 大地测量主题解算简介（*） 椭球面上三角形的解算（ 椭球面上三角形的解算（增加）
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。 • 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球 a
6378245 (m)
1975年国际椭球 年国际椭球
6378140（m） ）
WGS-84椭球 椭球
x=
a cos B 1 − e sin B
2 2
=
a cos B W
( 7 − 16 )
a b sin B 2 y = (1 − e ) sin B = W V
(7 − 17 )
设Pn = N，由右图可以看出： x＝NcosB (7-18) 比较(7-16)式，有：N＝a / W (7-19) 于是 y ＝ N(1－e2)sinB (7-20) 又由图可知：y＝PQsinB (7-21) 所以： PQ＝N(1－e2) (7-22) Qn＝N－PQ＝Ne2 (7-23) • 由(7-22) 、 (7-23)可知P点法线Pn在 赤道两侧的长度。
X = N cos B cos L Y = N cos B sin L Z = N (1 − e 2 ) sin B (7 − 25)
椭球基本知识
控制测量计算理论
六、地面观察值归算至椭球面
3、地面观察方向归算至椭球面 归算旳基本要求 地面观察方向归算至椭球面上有3个基本内容： 1) 将测站点铅垂线为基准旳地面观察方向换算成椭球面上以 法线方向为准旳观察方向； 2) 将照准点沿法线投影至椭球面，换算成椭球面上两点间旳 法截线方向； 3) 将椭球面上旳法截线方向换算成大地线方向。
H H正常 (高程异常)
H H正 N (大地水准面差距)
控制测量计算理论
一、常用旳四种坐标系
2、空间直角坐标系 以椭球中心O为原点，起始子午面与赤道面交线为X轴， 在赤道面上与X轴正交旳方向为Y轴，椭球体旳旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O-XYZ，在该坐标系中，P点旳位置 用X、Y、Z表达 。 空间直角坐标系旳坐标原点位于地球 质心（地心坐标系）或参照椭球中心（参 心坐标系），Z 轴指向地球北极，x 轴指 向起始子午面与地球赤道旳交点，y 轴垂 直于XOZ 面并构成右手坐标系。
4、平均曲率半径
在实际际工程应用中，根据测量工作旳精度要求，在一定范围内，把
椭球面当成具有合适半径旳球面。取过地面某点旳全部方向 RA 旳平均值
来作为这个球体旳半径是合适旳。这个球面旳半径——平均曲率半径R：
R MN 或
R b c N a (1 e2 ) W2 V2 V W2
所以，Ｒ等于该点子午圈曲率半径Ｍ和卯酉圈曲率半径Ｎ旳几何
控制测量计算理论
三、地球椭球及其定位
1、椭球旳几何参数及其关系
e2
a2 b2 a2
e'2
a2 b2 b2
1 e2
b2 a2
1 e2
椭球面上的测量计算
曲率半径
❖ 为在椭球面上进行控制测量计算，须了解椭球面上 有关曲线的性质。
❖ 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线， 包含这条法线的平面叫做法截面；法截面与椭球面 的交线叫法截弧（线）。
❖ 包含椭球面一点的法线可作无数个法截面，相应有 无数个法截弧。椭球面上法截线的曲率半径不同于 球面上的法截线（大圆弧）曲率半径（都等于圆球 的半径），而是不同方向的法截弧的曲率半径都不 相同。为此先研究子午线及卯酉线的曲率半径。
短轴的交点愈低，即法截线 偏上，而BbA偏下。由此A，aB现将
AB方向在不同象限时，正反法截线的关系表示为图：
控制LO测GO量
29
❖ 当A、B两点位于同一子午圈或同一平行圈上时，正反法截线 则合二为一。
控制LO测GO量
3
一、子午圈曲率半径（M）
❖ 在子午椭圆的一部分上取一微分弧长DK=dS，相应地有(子午 面直角坐标系)坐标增量dx，点n是微分弧dS的曲率中心，则 线段Dn及Kn即是子午圈曲率半径，用M表示。
控制LO测GO量
4
❖由平面曲线的曲率半径定义公式可得：
M dS dB
❖由微分三角形DKE可得：
取子午线上某微分弧, PP dx
令P点纬度为B,P’点纬度为B+dB,P点的 子午圈曲率半径为M,于是有
dx MdB
要计算从赤道开始到任意纬度B的子午线弧长,必须求出下列积分
值:
X
B
MdB
0
B 0
a(1 e2 ) W3
dB
a(1
e2 )
B (1 e2
0
sin 2
3
B) 2
dB
将积分因子按二项式定理展开为级数形式
椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式
椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式椭球面坐标是地球表面上的一种坐标系统, 它将地球视为一个近似椭球体, 提供了一种测量和计算地球上点的方法。
在实际的测量和定位任务中, 经常需要将椭球面坐标转换为其他坐标系统, 或者反过来。
这就需要使用一些转换方法和公式。
一、椭球面坐标系统椭球面坐标系统是大地测量学中常用的一种坐标系统。
它使用经度、纬度和高程来描述地球上的点。
其中，经度表示点在东西方向上的位置，纬度表示点在南北方向上的位置，而高程表示点相对于基准面的高度。
在椭球面坐标系统中，常用的参考椭球体包括WGS84、CGCS2000等。
二、椭球面坐标与地心坐标的转换将椭球面坐标转换为地心坐标是大地测量中常见的任务。
地心坐标是以地球质心为原点的坐标系统，它与椭球体的长短轴、扁率等参数有关。
在转换过程中，需要考虑到椭球体的参数，包括椭球体的半长轴a、扁率f等。
常用的转换方法包括勒让德多项式展开法、球面三角法等。
三、椭球面坐标与笛卡尔坐标的转换将椭球面坐标转换为笛卡尔坐标是另一个常见的任务。
笛卡尔坐标是三维坐标系，它使用直角坐标系来表示地球上的点。
在转换过程中，需要考虑到椭球体的参数，包括椭球体的半长轴a、扁率f等。
常用的转换方法包括克里金插值法、最小二乘法等。
四、大地测量中的应用椭球面坐标与大地测量的转换方法和公式在实际测量和定位任务中发挥着重要的作用。
它们被广泛应用于地理信息系统、导航定位、地质勘探等领域。
例如，在导航定位中，利用椭球面坐标与笛卡尔坐标的转换，可以实现卫星导航系统的精确定位。
在地质勘探中，利用椭球面坐标与地心坐标的转换，可以确定地下矿藏的位置和分布。
总结：椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式是地球科学中的重要内容。
通过了解和掌握这些方法和公式，我们可以更好地进行地球测量和定位任务。
椭球面坐标系统提供了一种描述地球表面上点的方式，而转换方法和公式则是实现不同坐标系统之间转换的关键。
在实际应用中，我们需要根据具体任务的要求选择适当的转换方法和公式，以保证测量和定位的精度和准确性。
空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式
§2. 3.1坐标系的分类正如前面所提及的，所谓坐标系指的是描述空间位置的表达形式，即釆用什么方法来表示空间位置。
人们为了描述空间位置，采用了多种方法，从而也产生了不同的坐标系，如直角坐标系、极坐标系等。
在测量中常用的坐标系有以下几种：一、空间直角坐标系空间直角坐标系的坐标系原点位于参考椭球的中心，Z轴指向参考椭球的北极,X轴指向超始子午面与赤道的交点，丫轴位于赤道面上且按右手系与X 轴呈90°夹角。
某点在空间中的坐标可用该点在此坐标系的各■个坐标轴上的投影来表示。
空间直角坐标系可用图2-3 来表TJT :图2-3空间直角坐标系二.空间大地坐标系空间大地坐标系是釆用大地经.纬皮和大地离来描述空间位置的。
纬度是空间的点与参考椭球面的法线与赤道面的夹角：经度是空间中的点与参考椭球的自转轴所在的面与参考椭球的起始子午面的夹角；大地离是空间点沿参考椭球的法线方向到参考描球面的距离。
空间大地坐标系可用图2-4来表示：三.平面直角坐标系平面直角坐标系是利用投影变换，将空间坐标空间直角坐标或空间大地坐标通过某种数学变换映射到平面上，这种变换又称为投影变换。
投影变换的方法有很多，如横轴墨卡托投影、UTM 投影、兰勃特投影等。
在我国釆用的是离斯一克吕格投影也称为商斯投影。
UTM 投影和离斯投影都是横轴墨卡托投影的特例，只是投影的个别参数不同而已。
鬲斯投影是一种横轴.椭圆柱面、等角投影。
从几何意艾上讲，是一种横轴椭圆柱正切投影。
如图左侧所示，设想有一个椭圆柱面横套在椭球外面，并与某一子午线相切（此子午线称为中央子午线或轴子午线），椭球轴的中心轴CC'通过椭球中心而与地轴垂直。
爲斯投影满足以下两个条件：1、它是正形投影；2、中央子午线投影后应为x轴，且长度保持不变。
将中央子午线东西各一定经差（一般为6度或3度）范国内的地区投影到椭圆柱面上，再将此柱面沿某一棱线展开，便构成了高斯平面直角坐标系，如下S 2-5右侧所示。
椭球面上的常用坐标系及其相互关系
§6.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系6.2.1大地坐标系 P 点的子午面NPS 与起始子午面NGS 所构成的二面角L ，叫做P 点的大地经度，由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°～180°），向西为负，叫西经（0o～180°）。
P 点的法线Pn 与赤道面的夹角B ，叫做P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°～90°）；向南为负，叫南纬(0°～90°)。
大地坐标系是用大地经度L 、大地纬度B 和大地高H 表示地面点位的。
过地面点P 的子午面与起始子午面间的夹角叫P 点的大地经度。
由起始子午面起算，向东为正，叫东经（0°~180°），向西为负，叫西经（0°~-180°）。
过P 点的椭球法线与赤道面的夹角叫P 点的大地纬度。
由赤道面起算，向北为正，叫北纬（0°~90°），向南为负，叫南纬（0°~-90°）。
从地面点P 沿椭球法线到椭球面的距离叫大地高。
大地坐标坐标系中，P 点的位置用L ,B 表示。
如果点不在椭球面上，表示点的位置除L ,B 外，还要附加另一参数——大地高H ，它同正常高正常H 及正高正H 有如下关系 ⎪⎭⎪⎬⎫+=+=)()(大地水准面差距高程异常正正常N H H H H ζ6.2.2空间直角坐标系以椭球体中心O 为原点，起始子午面与赤道面交线为X 轴，在赤道面上与X 轴正交的方向为Y 轴，椭球体的旋转轴为Z 轴，构成右手坐标系O -XYZ ，在该坐标系中，P 点的位置用Z Y X ,,表示。
地球空间直角坐标系的坐标原点位于地球质心（地心坐标系）或参考椭球中心（参心坐标系），z 轴指向地球北极，x 轴指向起始子午面与地球赤道的交点，y 轴垂直于XOZ 面并构成右手坐标系。
6.2.3子午面直角坐标系设P 点的大地经度为L ，在过P 点的子午面上，以子午圈椭圆中心为原点，建立y x ,平面直角坐标系。
地球椭球与坐标系
2 地面点位的确定
测量的基本任务就是确定地面点的位置，在测量工作中，通常采用地面点在基准面（如椭球面）上的投影位置及该点沿投影方向到基准面（如椭球面、水准面）的距离来表示。为了表示地面点的空间位置，建立如下坐标系统。 一、天文坐标系 1、定义：以大地水准面和铅锤线为基准建立起来的坐标系。 2、表示：天文经度λ，天文纬度ψ、正高Hξ。
2、总地球椭球体：与大地体最接近的地球椭球。 3、参考椭球：局部与大地体密合最好的地球椭球。
我国所采用的参考椭球有：新中国成立前的海福特椭球；新中国成立初期的克拉索夫斯基椭球。1978年我国根据自己实测的天文大地资料推算出适合本地区的地球椭球参数，从而建立了1980西安大地坐标系，并将大地原点设于陕西省泾阳县永乐镇。
1 2 3 13 14 15 16 17 18 19 20 28 29 30 31
0° 6°12°18° 72°78°84°90°96°102º108º114º120º 162º168º174º180º-174º
（西经）
120
p(x,y)
x
X
Y
O
p〃
p´
IV
III
II
I
y
1)、坐标轴方向不同； 2)、方位角不同； 3)、象限不同。
x
x
y
y
I
Iቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
II
II
III
III
IV
IV
五、高斯投影及高斯平面直角坐标系 1、地图投影 1)、定义：将椭球面上的图形、数据按一定的数学法则转换到平面上的 方法。 2)、分类：等角投影（正形投影）、等面积投影和任意投影
Z
X
Y
x
O
L
01第一章 地球椭球的基本公式
22
实习作业
1. 2. 3. 4. 计算纬度为3230N的纬圈上某一点的子午圈曲率半径（M）、卯酉圈曲率 半径（N）和纬圈半径（r）。 计算从赤道（0）至3230N的经线弧长。 计算在3230N纬圈上从本初子午线（0）至11930E的纬线弧长。 计算球面梯形（30N~35N，115E~120E)的面积。
同经差的纬线弧长由赤道向两极缩短 经差1的纬线弧长在赤道为111321m，在纬度45处为78848m，在两极为0。
20
§1.7 地球椭球面上的梯形面积
设在地球椭球面上，有两条无限靠近的经线和两条无限靠近的纬线，其 经度为和+d ，纬度为 和d 。它们构成了一个微分梯形ABCD （如图所示）。这个微分梯形的边长为经线和纬线的微分弧长。因而有：
ae (1 e12 ) M (1 e12 sin 2 )3 2
在赤道上：
≤
N
ae (1 e12 sin 2 )1 2
M0 ae (1 e12 )
N0 ae
在极点上：
M 90 N90 ae 1 e12
子午圈曲率半径(M)和卯酉圈曲率半径（N）除在两极处相等外，在其它 纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈曲率半径均大于子午圈曲率半径。
P B A A E1
AA' dsm Md
如果求 1至2一段经线弧长，可将上式积分，即
E
2 1
d
P1
sm Md
1
2
18
将子午圈曲率半径M带入上式，经整理，最后得：
B C D sm ae (1 e12 ) A(2 1 ) (sin 22 sin 21 ) (sin 42 sin 41 ) (sin 62 sin 61 ) 2 4 6
「空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式」
「空间大地坐标系与平面直角坐标系转换公式」空间大地坐标系（也称为地理坐标系）和平面直角坐标系（也称为笛卡尔坐标系）之间的转换公式是用于将地球表面上的点的经纬度（或大地坐标）转换为平面直角坐标系中的x、y、z值（或直角坐标）。
这两种坐标系的转换是地理信息系统（GIS）和测量工程中必不可少的一项基础工作。
下面将详细介绍这两种坐标系的特点以及它们之间的转换公式。
一、空间大地坐标系空间大地坐标系是以地球为基准的一种坐标系，用于描述地球表面上的点的位置。
空间大地坐标系是由经度、纬度和高程三个参数确定的，它们分别表示一个点在地球上的经度、纬度和高程（相对于一个参考椭球面）。
经度是指一个点与本初子午线（通常取格林尼治子午线）之间的夹角，可以用度、分、秒（DMS）或小数度（DD）表示；纬度是指一个点与赤道之间的夹角，同样可以用DMS或DD表示；高程是指一个点相对于参考椭球面的高度。
二、平面直角坐标系平面直角坐标系是由直角坐标系的一个特例，它在平面上使用x和y 两个参数来表示一个点的位置。
平面直角坐标系中，原点通常是一个叫做“地理坐标系原点”的基准点，x轴和y轴分别与参考坐标系的经度和纬度方向相对应。
这样，一个点在平面直角坐标系中的位置就可以用x和y 坐标值表示。
三、空间大地坐标系与平面直角坐标系的转换公式空间大地坐标系与平面直角坐标系之间的转换可分为大地坐标到直角坐标的转换和直角坐标到大地坐标的转换两个方向。
这里，我们主要关注大地坐标到直角坐标的转换过程。
大地坐标到直角坐标的转换公式如下：1.计算参考椭球面的参数首先，需要确定参考椭球面的参数，包括椭球长半轴a、扁率f以及椭球表面上任意一点的第一偏心率e。
这些参数通常可以从现有的地理坐标系参数库中获取。
2.计算大地坐标到空间直角坐标的转换设待转换的点在大地坐标系下的经度、纬度、高程分别为(λ,φ,H)，则转换公式如下：X = (N + H) * cosφ * cosλY = (N + H) * cosφ * sinλZ = (N * (1 - e²) + H) * sinφ其中，N是参考椭球面上其中一点的曲率半径，由以下公式计算得到：N = a / (1 - e² * sin²φ)² 的平方根通过这些公式，可以将一个点从大地坐标系转换为平面直角坐标系中的x、y、z值。
椭球面上大地问题的解算概要
高斯平均引数公式
若取大地线中点展开，得：
2 2 3 3 dB S d B S d B S B2 BM 2 3 dS M 2 dS M 8 dS M 48
N
2 2 3 3 dB S d B S d B S B1 BM 2 3 dS M 2 dS M 8 dS M 48
2 dB cos A Vm cos Am 由大地线的微分公式： dS M Nm
由大地线的微分公式，得其一阶导数为：
dB cos A dS M dL sin A dS N cos B dA tan B sin A dS N
二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：
d 2 B dB dB dB dA 2 dS B dS dS A dS dS d 3 B d 2 B dB d 2 B dA 3 2 2 dS B dS dS A dS dS
同理可求出四阶以上的导数和L、A的高阶导 数，代入展开式即可。
三、 高斯平均引数正解公式
（一）基本思想
首先把勒让德级数在P1点展开改为在大地线 长度中点M展开，以使级数公式项数减少、收敛 快、精度高； 其次，考虑到求定中点M的复杂性，将M点用 大地线两端的平均纬度及平均方位角相对应的 m点来代替，并借助迭代计算，便可顺利的实现 大地问题的正解。
d2A S2 Am AM dS 2 8 M
1 Am A1 A2 2
1 Lm L1 L2 , 2
展开成级数，得： 2
dB dB dB dB Bm BM Am AM A dS m dS M dS m B dS m
测绘中的椭球面与大地水准面的转换方法
测绘中的椭球面与大地水准面的转换方法在测绘学中，椭球面和大地水准面是两个重要且常用的概念。
椭球面是一种近似地球形状的模型，而大地水准面则是基于地球的重力场和重力势能的一个理想参考面。
在进行测绘和地理空间数据处理时，常常需要进行椭球面和大地水准面之间的转换。
本文将介绍一些常用的转换方法和相关应用。
椭球面与大地水准面的关系可以通过椭球面与大地水准面的高度差来描述。
椭球面高于大地水准面的区域形成了正常重力的情况，而大地水准面高于椭球面的区域则形成了负重力的情况。
为了描述和计算这种高度差，需要建立一个数学模型。
常用的模型之一是基于全球参考椭球WGS84的正常重力模型。
在椭球面和大地水准面之间的转换中，最常用的方法是基于正常重力的正常高模型。
该模型假设在一个小范围内，重力加速度近乎恒定，因此可以通过测量重力加速度来计算出大地水准面的高度。
而椭球面的高度可以通过GPS测量得到。
在现实应用中，常用的转换方法有两种：高差转换和坐标转换。
高差转换是将椭球面上的高度转换为大地水准面上的高度，或者将大地水准面上的高度转换为椭球面上的高度。
这种方法的核心是基于正常重力的正常高模型。
通过测量重力加速度和椭球面上的高度，可以计算出大地水准面上的高度。
具体计算公式可以根据地区和具体要求进行适当的调整和精确化。
坐标转换是将椭球面上的坐标转换为大地水准面上的坐标，或者将大地水准面上的坐标转换为椭球面上的坐标。
这种方法的核心是通过支撑点的坐标和高程数据，建立一个由椭球面到大地水准面的转换模型。
该模型可以根据支撑点的位置和高程差异，在椭球面和大地水准面之间进行坐标转换。
除了高差转换和坐标转换，还有一种常见的转换方法是通过地面重力的观测数据进行转换。
地面重力的变化可以通过重力观测仪器进行测量，这些数据可以用于计算椭球面和大地水准面之间的高度差。
该方法对于大范围的高程转换非常有用，特别是在建立大地水准面的模型和进行精确的地理空间数据分析时。
大地测量坐标系有哪些方法
大地测量坐标系有哪些方法在大地测量中，坐标系是描述地球表面上各个点位置的重要工具。
大地测量坐标系是一种用来确定地球上点的位置和计算其坐标的数学模型。
它是测量地球上各个点的基础，在测绘、航空、导航等领域都有重要的应用。
下面将介绍几种常用的大地测量坐标系的方法。
地心大地测量坐标系地心大地测量坐标系是建立在地球参考椭球面上的。
这种坐标系的原点位于地球质心，坐标轴与地球自转轴相交。
在地心大地测量坐标系中，点的位置是通过指定球心距离、经度和纬度来表示的。
这种方法适用于大范围的测量，如全球导航系统（GPS）和卫星测量。
传统大地测量坐标系传统大地测量坐标系采用地球参考椭球面上一点作为其原点。
以该原点为中心，在参考椭球面上建立一个局部平面坐标系，通过坐标轴上的线性单位和角度单位来表示点的位置。
这种坐标系适用于局部测量任务，如城市建筑测量、工程测量等。
区域大地测量坐标系区域大地测量坐标系是一种介于地心大地测量坐标系和传统大地测量坐标系之间的坐标系。
它将地球划分为若干个区域，并在每个区域内建立一个局部坐标系。
这样，每个区域内的测量可以采用传统大地测量坐标系，而不会受到大地球的影响。
这种方法在大范围测量的同时，保留了局部精度。
三维大地测量坐标系3D大地测量坐标系用于描述地球上点的三维位置。
除了地心距离、经度和纬度外，它还需要添加一个额外的高度参数，以表示点的垂直位置。
这种坐标系广泛应用于空中和地下导航、航空测量和地形建模等领域。
投影大地测量坐标系投影大地测量坐标系是将地球表面的三维地理坐标投影到一个平面上的坐标系。
这样可以将地球表面上广大区域的测量结果呈现在一个平面上，方便展示和计算。
投影大地测量坐标系有许多不同的投影方法，如墨卡托投影、兰伯特投影等。
每种投影方法都有其特定的用途和适用范围。
总结起来，大地测量坐标系有地心大地测量坐标系、传统大地测量坐标系、区域大地测量坐标系、三维大地测量坐标系和投影大地测量坐标系等方法。
01 第1章 地球椭球体的基本公式解析
D Q E L
r
A
E1 W
P1
子午圈(PEP1E1)和卯酉圈(AQW)
13
子午圈曲率半径(radius of curvature in meridian)(M) ：地球椭球体表面上某点 法截弧曲率半径中最小的曲率半径。
P D Q E L W
r
A
ae (1 e12 ) M (1 e12 sin 2 )3 2
ae (1 e12 ) M (1 e12 sin 2 )3 2
在赤道上：
≤
N
ae (1 e12 sin 2 )1 2
M0 ae (1 e12 )
N0 ae
在极点上：
M 90 N90 ae 1 e12
子午圈曲率半径（M）和卯酉圈曲率半径（N）除在两极处相等外，在其 它纬度相同的情况下，同一点上卯酉圈曲率半径（N）均大于子午圈曲率 半径（M）。 15
扁率
1:300.8 1:299.15 1:295.0 1:293.5 1:297.0 1:298.3 1:298.247 1:298.257 1:298.257 1:298.257223563
附注
英国 德国 英国 英国 1942年国际第一个推荐值 前苏联 1971年国际第一个推荐值 1975年国际第一个推荐值 1979年国际第一个推荐值 美国
2
3 2 2
3 2
经过整理，得到子午圈曲率半径的公式为：
M
a(1 e 2 ) (1 e sin )
2 2 3 2
22
卯酉圈曲率半径的公式为：
x N cos
a (1 e sin )
2 2 1 2
23
§1.4 地球球半径
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D 2 H 2 H 1 1 H1 RA12 1 H 2 RA21
2
P2
RA12
RA21
省略H/R的二次项，得：
d D 2 H 2 H 1 1 H m RA
2
Hm
1 H 1 H 2 2
RA
1 RA12 R A21 2
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面
F F F 2R2 2F
C
A
B
B
C
A
代入球面角超定义式，得：
F 2 R
2.3.2 椭球面上三角形解算
按球面三角公式：
a 2 b2 c2 1 F ab sin 1 2 2 24 R
2 2 2 2 2 2 3m S cos2 Am 1 t m m 4t m m
S sin Am 2 2 2 2 2 2 2 2 S sin Am lN m cos Bm S sin A t S cos A 1 9 t m m m m mm 2 24N m
3
a2 b2 c2 1 2 ab sin 1 2 2R 24 R
当边长小于40公里时，第二项影响小于0.0004“，可略去
1 2 ab sin 2R
2.3.2 椭球面上三角形解算
2、解算球面三角形的勒让德定理 勒让德定理：对于较小的球面三角形，可用平面三角公 式来解算，只需使三个平面角等于相应的球面角减去 三分之一的球面角超，而边长保持不变。
2.3.3 大地主题解算
1、纬度差、经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式
d 2 B S 2 d 3B S 3 dB b B2 B1 S 2 3 dS 0 dS 0 2 dS 0 6 d 2 L S 2 d 3L S 3 dL l L2 L1 S 2 3 dS 0 dS 0 2 dS 0 6 d 2A S2 d3A S3 dA a A2 A1 S 2 3 dS 0 dS 0 2 dS 0 6
1 S2 2 2 l L2 L1 S sin Am 1 sin A t m m 2 N m cos Bm 24 N m
2 2 2 cos2 Am 1 m 9t m m
3
tm S2 2 2 2 a A2 A1 S sin Am 1 sin A 2 t 2 m m m 2 Nm 24 N m
§2.3 椭球面上大地坐标的计算
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面
1、水平方向观测值归算到参考椭球面的改正 包括三项改正，称为三差改正。 (1). 垂线偏差改正 u 1 sin A12 1 cos A12 ctgz12 (2). 标高差改正
e2 h sin 2 A12 cos2 B2 H 2 2M 2
用椭球半径的近似值代入得：
h 0.1089 "cos2 B2 sin 2 A12 H 2 ( Km)
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面
(3). 法截弧方向归算到大地线方向的改正
S2 2 S2 2 2 g sin A cos A e ' cos B1 sin 2 A12 12 12 2 1 2 6 N1 12N1
k 1 Am A12 ak 2
0 Am A12
叠代计算公式为：
k 1 Bm B1 bk 2
直到
k 1 k B Bm Bm 0.000 1 为止。 k 1 k A Am Am 0.001
该项改正很小，100公里约0.03“，只有一 等控制网才估计此项改正。
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面
2、空间边长归算至参考椭球面的改正 测线端点的大地高为：
H1 h1 1 i H 2 h2 2 v
D
椭球面上弦长 d 的计算公式
d
H1 P1
S d
H2
1 Am A1 A2 2
1 1 其中： Bm B1 B2 , Lm L1 L2 , 2 2 dB 将 展开成级数，得： dS M
dB dB dB dB Bm BM Am AM A dS m dS M dS m B dS m
由大地线的微分公式，得其一阶导数为：
dB cos A dS M dL sin A dS N cos B dA tan B sin A dS N
2.3.3 大地主题解算
二阶和三阶导数采用复合函数求导法计算：
d 2 B dB dB dB dA 2 dS B dS dS A dS dS d 3 B d 2 B dB d 2 B dA 3 2 2 dS B dS dS A dS dS
同理可求出四阶以上的导数和L、A的高阶导数， 代入展开式即可。
2.3.3 大地主题解算
2、高斯平均引数公式 若取大地线中点展开，得：
dB S d B S d B S B2 BM 2 3 dS M 2 dS M 8 dS M 48
sin A 3 sin B 3 sin C 3 a b c
c B
A
b
C
a
2.3.3 大地主题解算
大地主题解算分类： 正算：已知(B1, L1)，A12，S12，计算(B2, L2)，A21 反算：已知(B1, L1)， (B2, L2)， 计算A12，S12 ，A21 短距离 S 120 Km 120 Km S 400 Km 中距离 S 400 Km 长距离 解算方法：级数展开： Legendre级数 Schreiber公式 Gauss平均引数公式
பைடு நூலகம்
2 2 2 4 cos2 Am 2 7m 9t m m 5m
以上3式具有4次方精度，可用于解算200公里下的大地主题。
2.3.3 大地主题解算
因计算Bm , Lm要用到B2 , L2，因此需要叠代计算。其初值为：
0 Bm B1
1 S cos A12 2M 1 1 tan B1S sin A12 2 N1
d2A d2A dS 2 dS 2 M m
d 3B d 3B dS 3 dS 3 M m
dB 代入 2 式，得 的计算公式。并取 dS M
代入
1 式，求出各阶导数后整理得：
2
2 32
RA12
RA21
2.3.1 水平方向、边长观测值归算到椭球面
3. 工程控制网中的地面观测元素的归算
以平均高程面作投影面，范围小，可以用球代替椭 球；球半径采用高斯平均曲率半径。计算公式为：
H D H 2 H1 2 S D 2 H 2 H1 1 m R 24R 2
2.3.3 大地主题解算
2 Vm S2 2 2 2 b B2 B1 S cos Am 1 sin A 2 3 t 2 m m m 2 Nm 24 N m
同理可得：
2 2 2 2 2 3m cos2 Am 1 t m m 4t m m
最后计算纬度、经度和方位角：
B2 B1 b L2 L1 l A21 A12 a
2.3.3 大地主题解算
3、高斯平均引数反算公式 由正算公式，反解得：
2 bVm S cos Am 2 2 2 2 S cos Am S sin A 2 3 t 2 m m m 2 Nm 24N m
2 2 3 3 2 2 3 3 dB S d B S d B S B1 BM 2 3 dS M 2 dS M 8 dS M 48
N
两式相减，得：
类似地，有：
d B S dB B2 B1 b S 3 dS M dS M 24
3 3
1
S A12 2
AM
M
S 2
P2 B2 , L2
d 3L S 3 dL L2 L1 l S 3 dS M dS M 24 d3A S3 dA A21 A12 a S 3 dS M dS M 24
右端第二项与第一项相比为小量，可以作近似：
2 bVm S cos Am Nm
S sin Am lN m cos Bm
2.3.3 大地主题解算
代入上式第二项，得：
2 2 2 bNm N m cos2 Bm 2 3tm 3tm m 2 N m 2 2 2 S cos Am 2 bl tmm m b3 Vm 24 8
椭球面上的弧长为：
3 3 d d d d d S 2 RA sin 1 2 RA 3 2 2 RA 24RA 2 RA 48RA
D
H1 P1
S d
H2
P2
D H 2 H 1
2
2
H m D H 2 H 1 2 1 R 24 R A A