第七章欧氏几何的公理体系简介

第七章欧氏几何的公理体系简介

§7.1欧氏几何的公理体系简介

一、希尔伯特的公理体系简介

1、原始概念

点、直线、平面是几何研究的基本对象，属于不加定义的基本元素；“在……上”（属于、通过都是它的同义语）、“在……之间”、：“合同”及“连续”等是不加定义的原始概念。

2、欧氏公理

公理Ⅰ结合公理（共八条）

Ⅰ：至少有一条直线通过已知的两点；

1

Ⅰ：至多有一条直线通过已知的两点；

2

这两条公理的二个直接推论是：

推论1o：两个不同的点确定唯一直线；

推论2o：两条不同的直线至多只有一个交点。

由于这两条推论的表述比较直接，因此通常用作中学教材的公理。

Ⅰ：一条直线上至少有两个点；至少有三点不在同一条直线上；

3

Ⅰ：至少有一个平面通过已知不共线的三点。每个平面上至少4

有一个点；

5Ⅰ：至多有一个平面通过已知不共线的三点。

公理4Ⅰ和公理

5Ⅰ也有一条直接推论： 推论：不共线的三点确定唯一平面。

这条推论通常作为中学立体几何教材的第一条公理。

6Ⅰ：如果一条直线上有两个点在一个平面上，那么这条直线上

所有点都在这个平面上；

7Ⅰ：如果两个平面有一个公共点，那么至少还有另外一个公共

点；

8Ⅰ：至少存在四个点不在同一个平面上。

在八条结合公理中，如果只是建立平面几何，可以去掉后面的五条。

公理Ⅱ 顺序公理（共四条）

1Ⅱ：如果B 介于点A 和点C 之间，则A 、B 、C 是一条直线上的三个不同点，并且B 也介于C 、A 之间。

2Ⅱ：对于任意两点A 、B ，直线AB 上至少有一点C ，使B 介于A 、C 之间；

3Ⅱ：一条直线上的任意三点，至多有一点介于其余两点之间；

4Ⅱ：

（巴士公理）设A 、B 、C 是不共线的三点，直线a 在平面ABC 内，但不过A 、B 、C 中任何一点，如果a 上有一点介于A 、B 之间，那么a 上也必有另一点介于A 、C 或B 、C 之间；

顺序公理用来规定直线上点的相互关系。

公理Ⅲ 合同公理（共五条）

1Ⅲ：

设AB 是给定线段，X A ''是从A '点出发的射线，则在X A ''上有且仅有一点B '，使得AB B A =''，对于每条线段AB ，都有BA AB =。

2Ⅲ：若AB B A =''，且AB B A =''''，则B A B A ''''=''；

3Ⅲ：设B 点介于A 、C 之间，B '介于A '、B '之间，如果B A AB ''=且C B BC ''=，那么C A AC ''=；

4Ⅲ：设∠XOY 是给定的一个非平角的角，X O ''是从O '点出发的一条射线，α'是X O ''所在直线引出的半平面，则在α'上有且仅有一条从O '出发的射线Y O ''，使得Y O X XOY '''∠=∠。对于每个角∠XOY ，都有XOY XOY ∠=∠和YOX XOY ∠=∠；

5Ⅲ：设A 、B 、C 是不共线的三点，A '、B '、C '也是不共线的三点，若C A AC B A AB ''=''=,且C A B BAC '''∠=∠，那么C B A ABC '''∠=∠。

有了这组公理，线段的长短、角的大小才有了比较的基础和根据。 公理Ⅳ 平行公理

Ⅳ：通过不在已知直线上的一点至多可以引一条与该已知直线平行的直线；

这条公理是判定几何体系是否为欧氏几何的标准。我们后面介绍的几种几何就是由这条公理的其他变异所产生的。

公理Ⅴ 连续公理

1Ⅴ：

（阿基米德公理）设AB 、CD 是给定的两条线段，且AB ＞CD ，那么存在正整数m ，使得m ·CD ≤AB ＜(m+1)CD ；

2Ⅴ：

（康托公理）设在直线a 上给定无穷条线段1(=i B A i i 、2、…、n 、…），其中线段11++i i B A 的点全属于线段i i B A ，并且不同于端点。如果对于任意小的线段PQ ，总存在自然数n 使PQ B A n n <，那么在这条直线上有且仅有唯一一点C 属于所有的线段。

阿基米德公理又叫做度量公理。前面的合同公理只能在两条线段之间比较，但线段本身却没有数值上的大小标志，有了阿基米德公理，任意线段的长度都可以度量（只要给出度量的单位），而康托公理又反过来保证任何已知长度的线段都可以作出。因此两条连续公里奠定了线段长度的度量理论的基础。

综上所述，希尔伯特的公理体系如下表所示：

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧理定部

全出推

连续公理平行公理合同公理顺序公理结合公理理公念系关何几有所释解两角相等两线段相等合同关系—点介于两点之间—顺序关系点在平面上点在直线上结合关系基本关系平面直线点基本元素概本基系体理公特伯尔希

欧几里得的几何体系经过希尔伯特整理之后变成了一套严密完备的逻辑系统，解决了欧几里得《几何原本》逻辑不够严密，许多推理依赖直观，体系残缺的毛病。近代公理法要求在建立几何学时，必须把一些不能定义的基本概念（称为元词）挑选出来，这些概念的相互关联在一些不加证明的基本命题（公理）中予以确定；一切新的概念一定要用基本概念或已经定义过的概念来下定义；一切提出的几何命题无论其本身如何明显，必须要么能够用已有的公理、定理证出，要么就宣布为公理。在构成几何学时，只能纯粹按逻辑规则进行，绝不容许诉诸直觉或默契。图形直观只能启迪思路却不能取代逻辑证明。否则会导致荒谬的结果。

例：证明“任何三角形都是等腰三角形”。

设BC边的垂直平分线交∠A的平分线于E点，再过E分别作AB、AC的垂线，垂足依次为F、G，如右图（图1）所示：由于E在BC的中垂线上知

EB = EC

由于E在∠A的平分线上知

EF = EG

所以△BEF≌△CEG，△AEF≌△

AEG

于是BF = CG AF = AG

从而AB = AF + BF = AG + CG =AC

即三角形ABC是等腰三角形。